1.स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics),फिशर का जेड-परीक्षण (Fisher Z-test):

t-Distribution of Student Statistics

स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics) के इस आर्टिकल में छोटे प्रतिदर्शजों में सार्थकता परीक्षण की जाँच करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी के साधित उदाहरण (t-Distribution of Student Statistics Solved Examples):

Example:21.किसी संस्था द्वारा निर्मित आइस-क्रीम में वसा की मात्रा के दो शोधशालाओं द्वारा स्वतन्त्र अनुमान लगाए गए।प्रत्येक समूह में एक प्रतिदर्श लेकर उसे आधा-आधा किया गया और अलग-अलग अर्द्ध-भागों को दोनों शोधशालाओं में भेज दिया गया।निम्न परिणाम प्राप्त हुए।क्या परीक्षण विश्वसनीय है?
(Two laboratories carry out independent estimates of fat content of ice-cream made by a certain firm.A sample is taken from each batch, halved and the separate halves sent to the two laboratories. They obtain the following results. Is the testing reliable?)

(For 9 df t_{.05}=2.262)
Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य
\overline{D}=\frac{\sum D}{n}=\frac{3}{10}=0.3
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{ \frac{\Sigma(D-\overline{D})^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{16.1}{10-1}}=\sqrt{\frac{16-1}{9}} \\ \Rightarrow S \approx 1.337 \\ t=\frac{\overline{D}-0}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{0.3-0}{1.337} \sqrt{10} \approx \frac{0.3 \times 3.162}{1.337} \\ t \approx 0.709 \approx 0.71 < t_{.05}(=2.262)
शून्य परिकल्पना सत्य है अतः परीक्षण विश्वसनीय है।
Example:22.जयपुर की एक दूध की दुकान से चर्बी का अंश ज्ञात करने के लिए 6 प्रतिदर्श लिए गए।प्रत्येक प्रतिदर्श को दो हिस्सों में बाँटा गया और प्रत्येक आधे-आधे हिस्से को कलकत्ता और लुधियाना की प्रयोगशालाओं में भेजा गया।प्रयोगशालाओं के परीक्षण नीचे दिए गए हैं।क्या दोनों प्रयोगशालाओं के परिणामों में सार्थक अन्तर है?
(From a milk-booth in Jaipur 6 samples were taken to find the fat content. Each sample was divided into two parts and the separate was divided halves were sent to Calcutta and Ludhiana laboratories are given below. Is there significant difference between the results of the two laboratories?)

(The table value of t for 5 df at 5% level of Significance is 2.571)
Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य
\overline{D}=\frac{\Sigma D}{n}=\frac{0.4}{6}=0.07
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{\frac{\sum(D-\bar{D})^2}{n-1}} \\ \Rightarrow S=\sqrt{\frac{0.0734}{6-1}} \approx 0.121 \\ t=\frac{\overline{D}-0}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{0.07-0}{0.121} \sqrt{6}=\frac{0.07 \sqrt{6}}{0.121} \\ \Rightarrow t \approx 1.417 \approx 1.42 < \operatorname{t_{.05}}(=2.571)
अतः अन्तर सार्थक नहीं है।
Example:23.नौ रोगियों में से प्रत्येक को एक विशिष्ट दवा दी गयी जिसके कारण उनके रक्तचाप में निम्नांकित वृद्धि हुई।क्या दवा से सामान्यतः रक्तचाप में वृद्धि होती है? (A certain medicine given to each of the 9 patients resulted in the following increase of blood pressure. Can it be concluded that the medicine will in general be accompanied by an increase in blood pressure?):
7,3,-1,4,-3,5,6,-4,-1
(t_{0.05} for df=8 is 2.306)
Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य
(\overline{D})=\frac{\sum D}{n}=\frac{16}{9} \\ \Rightarrow \overline{D} \approx 1.778
प्रमाप विचलन
S =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{n}-\left(\frac{\Sigma d x}{n}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{227}{9}-\left(\frac{-29}{9}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{2043-841}{81}} \\ \sigma \approx 3.8522 \\ t= \frac{\overline{D}-0}{\sigma} \sqrt{n-1} \\ =\frac{1.778}{3.8522} \sqrt{9-1} \\ =\frac{1.778 \times \sqrt{8}}{3.8522}=\frac{5.0289}{3.8522} \\ \Rightarrow t \approx 1.305 \approx 1.31 < t_{0.05}(=2.306)
अन्तर सार्थक नहीं है अतः रोगियों के रक्तचाप में वृद्धि नहीं हुई है।

t-Distribution of Student Statistics

Example:24.किसी प्रसामान्य समग्र में से लिए गए 13 युग्मों के यादृच्छिक प्रतिदर्श में सहसम्बन्ध गुणांक +0.6 था।क्या यह मान समग्र में सहसम्बन्ध के अस्तित्व का सार्थक द्योतक है?
(In a random sample of 13 pairs of items taken from a normal population, the correlation coefficient was +.6.Is this significant of the existence of correlation in the population? Use t-test)
Solution: r=+.6, n=13\\ t=\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \sqrt{n-2}=\frac{0.6}{\sqrt{1-(0.6)^2}} \sqrt{13-2} \\ =\frac{0.6 \times \sqrt{11}}{\sqrt{0.64}} \approx \frac{0.6 \times 3.3166}{0.8} \\ \approx \frac{1.98996}{0.8} \\ \Rightarrow t \approx 2.487 > t_{.05}(=2.201)
अतः सहसम्बन्ध गुणांक सार्थक है।
Example:25.t-परीक्षण का प्रयोग करके बताइए क्या +.5 का सहसम्बन्ध गुणांक सार्थक है यदि प्रतिदर्श की संख्या 11 हो।
(Apply t-test to find whether a correlation of +.5 is significant if sample size is 11.(Given: t_{.05} for df 9=2.2622))
Solution: r=+0.5, n=11\\ t=\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \sqrt{n-2} \\ =\frac{.5}{\sqrt{1-(.5)^2}} \times \sqrt{11-2} \\ =\frac{.5 \times 3}{\sqrt{0.75}} \approx \frac{1.5}{0.8666} \\ \Rightarrow t \approx 1.731 < t_{.05}(=2.2622)
अतः सहसम्बन्ध गुणांक सार्थक नहीं है।
Example:26(i).एक प्रतिदर्श में कितने पद-युग्म सम्मिलित किये जायँ जिससे r=+.42 के लिए t का परिकलित मान 2.72 से अधिक हो?
(How many pairs of items should be included in a sample so that for r=+.42,the calculated value of t may be more than 2.72?)
Solution:- r=+0.42, t=2.72, n= ? \\ t=\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \sqrt{n-2} \\ 2.72=\frac{0.42}{\sqrt{1-(0.42)^2}} \sqrt{n-2} \\ \Rightarrow 2.72 =\frac{0.42}{\sqrt{0.8236}} \sqrt{n-2} \\ \Rightarrow \sqrt{n-2} =\frac{2.72}{0.42} \times \sqrt{0.8236} \\ \Rightarrow n-2 =\frac{7.3984 \times 0.8236}{0.1764} \\ \Rightarrow n =\frac{6.09332224}{0.1764}+2 \\ =\frac{6.09332224+0.3528}{0.1764} \\ =\frac{6.44612224}{0.1764} \\ \Rightarrow n \approx 36.54 \approx 37
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics),फिशर का जेड-परीक्षण (Fisher Z-test) को समझ सकते हैं।

3.फिशर का जेड-परीक्षण के साधित उदाहरण (Fisher Z-test Solved Examples):

Example:26(ii).एक प्रसामान्य समग्र से लिए गए 30 पद-युग्मों के प्रतिदर्श में सहसम्बन्ध गुणांक +0.75 है।क्या यह इस परिकल्पना के अनुरूप है कि समष्टि में r +.55 है?
(The coefficient of correlation in a sample of 30 pairs of values drawn from a normal population is +0.75.Is it consistent with the hypothesis that in the universe r=+0.55?)
Solution: r_s=+0.75, \rho=+0.55, n=30 \\ Z_1=1.0513 \log _{10}\left(\frac{1+0.75}{1-0.75}\right) \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1.75}{0.25}\right) \\ =1.1513 \log _{10} 7 \\ =1.1513 \times 0.8451 \\ \Rightarrow Z_1=0.9730 \\ Z_2=1.1513 \log _{10}\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \\ =1.1513 \log _{10} \frac{1+0.55}{1-0.55} \\ =1.1513 \log _{10} \frac{1.55}{0.45} \\ =1.1513 \log _{10} 3.4444 \\ =1.1513 \times 6.5371 \\ \Rightarrow Z_2 =0.6184
Z की प्रमाप त्रुटि \sigma_z= \frac{1}{\sqrt{n-3}} \\ =\frac{1}{\sqrt{30-3}} \\ =\frac{1}{\sqrt{27}} \\ \sigma_z \approx 0.1925
\frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}}=\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\sigma_z}=\frac{|0.9730-0.6184|}{0.1925} \\ =\frac{0.3546 }{0.1925} \approx 1.84 < 3
अतः अन्तर सार्थक नहीं है।फलतः प्रतिदर्श r, \sigma=0.55 से सार्थक रूप से भिन्न नहीं है।
Example:27.28 और 19 अवलोकन युग्मों के दो स्वतन्त्र प्रतिदर्शों के सहसम्बन्ध गुणांक 0.55 और 0.75 है।क्या r के ये मान इस परिकल्पना के अनुरूप हैं कि प्रतिदर्श एक ही समग्र से लिए गए हैं?
(Two independent samples of 28 and 19 pairs of observations have correlation of 0.55 and 0.75 respectively.Are these values of r consistent with the hypothesis that the samples have been drawn from the same population?)
Solution: Z_{1} का परिकलन
n_1=28, r_1=0.55 \\ Z_1=1.1513 \log _{10}\left(\frac{1+r_1}{1-r_1}\right) \\ =1.1513 \log _{10} \left(\frac{1+0.55}{1-0.55}\right) \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1.55}{0.45}\right) \\ =1.1513 \log_{10} 3.4444 \\ =1.1513 \times 0.5371 \\ \Rightarrow Z_1 \approx 0.6184
Z_{2} का परिकलन
n_2=19, r_2=0.75 \\ Z_2=1.1513 \log \left(\frac{1+r_2}{1-r_2}\right) \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1+0.75}{100.75}\right) \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1.75}{0.25}\right) \\ =1.1513 \log _{10} 7 \\ =1.1513 \times 0.8451 \\ \Rightarrow Z_2 \approx 0.9730
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{z_1-z_2}=\sqrt{\frac{1}{n_1-3}+\frac{1}{n_2-3}} \\ =\sqrt{\frac{1}{28-3}+\frac{1}{19-3}} \\ =\sqrt{\frac{1}{27}+\frac{1}{18}} \\ =\frac{2+3}{54} \\ \sigma_{z_1-z_2} \approx 0.3443
\frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}}=\frac{|z_1-z_2|}{\sigma_{z_1-z_2}}=\frac{|0.6184-0.9730|}{0.3443} \\ =\frac{0.3546}{0.3443} \approx 1.03 < 3
अतः अन्तर सार्थक नहीं है प्रतिदर्श एक ही समग्र से लिए गए हैं।
Example:28(i).19 पद युग्मों के एक प्रतिदर्श में सहसम्बन्ध गुणांक 0.92 है।Z-परीक्षण द्वारा यह जाँच कीजिए कि यह मान समग्र के निम्न मानों से कहाँ तक सार्थक रूप से भिन्न है:(क)0,(ख)+0.85
(In a sample of 19 pairs of items correlation coefficient is 0.92,Using Z-test, examine how far is this significantly different from the following coefficients relating to universe:(a)0;(b)+0.85)
Solution: n=19, r=0.92 (क) \rho=0
(ख) \rho=+0.85 \\ Z_s=1.1513 \log _{10} \frac{1+r}{1-r} \\ = 1.1513 \log_{10} \frac{1+0.92}{1-0.32} \\ =1.1513 \log _{10} \frac{1.92}{0.08} \\ = 1.1513 \log _{10} 24 \\ =1.1513 \times 1.3802 \\ \Rightarrow Z_s=1.5890
(क) Z_{p}=1.1513 \log _{10} \frac{1+0}{1-0}=0 \\ \sigma_z=\frac{1}{\sqrt{n-3}}=\frac{1}{\sqrt{19-3}}=0.25 \\ \Rightarrow Z_s=1.5890
\frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}}=\frac{| Z_s-Z_{\rho}|}{\sigma_{z}}=\frac{|1.5890-0|}{0.25} \\ =\frac{1.5890}{0.25}=6.37 > 3
अन्तर सार्थक है अतः प्रदत्त r शून्य से सार्थक रूप से भिन्न है।
(ख) Z_{p}=1.1513 \log _{10} \frac{1+0.85}{1-0.85} \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1.85}{0.15}\right) \\ =1.1513 \log _{10} 12.3333 \\ =1.1513 \times 1.0910 \\ Z_{\rho}=1.2561 \\ \sigma_z =\frac{1}{\sqrt{n-3}}=\frac{1}{\sqrt{19-3}}=0.25
\frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}}=\frac{\left|Z_s-Z_{\rho}\right|}{\sigma_z}=\frac{|1.5890-1.2561|}{0.25} \\ =\frac{0.3329}{0.25}=1.33 < 3
अतः प्रतिदर्श r, \rho=0.85 से सार्थक रूप से भिन्न नहीं है।
Example:28(ii).20 लड़कों के एक समूह की आयु और ऊँचाई में सहसम्बन्ध गुणांक 0.42 है और 25 लड़कियों के समूह में वह +0.75 है।दोनों सहसम्बन्ध गुणांकों में अन्तर की सार्थकता का परीक्षण कीजिए:(क)Z-रूपान्तरण द्वारा (ख)t-परीक्षण द्वारा
(The coefficient of correlation between age and height in a group of 20 boys is +0.42 and among 25 girls it is +0.75.Test the significance of difference between both coefficients by (a)Z-transmission (b)t-test)
Solution:(क) Z_{1} का परिकलन
r_1=0.42 ; n_1=20 \\ Z_1=1.1513 \log_{10} \frac{1+0.42}{1-0.42} \\ =1.1513 \log _{10} \frac{1.42}{0.58} \\=1.1513 \log _{10}(2.4483) \\ =1.1513 \times 0.3888 \\ Z_1=0.4476
Z_{2} का परिकलन
n_2=25, r_2=0.75 \\ Z_2 =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1+0.75}{1-0.75}\right) \\ =1.1513 \log _{10}\left(\frac{1.75}{0.25}\right) \\ =1.1513 \log _{10} 7 \\ =1.1513 \times 0.8451 \\ \Rightarrow Z_2=0.9730
अन्तर की प्रमाप त्रुटि
\sigma_{z_1-z_2}=\sqrt{\frac{1}{n_1-3}+\frac{1}{n_2-3}} \\ =\sqrt{\frac{1}{20-3}+\frac{1}{25-3}} \\ =\sqrt{\frac{1}{17}+\frac{1}{22}} \\ \Rightarrow \sigma_{z_1-z_2}=\sqrt{\frac{22+17}{374}} \approx 0.3229
\frac{\text{अन्तर}}{\text{प्रमाप त्रुटि}}=\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\sigma_{z_1-z_2}}=\frac{|0.4476-0.9730|}{0.3229} \\ =\frac{0.5254}{0.3229} \approx 1.62 < 3
अन्तर सार्थक नहीं है।
(ख) t=\frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\sqrt{n-2}=\frac{0.42 \sqrt{20-2}}{\sqrt{1-(0.42)^2}} \\ \Rightarrow t=\frac{0.42 \sqrt{18}}{\sqrt{0.8236}} \approx 1.96 < 3
अन्तर सार्थक नहीं है।

t-Distribution of Student Statistics

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics),फिशर का जेड-परीक्षण (Fisher Z-test) को समझ सकते हैं।

4.स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी की समस्याएँ (t-Distribution of Student Statistics Problems):

(1.)यदि किसी प्रसामान्य बंटन में से यदृच्छया निकाले गए 11 युग्मों के बीच का सहसम्बन्ध गुणांक 0.5 हो,तो क्या इसे सार्थक माना जा सकता है? t-परीक्षण का प्रयोग कीजिए।
(2.)29 युग्मित अवलोकनों के एक प्रतिदर्श से सहसम्बन्ध गुणांक 0.72 प्राप्त किया गया।क्या यह गुणांक 0.8 से सार्थक रूप से भिन्न है?
उत्तर (Answers): (1.) t=1.72 < t_{.05}(=2.262)
(2.)अन्तर/प्रमाप त्रुटि=0.98 < 3 No significant
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics),फिशर का जेड-परीक्षण (Fisher Z-test) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (Frequently Asked Questions Related to t-Distribution of Student Statistics),फिशर का जेड-परीक्षण (Fisher Z-test) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

स्टूडेन्ट का टी-बंटन सांख्यिकी (t-Distribution of Student Statistics) के इस आर्टिकल
में छोटे प्रतिदर्शजों में सार्थकता परीक्षण की जाँच करने के लिए कुछ सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।