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Quartile Deviation

1.चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation):

तृतीय चतुर्थक तथा प्रथम चतुर्थक के अन्तर के आधे को चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) या अर्द्ध अन्तर-चतुर्थक विस्तार (Semi Inter-Quartile Range) कहते हैं।चतुर्थक विचलन ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

Q.D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}
Q.D. संकेत चतुर्थक-विचलन (Quartile Deviation) के लिए प्रयोग हुआ है।
Q_{3} और Q_{1}  क्रमशः तृतीय व प्रथम चतुर्थक (Third and First Quartiles) के लिए प्रयोग हुए हैं।
चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation):
चतुर्थक विचलन अपकिरण का निरपेक्ष माप है।विभिन्न श्रेणियों के चतुर्थक विचलन की तुलना करने के लिए इसका सापेक्ष माप निकाला जाता है।यह सापेक्ष माप चतुर्थक विचलन गुणांक कहलाता है।इसे ज्ञात करने के लिए चतुर्थक विचलन के निरपेक्ष माप के दोनों चतुर्थकों के माध्य से भाग दे दिया जाता है।इसका सूत्र निम्न प्रकार है:
चतुर्थक विचलन गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation)=\frac{\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}}{\frac{Q_{3}+Q_{1}}{2}}=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}
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2.चतुर्थक विचलन के साधित उदाहरण (Quartile Deviation Solved Examples):

Example:1.निम्न समंकों से चतुर्थक विचलन एवं उसके गुणक की गणना कीजिए:
(Calculate Q.D. and its coefficient from the following data):

MonthsExpenses(Rs.)
150
251
352
453
554
655
756
857
958
1059
1160

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

MonthsExpenses(Rs.)
150
251
352
453
554
655
756
857
958
1059
1160

Q_{1}=size of  \frac{N+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{11+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{12}{4} th item
Q_{1}=size of  3rd item=52 Rs.

Q_{3}=size of  \frac{3(N+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  \frac{3(11+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  9 th item
Q_{3}=58 Rs.

Q.D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}=\frac{58-52}{2}=\frac{6}{2}=3 Rs

Cofficient Of Q. D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{58-52}{58+52}=\frac{6}{110}

\Rightarrow Cofficient Of Q. D.=0.0545

\Rightarrow Cofficient Of Q. D.\approx 0.055

Example:2.निम्न समंकों के आधार पर अपकिरण के चतुर्थक माप की सहायता से दोनों श्रेणियों की तुलना कीजिए:
(Compute the following two series in respect of their dispersion by Quartile measure):

Height in(inches)Weight in(lbs)
58117
56112
62127
61123
63125
64130
65106
59119
62121
65132
55108

Solution:दोनों श्रेणियों को आरोही क्रम में रखने पर:
चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

S.No.Height in(inches)Weight in(lbs)
155106
256108
358112
459117
561119
662121
762123
863125
964127
1065130
1165132

श्रेणी I

Q_{1}=size of  \frac{N+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{11+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{12}{4} th item
Q_{1}=size of  3rd item=58 Rs.
Q_{3}=size of  \frac{3(N+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  \frac{3(11+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  9 th item
Q_{3}=64 Rs.

Cofficient Of Q. D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{64-58}{64+58}=\frac{6}{122}
\Rightarrow Cofficient Of Q. D.=0.04918
\Rightarrow Cofficient Of Q. D. \approx 0.0492

श्रेणी II

Q_{1}=size of  3rd item=112 Rs.
Q_{3}=size of  9 th item=127 Rs.

Cofficient Of Q. D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{127-112}{127+112}=\frac{15}{239}
\Rightarrow Cofficient Of Q. D.=0.06276
\Rightarrow Cofficient Of Q. D. \approx 0.0628

Example:3.निम्न समंकों से चतुर्थक विचलन (Q.D.) तथा उसके गुणक (coefficient) की गणना कीजिए:
(Calculate Quartile Deviation and its coefficient of Dispersion from the following data):

Age in YrsMarried Females
5-1461
15-24240
25-34237
35-44153
45-5483
55-6433
65-7411
75 & Over4

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Age in YrsMarried Femalescf
4.5-14.56161
14.5-24.5240301
24.5-34.5237538
34.5-44.5153691
44.5-54.583774
54.5-64.533807
64.5-74.511818
74.5-84.54822
Total822 

q_{1}=size of  \frac{N}{4} th item
= \frac{822}{4} th item
\Rightarrow q_{1}=205.5

यह मद 14.5-24.5 वर्गान्तर में है अतः

Q_{1}=i+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right)\\ =14.5+\frac{120}{240}(205-61)\\ =14.5+\frac{10 \times 144}{240}\\ =14.5+6\\ \Rightarrow Q_{1}=20.5

q_{3}=size of  \frac{3N}{4} th item
= \frac{3 \times 822}{4} th item
\Rightarrow q_{3}=616.5
यह मद 34.5-44.5 वर्गान्तर में है अतः

Q_{3} =l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-C\right) \\ =34.5+\frac{10}{153}(616.5-538) \\=34.5+\frac{10}{153} \times(78.5) \\ =34.5+\frac{785}{153} \\=34.5+5.131 \\ \Rightarrow Q_{3} =39.631

Q.D =\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2} \\ =\frac{39.631-20.5}{2} \\ \Rightarrow Q . D=9.5655

C. of Q.D=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}

C. of Q.D=\frac{39.631-205}{39.631+205} \\ =\frac{19.131}{60.131} \\ \Rightarrow C. of Q.D=0.318

\Rightarrow C. of Q.D \approx 0.32

Example:4.निम्न सारणी में प्रस्तुत समंकों से अपकिरण के चतुर्थक माप एवं उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate Quartile measure and its coefficient of dispersion from the data given in the following table):

Heights In InchesNo. of Students
15015
15120
15232
15335
15433
15522
15620
15712
15810

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Size in(inches)No. of Studentscf
1501515
1512035
1523267
15335102
15433135
15522157
15620177
15712189
15810199
Total199 

Q_{1}=size of  \frac{N+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{199+1}{4} th item
Q_{1}=size of  \frac{200}{4} th item
Q_{1}=size of  50 th item=152″
Q_{3}=size of  \frac{3(N+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  \frac{3(199+1)}{4} th item
Q_{3}=size of  150 th item
Q_{3}=155″

Cofficient Of Q. D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\= \frac{155-152}{155+152}=\frac{3}{307}
\Rightarrow Cofficient Of Q. D.=0.00977
\Rightarrow Cofficient Of Q. D. \approx 0.0098

Example:5.निम्न सारणी में प्रस्तुत समंक बक्सों के भार (वजन) से सम्बन्धित हैं,चतुर्थक विचलन गुणक का परिकलन कीजिए:
(The following table gives the weight of boxes,calculate coefficient of Quartile Deviation):

KilogramNo. of Boxes
10-122
-149
-1620
-1825
-2024
-2215
-245

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

KilogramNo. of Boxescf
10-1222
12-14911
14-162031
16-182556
18-202480
20-221595
22-245100
 100 

q_{1}=size of  \frac{N}{4} th item
= \frac{100}{4} th item
\Rightarrow q_{1}=25

यह मद 14-16 वर्गान्तर में है अतः

Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\=14+\frac{2}{20}(25-11) \\=14+\frac{1}{10} \times 14 \\=14+1 \cdot 4 \\ \Rightarrow Q_{1} =15.4

q_{3}=size of  \frac{3N}{4} th item
= \frac{3 \times 100}{4} th item
\Rightarrow q_{3}=75
यह मद 18-20 वर्गान्तर में हैं अतः

Q_{3}=l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-C\right) \\ Q_{3} =18+\frac{2}{24}(75-56) \\ =18+\frac{1}{12} \times 19 \\ \Rightarrow Q_{3} =18+1.583 \\ \Rightarrow Q_{3}=19.583

C of Q.D.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}} \\ =\frac{19.583-15.4}{19.583+15.4} \\ =\frac{4.183}{34.983} \\ =0.1195

\Rightarrow C of Q.D.=0.12
Example:6.निम्नलिखित समंकों से अपकिरण के उपयुक्त माप की परिगणना कीजिए:
(Find the appropriate measure of dispersion from the following data):

Age (Years)No. of Employees
Below 2013
20-2529
25-3046
30-3560
35-40112
40-4594
45-5045
50 & above21

Solution:चतुर्थक विचलन की गणना सारणी (Calculation of Quartile Deviation Table):

Age (Years)No. of Employeescf
15-201313
20-252942
25-304688
30-3560148
35-40112260
40-4594354
45-5045399
50-5521420
Total420 

q_{1}=size of  \frac{N}{4} th item
= \frac{420}{4} th item
\Rightarrow q_{1}=105

यह मद 30-35 वर्गान्तर में है अतः

Q_{1} =l+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\=30+\frac{5}{60}(105-88) \\=30+\frac{1}{12} \times 17 \\=30+1.416 \\\Rightarrow Q_{1} =31.416 \\ Q_{1} \approx 31.42

q_{3}=size of  \frac{3N}{4} th item
= \frac{3 \times 420}{4} th item
\Rightarrow q_{3}=315
यह मद 40-45 वर्गान्तर में है अतः

Q_{3} =l+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\=40+\frac{5}{94}(315-260) \\=40+\frac{5 \times 55}{94} \\=40+2.925 \\=42.925 \\ \Rightarrow Q_{3} \approx 42.93

C. of Q.D =\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}} \\=\frac{42.93-31.42}{42.93+31.42} \\=\frac{11.51}{74.35} \\=0.1548

\Rightarrow C. of Q .D. \approx 0.155
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) को समझ सकते हैं।

3.चतुर्थक विचलन के सवाल (Quartile Deviation Questions):

(1.)निम्न समंकों के आधार पर चतुर्थक विचलन एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find Quartile Deviation and its coefficient):

MonthsIncome
139
240
340
441
541
642
742
843
943
1044
1144
1245

(2.)निम्नलिखित समंकों से अर्द्ध-अन्तर चतुर्थक विस्तार एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Compute semi-Inter-Quartile Range and its coefficient):

CentralFrequency
12
29
311
414
520
624
720
816
95
102

उत्तर (Answers):(1.) Q_{1}=Rs. 40.25, Q_{3}=Rs. 175, C. of Q.D.=0.042

(2)Q_{1}=4.125, Q_{3}=7.113, C. of Q.D.=0.27 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.चतुर्थक विचलन से क्या आशय है? (What do you mean by quartile deviation?):

उत्तर:चतुर्थक विचलन श्रेणी के चतुर्थक मूल्यों पर आधारित अपकिरण का एक माप है।यह श्रेणी के तृतीय व प्रथम चतुर्थक के अन्तर का आधा होता है।इसलिए इसे अर्द्ध अन्तर चतुर्थक विस्तार भी कहते हैं।

प्रश्न:2.चतुर्थक विचलन के गुणों को बताइए। (State quartile deviation merits):

उत्तर:चतुर्थक विचलन के निम्न गुण हैं:
(i)सरल:इसका समझना और इसकी गणना करना बहुत आसान है।
(ii)चरम मूल्यों का न्यूनतम प्रभाव:अपकिरण के इस माप पर चरम मूल्यों का बहुत कम प्रभाव पड़ता है।
(iii)मध्य भाग का अपकिरण:यह माप वहाँ उपयोगी होता है जहाँ श्रेणी के मध्य के आधे भाग का ही अध्ययन करना हो।

प्रश्न:3.चतुर्थक विचलन के दोषों को बताइए।(State quartile deviation demerits):

उत्तर:चतुर्थक विचलन में निम्न दोष पाए जाते हैं:
(i)इससे समंकमाला की बनावट का ठीक पता नहीं चलता है।यदि दो श्रेणियों में चतुर्थक समान है तो चतुर्थक विचलन भी बराबर होगा जबकि दोनों में मूल्यों का बिखराव या श्रेणी की रचना भिन्न हो सकती है।
(ii)यह सभी मूल्यों पर आधारित नहीं है इसलिए इससे अपकिरण का ठीक माप नहीं होता।यह तो केवल दोनों चतुर्थकों से ही ज्ञात किया जाता है।
(iii)यह निदर्शन परिवर्तनों से बहुत प्रभावित होता है।
(iv)इसमें बीजगणितीय विवेचन का अभाव है अर्थात् इसका प्रयोग आगे की रीतियों में नहीं किया जाता।
(v)इसका बहुत कम प्रयोग होता है।यह मध्य के आधे भाग के अपकिरण की सामान्य जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयुक्त है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation),चतुर्थक विचलन का गुणांक (Coefficient of Quartile Deviation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Quartile Deviation

चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation)

Quartile Deviation

तृतीय चतुर्थक तथा प्रथम चतुर्थक के अन्तर के आधे को चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation) या
अर्द्ध अन्तर-चतुर्थक विस्तार (Semi Inter-Quartile Range) कहते हैं।

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