1.सांख्यिकी में टी-बंटन (t-Distribution in Statistics),स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student):

t-Distribution in Statistics

सांख्यिकी में टी-बंटन (t-Distribution in Statistics) के इस आर्टिकल में लघु प्रतिदर्शों के सार्थकता परीक्षण पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में टी-बंटन के साधित उदाहरण (t-Distribution in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:14.उद्योग ‘अ’ में इंजीनियरों के एक दैव प्रतिदर्श की मासिक आय 630,650,680,690,710 और 720 रु. थी।उद्योग ‘ब’ से लिए गए एक प्रतिदर्श की आय 610,620,650,660,690,690,700,710,720 व 730 रु. प्रतिमाह थी।इस सुझाव की वैधता का विवेचन कीजिए कि उद्योग ‘अ’ ‘ब’ की अपेक्षा अपने इन्जीनियरों को अधिक अच्छा वेतन देता है।
(The incomes of a random sample of engineers in industry A are Rs. 630,650,680,690,710 and 720 per month. The incomes of a similar sample from industry B are Rs. 610,620,650,660,690,690,700,710,720 and 730 per month.Discuss the validity of the suggestion that industry A pays its engineers much better than industry B.)
Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

उद्योग ‘अ’
\overline{X}_1=\frac{\sum x_1}{n_1}=\frac{4080}{6} \Rightarrow \overline{X}_1=680
उद्योग ‘ब’
\overline{X}_2=\frac{\sum x_2}{n_2}=\frac{6780}{10}=678 \\ S=\sqrt{\frac{\sum d_1^2+\Sigma d_2^2}{x_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{6000+15360}{6+10-2}} \\ =\sqrt{\frac{21360}{14}} \\ S \approx 39.06 \\ t=\frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \\ t= \frac{\left| \overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S} \times \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\=\frac{|680-678|}{39.06} \times \sqrt{\frac{6 \times 10}{6+10} } \\ \approx \frac{2}{39.06} \times 1.936 \\ \approx \frac{3.872}{39.06} \\ \Rightarrow t \approx 0.099 < t_{0.05}=2.145
परिकलित मूल्य 0.099 सारणी मूल्य 2.145 से कम है अतः अन्तर अर्थहीन है।शून्य परिकल्पना ठीक है।अतः सुझाव अवैध है।
Illustration:15.एक-एक एकड़ के 16 खेतों में दो प्रकार की खादों का उपयोग किया गया।उपज (मनों में) के आँकड़े नीचे दिए हुए हैं।विभिन्न प्रकार की खादों के उपयोग के कारण औसत उपज में जो अन्तर है उसकी सार्थकता का परीक्षण (t-जाँच द्वारा) कीजिए।
(Two kinds of manures were applied to 16 one-acre plots.The yields (in mds.) are set out below,Examine the significance of the difference between the mean yields due to the application of different kinds of manures):

Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

Manure I
\overline{X}_1=\frac{\sum x_1}{n_1} \Rightarrow \overline{X}_1=37
Manure II
\overline{X}_1 =\frac{\sum X_2}{n_2}=\frac{238}{7} \Rightarrow \overline{X}_2=34 \\ S=\sqrt{\frac{\sum d_1^2+\sum d_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{1129+386}{9+7-2}} \\ =\sqrt{\frac{1515}{14}} \\ S \approx 10.402 \\ t=\frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \\ t= \frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S} \times \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}}\\ =\frac{|37.34|}{10.402} \times \sqrt{\frac{9 \times 7}{9+7}} \\ \approx \frac{3}{10.402} \times 1.984 \\ t \approx 0.572< t_{0.05}=2.145
अन्तर सार्थक नहीं है।
Illustration:16(i).दो प्रतिदर्शों से प्राप्त निम्न परिणाम दिए हुए हैं।इस परिकल्पना का परीक्षण कीजिए कि दोनों समष्टियाँ समान हैं:
(The results obtained from two samples are given below.Test the hypothesis that both parent universes are identical):

Solution: n_1=10, \overline{X}_1=3.4, \sigma_1^2=3 \\ n_2=12, \overline{X}_2=4.0, \sigma_2^2=3.6 \\ S=\sqrt{\frac{n_1 \sigma_1^2+n_2 \sigma_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{10 \times 3+12 \times 3.6}{10+12-2}} \\ =\sqrt{\frac{30+43.2}{20}} \\ =\sqrt{\frac{73.2}{20}} \\ S \approx 1.913 \\ t= \frac{\left| \overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \\ t= \frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S} \times \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|3.4-4|}{1.913} \times \sqrt{\frac{10 \times 12}{10+12}} \\ \approx \frac{0.6}{1.913} \times 2.335 \\ \Rightarrow t \approx 0.732 < t_{0.05}=2.086
अन्तर सार्थक नहीं है अतः दोनों समष्टियाँ समान है।
Variance Ratio F =\frac{\text { Larger variance }}{\text { smaller variance }} \\ =\frac{3.6}{3} \\ \Rightarrow F=1.2 < F_{0.05}=2.90
[V_1=10-1=9, V_2=12-1=11, F_{0.05} (सारणी मूल्य)=2.90]
समष्टियाँ समान हैं।
Illustration:16(ii).10 बिजली के बल्बों के एक प्रतिदर्श में औसत जीवनकाल 1456 घण्टे और मानक विचलन 423 घण्टे पाया गया।अन्य समूह से चुने गए 17 बल्बों के दूसरे प्रतिदर्श में औसत जीवनकाल 1280 घण्टे और प्रमाप विचलन 398 घण्टे था।क्या दोनों समूहों के माध्यों में सार्थक अन्तर है?
(The mean life of a sample of 10 electric light bulbs was found to be 1456 hours with a standard deviation of 423 hours. A second sample of 17 bulbs chosen from a different batch showed a mean life of 1280 hours with standard deviation of 398 hours. Is there a significant difference between the means of the two batches?)
Solution: n_1=10, \overline{X}_1=1456, \sigma_{1}=423 \\ n_2=17, \overline{X}_2=1280, \sigma_2=398 \\ S=\sqrt{\frac{n_1 \sigma_1^2+n_2 \sigma_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{10 \times 423^2+17 \times 398^2}{10+17-2}} \\ =\sqrt{\frac{178.9290+2692868}{25}} \\ =\sqrt{\frac{(4482158)}{25}} \\ \Rightarrow S \approx 423.422 \\ t= \frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \\ t= \frac{\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|}{S} \times \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}}\\ =\frac{|1456-1280|}{423.422 \pi} \times \sqrt{\frac{10 \times 17}{20+17}} \\ \approx \frac{176}{423.422} \times 2.509 \approx \frac{441.584}{423.422} \\ \Rightarrow t \approx 1.443 < t_{0.05}=2.06
अन्तर सार्थक नहीं है।

t-Distribution in Statistics

Illustration:17.निम्न तालिका में दो टेस्टों में 11 विद्यार्थियों के प्राप्तांक दिए गए हैं।दूसरा टेस्ट एक महीने के गहन प्रशिक्षण के पश्चात लिया गया।क्या प्रशिक्षण के बाद सुधार का कोई प्रमाण है?
(The following table gives scores of 11 students in the two tests called First and the second Test are after they were given a month’s training. Is there any evidence of improvement after the training. (t_{0.05} for 10 df=2.228,t_{0.05} for 20 df=2.096)

Solution: Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य
\bar{D}=\frac{\sum D}{n}=\frac{11}{11}=1
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{\frac{\sum(D-\bar{n})^2}{n-1}} \\ = \sqrt{\frac{50}{11-1}} \\ =\sqrt{\frac{50}{10}} \\ =\sqrt{5} \\ \Rightarrow S \approx 2.236 \\ t=\frac{\bar{D}-0}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{1-0}{2.236} \times \sqrt{11} \\ \Rightarrow t \approx 1.483< t_{0.05}=2.228
10 df के लिए t का सारणी मूल्य 2.228 है।परिगणित मूल्य 1.483 इससे कम है अतः अन्तर सार्थक नहीं है,शून्य परिकल्पना सत्य है।यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रशिक्षण से सुधार नहीं हुआ है।
Illustration:18.12 विद्यार्थियों को एक तीव्र शिक्षा प्रदान की गई और एक माह में उनकी पाँच बार परीक्षा ली गई।पहली और पाँचवी परीक्षाओं के परिणाम नीचे दिए गए हैं।यह बतलाइए कि क्या विद्यार्थियों की पहली परीक्षा के परिणाम की तुलना में पाँचवीं परीक्षा के परिणाम में सुधार पाया गया है?
(An intensive coaching was given to 12 students and they were examined 5 times in a month. The results of first and fifth tests are given below. State whether there has been an improvement in the result of fifth test over the first test?)

(t_{0.05} use for df=11 is 2.201)
Solution: Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

वृद्धि
अन्तरों का माध्य
\overline{D}=\frac{\Sigma D}{n}=\frac{132}{12}=11
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma(D-\bar{D})^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{1686}{12-1}} \\ =\sqrt{\frac{1686}{11}} \\ \Rightarrow S \approx 12.380 \\ t=\frac{\overline{D}-0}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{11-0}{12.380} \sqrt{12} \\ =\frac{11}{12.380} \times \sqrt{12} \approx 3.0779 \\ \Rightarrow t \approx 3.0787 > t_{.05}=2.201
अन्तर सार्थक है अतः परिणाम में सुधार हुआ है।
Illustration:19.दो सत्रीय परीक्षाओं में 10 विद्यार्थियों ने प्रवेश किया।उन्होंने प्रथम सत्र और द्वितीय सत्र में,उसी क्रम के,निम्न अंक प्राप्त किए।क्या इसमें कोई महत्त्वपूर्ण सुधार हुआ है?
(10 candidates appeared at two semester examinations. They scored the following marks, in the same order, in sem.I and sem.II. Has there been a significant improvement in their scores?)

(t_{0.05} use for df=9 is 3.250)
Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य
(\bar{D})=\frac{\sum D}{n}=\frac{52}{10}=5.2
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma(D-\bar{D})^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{494}{10-1}} \\ =\sqrt{\frac{494}{9}} \\ S \approx 7.409 \\ t=\frac{\bar{D}-0}{S} \sqrt{n} \\ t=\frac{5.2-0}{7.409} \times \sqrt{10} \\ \approx \frac{5.2}{7.409} \times 3.162 \\ \approx \frac{16.4424}{7.409} \\ \Rightarrow t \approx 2.219< t_{.05}=3.250
सारणी मूल्य 3.250 परिगणित मूल्य 2.219 से अधिक है अतः अन्तर सार्थक नहीं है;शून्य परिकल्पना सत्य है।यह निष्कर्ष निकलता है कि महत्त्वपूर्ण सुधार नहीं हुआ है।
Illustration:20.चूहों के 10 युग्मों के प्रत्येक में से एक कच्ची मूँगफली से प्रोटीन प्राप्त करता है और दूसरा भुनी मूँगफलियों से प्राप्त करता है।निम्न सारणी उनके भार में होने वाली वृद्धि दर्शाता है।इस तथ्य की जाँच कीजिए कि मूँगफली भुनने से प्रोटीन-मूल्य पर कोई प्रभाव पड़ता है अथवा नहीं।औसत अन्तर के लिए 95% विश्वास-अन्तराल भी प्राप्त कीजिए:
(In each of 10 pairs of rates one receives protein from raw peanuts while the other receives it from roasted peanuts. The following table gives the gain in weights. Test whether or not roasting the peanuts had any effect on their protein value. Also obtain a 95% confidence interval for the mean difference):

Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

अन्तरों का माध्य (\overline{D}) =\frac{2 D}{n}=\frac{-11}{10}=-1.1
अन्तरों का प्रमाप विचलन
S=\sqrt{\frac{\sum(D-D)^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{546-9}{10-1}} \\ =\sqrt{\frac{546-9}{9} \approx 7.7952} \\ \Rightarrow S \approx 7.795 \\ t=\frac{|D-0|}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{|-1.1-0|}{7.795} \sqrt{10} \\ \approx \frac{1.1}{7.795} \times 3.162 \\ \Rightarrow t \approx 0.446< t_{.05}
अन्तर सार्थक नहीं है अतः मूँगफली भुनने से प्रोटीन मूल्य पर कोई प्रभाव नहीं पड़ा।
95% विश्वास्यता सीमाएँ
9 df के लिए t_{.05}=2.262 \\ \overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{.05} \\ \Rightarrow-1.1 \pm \frac{7.795}{\sqrt{10}} \times 2.262 \\ \approx-1.1 \pm \frac{17.63229}{3.162} \\ \approx-1.1 \pm 5.576 \\ \approx -1.1-5.576 और -1.1+5.576
-6.48 और 4.48
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में टी-बंटन (t-Distribution in Statistics),स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में टी-बंटन की समस्याएँ (t-Distribution in Statistics Problems):

t-Distribution in Statistics

(1.)भोजन में परिवर्तन से पूर्व और उसके छः माह पश्चात्‌ 10 लड़कों के भार समंक निम्नांकित हैः
\begin{array}{|ccccccccccc|} \hline  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text { पूर्व } & 109 & 112 & 98 & 114 & 102 & 97 & 88 & 101 & 89 & 91 \\  \text { पश्चात } & 115 & 120 & 99 & 117 & 105 & 98 & 91 & 99 & 98 & 89 \\ \hline \end{array}
इस तथ्य की जाँच कीजिए कि भोजन में परिवर्तन होने से क्या भार में अर्थपूर्ण वृद्धि हुई है?
(2.)12 रोगियों में से प्रत्येक को दिए गए एक उद्दीपक (stimulus) से उनके रक्तचाप में निम्नांकित परिवर्तन हुआ है
+5,+2,+8,-1,+3,0,+6,-2,+1,+5,0,+4
क्या यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि उद्दीपक से सामान्यतः रक्तचाप में वृद्धि होती है?
उत्तर (Answers):(1.)t=2.5 > t_{0.05}=2.262 अतः भोजन में परिवर्तन से लड़कों के भार में वृद्धि हुई है।
(2.)t=2.9 > t_{0.05}=2.201 अतः उद्दीपन से रोगियों के रक्तचाप में निश्चित वृद्धि हुई है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में टी-बंटन (t-Distribution in Statistics),स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में टी-बंटन (Frequently Asked Questions Related to t-Distribution in Statistics),स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में टी-बंटन (t-Distribution in Statistics) के इस आर्टिकल में लघु प्रतिदर्शों
के सार्थकता परीक्षण पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।