Analysis of Variance in Statistics

Q: प्रश्न:1.प्रतिदर्श-मूल्यों के योग और मूल्य वर्गों के योग के बारे में बताएं। (Describe the Total of Sample Items and Sum of Squares of Items):

उत्तर:सर्वप्रथम, विभिन्न प्रतिदर्श इकाईयों के जोड़: \Sigma X_1, \Sigma X_2, \Sigma X_3 \cdots \Sigma X_k और इन इकाईयों के वर्गों के जोड़: \Sigma X_1^2, \Sigma X_2^2, \Sigma X_3^2, \ldots \Sigma X_k^2 ज्ञात किये जाते हैं।

Mathematics Satyam June 22, 2025 Statistics No Comments

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1 1.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance):

1.1 2.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण के उदाहरण (Analysis of Variance in Statistics Examples):

1.2 3.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण के सवाल (Analysis of Variance in Statistics Questions):

1.2.1 4.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Frequently Asked Questions Related to Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

1.2.2 प्रश्न:1.प्रतिदर्श-मूल्यों के योग और मूल्य वर्गों के योग के बारे में बताएं। (Describe the Total of Sample Items and Sum of Squares of Items):

1.2.3 प्रश्न:2.वर्गों का कुल जोड़ कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Total Sum of Squares Determined?):

1.2.4 प्रश्न:3.प्रतिदर्शों के बीच वर्गों का जोड़ कैसे ज्ञात करते हैं? (How is Between Samples Sum of Squares?):

1.2.4.1 Analysis of Variance in Statistics

2 सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण(Analysis of Variance in Statistics)

2.1 Analysis of Variance in Statistics

1.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance):

Analysis of Variance in Statistics

सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics) के इस आर्टिकल में समंकों के F-Test द्वारा सार्थकता परीक्षण करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण के उदाहरण (Analysis of Variance in Statistics Examples):

Example:10.तीन किस्म की अलसी को पन्तनगर में एक-एक हेक्टेयर के चार-चार भूखण्डों में बोया गया।उनकी उपज के आँकड़े नीचे दिए गए हैं।प्रसरण-विश्लेषण की विधि की सहायता से तीनों प्रकार की उपजों की सार्थकता का परीक्षण कीजिए:
(Three varieties of linseed were grown on 4 blocks of land each of one hectare in Pantnagar.The yield is given below with the help of the technique of analysis of variance test the significance between the yield of the three varieties.)( $F_{0.05}$ at $v_{1}=2, v_{2}=9$ is 4.26)
$\begin{array}{|cc|cccc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{ \text{varieties}} & \multicolumn{4}{c|}{ \text{yield(in Quintals) on blocks} }\\ \hline & & I & II & III & IV \\ \hline RR & 5 & 16 & 18 & 15 & 22 \\ LC & 51 & 19 & 14 & 23 & 18 \\ LC & 73 & 17 & 21 & 16 & 25 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Analysis of Variance
$\begin{array}{|cc|cc|cc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{ \text{RR 5} } & \multicolumn{2}{c|}{ LC 51} & \multicolumn{2}{c|}{ LC 73} \\ \hline X_1 & X_1^2 & X_2 & X_2^2 & X_3 & X_3^2 \\ \hline 16 & 256 & 19 & 361 & 17 & 289 \\ 18 & 324 & 14 & 196 & 21 & 441 \\ 15 & 225 & 23 & 529 & 16 & 256 \\ 22 & 484 & 18 & 324 & 25 & 625 \\ \hline \Sigma x_1 =71 & \Sigma x_1^2=1289 & \Sigma x_2=74 & \Sigma x_2^2=1410 & \Sigma x_3=79 & \Sigma x_3^2=1611 \\ \hline \end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3=71+74+79=224$
संसोधन-कारक
CF= $\frac{T^2}{N}=\frac{224 \times 224 }{12}\approx 4181.33$
कुल विचलन वर्ग (Total S.S.-SST)= $\Sigma x_1^2+\Sigma x_2^2+\Sigma x_3^2-\frac{T^2}{N}=1289+1410+1611-4181.33 \approx 128.67$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग (Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma x_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma x_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma x_3\right)^2}{n_3}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(71)^2}{4}+\frac{(74)^2}{4}+\frac{(79)^2}{4}-4181.33 \\ =\frac{5041+5476+6241}{4}-4181.33 \\ =\frac{16758}{4}-4181.33=4189.5-418133 \\ =8.17$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within sample S.S.-SSR)
=कुल विचलन वर्गों का जोड़-प्रतिदर्शों के बीच विचलन वर्गों का जोड़
=128.67-8.17=120.50
स्वातन्त्र्य संख्या $v_{1}=3-1=2$
स्वातन्त्र्य-कोटियाँ $\left(n_1-1\right)+\left(n_2-1\right)+\left(n_3-1\right) \\ \Rightarrow v_2=k(n-1)=3(4-1)=9$
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 8.17 & 2 & 4.085 & F=\frac{13.389}{4.085} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 120.50 & 9 & 13.389 & \approx 3.27 \\ \hline \end{array} \\ F=3.27 < F_{0.5} (=4.26)$
अतः अन्तर सार्थक नहीं है।
Example:11.एक विशेष खाद का प्रयोग चार खेतों A,B, C व D पर किया गया।प्रत्येक खेत में चार-चार क्यारियाँ बनाई गई और उसमें खाद का प्रयोग किया।चारों खेतों A,B,C व D की क्यारियों की फसल की उपज के आँकड़े नीचे दिए गए हैं।मालूम कीजिए कि खेतों की उपजों के माध्यों में अन्तर सार्थक है या नहीं?
(F का सारणी मूल्य 5% सार्थकता-स्तर पर $n_{2}=3$ और $n_{1}=2$ का 8.74 है।):
(A special type of frtiliser was tried on 4 plots A,B,C and D.In each plot 4 beds were made and the fertiliser was applied.Given below are the yields of the four plots A,B,C and D.Discuss if the difference between the average plot yields is statistically significant):
$\begin{array}{|cccc|} \hline \multicolumn{4}{|c|}{ \text{Output on plots}} \\ \hline A & B & C & D \\ 8 & 9 & 3 & 3 \\ 12 & 4 & 8 & 7 \\ 1 & 7 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Analysis of Variance
$\begin{array}{|cc|cc|cc|cc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{ \text{A }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{ B }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{C }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{ D}} \\ \hline X_1 & X_1^2 & X_2 & X_2^2 & X_3 & X_3^2 & X_4 & X_4^2 \\ \hline 8 & 64 & 9 & 81 & 3 & 9 & 3 & 9 \\ 12 & 144 & 4 & 16 & 8 & 64 & 7 & 49 \\ 1 & 1 & 7 & 49 & 2 & 4 & 8 & 64 \\ 3 & 9 & 1 & 1 & 5 & 25 & 2 & 4 \\ \hline \Sigma X_1=24 & \Sigma X_1^2=218 & \Sigma X_2=21 & \Sigma X_2^2=147 & \Sigma X_3=18 & \Sigma X_3^2=102 & \Sigma X_4=20 & \Sigma X_4^2=126 \\ \hline \end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3+\Sigma x_4=24+21+18+20=83$
संशोधन कारक CF= $\frac{T^2}{N}=\frac{83 \times 83}{16} \approx 430.56$
कुल विचलन वर्ग (Total S.S.-SST)
= $\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+\Sigma X_4^2-\frac{T^2}{N}=218+147+102+126-430.56 \\=593-430.56=162.44$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग
(Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3 \right)^2}{n_3}+\frac{\left(\Sigma X_4\right)^2}{n_4}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(24)^2}{4}+\frac{(21)^2}{4}+\frac{(18)^2}{4}+\frac{(20)^2}{4}-430.56 \\ =\frac{576}{4}+\frac{441}{4}+\frac{324}{4}+\frac{400}{4}-430.56 \\ =144+110125+81+100-430.56 \\ =4.69$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.-SSR)=162.44-4.69=157.75
=कुल विचलन वर्गों का जोड़-प्रतिदर्शों के बीच विचलन वर्गों का जोड़
=162.44-4.69=157.75
स्वातन्त्र्य संख्या $v_2=4-1=3$
स्वातन्त्र्य-कोटियाँ= $n_1-1+n_2-1+n_3-1+n_{4}-1 \\ \Rightarrow v_1=k(n-1)=4(4-1)=12$
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 4.69 & 3 & 1.56 & F=\frac{13.145}{1.56} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 157.75 & 12 & 13.145 & \approx 8.42 \\ \hline \end{array} \\ F=8.42 < F_{0.5} (=8.74)$
अन्तर सार्थक नहीं है।
Example:12.तीन प्रकार के गेहूँ का परीक्षण पूर्णतः यादृच्छीकृत अभिकल्पना द्वारा किया जाता है जिसमें पाँच पुनरावृत्तियाँ होती हैं।अभिन्यास और उपज निम्न सारणी में दी गई है।प्रसरण-विश्लेषण सारणी प्रस्तुत कीजिए और यह परीक्षण कीजिए कि क्या गेहूँ के इन तीनों प्रकारों में उपज की दृष्टि से परस्पर सार्थक अन्तर है:
(Three varieties of wheat are tested under completely randomised disign with five replications.The layout and the yield are given in the following table.Set up the analysis of variance table and examine whether these three varieties of wheat differ significantly in respect of yield):
$\begin{array}{|ccccc|} \hline A 20 & B 18 & A 16 & C 25 & C 22 \\ C 28 & A 21 & B 20 & A 20 & B 17 \\ B 15 & C 32 & B 25 & C 28 & A 23 \\ \hline\end{array}$
Solution:Calculation Table of Analysis of Variance
$\begin{array}{|cc|cc|cc|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{ \text{A }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{ B }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{C }} \\ \hline X_1 & X_1^2 & X_2 & X_2^2 & X_3 & X_3^2 \\ \hline 20 & 400 & 18 & 324 & 25 & 625 \\ 16 & 256 & 20 & 400 & 22 & 484 \\ 21 & 441 & 17 & 289 & 28 & 784 \\ 20 & 400 & 15 & 225 & 32 & 1024 \\ 23 & 529 & 25 & 625 & 28 & 784 \\ \hline \Sigma X_1=100 & \Sigma X_1^2=2026 & \Sigma X_2=95 & \Sigma X_2^2=1863 & \Sigma X_3=135 & \Sigma X_3^2=3701 \\ \hline \end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3=160+95+135=330$
संशोधन कारक CF= $\frac{T^2}{N}=\frac{330 \times 330}{15}=7260$
कुल विचलन वर्गों का योग (Total S.S.-SST)
$\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+\Sigma X_4^2-\frac{T^2}{N} \\ =2026+1863+3701-7260=330$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग
(Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3 \right)^2}{n_3}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(100)^2}{5}+\frac{(95)^2}{5}+\frac{(135)^2}{5}-7260 \\ =\frac{10000}{5}+\frac{2025}{5}+\frac{1825}{5}-7260 \\ =2000+1805+3645-72600 \\ =7450-7260=190$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.=Total S.S.-Between Sample SS)
=330-190=140
स्वातन्त्र्य-कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ $df_{1}$ या $v_1=k-1=3-1=2$
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ $v_2=N-k=k(n-1)=3(5-1)=12$
कुल प्रसरण के लिए df=N-1=15-1=14
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 190 & 2 & 95 & F=\frac{95}{11.667} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 140 & 12 & 11.667 & \approx 8.14 \\ \hline \end{array} \\ F=8.14 < F_{0.5} (=3.88)$
तीनों प्रकार की उपज में अन्तर सार्थक है।

Analysis of Variance in Statistics

Example:13.एक संयत्र की विभिन्न निर्माणशालाओं द्वारा उत्पादित इकाइयाँ निम्नांकित है।उक्त समंकों पर प्रसरण-विश्लेषण कीजिए:
(Units produced by different foundry shops of a plant are as under carry out analysis of variance on these data):
$\begin{array}{|cccccccccc|} \hline \text{Foundry} & \multicolumn{9}{|c|}{ \text{units of manufactured product}} \\ A & 84 & 60 & 40 & 47 & 34 & \\ B & 67 & 92 & 95 & 40 & 98 & 60 & 59 & 108 & 86 \\ C & 46 & 93 & 100 & & & \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Analysis of Variance
$\begin{array}{|cc|cc|cc|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{ \text{A }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{ B }} & \multicolumn{2}{|c|}{ \text{C }} \\ \hline X_1 & X_1^2 & X_2 & X_2^2 & X_3 & X_3^2 \\ \hline 84 & 7056 & 67 & 4489 & 46 & 2116 \\ 60 & 3600 & 92 & 8464 & 93 & 8649 \\ 40 & 1600 & 95 & 9025 & 100 & 10000 \\ 47 & 2209 & 40 & 1600 & & \\ 34 & 1156 & 98 & 9604 & & \\ & & 60 & 3600 & & \\ & & 59 & 3481 & & \\ & & 108 & 11664 & & \\ & & 86 & 7396 & & \\ \hline \Sigma X_1=265 & \Sigma X_1^2=15621 & \Sigma X_2=705 & \Sigma X_2^2=59323 & \Sigma X_3=135 & \Sigma X_3^2=3701 \\ \hline\end{array} \\ T=\Sigma X_1+\Sigma X_2+\Sigma X_3=1209$
संशोधन कारक C F= $\frac{T^2}{N}=\frac{1209 \times 1209}{17} \approx 85981.24$
कुल विचलन वर्गों का योग (Total S.S.-SST)
= $\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+\Sigma X_4^2-\frac{T^2}{N} \\ =15621+59323+20765-85981.24 \\ =95709-85981.24=9727.76$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग
(Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3 \right)^2}{n_3}-\frac{T^2}{N}\\ =\frac{(265)^2}{5}+\frac{(705)^2}{9}+\frac{(239)^2}{3}-85981.24 \\ =\frac{70225}{5}+\frac{497025}{9}+\frac{57121}{3}-85981.24 \\ \approx 14045+55225+19040.33-85981.24 \\ \approx 88310.33-85981.24 \\ \approx 2329.09$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.=Total S.S.-Between samples S.S.)
=9727.76-2329.09
=7398.67
स्वातन्त्र्य-कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ $d f_1$ या $v_1=k-1=3-1=2$
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ $v_2=N-k=17-3=14$
कुल प्रसरण के लिए df=N-1=17-1=16
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 2329.09 & 2 & 1164.55 & F=\frac{1164.55}{528.48} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 7398.67 & 14 & 528.48 & \approx 2.2 \\ \hline & 9727.76 & 16 \\ \hline \end{array} \\ F=2.2 < F_{0.5} (=3.74)$
अन्तर सार्थक नहीं है।
Example:14.विभिन्न प्रकार के खेतों तथा 5 विभिन्न उपचारों के लिए एक फसल की उपज से सम्बद्ध निम्न समंकों के आधार पर एक प्रसरण-विश्लेषण सारणी स्थापित कीजिए और यह बतलाइए कि क्या उपज में सार्थक अन्तर है-(क)विभिन्न उपचारों के कारण (ख)खेतों की विभेदात्मक उर्वरता के कारण।
(On the basis of the following figures relating to yields of a crop under 5 different treatments and for 4 different types of plots,set up an analysis of variance table and state whether there is significant differences in the yield due to (i) different treatments, and (ii) due to dirrerential fertility of plots):
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Plots} & \multicolumn{5}{|c|}{\text{Treatments} } \\ \hline & A & B & C & D & E \\ \hline P_1 & 210 & 253 & 266 & 199 & 267 \\ \hline P_2 & 184 & 193 & 235 & 164 & 214 \\ \hline P_3 & 207 & 206 & 239 & 211 & 277 \\ \hline P_4 & 167 & 208 & 212 & 166 & 242 \\ \hline \end{array}$
Solution:(क)Calculation Table of Analysis of Variance
$\begin{array}{|ccccc|ccccc|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{origin converted data}} & \multicolumn{5}{|c|}{\text{Deviation Square}}\\ \hline X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5 & X_1^2 & X_2^2 & X_3^2 & X_4^2 & X_5^2 \\ \hline +10 & +53 & +66 & -1 & +67 & 100 & 2809 & 4356 & 1 & 4489 \\ -16 & -7 & +35 & -36 & +14 & 256 & 49 & 1225 & 1296 & 196 \\ +7 & +6 & +39 & +11 & +77 & 49 & 36 & 1521 & 121 & 5929 \\ -33 & +8 & +12 & -34 & +42 & 1089 & 64 & 144 & 1156 & 1764 \\ \hline \Sigma X_1 & \Sigma X_2 & \Sigma X_3 & \Sigma X_4 & \Sigma X_5 & \Sigma X_1^2 & \Sigma X_2^2 & \Sigma X_3^2 & \Sigma X_4^2 & \Sigma X_5^2 \\ =-32 & =60 & =152 & -60 & 200 & =1494 & =2958 & =7246 & =2574 & 12378 \\ \hline \end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3+\Sigma x_4+\Sigma x_5=-32+60+152-60+200=320$
मूलबिन्दु को X=200 पर बदलने से अर्थात् सब मूल्यों में से 200 घटाने पर निम्न सारणी बनाई जाएगी
संशोधन कारक = $\frac{T^2}{N}=\frac{320 \times 320}{20} \\ \Rightarrow \text{C.F.} =5120$
कुल विचलन वर्गों का योग (Total S.S.-SST)
$\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+\Sigma X_4^2+\Sigma X_5^2-\frac{T^2}{N} \\ =1494+2958+7246+2574+12378-5120 =26650-5120=21530$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग
(Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3 \right)^2}{n_3}+\frac{\left(\Sigma X_4\right)^2}{n_4}+\frac{\left(\Sigma X_5\right)^2}{n_5}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(-32)^2}{4}+\frac{(60)^2}{4}+\frac{(152)^2}{4}+\frac{(-60)^2}{4}+\frac{(200)^2}{4}-5120 \\ =\frac{1024+3600+23104+3600+40000}{4}-5120\\=\frac{71328}{4}-5120 \\ =17832-5120=12712$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.=Total S.S.-Between samples S.S.)
=21530-12712=8818
स्वातन्त्र्य-कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ $df_1$ या $v_1=k-1=5-1=4$
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ $v_2=N-K=20-5=15$
कुल प्रसरण के लिए df=N-1=20-1=19
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 12712 & 4 & 3178 & F=\frac{3178}{587.87} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 8818 & 15 & 587.87 & \approx 5.41 \\ \hline & 21530 & 19 \\ \hline \end{array} \\ F=5.41 < F_{0.5} (=3.06)$
अन्तर सार्थक है।
(ख)
$\begin{array}{|cccc|cccc|} \hline \multicolumn{4}{|c|}{\text{origin converted data}} & \multicolumn{4}{|c|}{\text{Deviation Square}}\\ \hline X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_1^2 & X_2^2 & X_3^2 & X_4^2 \\ \hline +10 & -16 & +7 & -33 & 100 & 256 & 49 & 1089 \\ +53 & -7 & +6 & +8 & 2809 & 49 & 36 & 64 \\ +66 & +35 & +39 & +12 & 4356 & 1225 & 1521 & 144 \\ -1 & -36 & +11 & -34 & 1 & 1296 & 121 & 1156 \\ +67 & +14 & +77 & +42 & 4489 & 196 & 5929 & 1764 \\ \hline \Sigma X_1 & \Sigma X_2 & \Sigma X_3 & \Sigma X_4 & \Sigma X_1^2 & \Sigma X_2^2 & \Sigma X_3^2 & \Sigma X_4^2 \\ =195 & =-10 & =140 & =-5 & =11755 & =3022 & =7656 & =4217 \\ \hline \end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3+\Sigma x_4=195-10+140-5=320$
संशोधन कारक C.F.= $\frac{T^2}{N}=\frac{320 \times 320}{20} =5120$
कुल विचलन वर्गों का योग (Total S.S.-SST)
$\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+\Sigma X_4^2-\frac{T^2}{N} \\=11755+3022+7656+4217-5120 \\ =26650-5120 \\ =21530$
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग
(Between Samples S.S.-SSC)
= $\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3 \right)^2}{n_3}+\frac{\left(\Sigma X_4\right)^2}{n_4}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(195)^2}{5}+\frac{(-10)^2}{5}+\frac{(140)^2}{5}+\frac{(-5)^2}{5}-5120\\ =\frac{38025}{5}+\frac{100}{5}+\frac{19600}{5}+\frac{25}{5}-5120 \\ =7605+20+3920+5-5120 \\ =11558-5120=6430$
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.=Total S.S.-Between samples S.S.)
=21530-6430=15100
स्वातन्त्र्य-कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ $df_1$ या $v_1=k-1=54-1=3$
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ $v_2=N-K=20-4=16$
कुल प्रसरण के लिए df=N-1=20-1=19
प्रसरण विश्लेषण सारणी
$\begin{array}{|cccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत } & \text{वर्गों का जोड़ } & \text{ स्वातन्त्र्य-संख्या } & \text{प्रसरण } & \text{ प्रसरणानुपात } \\ & \text{(S.S.)} & \text{ (df)} & \text{(M.S.)} & \text{(F)} \\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 6430 & 3 & 2143.33 & F=\frac{2143.33}{943.75} \\ \text{(2.) प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 15100 & 16 & 943.75 & \approx 2.27 \\ \hline & 19200.2 & 19 \\ \hline \end{array} \\ F=2.27 < F_{0.5} (=3.13)$
अन्तर सार्थक नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण के सवाल (Analysis of Variance in Statistics Questions):

Analysis of Variance in Statistics

(1.)तीन प्रकार की गैसोलीन पर किए गए अनेक परीक्षणों से निम्न औसत (कि०मी० प्रति 100 लीटर) प्राप्त हुई।
$\begin{array}{|ccc|} \hline \text{ गैसोलीन (Gasolines)} \\ \hline A & B & C \\ \hline 519 & 523 & 520 \\ 521 & 520 & 517 \\ 520 & 522 & 521 \\518 & 520 & 519 \\ 521 & 524 & 520 \\ 521 & 523 & 517 \\ \hline \end{array}$
प्रसरण-विश्लेषण सारणी स्थापित कीजिए,F का मूल्य परिकलित कीजिए और 5% स्तर पर तीनों प्रकार की गैसोलीन में अन्तर की सार्थकता का परीक्षण कीजिए।
(2.)पूर्णरूपेण यादृच्छिक परिकल्पना (completely randomised design) के आधार पर तीन-तीन क्षेत्रों वाली पाँच भूमिखण्डों में तीन प्रकार के गेहूँ बोये गये।उनकी उपज के आँकड़े निम्नांकित हैं।पन्द्रह क्षेत्र क्षेत्रफल में समान हैं।प्रसरण विश्लेषण करके यह निश्चय कीजिए कि क्या उपज में गेहूँओं के प्रकारों में विशिष्ट अन्तर है? भूमि-खण्डों के बीच अन्तर पर ध्यान न दीजिए।
प्रकार भूमिखण्ड $\begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{status} & \text{Blocks} \\ \hline & I & II & III & IV & V \\ \hline A & 20 & 21 & 23 & 16 & 20 \\ B & 18 & 20 & 17 & 15 & 25 \\ C & 25 & 28 & 22 & 28 & 32 \\ \hline \end{array}$
उत्तर (Answers):(1.) $F=5.83 > F_{.05}(3.68) v_1=2, v_2=15$ अन्तर सार्थक है।
(2.) $F=8.14 > F_{.05}(=3.88) v_1=2, v_2=12$ अन्तर सार्थक है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Frequently Asked Questions Related to Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

प्रश्न:1.प्रतिदर्श-मूल्यों के योग और मूल्य वर्गों के योग के बारे में बताएं। (Describe the Total of Sample Items and Sum of Squares of Items):

उत्तर:सर्वप्रथम, विभिन्न प्रतिदर्श इकाईयों के जोड़: $\Sigma X_1, \Sigma X_2, \Sigma X_3 \cdots \Sigma X_k$ और इन इकाईयों के वर्गों के जोड़: $\Sigma X_1^2, \Sigma X_2^2, \Sigma X_3^2, \ldots \Sigma X_k^2$ ज्ञात किये जाते हैं।

प्रश्न:2.वर्गों का कुल जोड़ कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Total Sum of Squares Determined?):

उत्तर:सभी प्रतिदर्श इकाईयों के योग में से संशोधन-कारक घटाकर विचलन-वर्गों का कुल जोड़ ज्ञात किया जाता है। Total S.S.= $\left[\Sigma X_1^2+\Sigma X_2^2+\Sigma X_3^2+ \ldots +\Sigma X_k^2\right]-\frac{T^2}{N}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

प्रश्न:3.प्रतिदर्शों के बीच वर्गों का जोड़ कैसे ज्ञात करते हैं? (How is Between Samples Sum of Squares?):

उत्तर:प्रत्येक प्रतिदर्श-जोड़ के वर्ग को प्रतिदर्श-संख्या से भाग देकर प्राप्त मूल्यों के बीच विचलन-वर्गों का जोड़ निकाल लिया जाता है:
Between Samples S.S.
= $\left[\frac{\left(\sum X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\sum X_2\right)^2}{n_2}+\cdots+\frac{\left(\sum X_n\right)^2}{n_k}\right]-\frac{T^2}{N}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Statistics),प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Analysis of Variance in Statistics

सांख्यिकी में प्रसरण-विश्लेषण
(Analysis of Variance in Statistics)