1.लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder),त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D):

Equation of Right Circular Cylinder

लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder) में लम्बवृत्तीय बेलन की परिभाषा निम्न है:लम्बवृत्तीय बेलन की परिभाषा (Definition of Right Circular Cylinder):
एक सरल रेखा द्वारा जनित पृष्ठ लम्बवृत्तीय बेलन कहलाता है यदि सरल रेखा एक निश्चित वृत्त को प्रतिच्छेदित करे तथा वृत्त के तल के लम्बवत् हो।निश्चित वृत्त को निर्देशक वृत्त (Guiding Circle) कहते हैं।
इस दशा में जनक रेखाएँ बेलन के अक्ष से नियत दूरी पर होती हैं।इस नियत दूरी को बेलन की त्रिज्या (radius) कहते हैं।
लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder):
इस लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात करना जिसकी त्रिज्या r तथा अक्ष के समीकरण \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} हैं।
(To find the equation of right circular cylinder whose axes is the line \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} and radius is r.)

Equation of Right Circular Cylinder

लम्बवृत्तीय बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) लो तब सलंग्न चित्रानुसार P(x,y,z) की बेलन के अक्ष से दूरी PM=r होगी।
अब \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} नियत बिन्दु A(\alpha,\beta ,\gamma) से गुजरती है।
A तथा P को मिलाओ तब एक समकोण त्रिभुज होगा।

A P^{2}=PM^{2}+A M^{2} \\ \Rightarrow(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}= r^{2}+\left[\frac{l(x-\alpha)+m(y-\beta)+n(z-\gamma)}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+ n^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow\left[(x-\alpha)^{2}+(y-\beta)^{2}+(z-\gamma)^{2}\right]\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)-[l(x-\alpha)+m(y-\beta)+n(z-\gamma)]^{2} =r^{2}\left ( l^{2}+m^{2}+n^{2} \right ) \\ \Rightarrow \Sigma[(y-\beta) n-(z-\gamma) m)]^{2}=r^{2}\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)
जो कि लम्बवृत्तीय बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
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2.लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण के साधित उदाहरण (Equation of Right Circular Cylinder Solved Examples):

उस लम्बवृत्तीय बेलनों के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्ष एवं त्रिज्या निम्नलिखित हैं:
(Find the equations of a right circular cylinders whose axis and radius are are the following):(Example 1 to 5):
Example:1.\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-5}{-1} ; 3
Solution:बेलन के अक्ष की समीकरण: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-5}{-1} 
तथा त्रिज्या (r)=3
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।स्पष्टतः अक्ष (1,3,5) से गुजरता है।
अब समकोण \triangle OPM से:

O P^{2}=P M^{2}+O M^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-5)^{2}=(3)^{2}+\left[\frac{2(x-1)+2(y-3)-1(z-5)}{\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(-1)^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+(x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-5)^{2}=9+\frac{(2 x-2+2 y-6-z+5)^{2}}{9} \\ \Rightarrow 9\left[(x-1)^{2}+(y-3)^{2}+(z-5)^{2}\right]-(2 x+2 y+z-3)^{2}=81
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:2. \frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-5}{6} ; 3
Solution:बेलन के अक्ष की समीकरण: \frac{x-3}{4}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-5}{6} 
तथा त्रिज्या (r)=3
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।स्पष्टतः अक्ष (3,4,5) से गुजरता है।
अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=PM^{2}+O M^{2}\\ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}=3^{2}+\left[\frac{4(x-3)+5(y-4)+6(z-5)}{\sqrt{(4)^{2}+(5)^{2}+(6)^{2}}}\right]\\ \Rightarrow(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-15)^{2}=9+\frac{(4 x-12+5 y-20+6 z-30)^{2}}{77} \\ \Rightarrow x^{2}-6 x+9+y^{2}-8 y+16+z^{2}-10 z+25=\frac{693+(4 x+5 y+6 z-62)^{2}}{77} \\ \Rightarrow 77 x^{2}+77 y^{2}+77 z^{2}-462 x-616 y-770 z+3850=693+(4 x+5 y)^{2}+(6 z-62)^{2}+2(4 x+5 y)(6 z-62) \\ \Rightarrow 77 x^{2}+77 y^{2}+77 z^{2}-462 x-616 y-770 z+3850= 693+16 x^{2}+25 y^{2}+40 x y +36 z^{2}+3844-744 z+48 x z-496 x+60 y z-620 y \\ \Rightarrow 61 x^{2}+52 y^{2}+41 z^{2}-40 x y-48 z x-60 y z+34 x+4 y-26 z-687=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:3. \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} ; 2
Solution:बेलन के अक्ष की समीकरण: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} 
तथा त्रिज्या (r)=2
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।स्पष्टतः अक्ष (1,2,3) से गुजरता है।
अब समकोण \triangle OPM से:

OP^{2}=PM^{2}+OM^{2} \\(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=2^{2}+\left[\frac{2(x-1)+1(y-2)+2(z-3)}{\sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4+z^{2}-6 z+9=4+\frac{(2 x-2+y-2+2 z-6)^{2}}{9} \\ \Rightarrow 9 x^{2}-18 x+9 y^{2}-36 y+9 z^{2}-54 z+126=36+(2 x+y)^{2}+(2 z-1)^{2}+2(2 x+y)+(2z-10) \\ \Rightarrow 9 x^{2}+9 y^{2}+9 z^{2}-18 x-36 y-54 z+126=36+4 x^{2}+4 x y+y^{2}+4 z^{2}-40 z+100+8 x z-40 x+4 z y-20 y \\ \Rightarrow 5 x^{2}+8 y^{2}+5 z^{2}-4 y z-8 z x-4 x y+22 x-16 y-14 z-10=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।

Equation of Right Circular Cylinder

Example:4.\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{6} ; 2
Solution:बेलन के अक्ष की समीकरण: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{6} 
तथा त्रिज्या (r)=2
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।स्पष्टतः अक्ष (1,2,3) से गुजरता है।
अब समकोण \triangle OPM से:

O P^{2}=PM^{2}+OM^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=2^{2}+\left[\frac{\left[2(x-1)-3(y-2)+6(z-3)\right]}{\sqrt{(2)^{2}+(-3)^{2}+(6)^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}-4 y+4+z^{2}-6 z+9=4+\frac{(2 x-2-3 y+6+6 z-18)^{2}}{49} \\ \Rightarrow 49 x^{2}+49 y^{2}+49 z^{2}-98 x-196 y-294 z+686=196+(2 x-3 y+6 z-14)^{2} \\ \Rightarrow 49 x^{2}+49 y^{2}+49 z^{2}-98 x-196 y-294 z+686=196+(2 x-3 y)^{2}+(6 z-14)^{2}+2(2 x-3 y)(6 z-14) \\ \Rightarrow 49 x^{2}+49 y^{2}+49 z^{2}-98 x-196 y-294z+686=196+4 x^{2}+9 y^{2}-12 x y +36 z^{2}+196-168 z+24 x z-56 x-36 y z+84 y \\ \Rightarrow 45 x^{2}+40 y^{2}+13 z^{2}+36 y z-24 z x+12 x y-42 x-280 y-126 z+294=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:5.\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{1} ; 2
Solution:बेलन के अक्ष की समीकरण: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{1} 
तथा त्रिज्या (r)=2
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।स्पष्टतः अक्ष (1,0,3) से गुजरता है।
अब समकोण \triangle OPM से:

O P^{2}=P M^{2}+O M^{2} \\ (x-1)^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=2^{2}+\left[\frac{2(x-1)+3 y+1(z-3)}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}}\right]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1+y^{2}+z^{2}-6 z+9=4+\frac{(2 x-2+3 y+z-3)^{2}}{14} \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-28 x-84 z+140=56+(2 x+3 y)^{2}+(z-5)^{2}+2(2 x+3 y)(z-5) \\ \Rightarrow 14 x^{2}+14 y^{2}+14 z^{2}-28 x-84 z+140=56+4 x^{2}+9 y^{2}+12 x y+ z^{2}-10 z+25+4 x z-20 x+6 y z-30 y \\ \Rightarrow 10 x^{2}+5 y^{2}+13 z^{2}-12 x y-6 y z-4 z x-8 x+30 y-74 z+59=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
Example:6.किसी लम्बवृत्तीय बेलन की निर्देशक-वक्र x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 , x-2 y+2 z=3 है।बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation of the right circular cylinder whose guiding circle is x^{2}+y^{2}+ z^{2}=9, x-2 y+2 z=3.)
Solution:गोले के केन्द्र (0,0,0) है तथा तल x-2y+2z=3 पर O से लम्ब ON है।यदि ON=p तब

p=\frac{3}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(2)^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{9}}=1
वृत्त की त्रिज्या=\sqrt{r^{2}-p^{2}} \\ =\sqrt{9-1}=\sqrt{8}
अब लम्बवृत्तीय बेलन का अक्ष O से होकर जानेवाला तल x-2y+2z=3 का अभिलम्ब है।अतः बेलन का अक्ष के समीकरण होंगे:

\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-0}{2} \\ \Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{2}
माना कि बेलन पर कोई बिन्दु P(x,y,z) है।अब P से PM अक्ष पर लम्ब खींचा।तब PM=\sqrt{8},PO को मिलाओ।
अब समकोण \triangle OPM से:

O P^{2}=O M^{2}+MP^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=8+[\frac{(x-0)-2(y-0) +2(z-0)}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}]^{2} \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=8+\frac{(x-2 y+2 z)^{2}}{9} \\ \Rightarrow 9 x^{2}+9 y^{2}+9 z^{2}=72+x^{2}+4 y^{2}+4 z-4 x y-8 y z+4 x z \\ 8 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+4 x y+8 y z-4 z x-72=0
जो कि बेलन का अभीष्ट समीकरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder),त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) को समझ सकते हैं।

3.लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण की समस्याएँ (Equation of Right Circular Cylinder Problems):

Equation of Right Circular Cylinder

(1.)उस लम्बवृत्तीय शंकु का समीकरण ज्ञात करो जिसका अक्ष x=y=z है,शीर्ष मूलबिन्दु है और जिसका अर्द्धशीर्ष कोण 45° है।
(Find the equation of the right circular cone whose axis is x=y=z, vertex is origin and semi-vertical angle is 45°.)
(2.)लम्बवृत्तीय बेलन की समीकरण ज्ञात करो जो वृत्त x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 और x+y+z=1 को प्रतिच्छेद करता है।
(Find the equation of the right circular cylinder through the circle of intersection of x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 and x+y+z=1.)
उत्तर (Answers): \text { (1.) } x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 y z-4 z x-4 x y=0 \\ \text { (2.) } x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-zx-x y=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder),त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder),त्रिविम निर्देशांक ज्यामिति में लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder in 3D) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of Right Circular Cylinder) में लम्बवृत्तीय बेलन
की परिभाषा निम्न है:लम्बवृत्तीय बेलन की परिभाषा (Definition of Right Circular Cylinder):
एक सरल रेखा द्वारा जनित पृष्ठ लम्बवृत्तीय बेलन कहलाता है