Menu

Particular Integral of Homogeneous PDE

Contents hide
1 1.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation):
1.2 3.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की समस्याएं (Particular Integral of Homogeneous PDE Problems):

1.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation):

समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने (Particular Integral of Homogeneous PDE) में रैखिक आंशिक अवकलज तथा समघात पदों को समझना आवश्यक है।
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear Partial Differential Equation):
परिभाषा (Definition):रैखिक आंशिक अवकल समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent Variable) तथा उसके आंशिक अवकलज (Partial Derivatives) केवल प्रथम घात (First Degree) में ही आते हों और आपस में गुणित नहीं होते।
(1.)समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To Find Particular Integral of Homogeneous PDE):
मान लो दिया हुआ समीकरण है

F\left(D, D^{\prime}\right) y=f(x, y) \cdots(1)
माना कि \frac{1}{F(D, D^{\prime})} f(x, y) ,x तथा y का एक ऐसा फलन है जिस पर F(D,D’) की संक्रिया करने पर f(x,y) प्राप्त होता है अर्थात् माना कि F(D,D^{\prime}) \left\{\frac{1}{F(D,D^{\prime})} f(x, y)\right\}=f(x, y) \cdots(2)
यदि हम (1) व (2) की तुलना करें तो देखते हैं कि

y=\frac{1}{F\left(D, D^{\prime}\right)} f(x, y)
जो कि दिए हुए समीकरण का विशिष्ट समाकल (P.I.) कहलाता है।
(2.)व्यापक विधि (General Method):
स्थिति I.जब F\left(D, D^{\prime}\right) \equiv D-\alpha D^{\prime} हो तब विशिष्ट समाकल (P.I.)

z=\frac{1}{D-\alpha D^{\prime}} f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha D^{\prime}\right) z=f(x, y) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}- \alpha \frac{\partial z}{\partial y}=f(x, y) \\ \Rightarrow p-\alpha q=f(x, y)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण हैं।अतः इसके संगत लैग्रांज के सहायक समीकरण होंगे-

\frac{d x}{1}=\frac{d y}{-\alpha}=\frac{d z}{f(x, y)} \cdots(1)
अब (1) के प्रथम दो पदों से

y+\alpha x=c \quad \cdots(2)
पुनः (1) के प्रथम व तृतीय पदों से
z =\int f\left(x, y\right) d x \\ =\int f(x, c-\alpha x) d x [(2) के प्रयोग से]

\frac{1}{\left(D-\alpha D^{\prime}\right)} f(x, y)=\int f(x, c-\alpha x) d x
स्थिति II.यदि F\left(D, D^{\prime}\right) \equiv\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime} \right) हो तब विशिष्ट समाकल (P.I.) होगा।

z=\frac{1}{\left(D-\alpha, D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots-\left(D-\alpha_{n} D^{\prime} \right)} f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots \cdot\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right) z=f(x, y) \\ \Rightarrow\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{3} D^{\prime} \right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right) z=\frac{1}{D-\alpha_{1} D^{\prime}} f\left(x, y\right) \\ =\int f\left(x, c_{1}-\alpha_{1} x\right) d x जहां y=c_{1}-\alpha_{1} x \\ =\phi_{1}(x, y)(मान लो )
[समाकलन करने के बाद c_{1}-\alpha_{1} x को ‌y से प्रतिस्थापित करने पर]
पुनः \left(D-\alpha_{3} D^{\prime}\right) \cdots\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)=\frac{1}{\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right)} \phi_{1}(x, y) \\ =f \phi_{1}\left(x, c_{2}-\alpha_{2} x\right) d x
जहां y=c_{2}-\alpha_{2} x \\ =\phi_{2}(x, y)
इस प्रकार लगातार क्रिया करने पर हम पाएंगे कि
z=\frac{1}{\left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)} \phi_{n-1}(x, y) \\ =\int \phi_{n-1}\left(x,c_{n}-\alpha_{n} x\right) d x जहां y=c_{n}-\alpha_{n} x \\ \frac{1}{\left(D-\alpha_{1} D^{\prime}\right)\left(D-\alpha_{2} D^{\prime}\right) \cdots \left(D-\alpha_{n} D^{\prime}\right)} f(x, y)=\phi_{n}(x, y)
यहां यह ध्यान देने योग्य है कि n के प्रत्येक मान के लिए प्रत्येक समाकलन के बाद c_{n}-\alpha x को y से प्रतिस्थापित किया जाता है।
टिप्पणी:(1.) यदि f(x,y) एक x तथा y में एक बहुपद हो तो विशिष्ट समाकल \frac{1}{F(D,D^{\prime})} के संगत गुणनखण्ड को D तथा D’ की आरोही (ascending) घातों में प्रसार कर ज्ञात किया जा सकता है। \frac{1}{D} से तात्पर्य f(x,y) का x के सापेक्ष समाकलन करना होता है जबकि \frac{1}{D^{\prime}} से इसका y के सापेक्ष समाकलन करना होता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-General method of Charpit of Solution

2.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने के उदाहरण (Particular Integral of Homogeneous PDE Examples),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल के प्रश्न और उत्तर (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation Questions and Answers):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(D^{2}-D^{2}\right) z=x-y
Solution\left(D^{2}-D^{2}\right) z=x-y
इसका सहायक समीकरण होगा

\left(m^{2}-1\right)=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=1,-1 \\ C.F=\phi_{1}(y-x)+\phi_{2}(y+x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-D^{\prime^{2}}\right)}(x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}\left(1-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}} \right)}(x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}}\left(1-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right)^{-1}(x-y) \\=\frac{1}{D^{2}}\left[1 +\frac{D^ {\prime^{2}}}{D^{2}}+\cdots\right](x-y) \\ =\frac{1}{D^{2}}(x-y) \\ =\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2} y
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=\phi_{1}(y-x)+\phi_{2}(y+x)+\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2} y
Example-2.\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right) z=12 x^{2}+36 x y
Solution\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right) z=12 x^{2}+36 x y
इसका सहायक समीकरण होगा

\left(m^{2}-6 m+9\right)=0 \\ \Rightarrow \left(m^{2}-3 m-3 m+9\right)=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-3(m-3)=0 \\ \Rightarrow \left(m-3\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=3,3 \\ C.F = \phi_{1}(y+3 x)+x \phi_{2}(y+3 x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-6 D D^{\prime}+9 D^{\prime^{2}}\right)}\left(12 x^{2}+36 x y\right) \\ =\frac{1}{\left(D-3 D^{\prime}\right)^{2}}\left(12 x^{2}+36 x y\right) \\ =\frac{1}{\left(D-3 D^{\prime}\right)} \int\left[12 x^{2}+36 x\left(c_{1}-3 x\right)\right] d x \\ =\frac{1}{(D-3 D^{\prime})}\left[12 x^{2}+36 c_{1}x-108 x^{2}\right] d x \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})} \int\left[36 c_{1} x-96 x^{2}\right] d x \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})}\left(18 c_{1} x^{2}-32 x^{3}\right) \\ =\frac{1}{(D-D^{\prime})}\left[18(y+3 x) x^{2}-32 x^{3}\right)[\because c_{1}=3 x+y] \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime} \right)}\left[18 x^{2} y+54 x^{3}-32 x^{3}\right]\\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime}\right)}\left[18 x^{2} y+22 x^{3}\right]\\ =\int\left[18 x^{2}(c_{2}-3 x)+22 x^{3}\right] d x\\=\int\left[18 c_{2} x^{2}-54 x^{3}+22 x^{3}\right] d x\\ =\int\left[18 c_{2} x^{2}-32 x^{3}\right] d x \\ =6c_{2} x^{3}-8 x^{4} \\ =6(3 x+y) x^{3}-8 x^{4}\left[c_{2}=3 x+y\right] \\ =18 x^{4}+6 x^{3} y-8 x^{4} \\ P.I =10 x^{4}+6 x^{3} y
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z =C.F+P.I. \\ \Rightarrow z =\phi_{1}(y+3 x)+x \phi_{2}(y+3 x)+10 x^{4}+6 x^{3} y
Example-3. \left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=12 x y
Solution\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right) z=12 x y
इसका सहायक समीकरण होगा

m^{2}-2 m+1=0 \\ \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=1,1 \\C.F=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right)} 12 x y \\ =\frac{1}{\left(D-D^{\prime} \right)^{2}} 12 xy \\ = \iint[12 x(c_{1}-x) d x] d x \\ =\iint\left(12 c_{1} x-12 x^{2}\right) d x d x \\ =2 c_{1} x^{3}-x^{4} \\ =2(x+y) x^{3}-x^{4}[c_{1}=x+y] \\ =2 x^{4}+2 x^{3} y-x^{4} \\ \Rightarrow P.I.=2 x^{3} y+x^{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=C.F + P.I\\ z=\phi_{1}(y+x)+x \phi_{2}(y+x)+2 x^{3} y+x^{4}
Example-4.r+(a+b)s+abt=xy
Solution-r+(a+b) s+abt=x y
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है-

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+(a+b) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+a b \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=x y \\ \Rightarrow\left[D^{2}+(a+b) D D^{\prime}+a b D^{\prime^{2}}\right]=x y
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{2}+(a+b)m+ab=0 \\ \Rightarrow m =\frac{-(a+b) \pm \sqrt{(a+b)^{2}-4 \times 1 \times a b}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m =-\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}+2 a b+b^{2}-4 a b}}{2} \\ \Rightarrow m =-\frac{(a+b) \pm \sqrt{a^{2}-2 a b+b^{2}}}{2} \\ =\frac{-(a+b) \pm \sqrt{(a-b)^{2}}}{2} \\ =\frac{-(q+b) \pm(a-b)}{2} \\ =-\frac{(a+b)+(a-b)}{2}, \frac{-(a+b)-(a-b)}{2} \\ =\frac{-a-b+a-b}{2}, \frac{-a-b-a+b}{2} \\ \Rightarrow m =-b,-a \\ C.F=\phi_{1}(y-a x)+\phi_{2}(y-b x)
पुनः P.I =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)\left(D+a D^{\prime}\right)} x y \\ =\frac{1}{(D+b D^{\prime})} \int x(c_{1}+a x) d x \\ =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)} \int\left(c_{1} x+a x^{2} \right)d x \\ =\frac{1}{(D+b D^{\prime})}\left(c_{1} \frac{x^{2}}{2}+\frac{a x^{3}}{3}\right) \\  =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime}\right)} \left[(y- a x) \cdot \frac{x^{2}}{2}+\frac{a x^{3}}{3}\right]\left[c_{1}=y-a x\right] \\ =\frac{1}{\left(D+b D^{\prime} \right)}\left[\frac{1}{2} x^{2} y-\frac{1}{2} x^{3}+\frac{1}{3} a x^{3}\right] \\=\int\left[\frac {1}{2} x^{2}\left(c_{2}+b x\right)-\frac{1}{6} a x^{3}\right] d x \\ =\int\left[\frac{1}{2} c_{2} x^{2}+\frac{1}{2} b x^{3}-\frac{1}{6} a x^{3}\right] d x \\ =\frac{1}{6} c_{2} x^{3}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ =\frac{1}{6}(y-b x) x^{3}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4}\left[\because c_{2}=y-b x\right] \\ =\frac{1}{6} x^{3} y+\frac{1}{6} b x^{4}+\frac{1}{8} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ \Rightarrow P.I.=\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24} b x^{4}-\frac{1}{24} a x^{4} \\ P.I=\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24}(a+b) x^{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z =C.F.+P.I. \\ =\phi_{1}(y-a x)+\phi_{2}(y-b x)+\frac{1}{6} x^{3} y-\frac{1}{24}(a+b) x^{4}

Example-5.\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=\frac{1}{x^{3}}
Solution\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right) z=\frac{1}{x^{3}}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा

m-2 m^{2}+m^{3}=0 \\ \Rightarrow m\left(1-2 m+m^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow m(1-m)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=0,1,1 \\ C \cdot F \cdot=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+x)+y \phi_{3}(y+x)
पुनः P \cdot I. =\frac{1}{\left(D^{2} D^{\prime}-2 D D^{\prime^{2}}+D^{\prime^{3}}\right)} \left( \frac{1}{x^{3}} \right) \\ =\frac{1}{D^{\prime}\left(D^{2}-2 D D^{\prime}+D^{\prime^{2}}\right)} \left( \frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}\left(1-\frac{2 D^{\prime}}{D}+\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right)}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left[1-\left(\frac{2 D^{\prime}}{D}-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}\right) \right]^{-1} \left( \frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left[1+\frac{2 D^{\prime}}{D}-\frac{D^{\prime^{2}}}{D^{2}}+ \cdots \right]\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2} D^{\prime}}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) \\ =\frac{1}{D^{2}} \left(\frac{y}{x^{3}}\right) \\ \Rightarrow P.I. =\frac{y}{2 x}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा

z=C \cdot F \cdot+P \cdot I \\ \Rightarrow z =\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+x)+y \phi_{3}(y+x)+\frac{y}{2 x}
Example-6.\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right) z=\frac{1}{y-2 x}
Solution\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right) z=\frac{1}{y-2 x}
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा

m^{2}+5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^{2}+3 m+2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m+3)+2(m+3)=0 \\ \Rightarrow(m+2)(m+3)=0 \\ \Rightarrow m=-2,-3 \\ C \cdot F=\phi_{1} (y-2 x)+\phi_{2}(y-3 x)
पुनः P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+6 D^{\prime^{2}}\right)}\left(\frac{1}{y-2 x}\right) \\ =\frac{1}{\left(D+2 D^{\prime}\right)\left(D+3 D^{\prime}\right)} \cdot\left(\frac{1}{y-2 x}\right) \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime} \right)} \int\left(\frac{1}{c_{1}+2 x-2 x}\right) d x \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime}\right)} \int \frac{1}{c_{1}} d x \\ =\frac{1}{\left(D+3 D^{\prime}\right)} \frac{x}{c_{1}} \\ =\frac{1}{(D+3 D^{\prime})} \cdot \frac{x}{y-2 x}[\because c_{1}=y-2 x] \\ =\int \frac{x}{\left(c_{2}+3 x-2 x\right)} d x \\ =\int \frac{x}{c_{2}+x} d x \\ =\int d x-c_{2} \int \frac{1}{c_{2}+x} d x \\ =x-c_{2} \log \left(c_{2}+x\right) \\ \Rightarrow P.I=x-(y-3 x) \log (y-3 x+x)\left[c_{2}=y-3 x\right] \\ \Rightarrow P.I.=x-(y-3 x) \log (y-2 x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1}(y-2 x)+\phi_{2}(y-3 x)+x-(y-3 x) \log (y-2 x)
Example-7.\left(D^{3}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right) z=\cos (y+2 x)
Solution\left(D^{3}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right) z=\cos (y+2 x)
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{3}-4 m^{2}+4 m=0 \\ \Rightarrow m\left(m^{2}-4 m+4\right)=0 \\ \Rightarrow m(m-2)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=0,2,2 \\ \text { C.F. }=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+2 x)+\phi_{3}(y+2 x)
पुनः \text { P. I. } =\frac{1}{\left(D^{\prime}-4 D^{2} D^{\prime}+4 D D^{\prime^{2}}\right)} \cos (y+2 x) \\ =\frac{1}{D\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \cos (y+2 x) \\ =\frac{1}{\left(D-2 D^{\prime} \right)^{2}}\left[\frac{1}{D} \cos (y+2 x)\right] \\ =\frac{1}{\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \int \cos \left(c_{1}+2 x\right) d x \\=\frac{1}{\left(D-2 D^ {\prime} \right)^{2}} \frac{1}{2} \sin \left(c_{1}+2 x\right) \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D-2 D^{\prime}\right)^{2}} \sin (y+2 x)\left[y= c_{1}\right] \\ =\frac{1}{2} \iint \sin \left(c_{1}-2 x+2 x\right) d x d x \\ =\frac{1}{2} \iint \sin c_{1} d x d x \\ =\frac{1}{4} x^{2} \sin c_{1} \\ P . I =\frac{1}{4} x^{2} \sin (y+2 x)[c_{1}=y+2 x]
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1}(y)+\phi_{2}(y+2 x)+\phi_{3}(y+2 x)+\frac{1}{4} x^{2} \sin (y+2 x)
Example-8.\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right) z=x \sin (3 x-2 y)
Solution\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right) z=x \sin (3 x-2 y)
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण होगा-

m^{2}+5m+5=0 \\ m=\frac{-5 \pm \sqrt{25-4 \times 5}}{2} \\ \Rightarrow m=-\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \\ C.F=\phi_{1}\left(y+\frac{1}{2}(-5+\sqrt{5}) x\right]+\phi_{2}\left[y+\frac{1}{2}(-5-\sqrt{5}) x\right]
पुनः \text { P.I. } =\frac{1}{\left(D^{2}+5 D D^{\prime}+5 D^{\prime^{2}}\right)} x \sin (3 x-2 y) \\ =\frac{1}{\left[D +\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2} \right) D^{\prime}\right]} x \sin (3 x-2 y) \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]} \int x \sin \left[3 x-2\left(c_{1} +\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right) x\right)\right] d x \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5 +\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]} \int x \sin \left((-2+\sqrt{5}) x-2 c_{1}\right) d x \\ =\frac{1}{[D+(\frac{5+\sqrt{5}}{2})D^{\prime}]} \begin{pmatrix} -\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos \left \{ (-2+\sqrt{5}) x-2c_{1} \right \}\\+\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \sin \left \{ (-2+\sqrt{5}) x-2c_{1} \right \} \end{pmatrix} \\ =\frac{1}{\left[D+\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) D^{\prime}\right]}\left[-\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos (3 x-2 y)+\frac{1}{(\sqrt{5}-2) ^{2}} \sin (3 x-2 y)\right] \\ \because c_{1}=y-\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2} \right) \\ =\int-\frac{x}{(\sqrt{5}-2)} \cos \left[3 x-2\left(c_{2}+\left(\frac{5 +\sqrt{5}}{2}\right) x\right)\right] d x + \frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \int \sin \left[3 x-2\left(c_{2} +\frac{5+ \sqrt{5}}{2}\right) x\right] dx \\ =\int-\frac{x}{\sqrt{5}-2} \cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \} d x-\frac{1}{(\sqrt{5}-2)^{2}} \int \sin \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \} d x \\  =-\frac{x}{(\sqrt{5} -2)(\sqrt{5}+2)} \sin \left[(2+\sqrt{5}) x+2 c_{2}\right]-\frac{\cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \}}{(\sqrt{5} -2)(\sqrt{5}+2)^{2}}+\frac{\cos \left \{ (2+\sqrt{5}) x+2 c_{2} \right \}}{(\sqrt{5}-2)^{2}(\sqrt{5} +2)}\\ =x \sin (3 x-2 y)-\frac{\cos (3 x-2 y)}{(\sqrt{5}+2)}+\frac{\cos (3 x-2 y)}{(\sqrt{5}-2)} \left[c_{2}=y-\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right) x\right]\\ P.I =x \sin (3 x-2 y)+4 \cos (3 x-2 y)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा-

z=\phi_{1} \left[y+\frac{1}{2}(-5+\sqrt{5})\right] x+\phi_{2}\left[y+\frac{1}{2}(-5-\sqrt{5}) x\right]+x \sin (3x-2 y)+4 \cos (3 x-2 y)
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) के बारे में बताया गया है।

3.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की समस्याएं (Particular Integral of Homogeneous PDE Problems):

निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following partial differential equations):

\text { (1) } r+s-6 t=y \cos x \\ \text { (2) }\left(D^{2}+D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right) z=(y-1) e^{x} \\ \text { (3) }\left(D^{2}-D D^{\prime}-2 D^{\prime^{2}}\right)=\left(2 x^{2}+x y-y^{2} \right) \sin x y-\cos x y \\ \text { (4) } r-t=\tan ^{3} x \tan y-\tan x \tan ^{3} y
उत्तर (Answers): (1) z=\phi_{1}(y-3 x)+\phi_{2}(y+2 x)-y \cos x+\sin x \\ (2)z=\phi_{1} (y+2 x)+\phi_{2}(y-x)+y e^{x} \\ (3)z=\phi_{1}(y+2 x)+\phi_{2}(y-x) \\ (4) z=\phi_{1}(y+x)+\phi_{2}(y-x) +\frac{1}{2} \tan x \tan y
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients

4.समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने (Particular Integral of Homogeneous PDE) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण में विशेष समाकलन का मान क्या है? (What is the value for particular integral in homogeneous linear PDE?):

उत्तर-यदि f(x,y) एक x तथा y में बहुपद हो तो विशिष्ट समाकल,\frac{1}{F(D,D')} के संगत गुणनखण्ड को D तथा D’ की आरोही (ascending) घातों में प्रसार कर ज्ञात किया जा सकता है।\frac{1}{D} से तात्पर्य f(x,y) का x के सापेक्ष समाकलन करना होता है जबकि \frac{1}{D'} से इसका y के सापेक्ष समाकलन करना होता है।
कुछ विशेष स्थितियों में विशिष्ट समाकलन ज्ञात करने की आसान विधियां ऊपर उदाहरण में दी गई है।

प्रश्न:2.आप एक समघात अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the specific integral of a homogeneous partial differential equation?):

उत्तर-समघात आंशिक समीकरण उसे कहते हैं जिसमें प्रत्येक पद के अवकलज की कोटियों का योग समान होता है।ऐसे समघात आंशिक अवकल समीकरणों के हल करने के व्यावहारिक रूप में कोई एक निश्चित सूत्र नहीं दिया जा सकता है परन्तु यदि कोई अवकल समीकरण xy के गुणनफल के रूप का है तो उसमें y को x के गुणनखण्ड द्वारा प्रतिस्थापित करके उसका समाकलन किया जाता है फिर वापस उस गुणनखंड के द्वारा अचर पद c का मान प्रतिस्थापित किया जाता है।
फिर भी अलग-अलग प्रकृति के आंशिक अवकल समीकरणों में कुछ विशेष विधियों द्वारा हल किया जाता है।ऊपर उदाहरणों के द्वारा उनको समझा जा सकता है।

प्रश्न:3.समांगी रैखिक आंशिक अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल का मान क्या है? (What is the value for particular integral in homogeneous linear PDE?):

उत्तर-यदि आंशिक अवकल समीकरण में x तथा y के पद अलग-अलग हो तो अवकल संकारक का द्विपद प्रमेय से विस्तार करके उसे हल करने पर आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात किया जा सकता है।यदि आंशिक अवकल समीकरण xy में बहुपद हो तो विशिष्ट समाकल,\frac{1}{F(D,D')} के संगत गुणनखण्ड को D तथा D’ की आरोही (ascending) घातों में प्रसार कर ज्ञात किया जा सकता है।

प्रश्न:4.आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करें?(How to find particular integral of partial differential equation?):

उत्तर-आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की कई विधियां हैं।
विशिष्ट प्रकार के आंशिक अवकल समीकरण में विशिष्ट समाकल विधि से विशिष्ट समाकल ज्ञात किया जाता है।
इससे पूर्व हमने आंशिक अवकल समीकरण का पूरक फलन (Complementary Function) ज्ञात करने के बारे में आर्टिकल पोस्ट किया था।इस आर्टिकल में समघात आंशिक अवकल समीकरणों का विशिष्ट समाकल (Particular Integral) ज्ञात करने के बारे में बताया गया है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (Particular Integral of Homogeneous PDE),समघात आंशिक अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल (Particular Integral of Homogeneous Partial Differential Equation) के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No.Social MediaUrl
1.Facebookclick here
2.you tubeclick here
3.Instagramclick here
4.Linkedinclick here
5.Facebook Pageclick here

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *