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Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients

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1 1.अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients)-

1.अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients)-

  • अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients),अचर गुणांकों वाले रैखिक आंशिक अवकल समीकरण को शून्य के बराबर रखकर ज्ञात किया जाता है।
  • (1.)रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear Partial Differential Equation)-
    रैखिक आंशिक अवकल समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent Variable) तथा उसके आंशिक अवकलज (Partial Derivatives) केवल प्रथम घात में आते हों और आपस में गुणित नहीं होते।
    nवीं कोटि (nth order) के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का व्यापक रूप निम्नलिखित होता है:
  • ({ A }_{ 0 }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ n } } +{ A }_{ 1 }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ n-1 }\partial y } +......+{ A }_{ n }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { y }^{ n } } )+({ B }_{ 0 }\frac { { \partial }^{ n-1 }z }{ \partial { x }^{ n-1 } } +{ B }_{ 1 }\frac { { \partial }^{ n-1 }z }{ \partial { x }^{ n-2 }\partial y } +........+{ B }_{ n-1 }\frac { { \partial }^{ n-1 }z }{ \partial { y }^{ n-1 } } )+.....+({ M }_{ 0 }\frac { \partial z }{ \partial x } +{ M }_{ 1 }\frac { \partial z }{ \partial y } )+{ N }_{ 0 }z=f\left( x,y \right)
  • जहां { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 }.......{ A }_{ n };{ B }_{ 0 },{ B }_{ 1 },........{ B }_{ n-1 };{ M }_{ 0 },......,{ M }_{ 1 };{ N }_{ 0 } या तो सभी x,y के फलन हैं या अचर हैं।यदि { A }_{ 0 }.......{ N }_{ 0 }
  • सभी अचर राशियां हों तो हम उपर्युक्त समीकरण को अचर गुणांकों वाला रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear Partial Differential Equation with constant Coefficients) कहते हैं।
  • (2.)समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation)-
    एक आंशिक अवकल समीकरण समघात (Homogeneous) कहलाता है यदि उसमें z के सभी अवकलज समान कोटि के हों तथा z का स्पष्ट समावेश नहीं हो अर्थात् यह निम्न रूप में हो
  • { A }_{ 0 }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ n } } +{ A }_{ 1 }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ n-1 }\partial y }  +........+{ A }_{ n }\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { y }^{ n } } =f\left( x,y \right)

जहां { A }_{ 0 },{ A }_{ 1 },{ A }_{ 2 }.......{ A }_{ n } अचर हैं।

  • (3.)अवकल संकारकों D व D’ का बीजगणित (Algebra of differential operators D and D’)-
    अवकल संकारक D व D’ निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
  • (i)बंटन का नियम (Distributive Law):

F(D,D')[u+v+w+........]\equiv F(D,D')u+F(D,D')v+.........
जहां F(D,D’);D व D’ का कोई परिमेय पूर्णांक फलन (Rational integral function) है।

  • (ii) क्रम-विनिमेय का नियम (Commutative Law)-
    यदि { F }_{ 1 }+{ F }_{ 2 };D व D’ के अचर गुणांकों वाले बहुपद हैं तो

{ F }_{ 1 }+{ F }_{ 2 }\equiv { F }_{ 2 }+{ F }_{ 1 }\\ { F }_{ 1 }{ F }_{ 2 }\equiv { F }_{ 2 }{ F }_{ 1 }\\ { F }_{ 1 }\left( u+v \right) \equiv { F }_{ 1 }\left( v+u \right)
परन्तु D,D’; x,y के फलन क्रम-विनिमेय नहीं हैं।
उदाहरणार्थ

\left( D-x \right) \left( { D }^{ ' }-x \right) \neq \left( { D }^{ ' }-x \right) \left( { D }-x \right) \\ \left( D-{ y }^{ 2 } \right) \left( { D }^{ ' }-2y \right) \neq \left( { D }^{ ' }-2y \right) \left( { D }-{ y }^{ 2 } \right)

  • (iii) घातांक नियम (Index Law):

{ D }^{ m }{ D }^{ n }\equiv { D }^{ m+n }\\ { \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ m }.{ \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ n }\equiv { \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ m+n }\\ { D }^{ m }{ D }^{ -n }\equiv { D }^{ m-n },{ D }^{ m }{ D' }^{ (-n) }\equiv { D' }^{ (m-n) }\\ { D }^{ m }{ D }^{ -m }\equiv 1\equiv { D }^{ -m }{ D }^{ m }\\ { D' }^{ (m) }{ D' }^{ (-m) }\equiv 1\equiv { D' }^{ (-m) }{ D }^{ m }\\ { \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ m }.{ \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ -m }\equiv 1\equiv { \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ -m }.{ \left[ F\left( D,D' \right) \right] }^{ m }

  • (iv) प्रतिलोम नियम (Inverse Law):

{ D }^{ -1 }\equiv \frac { 1 }{ D } \equiv \int ()dx+f\left( y \right) \\ { D }^{ '\left( -1 \right) }\equiv \frac { 1 }{ { D }^{ ' } } \equiv \int ()dy+g\left( x \right)
जहां f तथा g स्वेच्छ फलन हैं।

  • (v) पुनरावृत्ति नियम (Iteration Law):

{ D }^{ n }\equiv \frac { \partial }{ \partial x } .\frac { \partial }{ \partial x } ...........\frac { \partial }{ \partial x } \equiv \frac { { \partial }^{ n } }{ \partial { x }^{ n } } \\ { D' }^{ (n) }\equiv \frac { \partial }{ \partial y } .\frac { \partial }{ \partial y } ...........\frac { \partial }{ \partial y } \equiv \frac { { \partial }^{ n } }{ \partial { y }^{ n } } \\ { D }^{ m }{ D }^{ n }\equiv \frac { { \partial }^{ m+n } }{ \partial { x }^{ n }\partial { y }^{ n } } \\ { D }^{ -n }\equiv \int \int .........\int ()d{ x }^{ n }+G\left( y \right) \\ { D }^{ '(-n) }\equiv \int \int .........\int ()d{ y }^{ n }+H\left( x \right)
जहां n एक धनात्मक पूर्णांक हैं।

  • (vi) प्रतिलोम संकारकों का विस्तार (Expansion of inverse operators):
    x तथा y की बहुपद राशियों पर संक्रिया के लिए प्रतिलोम संकारकों का विस्तार D या D’ या दोनों के बढ़ते अथवा घटते घात़ों में किया जा सकता हैं, अर्थात्

\frac { 1 }{ D-a{ D }^{ ' } } \equiv \frac { 1 }{ D } { \left( 1-\frac { a{ D }^{ ' } }{ D } \right) }^{ -1 }\equiv \frac { 1 }{ D } +\frac { a{ D }^{ ' } }{ { D }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 }{ D' }^{ 2 } }{ { D }^{ 3 } } +.......\\ \frac { 1 }{ D-a{ D }^{ ' } } \equiv -\frac { 1 }{ aD } { \left( 1-\frac { { D } }{ D' } \right) }^{ -1 }\equiv -\frac { 1 }{ aD' } +-\frac { { D } }{ { a }^{ 2 }{ D' }^{ 2 } } -\frac { { a }^{ 2 }{ D }^{ 2 } }{ { { a }^{ 3 }D' }^{ 3 } } -.......
संकारक के किस विस्तार का किस पद तक विस्तार किया जाए,यह x तथा y की घातों पर निर्भर करेगा। उदाहरणार्थ,यदि E संकारक हो तो E\left( { x }^{ m }{ y }^{ n } \right)  का मान निकालने के लिए E का \frac { { D } }{ D' } की घातों में विस्तार किया जाएगा यदि m<n हो और की घातों में विस्तार किया जाएगा यदि n<m हो।यदि m=n हो तो दोनों में से कोई भी विस्तार किया जा सकता है।

  • (vii) आंशिक भिन्न (Partial Fractions):
    यदि F(D,D’) के गुणनखंड हो सकते हों तो पहले \frac { 1 }{ F(D,D') } को आंशिक भिन्नों में विभक्त कर लेना चाहिए।
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2.अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन ज्ञात करना (To Find Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients),पूरक फलन सूत्र (Complementary function formula)-

मान लो दिया हुआ समीकरण है-

\left( { A }_{ 0 }{ D }^{ n }+{ A }_{ 1 }{ D }^{ n-1 }{ D }^{ ' }+..........+{ A }_{ n }{ D }^{ 'n } \right) z=0
या F(D,D’)z=0 ………(1)
जहां F\left( D,{ D }^{ ' } \right) \equiv { A }_{ 0 }{ D }^{ n }+{ A }_{ 1 }{ D }^{ n-1 }{ D }^{ ' }+..........+{ A }_{ n }{ D }^{ 'n }
यह भी मान लो कि z=\phi \left( y+mx \right)   समीकरण (1) का हल है,तब

{ D }z=\left( \frac { \partial z }{ \partial x } \right) =m\phi '\left( y+mx \right) \\ { D }^{ 2 }z=\left( \frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } \right) ={ m }^{ 2 }\phi ''\left( y+mx \right) \\ ................\\ { D }^{ n }z=\left( \frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ n } } \right) ={ m }^{ n }{ \phi }^{ n }\left( y+mx \right)
तथा { D' }z=\left( \frac { \partial z }{ \partial y } \right) =\phi '\left( y+mx \right) \\ { D' }^{ (2) }z=\left( \frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { y }^{ 2 } } \right) =\phi ''\left( y+mx \right) \\ { D' }^{ (n) }z=\left( \frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { y }^{ n } } \right) ={ \phi }^{ n }\left( y+mx \right)
पुनः { D }^{ r },{ D }^{ '(n-r) }z=\frac { { \partial }^{ n }z }{ \partial { x }^{ r }\partial { y }^{ n-1 } } ={ m }^{ r }{ \phi }^{ n }\left( y+mx \right)
इन मानों को (1) में रखने पर-

\left( { A }_{ 0 }{ m }^{ n }+{ A }_{ 1 }{ m }^{ n-1 }+{ A }_{ 2 }{ m }^{ n-2 }+........+{ A }_{ n } \right) { \phi }^{ n }\left( y+mx \right) =0
जो कि सन्तुष्ट होगा यदि

{ A }_{ 0 }{ m }^{ n }+{ A }_{ 1 }{ m }^{ n-1 }+{ A }_{ 2 }{ m }^{ n-2 }+........+{ A }_{ n }=0..........(2)

  • यह समीकरण दिए हुए समीकरण (1) का सहायक समीकरण (Auxiliary Equation) कहलाता है।संक्षेप में इसे स.स.(A.E.) से व्यक्त करते हैं। समीकरण (2),m में एक n घातीय समीकरण है जिसके n मूल होंगे।
    स्थिति-I.जब सहायक समीकरण के मूल भिन्न-भिन्न हों (When the roots of A.E. are all distinct):
    मान लो सहायक समीकरण (2) के n भिन्न-भिन्न मूल { m }_{ 1 },{ m }_{ 2 },{ m }_{ 3 }.....{ m }_{ n } हैं,तब

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+{ m }_{ 1 }x \right) ,z={ \phi }_{ 2 }\left( y+{ m }_{ 2 }x \right) ,.....,z={ \phi }_{ n }\left( y+{ m }_{ n }x \right)
समीकरण (1) के n स्वतन्त्र हल होंगे, जहां { \phi }_{ 1 },{ \phi }_{ 2 },.............,{ \phi }_{ n } स्वेच्छ फलन हैं।
अतः z={ \phi }_{ 1 }\left( y+{ m }_{ 1 }x \right) +{ \phi }_{ 2 }\left( y+{ m }_{ 2 }x \right) +.....+{ \phi }_{ n }\left( y+{ m }_{ n }x \right) .............(3)
दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा जो कि समीकरण F(D,D’)z=f(x,y) का पूरक फलन भी है।

  • यदि सहायक समीकरण के मूल अधिकल्पित (Complex) हों,जैसे { m }_{ 1 }=\alpha +i\beta तथा { m }_{ 2 }=\alpha -i\beta तो पूरक फलन तथा के मान (3) में रखकर प्राप्त किया जा सकता है।

स्थिति-II.जब सहायक समीकरण के मूलों की पुनरावृत्ति हो (When the roots of A.E. are repeated)
यदि सहायक समीकरण (2) के कुछ मूल समान हों तो स्वतन्त्र हलों की संख्या n से कम होगी। अतः उपर्युक्त विधि से हम समीकरण (1) का व्यापक हल नहीं लिख सकते।
पहले हम उस स्थिति का अध्ययन करेंगे जिसमें सिर्फ दो मूल समान हैं।मान लो { m }_{ 1 }={ m }_{ 2 }=m
तब समीकरण (1) निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

F\left( D,{ D }^{ ' } \right) z=G\left( D,{ D }^{ ' } \right) .{ \left( D-mD' \right) }^{ 2 }z=0..........(4)
अर्थात् समीकरण

{ \left( D-mD' \right) }^{ 2 }z=0..........(5)
का हल भी, समीकरण (1) या (4) का हल होगा।
हम (5) को निम्न प्रकार लिख सकते हैं

\left( D-mD' \right) \left( D-mD' \right) z=0...............(6)
मान लो \left( D-m' \right) z=u...............(7)
(6) व (7) से-

\left( D-mD' \right) u=0
या \frac { \partial u }{ \partial x } -m\frac { \partial u }{ \partial y } =0..............(8)
जो कि लैग्रांज का रैखिक समीकरण है जिसमें u आश्रित चर हैं। अतः इसके संगत लैग्रांज के सहायक समीकरण होंगे

\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ -m } =\frac { du }{ 0 } \\ \Rightarrow y+mx={ c }_{ 1 } तथा u={ c }_{ 2 }
(8) का व्यापक हल होगा

u=\phi \left( y+mx \right) ..............(9)
जहां \phi  एक स्वेच्छ फलन है।
अब u का मान (9) से (7) में रखने पर-

\left( D-mD' \right) z=\phi \left( y+mx \right)
या \frac { \partial z }{ \partial x } -m\frac { \partial z }{ \partial y } =\phi \left( y+mx \right) .............(10)
जो कि पुनः लैग्रांज का रैखिक समीकरण (Pp+Qq=R) है जिसके सहायक समीकरण होंगे

\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ -m } =\frac { dz }{ \phi \left( y+mx \right) } .............(11)
(11) के प्रथम दो पदों से

y+mx=a (अचर)
पुनः (11) के प्रथम तथा अन्तिम पदों से

\frac { dx }{ 1 } =\frac { dz }{ \phi \left( a \right) }
समाकलन करने पर-

z=x\phi \left( a \right) +b\\ \Rightarrow z-x\phi \left( a \right) =b
अतः (5) का व्यापक हल होगा

z-x\phi \left( y+mx \right) =\psi \left( y+mx \right)
या z=x\phi \left( y+mx \right) +\psi \left( y+mx \right)
जहां \phi  तथा \psi  स्वेच्छ फलन है।
फलत: यदि समीकरण (1) के दो मूल समान व अन्य भिन्न-भिन्न हो अर्थात् ये मूल { m }_{ 1 },{ m }_{ 2 },{ m }_{ 3 }.....{ m }_{ n } हो तब इसका व्यापक हल होगा

z=\psi \left( y+mx \right) +x\phi \left( y+mx \right) +{ \phi }_{ 3 }\left( y+{ m }_{ 3 }x \right) +..........+{ \phi }_{ n }\left( y+{ m }_{ n }x \right)
अब यदि समीकरण (1) के r मूल समान व अन्य (n-r) मूल भिन्न-भिन्न हो तो उपर्युक्त विधि से इसका व्यापक हल होगा

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+mx \right) +x{ \phi }_{ 2 }\left( y+mx \right) +.....+{ x }^{ r-1 }{ \phi }_{ r }\left( y+mx \right) +.....+{ \phi }_{ r-1 }\left( y+{ m }_{ r-1 }x \right) +.....+{ \phi }_{ n }\left( y+{ m }_{ n }x \right)

3.अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन के उदाहरण (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)
Example-1.r={ a }^{ 2 }t
Solution-r={ a }^{ 2 }t\\ \frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } -{ a }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \left( { D }^{ 2 }-{ a }^{ 2 }{ D' }^{ 2 } \right) =0
इसलिए इसका सहायक समीकरण होगा-

\left( { m }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) =0\\ \Rightarrow m=\pm a
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+ax \right) +{ \phi }_{ 2 }\left( y-ax \right)
Example-2. 2\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } -3\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial { y } } -2\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { y }^{ 2 } } =0
Solution- 2\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { x }^{ 2 } } -3\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial { y } } -2\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \left( 2{ D }^{ 2 }-3DD'-2{ D' }^{ 2 } \right) =0
इसलिए इसका सहायक समीकरण होगा-

2{ m }^{ 2 }-3m-2=0\\ \Rightarrow 2{ m }^{ 2 }-4m+m-2=0\\ \Rightarrow 2m\left( m-2 \right) +1\left( m-2 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-2 \right) \left( 2m+1 \right) =0\\ \Rightarrow m=2,-\frac { 1 }{ 2 }
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+2x \right) +{ \phi }_{ 2 }\left( 2y-x \right)

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients) को ज्ञात करना ठीक से समझा जा सकता है।

Example-3.\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { x }^{ 3 } } -3\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { x }^{ 2 }\partial y } +3\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial x\partial { y }^{ 2 } } -\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { y }^{ 3 } } =0
Solution-\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { x }^{ 3 } } -3\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { x }^{ 2 }\partial y } +3\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial x\partial { y }^{ 2 } } -\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial { y }^{ 3 } } =0\\ \Rightarrow \left( { D }^{ 3 }-3{ D }^{ 2 }D'+3D{ D }^{ '2 }-{ D }^{ '3 } \right) z=0
इसलिए इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 3 }-3{ m }^{ 2 }+3m-1=0\\ \Rightarrow { m }^{ 3 }-{ m }^{ 2 }-2{ m }^{ 2 }+2m+2m+m-1=0\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }\left( m-1 \right) -2m\left( m-1 \right) +1\left( m-1 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left( { m }^{ 2 }-2m+1 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left( m-1 \right) \left( m-1 \right) =0\\ \Rightarrow m=1,1,1
यहां मूल की तीन बार पुनरावृत्ति हुई है,अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+x \right) +x{ \phi }_{ 2 }\left( y+x \right) +{ x }^{ 2 } { \phi }_{ 3 }\left( y+x \right)
Example-4.\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 4 } } +\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { y }^{ 4 } } =2\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 2 }\partial { y }^{ 2 } }
Solution\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 4 } } +\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { y }^{ 4 } } =2\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ \partial { x }^{ 2 }\partial { y }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( { D }^{ 4 }-2{ D }^{ 2 }{ D }^{ '2 }+{ D }^{ '4 } \right) =0
इसलिए इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 4 }-2{ m }^{ 2 }+1=0\\ \Rightarrow { \left( { m }^{ 2 }-1 \right) }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow { \left( m-1 \right) }^{ 2 }{ \left( m+1 \right) }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow m=-1,-1,1,1
यहां दो-दो मूलों की दो बार पुनरावृत्ति हुई है, अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y-x \right) +x{ \phi }_{ 2 }\left( y-x \right) +{ \phi }_{ 3 }\left( y+x \right) +x{ \phi }_{ 4 }\left( y+x \right)

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients) को ज्ञात करना ठीक से समझा जा सकता है।

Example-5.\left( { D }^{ 3 }-6{ D }^{ 2 }D'+11D{ D }^{ '2 }-6{ D }^{ '3 } \right) z=0
Solution\left( { D }^{ 3 }-6{ D }^{ 2 }D'+11D{ D }^{ '2 }-6{ D }^{ '3 } \right) z=0
इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 3 }-6{ m }^{ 2 }+11m-6=0\\ \Rightarrow { m }^{ 3 }-{ m }^{ 2 }-5{ m }^{ 2 }+5m+6m-6=0\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }\left( m-1 \right) -5m\left( m-1 \right) +6\left( m-1 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left( { m }^{ 2 }-5m+6 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left( { m }^{ 2 }-3m-2m+6 \right) =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left[ m\left( { m }-3 \right) -2\left( { m }-3 \right) \right] =0\\ \Rightarrow \left( m-1 \right) \left( { m }-3 \right) \left( { m }-2 \right) =0\\ \Rightarrow m=1,2,3
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+x \right) +{ \phi }_{ 2 }\left( y+2x \right) +{ \phi }_{ 3 }\left( y+3x \right)
Example-6.\left( 25{ D }^{ 2 }-40DD'+16{ D }^{ '2 } \right) z=0

Solution\left( 25{ D }^{ 2 }-40DD'+16{ D }^{ '2 } \right) z=0
इसका सहायक समीकरण होगा-

25{ m }^{ 2 }-40m+16=0\\ \Rightarrow 25{ m }^{ 2 }-20m-20m+16=0\\ \Rightarrow 5m\left( 5m-4 \right) -4\left( 5m-4 \right) =0\\ \Rightarrow \left( 5m-4 \right) \left( 5m-4 \right) =0\\ \Rightarrow \left( 5m-4 \right) =0,\left( 5m-4 \right) =0\\ \Rightarrow m=\frac { 4 }{ 5 } ,m=\frac { 4 }{ 5 } \\ m=\frac { 4 }{ 5 } ,\frac { 4 }{ 5 }
यहां मूल की दो बार पुनरावृत्ति हुई है अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( 5y+4x \right) +x { \phi }_{ 2 }\left( 5y+4x \right)

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients) को ज्ञात करना ठीक से समझा जा सकता है।

Example-7.\left( { D }^{ 3 }-{ D }^{ 2 }D'+8D{ D }^{ '2 }-12{ D }^{ '3 } \right) z=0
Solution\left( { D }^{ 3 }-{ D }^{ 2 }D'+8D{ D }^{ '2 }-12{ D }^{ '3 } \right) z=0
इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 3 }-{ m }^{ 2 }-8m+12=0\\ { m }^{ 3 }-2{ m }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }-2m-6m+12=0\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }(m-2)+m(m-2)-6(m-2)=0\\ \Rightarrow (m-2)({ m }^{ 2 }+m-6)=0\\ \Rightarrow (m-2)({ m }^{ 2 }+3m-2m-6)=0\\ \Rightarrow (m-2)[{ m }(m+3)-2(m+3)]=0\\ \Rightarrow (m-2)(m-2)(m+3)=0\\ \Rightarrow { (m-2) }^{ 2 }(m+3)=0\\ \Rightarrow m=2,2,-3
यहां एक मूल की दो बार पुनरावृत्ति हुई है, इसलिए दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }\left( y+2x \right) +x { \phi }_{ 2 }\left( y+2x \right) +{ \phi }_{ 3 }\left( y-3x \right)
Example-8.\left( { D }^{ 5 }-10{ D }^{ 4 }D'+35{ D }^{ 3 }{ D }^{ '2 }-50{ D }^{ 2 }{ D }^{ '3 }+24D{ D }^{ '4 } \right) z=0
Solution\left( { D }^{ 5 }-10{ D }^{ 4 }D'+35{ D }^{ 3 }{ D }^{ '2 }-50{ D }^{ 2 }{ D }^{ '3 }+24D{ D }^{ '4 } \right) z=0
इसका सहायक समीकरण होगा-

\left( { m }^{ 5 }-10{ m }^{ 4 }+35{ m }^{ 3 }-50{ m }^{ 2 }+24m \right) =0\\ m({ m }^{ 4 }-10{ m }^{ 3 }+35{ m }^{ 2 }-50{ m }+24)=0\\ \Rightarrow m({ m }^{ 4 }-{ m }^{ 3 }-9{ m }^{ 3 }+9{ m }^{ 2 }+26{ m }^{ 2 }-26m-24{ m }+24)=0\\ \Rightarrow m[{ m }^{ 3 }(m-1)-9{ m }^{ 2 }(m-1)+26m(m-1)-24(m-1)]=0\\ \Rightarrow m(m-1)[{ m }^{ 3 }-9{ m }^{ 2 }+26m-24]=0\\ \Rightarrow m(m-1)[{ m }^{ 3 }-2{ m }^{ 2 }-7{ m }^{ 2 }+14m+12m-24]=0\\ \Rightarrow m(m-1)[{ m }^{ 2 }(m-2)-7{ m }(m-2)+12(m-2)]=0\\ \Rightarrow m(m-1)(m-2)[{ m }^{ 2 }-7{ m }+12]=0\\ \Rightarrow m(m-1)(m-2)[{ m }^{ 2 }-4{ m }-3m+12]=0\\ \Rightarrow m(m-1)(m-2)[{ m }(m-4)-3(m-4)]=0\\ \Rightarrow m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=0\\ \Rightarrow m=0,1,2,3,4
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }y+{ \phi }_{ 2 }\left( y+x \right) +{ \phi }_{ 3 }\left( y+2x \right) +{ \phi }_{ 4 }\left( y+3x \right) +{ \phi }_{ 5 }\left( y+4x \right)
Example-9.\left( { D }^{ 3 }-4{ D }^{ 2 }D'+4D{ D }^{ '2 } \right) z=0
Solution\left( { D }^{ 3 }-4{ D }^{ 2 }D'+4D{ D }^{ '2 } \right) z=0

इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 3 }-4{ m }^{ 2 }+4m=0\\ \Rightarrow m({ m }^{ 2 }-4m+4)=0\\ \Rightarrow m{ (m-2) }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow m=0,2,2
यहां एक मूल की दो बार पुनरावृत्ति हुई है, इसलिए दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }y+{ \phi }_{ 2 }\left( y+2x \right) +x{ \phi }_{ 3 }\left( y+2x \right)
Example-10.\left( { D }^{ 2 }-2{ D }D'+5{ D }^{ '2 } \right) z=0
Solution\left( { D }^{ 2 }-2{ D }D'+5{ D }^{ '2 } \right) z=0
इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 2 }-2{ m }+5=0\\ \Rightarrow m=\frac { 2\pm \sqrt { { (-2) }^{ 2 }-4\times 1\times 5 } }{ 2\times 1 } \\ \Rightarrow m=\frac { 2\pm \sqrt { 4-20 } }{ 2 } \\ \Rightarrow m=\frac { 2\pm \sqrt { -16 } }{ 2 } \\ \Rightarrow m=\frac { 2\pm 4i }{ 2 } \\ \Rightarrow m=1\pm 2i
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन होगा-

z={ \phi }_{ 1 }(y+x+2ix)+{ \phi }_{ 2 }\left( y+x-2ix \right)

  • उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients) को ज्ञात करना सीख सकते हैं।

4.अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन के सवाल (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients Questions)-

  • (1.)2r+5s+2t=0 \\ (2.)r+t+2s=0 \\ (3)\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ { \partial x }^{ 3 } } -3\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ { \partial x }^{ 2 }\partial y } +2\frac { { \partial }^{ 3 }z }{ \partial x{ \partial y }^{ 2 } } =0\\ (4)25\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ { \partial x }^{ 2 } } -40\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ { \partial x }\partial y } +16\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ { \partial y }^{ 2 } } =0\\ (5)\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ { \partial x }^{ 4 } } +\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ { \partial x }^{ 4 } } =2\frac { { \partial }^{ 4 }z }{ { \partial x }^{ 2 }{ \partial y }^{ 2 } } \\ (6)({ D }^{ 4 }-2{ D }^{ 3 }{ D }^{ \prime }+2D{ D }^{ \prime (3) }-{ D }^{ \prime (4) })z=0
  • उत्तर-(1)z={ { \phi } }_{ 1 }(y-2x)+{ { \phi } }_{ 2 }(2y-x)\\ (2)z={ { \phi } }_{ 1 }(y-x)+x{ { \phi } }_{ 2 }(y-x)\\ (3)z={ { \phi } }_{ 1 }(y+x)+{ { \phi } }_{ 2 }(y-x)+{ { \phi } }_{ 3 }(y+ix)+{ { \phi } }_{ 4 }(y-ix)\\ (4)z={ { \phi } }_{ 1 }(5y+4x)+{ { x\phi } }_{ 2 }(5y+4x)\\ (5)z={ { \phi } }_{ 1 }(y-x)+x{ { \phi } }_{ 2 }(y-x)+{ { \phi } }_{ 3 }(y+x)+x{ { \phi } }_{ 4 }(y+x)\\ (6)z={ { \phi } }_{ 1 }(y-x)+{ { \phi } }_{ 2 }(y+x)+x{ { \phi } }_{ 3 }(y+x)+{ x }^{ 2 }{ { \phi } }_{ 4 }(y+x)
  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of homogeneous Equation with constant coefficients) को ज्ञात करना ठीक से समझा जा सकता है।

5.पूरक फलन क्या है? (What is the complementary function?)-

  • पूरक फलन परिभाषा है – रैखिक अवकल समीकरण के सहायक समीकरण का व्यापक हल।

6. आप एक पूरक फलन कैसे लिखते हैं? (How do you write a complementary function?)-

  • एक पूरक फलन एक समघात, रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक हल है।पूरक फ़ंक्शन को खोजने के लिए हमें निम्नलिखित गुणधर्म का उपयोग करना चाहिए।{ y }_{ c }=f\left( x \right) =A{ y }_{ 1 }(x)+B{ y }_{ 2 }(x) जहाँ A, B स्थिरांक हैं।

7.एक अचर गुणांक समीकरण क्या है? (What is a constant coefficient equation?)-

  • एक अवकल समीकरण में अचर गुणांक होते हैं यदि केवल अचर फ़ंक्शन संबंधित समघात समीकरण में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।डिफरेंशियल इक्वेशन का हल एक ऐसा फंक्शन है जो इक्वेशन को संतुष्ट करता है।एक समघात रैखिक अवकल समीकरण का हल एक वेक्टर स्थान बनाते हैं।

8.कब आप अनिर्धारित गुणांक का उपयोग नहीं कर सकते हैं? (When can you not use undetermined coefficients?)-

  • अनिर्धारित गुणांक (जो हम यहां सीखेंगे) जो केवल तब काम करता है जब f (x) एक बहुपद, घातीय, साइन, कोसाइन या उन का एक रैखिक संयोजन होता है।

9.अचर गुणांक वाले समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Homogeneous linear partial differential equations with constant coefficients)-

  • nth ऑर्डर का एक समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है
    समघात क्योंकि इसके सभी पदों में एक ही क्रम के अवकलज होते हैं।
    समीकरण (1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
    स्थिर गुणांक वाले साधारण रेखीय समीकरणों के मामले में (1) के पूर्ण हल में दो भाग होते हैं,अर्थात् पूरक फलन और विशेष समाकल।

10.अचर गुणांक वाले उच्चतर क्रम के रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (Linear partial differential equations of higher order with constant coefficients)-

  • अचर गुणांक वाले nth क्रम के रैखिक समघातीय अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है
    { y }^{ n }(x)+{ a }^{ 1 }{ y }^{ n-1 }(x)+....+{ a }^{ n-1 }{ y }^{ \prime }(x)+{ a }^{ n }y(x)=0
    जहाँ { a }_{ 1 },{ a }_{ 2 }....... एक स्थिरांक हैं जो वास्तविक या सम्मिश्र हो सकते हैं।
    रैखिक अवकल ऑपरेटर L (D) का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप में दर्शाया जा सकता है
    L (D) y (x) = 0,जहां L(D)={ D }^{ n }+{ a }^{ 1 }{ D }^{ n-1 }+....+{ a }^{ n-1 }{ D }+{ a }^{ n }.
  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अचर गुणांकों वाले समघात समीकरण का पूरक-फलन (Complementary Function of Homogeneous Equation with constant coefficients) की शब्दावली को समझ सकते हैं।

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