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Mathematician Gabriel Cramer

1.गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर का परिचय (Introduction to Mathematician Gabriel Cramer)-

गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) के बारे में इस आर्टिकल में बताया गया है।इससे पूर्व हम भारत तथा विश्व के कई महत्तवपूर्ण गणितज्ञों के बारे में आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं।
इस आर्टिकल को पोस्ट करने का हमारा यह उद्देश्य है कि एक तो हम हमारे महान गणितज्ञों के बारे में परिचित हो। दूसरा उद्देश्य यह है कि महान गणितज्ञों की जीवनी, उनके कार्यों तथा उनके द्वारा किए गए संघर्ष से हमें प्रेरणा मिलती है।
इसी कड़ी में हम महान गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) के बारे में आपको परिचित करा रहे हैं।
गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) का जन्म 31 जुलाई ,1704 में जिनेवा में हुआ था।
कम उम्र में ही उन्होंने गणित में अपनी प्रतिभा का परिचय करा दिया था।इसलिए 18 वर्ष की उम्र में ही उन्होंने पीएचडी कर ली थी।
17वीं व 18वीं शताब्दी में गणितज्ञों को आज जितनी सुविधा व स्वतंत्रता नहीं थी।फिर भी ऐसे महान गणितज्ञों के कारण गणित का विकास हुआ।
इन महान् गणितज्ञों के कारण गणित का विकास नहीं हुआ होता तो विज्ञान का जितना विकास हुआ हम देख रहे हैं तथा उन सुविधाओं का लाभ उठा रहे हैं वैसा हम प्राप्त नहीं कर पाते।
इसलिए ऐसे महान गणितज्ञों के योगदान को स्मरण करना तथा उनके जीवन से प्रेरणा ग्रहण करने का हमारा कर्तव्य बनता है।
गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) ने बीजगणित के क्षेत्र में उल्लेखनीय कार्य किया है।कई प्रमेय क्रैमर नियम के नाम से विख्यात हैं जो आज भी हमें गणित में पढ़ने को मिलती है।
गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) की जीवनी, संक्षिप्त परिचय तथा उनके द्वारा किया गया कार्य का उल्लेख नीचे आर्टिकल में किया गया है।
हालांकि उनकी मृत्यु कम उम्र में ही अर्थात 47 वर्ष की आयु में ही हो गई थी तब भी उन्होंने इतनी कम उम्र में गणित के क्षेत्र में इतना अद्भुत कार्य किया है कि उनके द्वारा गणित के क्षेत्र में किए गए कार्य की वजह से हमेशा याद किए जाते रहेंगे।
उनके द्वारा किए गए कार्य की वजह से वे अमर हो गए हैं। हालांकि उनके द्वारा किए गए कार्य का पूर्ण उल्लेख करना तो इस छोटे से आर्टिकल में संभव नहीं है परंतु जितना कुछ इस छोटे से आर्टिकल में महान गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) के बारे में लिखा जा सकता है उतना लिख रहे हैं।
छोटी सी उम्र में गणित के लिए उन्होंने घूम-घूमकर कई गणितज्ञों के साथ कार्य किया,उनके कार्यों को समझा।हमेशा गणित के लिए समर्पित रहकर कार्य किया।
उनके द्वारा की गई यात्राओं तथा लगातार परिश्रम के कारण जल्दी ही वे अस्वस्थ हो गए ,जिसका खामियाजा उनको भुगतना पड़ा।
इस प्रकार बहुत लंबी-लंबी यात्राओं और कठिन परिश्रम के कारण अल्पायु में ही उनका निधन हो गया।
इस आर्टिकल में बताया गया है कि गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) ने कहां-कहां तथा कितनी यात्राएं कर के गणित संबंधी कार्य किया।
उनके जैसा जुनून बहुत कम गणितज्ञों में देखने को मिलता है।अपने कार्यों के द्वारा गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) हमेशा याद किए जाते रहेंगे।
गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) ने अपनी प्रतिभा को निखारने, उभारने के लिए कठिन प्रयास किया जिसको देखकर हम आश्चर्यचकित हुए बिना नहीं रह सकते हैं।
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2.गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer)-

(1.) संक्षिप्त परिचय (Brief Introduction)-

गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer)
(1704-1752)।
जन्म- 31 जुलाई 1704
जिनेवा, जिनेवा गणराज्य
मृत्यु- 4 जनवरी 1752 (आयु 47)
बैग्नोल्स-सुर-सेज, फ्रांस
राष्ट्रीयता -Genevan
अल्मा मेटर- जिनेवा विश्वविद्यालय
पहचान-Cramer का नियम,
बीजीय वक्रों के लिए क्रैमर्स प्रमेय,क्रैमर का विरोधाभास
वैज्ञानिक करियर-गणित और भौतिकी क्षेत्र
जिनेवा के संस्थान विश्वविद्यालय
गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) (फ्रेंच); 31 जुलाई 1704 – 4 जनवरी 1752) एक जिनेवन गणितज्ञ थे।वह चिकित्सक जीन क्रैमर और ऐनी मैलेट क्रैमर के पुत्र थे।

(2.)गेब्रियल क्रैमर की जीवनी [Gabriel cramer biography]

कम उम्र में ही क्रैमर ने गणित में वादा दिखाया।18 साल की उम्र में उन्होंने डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की और 20 साल की उम्र में वे जिनेवा विश्वविद्यालय में गणित के सह-अध्यक्ष थे।
1728 में उन्होंने सेंट पीटर्सबर्ग पैराडॉक्स के लिए एक प्रस्ताव रखा जो कि डैनियल बर्नौली द्वारा दस साल बाद दिए गए अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत की अवधारणा के बहुत करीब आया।
उन्होंने अपने सबसे प्रसिद्ध काम को अपने चालीसवें वर्ष में प्रकाशित किया।इसमें बीजगणितीय वक्रों (1750) पर उनका ग्रंथ शामिल था।इसमें सबसे प्रारंभिक प्रदर्शन होता है कि सामान्य स्थिति में, n-th डिग्री का एक वक्र n (n + 3) / 2 बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।(क्रैमर का प्रमेय (बीजगणितीय वक्रों की प्रमेय देखें)।) इससे भ्रांति पैदा हुई जो कि क्रैमर का विरोधाभास है,जो वक्र को निर्धारित करने वाले बिंदुओं की संख्या की तुलना में दो घटता के चौराहों की संख्या से संबंधित है।
उन्होंने दो बड़े बर्नुलिस के कार्यों को संपादित किया, और ग्रहों के गोलाकार आकार और उनके अप्साइड्स (1730) की गति के भौतिक कारण और न्यूटन के क्यूबिक कर्व्स (1746) के उपचार पर लिखा।
1750 में उन्होंने क्रैमर के नियम को प्रकाशित किया, जो कि सिस्टम द्वारा निहित निर्धारकों के संदर्भ में एक रेखीय समीकरण प्रणाली में किसी अज्ञात के लिए समाधान का एक सामान्य सूत्र देता है।यह नियम अभी भी मानक है।
उन्होंने 1730 के दशक के अंत में पूरे यूरोप में व्यापक यात्रा की, जिसने गणित में उनके कार्यों को बहुत प्रभावित किया।उनकी 1752 में Bagnols-sur-Cèze में मृत्यु हो गई,जबकि अपने स्वास्थ्य को बहाल करने के लिए दक्षिणी फ्रांस में यात्रा कर रहे थे।

3.चयनित कार्य (Selected work),गणित में गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर का योगदान (Contribution of Mathematician Gabriel Cramer in Mathematics)-

बीजगणितीय घुमावदार रेखाओं के विश्लेषण का परिचय, 1750
ग्रहों की अण्डाकार आकृति और उनके उदासीनता की गतिशीलता का कारण क्या है?, जेनेवा, 1730
Google पुस्तकों में बीजगणितीय घुमावदार रेखाओं के विश्लेषण का परिचय।  जिनेवा: ब्रदर्स क्रैमर एंड क्लि. फिलाबर्ट, 1750
यह भी देखें
Cramer-Castillon समस्या
Devil’s curve
जीन-लुई कैलेन्डरिनी

4.गेब्रियल क्रैमर का परिवार (Gabriel cramer family)-

गेब्रियल क्रैमर के पिता जीन इसाक क्रैमर थे,जो जेनेवा में एक मेडिकल डॉक्टर थे, जबकि उनकी मां ऐनी मैलेट थी।  जीन और ऐनी के तीन बेटे थे जो सभी शैक्षणिक सफलता के लिए आगे बढ़े।गेब्रियल के अलावा, उनके अन्य दो बेटे जीन-एंटोन थे जिन्होंने अपने पिता के पेशे का पालन किया और जीन जो कानून के प्रोफेसर बन गए।

5.गेब्रियल क्रैमर की शिक्षा (Gabriel cramer education)-

गेब्रियल निश्चित रूप से जिनेवा में अपनी शिक्षा के माध्यम से तेजी से आगे बढ़े, और 1722 में जब वे केवल अठारह साल के थे, तब उन्हें एक डॉक्टरेट से सम्मानित किया गया था, जिन्होंने ध्वनि के सिद्धांत पर एक थीसिस प्रस्तुत की थी।दो साल बाद वह जिनेवा में एकडेमी जिनेवा में एकेडेमी डॉ. केल्विन में दर्शन की कुर्सी के लिए प्रतिस्पर्धा कर रहे थे।

6.गेब्रियल क्रैमर के बारे में सूचना (Gabriel cramer information in hindi),गेब्रियल क्रैमर निबंध (Gabriel cramer essay)-

कुर्सी के लिए प्रतियोगिता तीन पुरुषों के बीच थी;  सबसे बड़ी थी अमेडी डे ला रिवे जबकि अन्य दो युवा पुरुष थे,जियोवन्नी लुडोविको कैलेन्डरिनी ( Giovanni Ludovico Calandrini) जो इक्कीस साल की थी और Cramer जो एक साल छोटा था।मजिस्ट्रेट जो नियुक्ति कर रहे थे, वे अधिक अनुभव वाले वृद्ध व्यक्ति के पक्षधर थे, लेकिन वे प्रतिभाशाली दो युवकों से इतने प्रभावित थे कि उन्होंने तीनों की सेवाओं को प्राप्त करने में सक्षम बनाने के लिए एक चतुर योजना बनाई।स्पष्ट रूप से वे भविष्य की ओर देख रहे थे और Cramer और Calandrini दो लोगों को देख रहे थे जो अकादमी के लिए महत्वपूर्ण भविष्य का योगदान देंगे।
मजिस्ट्रेट ने जिस योजना का प्रस्ताव किया था,वह यह थी कि दर्शन की कुर्सी को दो कुर्सियों में विभाजित किया जाए, एक कुर्सी को दर्शन की और एक कुर्सी को गणित की।  डे ला रिवे (अमेडी डे ला रिवे) को दर्शन कुर्सी की पेशकश की गई थी, जो कि आखिरकार उसने पहले स्थान पर आवेदन किया था,जबकि क्रैमर और कैलेन्डरिनी को गणित की कुर्सी इस समझ के साथ दी गई थी कि वे कर्तव्यों को साझा करते हैं और वेतन साझा करते हैं।मजिस्ट्रेटों ने नियुक्ति पर एक और शर्त भी रखी, अर्थात् क्रैमर और कैलेन्डरिनी प्रत्येक दो या तीन साल की यात्रा करते हैं और जबकि एक दूसरे से दूर कर्तव्यों की पूरी सूची और पूर्ण वेतन पर ले जाएगा।यह एक अच्छी योजना थी, जिसने न केवल तीनों व्यक्तियों को अकादमी में सफलतापूर्वक आकर्षित किया, बल्कि इसने Cramer को यूरोप के आसपास के गणितज्ञों की यात्रा करने और मिलने का अवसर भी दिया और उन्हें इसका पूरा लाभ उठाना था, जिससे उन्हें और अकादमी दोनों को फायदा हुआ।
Cramer और Calandrini ने गणित के प्रत्येक पाठ्यक्रम को विभाजित किया।क्रेमर ने ज्यामिति और यांत्रिकी पढ़ाया,जबकि कैलेंडरिनी ने बीजगणित और खगोल विज्ञान पढ़ाया।दोनों को व्यवस्था में जोड़ा गया था और उनके दोस्तों ने उन्हें कैस्टर और पोलक्स कहकर मजाक उड़ाया।अगर उनके व्यक्तित्व अलग होते तो व्यवस्था सभी प्रकार की कठिनाइयों को प्रस्तुत कर सकती थी, लेकिन उनकी बातों को देखते हुए उल्लेखनीय ढंग से काम किया गया।माना जाता है कि क्रैमर: –
… दोस्ताना, अच्छा-हास्य, आवाज और उपस्थिति में सुखद,और अच्छी स्मृति, निर्णय और स्वास्थ्य के साथ।
हमें यह धारणा नहीं देनी चाहिए कि Cramer सिर्फ शिक्षण के मौजूदा पैटर्न में फिट है।उन्होंने एक प्रमुख नवाचार का प्रस्ताव किया, जिसे अकादमी ने स्वीकार किया, जो यह था कि उन्होंने उस समय के विद्वानों की पारंपरिक भाषा लैटिन के बजाय फ्रेंच में अपने पाठ्यक्रम पढ़ाए: –
… आदेश में उन लोगों को जो इन विज्ञानों के लिए एक स्वाद था, लेकिन कोई लैटिन लाभ नहीं कर सकता था।
1724 में नियुक्त, क्रैमर ने अपनी नियुक्ति की शर्तों का पालन किया और 1727 में यात्रा करने के दो वर्षों के लिए निर्धारित किया।उन्होंने यूरोप के कई अलग-अलग शहरों और देशों में अग्रणी गणितज्ञों का दौरा किया।वह सीधे बेसेल के लिए रवाना हुए, जहां कई प्रमुख गणितज्ञ काम कर रहे थे, जोहान बर्नौली के साथ काम करते हुए पांच महीने बिताए, और यूलर भी जो जल्द ही सेंट पीटर्सबर्ग से डैनियल बर्नौली के साथ चले गए।क्रैमर ने तब इंग्लैंड का दौरा किया जहां वह हैली, डी मोइवर, स्टर्लिंग और अन्य गणितज्ञों से मिले।इन गणितज्ञों के साथ उनकी चर्चा और जिनेवा लौटने के बाद उनके साथ जारी पत्राचार ने क्रैमर के काम पर एक बड़ा प्रभाव डाला।
इंग्लैंड से क्रैमर ने लीडेन के लिए अपना रास्ता बनाया जहां वह ‘sGravesande’ से मिले, फिर वे पेरिस चले गए, जहां उन्होंने फोंटनेल, मूपर्टिसेन, बफन, क्लैरट (Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut) और अन्य लोगों के साथ चर्चा की।यात्रा के इन दो वर्षों में क्रैमर के करियर के लिए स्वर सेट करना था,क्योंकि वह उन सभी गणितज्ञों से बहुत अधिक माना जाता था, जिनसे वह जीवन भर उनके साथ मेल खाता था, और उन्हें अपने कार्यों के संपादक के रूप में कई अत्यंत मूल्यवान प्रमुख कार्य करने थे।

7.गेब्रियल क्रैमर के बारे में 10 तथ्य (Gabriel cramer 10 facts,Gabriel cramer facts)-

(1.)1729 में जिनेवा में वापस, क्रैमर पेरिस अकादमी द्वारा 1730 के लिए निर्धारित पुरस्कार के लिए एक प्रविष्टि पर काम कर रहा था, जो कि “ग्रहों के अण्डाकार आकार और उनके उदासीनता की गतिशीलता का कारण क्या है?” क्रैमर की प्रविष्टि को अकादमी द्वारा प्राप्त दूसरे सर्वश्रेष्ठ के रूप में आंका गया, जोहान बर्नौली द्वारा जीता जा रहा पुरस्कार।  1734 में “ट्विन्स” विभाजित हो गया जब कैलेंड्रिनी को दर्शन की कुर्सी पर नियुक्त किया गया और क्रैमर गणित के अध्यक्ष के एकमात्र धारक बन गए।
(2.)Cramer ने एक व्यस्त जीवन व्यतीत किया, कई गणितज्ञों के साथ अपने शिक्षण और पत्राचार के अलावा, उन्होंने काफी रुचि के लेखों का उत्पादन किया, हालांकि ये उन शीर्ष गणितज्ञों द्वारा लिखे गए लेखों के महत्व के बारे में नहीं हैं जिनके साथ उन्होंने पत्राचार किया था।उन्होंने 1734 में पेरिस अकादमी के संस्मरण और 1748, 1750 और 1752 में बर्लिन अकादमी के संस्मरण सहित कई स्थानों पर लेख प्रकाशित किए।लेखों में ज्यामितीय समस्याओं का अध्ययन, गणित का इतिहास, दर्शन, सहित विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है।और ईस्टर की तारीख।उन्होंने रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन के दार्शनिक लेन-देन में अरोरा बोरेलिस पर एक लेख प्रकाशित किया और उन्होंने कानून पर एक लेख भी लिखा जहां उन्होंने एक गवाह की तुलना में दो या तीन गवाहों से स्वतंत्र गवाही के महत्व को प्रदर्शित करने की संभावना को लागू किया।
उनका काम अकादमिक क्षेत्रों तक ही सीमित नहीं था, क्योंकि उन्हें स्थानीय सरकार में भी दिलचस्पी थी और 1734 में दो सौ की परिषद के सदस्य और 1749 में सातवीं परिषद के सदस्य के रूप में कार्य किया। इन परिषदों पर उनके काम में उनके पारंपरिक गणितीय का उपयोग करना शामिल था।वैज्ञानिक ज्ञान के लिए, उन्होंने तोपखाने, किलेबंदी, इमारतों के पुनर्निर्माण, उत्खनन से जुड़े कार्यों को अंजाम दिया और उन्होंने एक कट्टरपंथी के रूप में काम किया।उन्होंने 1747 में विदेश की दूसरी यात्रा की, इस बार केवल पेरिस का दौरा किया जहां उन्होंने फॉन्टेनेल के साथ अपनी दोस्ती का नवीकरण किया और साथ ही डिएम्बर्ट से मुलाकात की।
(3.)क्रैमर के गणितीय कार्य के दो क्षेत्र हैं जिन्हें हमें उजागर करना चाहिए।यह संपादकीय कार्य है जिसे उन्होंने शुरू किया और उनके प्रमुख गणितीय कार्य परिचय ए लिंगालीस देस लिग्नेस ने 1750 में बीजीय घुमावदार लाइनों के विश्लेषण के लिए प्रकाशित किया।
(4.)जोहान बर्नौली की मृत्यु 1748 में, क्रैमर से तीन या इतने साल पहले ही हो गई थी, लेकिन उन्होंने अपनी मृत्यु से पहले क्रैमर को अपनी पूरी रचना प्रकाशित करने की व्यवस्था की। यह दर्शाता है कि बर्नौली का क्रैमर के प्रति कितना सम्मान था कि उन्होंने जोर देकर कहा कि क्रैमर के अलावा किसी भी संपादक द्वारा उनके कार्यों का कोई अन्य संस्करण प्रकाशित नहीं किया जाएगा।जोहान बर्नौली का कम्प्लीट वर्क्स क्रैमर द्वारा 1742 में चार खंडों में प्रकाशित किया गया था। न केवल जोहान बर्नौली ने क्रैमर को अपनी पूर्ण रचनाओं को प्रकाशित करने की व्यवस्था की,लेकिन उन्होंने यह भी अनुरोध किया कि वे जैकब बर्नौली के कार्यों को संपादित करें।जैकब बर्नौली की मृत्यु 1705 में हो गई थी और क्रैमर ने 1744 में दो वर्क्स में अपने वर्क्स को प्रकाशित किया था। ये पूरी नहीं होती हैं क्योंकि Ars conjectandi, को छोड़ दिया जाता है, लेकिन वॉल्यूम में पहले से अप्रकाशित सामग्री और उन्हें समझने के लिए आवश्यक गणितीय पृष्ठभूमि होती है।1745 में, जोहान कैस्टिलन के साथ संयुक्त रूप से, क्रैमर ने जोहान बर्नौली और लीबनिज़ के बीच पत्राचार प्रकाशित किया।क्रैमर ने क्रिश्चियन वोल्फ द्वारा पाँच वॉल्यूम के काम को भी संपादित किया, पहली बार 1732 और 1741 के बीच 1743 और 1752 के बीच एक नए संस्करण के साथ प्रकाशित हुआ।
अंत में हमें क्रैमर की सबसे प्रसिद्ध पुस्तक बीजीय घुमावदार लाइनों के विश्लेषण के लिए का परिचय (Introduction  to the analysis of algebraic curved lines) का वर्णन करना चाहिए।यह एक काम है जिसे क्रैमर ने क्यूबिक वक्रों पर न्यूटन के संस्मरण पर मॉडलिंग की और उन्होंने स्टर्लिंग द्वारा लिखित न्यूटन के संस्मरण पर एक टिप्पणी की अत्यधिक प्रशंसा की।वह यह भी टिप्पणी करता है कि वह अनंत का विश्लेषण में परिचय (Introduction in analysis of the infinite) में यूलर इंट्रोडियो के बारे में जानता था ,पहले उसने इसका बहुत उपयोग किया होगा।  बेशक यूलर की किताब केवल 1748 में प्रकाशित हुई थी, उस समय क्रैमर की बहुत अच्छी किताब लिखी गई होगी।  जोन्स लिखते हैं:
(5.)उन्होंने कहा कि यूलर के काम का बहुत कम उपयोग किया गया है, बल्कि आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि अपनी पुस्तक में क्रैमर अनिवार्य रूप से लिनिबिज या न्यूटन के किसी भी रूप में इन्फिनिटिमल कैलकुलस का उपयोग नहीं करता है, हालांकि वह स्पर्शरेखा, मैक्सिमा और मिनिमा और वक्रता जैसे विषयों से संबंधित है। और फुटनोट्स में मैकलॉरिन और टेलर का हवाला देते हैं।  एक अनुमान है कि उन्होंने कभी भी अवकलन को स्वीकार या महारत हासिल नहीं की।
(6.)Cramer ने जिस गणना में कभी भी महारत हासिल नहीं की, उसे संदिग्ध माना जाना चाहिए, विशेष रूप से यह उच्च सम्मान दिया जाता है कि वह जोहान बर्नौली द्वारा आयोजित किया गया था।
(7.)एक परिचयात्मक अध्याय के बाद जिसमें वक्रों के प्रकारों को परिभाषित किया गया है और उनके रेखांकन को चित्रित करने की तकनीकों पर चर्चा की गई है, क्रैमर एक दूसरे अध्याय पर जाता है जिसमें वक्रों को सरल बनाने के लिए परिवर्तनों का अध्ययन किया जाता है।तीसरा अध्याय वक्रों के वर्गीकरण को देखता है और यह इस अध्याय में है कि अब प्रसिद्ध “क्रैमर का नियम” दिया गया है।डिग्री nके समीकरण में  \frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3n }{ 2 } के रूप में मनमाना स्थिरांक की संख्या देने के बाद, वह यह मानता है कि डिग्री n का समीकरण n बिन्दुओं से गुजरने के लिए बनाया जा सकता है।  n= 5 को लेते हुए, वह 5 बिंदुओं से डिग्री 2 पास के समीकरण बनाने में शामिल पांच स्थिरांक को खोजने का एक उदाहरण देता है।यह 5 अज्ञात में 5 रैखिक समीकरणों की ओर जाता है और वह पाठक को उनके समाधान के लिए Cramer के नियम वाले परिशिष्ट को संदर्भित करता है।  हमें टिप्पणी करनी चाहिए, निश्चित रूप से, कि Cramer निश्चित रूप से यह नियम देने वाला पहला नहीं था।
(8.)Cramer के काम का अन्य “अच्छी तरह से ज्ञात” हिस्सा Cramer के विरोधाभास का वर्णन है।वह मैकलेरिन द्वारा एक प्रमेय बताता है जो कहता है कि घात n का एक समीकरण m घात के समीकरण को mn बिन्दुओं पर समीकरण को काटता है। n = m = 3  यह कहता है कि दो घन 9 बिंदुओं में प्रतिच्छेद करते हैं, फिर भी उसका अपना सूत्र \frac { { n }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 3n }{ 2 } ,n = 3 के साथ 9 है।एक घन विशिष्ट रूप से 9 बिंदुओं से निर्धारित होता है। क्रैमर कहते हैं, यह एक विरोधाभास है, लेकिन विरोधाभास को समझाने की उनकी कोशिश गलत है।
(9.)Cramer का नाम कभी-कभी एक अन्य समस्या से जुड़ा हुआ है, जिसका नाम है Castillon-Cramer समस्या।  क्रैमर द्वारा कैस्टिलन द्वारा प्रस्तावित इस समस्या ने पूछा कि एक सर्कल में एक त्रिकोण कैसे अंकित किया जाए ताकि यह तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरे।कैस्टरिलन ने क्रैमर की मृत्यु के 25 साल बाद समस्या का समाधान किया,और समस्या एक शंकुधारी खंड में उत्कीर्ण बहुभुज के बारे में विभिन्न सामान्यीकरणों पर चली गई।
(10.)क्रैमर ने अपने परिचय पत्र को लिखने और अपने सभी सामान्य कर्तव्यों के अलावा संपादकीय कार्यों की बड़ी मात्रा में काम करने के साथ लंबी अवधि में बहुत मेहनत की थी।  हमेशा अच्छे स्वास्थ्य के लिए, इस ओवरवर्क ने उनकी गाड़ी से गिरने के साथ युग्मित किया, अचानक गिरावट आई।  उन्होंने बिस्तर ठीक करने में दो महीने बिताए, और उनके डॉक्टर ने तब सिफारिश की कि वह अपनी ताकत पूरी तरह से हासिल करने के लिए फ्रांस के दक्षिण में एक शांत अवधि बिताएं।  21 दिसंबर 1751 को जिनेवा छोड़कर उन्होंने अपनी यात्रा शुरू की लेकिन यात्रा के दौरान भी दो सप्ताह बाद उनकी मृत्यु हो गई।
इस प्रकार इस आर्टिकल में गणितज्ञ गेब्रियल क्रेमर (Mathematician Gabriel Cramer) का संक्षिप्त वर्णन किया गया है।

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