1.विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices):
विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में जालक,परिबद्ध जालक,बंटनात्मक जालक आदि के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में जालक पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems on Lattices in Discrete Mathematics):
प्रमेय (Theorem):1.यदि (L,\leq) एक जालक है और \vee तथा \wedge इस पर परिभाषित द्विआधारी संक्रियाएँ हैं तो अवयवों a,b,c \in L के लिए
(If (L,\leq) is a lattice with binary operations \vee and \wedge , then for elements a,b,c \in L )
(i) a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b=a
(ii) a \leq b \Leftrightarrow a \vee b=b
(iii)a \wedge (a \vee b)=a तथा (and) a \vee(a \wedge b)=a
(iv) a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c तथा (and) a \vee (b \vee c)=(a \vee b) \vee c
उपपत्ति (Proof): (i) a \leq b
चूँकि ‘ \leq ‘ स्वतुल्य है अतः a \leq a
अब a \leq a तथा a \leq b \Rightarrow a,\{a, b\} का निम्न परिबन्ध है
\Rightarrow a \leq \operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \Rightarrow a \leq a \wedge b \cdots(1)
पुनः चूँकि a \wedge b=\operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \therefore a \wedge b \leq a \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \wedge b=a
विलोमतःमाना a \wedge b=a
अब a \wedge b=\operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \therefore a \wedge b \leq b \\ \Rightarrow a \leq b \quad [\because a \wedge b=a]
अतः a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b=a
(ii)माना a \leq b ; a, b \in L
चूँकि ‘ \leq ‘ स्वतुल्य है
अतः b \leq b
अब a \leq b तथा b \leq b \Rightarrow b,\{a, b\} का उपरि परिबन्ध है।
\Rightarrow \sup \{a, b\} \leq b \\ \Rightarrow a \vee b \leq b \cdots(1)
पुनः चूँकि a \vee b समुच्चय {a,b} का एक उपरि परिबन्ध है
\therefore \quad b \leq a \vee b \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \vee b=b
विलोमतःमाना a \vee b=b
अब a \vee b=\sup \{a, b\} \\ \therefore a \leq a \vee b \\ \Rightarrow a \leq b \quad[ \because a \vee b=b]
अतः a \leq b \Leftrightarrow a \vee b=b
(iii)चूँकि \leq स्वतुल्य है अतः a \leq b और a \vee b ,a और b का ऊपरि परिबन्ध है,इसलिए
a \leq a \vee b , अतः निम्नक की परिभाषा से
a \leq a \wedge(a \vee b) \cdots(1) \\ \because a \wedge(a \vee b), a तथा a \vee b निम्न परिबन्ध है
\therefore a \wedge(a \vee b) \leq a \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \wedge (a \vee b)=a
इसी प्रकार a \leq a तथा a \wedge b ,a और b का निम्न परिबन्ध है,इसलिए
a \wedge b \leq a ,अतः उच्चक की परिभाषा सेः
a \vee(a \wedge b) \leq a \cdots(3)
\because a \vee(a \wedge b) ,a तथा b का उपरि परिबन्ध है
\therefore a \leq a \vee(a \wedge b) \cdots(4)
(3) तथा (4) सेः
a=a \vee(a \wedge b)
(iv)निम्नक की परिभाषा से
a \wedge(b \wedge c) \leq b \wedge c \leq c \cdots(1)
साथ ही a \wedge (b \wedge c) \leq b \wedge c \leq b तथा a \wedge(b \wedge c) \leq a
अतः निम्नक की परिभाषा से
a \wedge (b \wedge c) \leq a \wedge b \ldots(2)
(1) तथा (2) से,निम्नक की परिभाषा के अनुसार
a \wedge(b \wedge c) \leq(a \wedge b) \wedge c \ldots(3)
पुनः (a \wedge b) \wedge c=c \wedge(a \wedge b) [क्रमविनिमेयता]
\leq(c \wedge a) \wedge b [(3) से]
=b \wedge(c \wedge a) \\ \leq(b \wedge c) \wedge a [(3) से]
=a \wedge(b \wedge c)
अर्थात् (a \wedge b) \wedge c \leq a \wedge(b \wedge c) \cdots(4)
(3) तथा (4) से:
a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c
इसी प्रकार दूसरा भाग
a \vee(b \vee c)=(a \vee b) \vee c
सिद्ध किया जा सकता है।
प्रमेय (Theorem):2.यदि (L,\leq) एक जालक और द्विआधारी संक्रियाएँ \vee तथा \wedge ,समुच्चय L पर परिभाषित हैं,तब स्वेच्छ अवयवों a,b,c,d \in L के लिए,
(If (L,\leq) is a lattice with binary operations \vee and \wedge,then for arbitrary element a,b,c,d \in L)
(i)a \leq b तथा (and) c \leq d \Rightarrow a \wedge c \leq b \wedge d,
(ii) a \leq b तथा (and) c \leq d \Rightarrow a \vee c \leq b \vee d
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक जालक है तथा a,b,c,d \in L
(i) माना a \leq b तथा c \leq d
अब , \because a \wedge c \leq a तथा a \wedge c \leq c
\therefore संक्रामकता गुण से,
a \wedge c \leq a तथा a \leq b \Rightarrow a \wedge c \leq b
और a \wedge c \leq c तथा c \leq d \Rightarrow a \wedge c \leq d
पुनः a \wedge c \leq b तथा a \wedge b \leq d \Rightarrow a \wedge c, b तथा d का निम्न परिबन्ध है।
\Rightarrow a \wedge c \leq b \wedge d
(ii)माना a \leq b, c \leq d
अब b \leq b तथा d \leq b \vee d
संक्रामकता गुण से,
a \leq b और b \leq b \vee d \Rightarrow a \leq b \vee d
तथा c \leq d और d \leq b \vee d \Rightarrow c \leq b \vee d
पुनः a \leq b \vee d तथा c \leq b \vee d \Rightarrow b \vee d, a तथा c का ऊपरि परिबन्ध है
\Rightarrow a \vee c \leq b \vee d
प्रमेय (Theorem):3.यदि (L,\leq) एक जालक है और समुच्चय L पर \vee तथा \wedge द्विआधारी संक्रियाएँ परिभाषित हैं तब स्वेच्छ अवयवों a,b,c \in L के लिए,
(If (L,\leq)is a lattice with binary operations \vee and \wedge , the for arbitrary elements a,b,c \in L)
(i) a \wedge(b \vee c) \geq (a \wedge b) \vee (a \wedge c),
(ii) a \vee(b \wedge c) \leq(a \vee b) \wedge(a \vee c)
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक जालक है तथा a,b,c \in L
(i)चूँकि a \wedge b \leq a तथा a \wedge b \leq b \leq b \wedge c \\ \therefore a \wedge b \leq a \wedge(b \vee c) \cdots(1)
इसी प्रकार a \wedge c \leq a तथा a \wedge c \leq c \leq b \wedge c \\ \therefore a \wedge c \leq a \wedge (b \vee c) \cdots(2)
(1) तथा (2) से,
a \wedge (b \vee c), a \wedge b तथा a \wedge c का ऊपरि परिबन्ध है
अतः (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \leq a \wedge (b \vee c) \\ \therefore a \wedge(b \vee c) \geq (a \wedge b) \vee(a \wedge c)
(ii) \because a \leq a \vee b तथा b \wedge c \leq b \leq a \vee b
अतः a \vee b, a तथा b \wedge c का ऊपरि परिबन्ध है
\therefore a \vee(b \wedge c) \leq a \vee b \cdots(3)
इसी प्रकार a \leq a \vee c तथा b \wedge c \leq c \leq a \vee c \\ \Rightarrow a \vee(b \wedge c) \leq a \vee c \cdots(4)
(3) तथा (4) से,
\therefore a \vee(b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge(a \vee c)
प्रमेय (Theorem):4.किसी जालक का द्वैती भी एक जालक होता है।
(The dual of a lattice is also lattice):
उपपत्ति (Proof):माना (L,R) एक जालक है,जहाँ R,अरिक्त समुच्चय L पर एक आंशिक क्रमित सम्बन्ध है।तब (L,R) एक पोसैट है।माना R^{-1} ,R का प्रतिलोम सम्बन्ध है,तब R^{-1} भी एक आंशिक क्रमित सम्बन्ध है।फलस्वरूप (L,R^{-1}) एक पोसैट है।
हम सिद्ध करेंगे कि समुच्चय L के किन्हीं भी दो अवयवों a और b से बने उपसमुच्चय {a,b} का R^{-1} के सापेक्ष निम्नक a \vee b तथा उच्चक a \wedge b हैं।
\because a, b \in L
\therefore R के सापेक्ष a \vee b=\sup \{a, b\} [\because (L,R) एक जालक है]
\therefore a R(a \vee b) तथा b R(a \vee b)
\Rightarrow (a \vee b) R^{-1} a तथा (a \vee b) R^{-1} b
\Rightarrow a \vee b, R^{-1} के सापेक्ष a और b का निम्न परिबन्ध है।
अब यदि C, R^{-1} के सापेक्ष a और b का कोई अन्य निम्न परिबन्ध है तो,
c R^{-1} a तथा c R^{-1} b
\Rightarrow aRc तथा bRc
\Rightarrow C,R के सापेक्ष,a और b का ऊपरि परिबन्ध है।
\Rightarrow(a \vee b) R c[\because a \vee b=\sup \{a, b\}]
\Rightarrow c R^{-1}(a \vee b)
अतः (a \vee b), R^{-1} के सापेक्ष a और b का निम्नक है।
अर्थात् (L, R^{-1}) में a \vee b=\operatorname{Inf}\{a, b\}
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि
\left(L, R^{-1}\right) में a \wedge b=\operatorname{Sub}\{a, b\}
अतः (L,R^{-1}) का एक जालक है।
परिबद्ध जालक (Bounded lattices):
माना (L,\leq) एक जालक है।तब एक अवयव 1 से हमारा तात्पर्य समुच्चय L के उपरिबन्ध (Upper bound) से है (अर्थात् प्रत्येक a \in l के लिए a \leq 1)।स्पष्ट है कि जालक का 1 अद्वितीय होता है।(यदि यह विद्यमान है) इसी प्रकार अवयव 0 से तात्पर्य L के निम्न परिबन्ध (lower bound) से है (प्रत्येक a \in l के लिए 0 \leq a ).जालक का निम्न परिबन्ध 0 अद्वितीय होता है (यदि यह विद्यमान है)।
जालक (L,\leq) परिबद्ध कहलाता है यदि इसका ऊपरि परिबन्ध (1) तथा निम्न परिबन्ध (0) L में उपस्थित है।
टिप्पणी (Remark):यहाँ पर 1 तथा 0 केवल संकेत हैं,संख्याएँ नहीं।
प्रमेय (Theorem):5.माना (L,\leq) जालक के ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध 1 तथा 0 हैं।तब प्रत्येक a \in L के लिए
(Let (L,\leq) be a lattice with 1 and 0 as its upper and lower bounds,then \forall a \in L )
(i) a \vee 1=1 तथा (and) a \wedge 1=a
(ii) a \vee 0=0 तथा (and) a \wedge 0=0
उपपत्ति (Proof):(i)माना a \in L चूँकि 1,L का ऊपरि परिबन्ध है
\therefore a \vee 1 \leq 1 \cdots(1)
पुनः चूँकि a \vee 1 ,अवयवों a तथा 1 का उच्चक है
\therefore 1 \leq a \vee 1 \cdots(2)
(1) तथा (2) से, a \vee 1=1
अब चूँकि a \wedge 1 ,अवयवों a तथा 1 का निम्नक है
\therefore a \wedge 1 \leq a \cdots(3)
[ \because स्वतुल्यता तथा 1,L का ऊपरि परिबन्ध है]
और a \wedge 1 ,निम्नक है
पुनः a \leq a तथा a \leq 1
एवं a \wedge 1 निम्नक है
\therefore a \leq a \wedge 1 \cdots(4)
(3) तथा (4) से, a \wedge 1=a
(ii)माना a \in L तब 0 \leq a तथा a \leq a
\therefore a \vee 0 \leq a [ \because 0,L का निम्न परिबन्ध है तथा स्वतुल्यता] ……..(5)
परन्तु चूँकि a \vee 0 ,अवयवों a तथा 0 का उच्चक है
\therefore a \leq a \vee 0 \cdots(6)
(5) तथा (6) से,
a \vee 0=a
अब चूँकि a \wedge 0 ,अवयवों a तथा 0 का निम्नक है।
\therefore a \wedge 0 \leq 0 \cdots(7)
पुनः 0 \leq a तथा 0 \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a \wedge 0 \cdots(8)
(7) तथा (8) सेः
a \wedge 0
बंटनात्मक जालक (Distributive lattices):
जालक a \in L बंटनात्मक जालक (distributive lattice) कहलाता है यदि \forall a, b, c \in L
(i)a \wedge(b \vee c)=(a \wedge b) \vee(a \wedge c)
(ii)a \vee(b \wedge c)=(a \vee b) \wedge(a \vee c) [बंटन नियम (Distributive laws)]
जालक के अवयव का पूरक (Complement of an element of a lattice):
माना a \in L एक परिबद्ध जालक है,जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 और 0 है।तब अवयव x \in L ,किसी अवयव a \in L का पूरक कहलाता है यदि
a \vee x = 1 तथा a \wedge x=0
a \in L के पूरक को प्रायः a’ द्वारा निरूपित करते हैं।
अतः a \vee a^{\prime}=1 तथा a \wedge a^{\prime}=0
प्रमेय (Theorem):6.माना (L,\leq) एक परिबद्ध बंटनात्मक जालक है।यदि अवयव a \in L का पूरक विद्यमान है तो वह अद्वितीय है।
(Let (L,\leq) be bounded distributive lattice.If element a \in L ,has a complement then it is unique.)
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक बंटनात्मक परिबद्ध जालक है जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 तथा 0 है।
माना b तथा c किसी अवयव के दो भिन्न-भिन्न पूरक हैं।तब,
a \vee b=1 और a \wedge b=0
तथा a \vee c=1 और a \wedge c=0
अब चूँकि L,बंटनात्मक है;
अतः b=b \vee 0=b \vee(a \wedge c)=(b \vee a) \wedge(b \vee c) \\ =1 \wedge(b \vee c)=b \vee c \cdots(1)
तथा c=c \vee 0=c \vee(a \wedge b)=(c \vee a) \wedge(c \vee b) \\ =1 \wedge(c \vee b)=c \vee b=b \vee c \cdots(2)
(1) तथा (2) से,b=c
अर्थात् a \in L का पूरक अद्वितीय है।
पूरित जालक (Complemented lattice):
परिबद्ध जालक (L,\leq) एक पूरित जालक (Complemented lattice) कहलाता है यदि इसके प्रत्येक अवयव का पूरक जालक में विद्यमान है।
प्रमेय (Theorem):7.यदि (L,\leq) एक बंटनात्मक पूरित जालक है,तो \forall a, b \in L
(i) (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime}\wedge b^{\prime}
(ii)(a \wedge b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime} [डी-मार्गन नियम (De-Morgon’s laws)]
(If (L,\leq) is a complemented distributive lattice,then for all \forall a, b \in L )
(i) (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime}\wedge b^{\prime}
(ii)(a \wedge b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime}
उपपत्ति (Proof):(i). \forall a, b \in L \\ (a \vee b) \vee\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right) =\left[(a \vee b) \vee a^{\prime}\right] \wedge [(a \vee b) \vee b^{\prime}] [ \because L,बंटनात्मक है]
=\left[\left(a \vee a^{\prime}\right) \vee b\right] \wedge\left[a \vee \left(b \vee b^{\prime} \right)\right] [साहचर्यता और क्रमविनिमेयता से]
=[1 \vee b] \wedge[a \vee 1]=1 \wedge 1=1 \cdots(1)
तथा (a \vee b) \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right)=\left[a \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right) \right] \vee\left[b \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[\left(a \wedge a^{\prime}\right) \wedge b^{\prime}\right] \vee\left[a^{\prime} \wedge\left(b \wedge b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[0 \wedge b^{\prime} \right] \vee\left[a^{\prime} \wedge 0\right] \\ =0 \vee 0=0 \cdots(2)
(1) तथा (2) से,स्पष्ट है कि, (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime}
(ii). (a \wedge b) \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)=\left[a \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime} \right)\right] \vee\left[b \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[\left(a \vee a^{\prime} \right) \vee b^{\prime}\right] \wedge\left[a^{\prime} \vee\left(b \vee b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[1 \vee b^{\prime}\right] \wedge\left[a^{\prime} \vee 1\right] \\ =1 \wedge 1=1 \cdots(3)
तथा (a \wedge b) \wedge\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)=[(a \wedge b) \wedge a] \vee[(a \vee b) \wedge b] \\ =\left[\left(a \wedge a^{\prime}\right) \wedge b\right] \vee[a \wedge(b \wedge b^{\prime})] \\ =[0 \wedge b] \vee[a \wedge 0] \\ =0 \vee 0=0 \cdots(4)
(3) तथा (4) से, (a \wedge b)=a^{\prime} \vee b^{\prime}
प्रमेय (Theorem):8.पूरित जालक का द्वैती जालक भी पूरित जालक होता है।
(The dual of a complemented lattice is also a complemented lattice.)
उपपत्ति (Proof):माना (L,R) एक पूरित जालक है जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 तथा 0 हैं।तब (L,R^{-1}) भी एक जालक है।
अवयव 1,जालक (L,R) का उपरि परिबन्ध है अतः
a R 1, \forall a \in L \\ \Rightarrow 1 R^{-1} a , \forall a \in L \Rightarrow 1 जालक (L,R^{-1}) का निम्न परिबन्ध है
इसी प्रकार अवयव 0,जालक (L,R) का निम्न परिबन्ध है अतः
0 R a, \forall a \in L \Rightarrow a R^{-1} 0, \forall a \in L
\Rightarrow O जालक (L,R^{-1}) का उपरि परिबन्ध है
माना कि a \in L
चूँकि (L,R) पूरित है अतः \exists a^{\prime} \in L इस प्रकार कि
a \wedge a^{\prime}=0 तथा a \vee a^{\prime}=1
अतः (L,R) में 0=Inf {a,a’} तथा 1=Sup {a,a’}
\Rightarrow 0Ra,0Ra’ तथा aR1,a’R1
\Rightarrow a R^{-1} 0, a^{\prime} R^{-1} 0 तथा 1 R^{-1} a,1 R^{-1} a^{\prime}
(L,R^{-1}) में a और a’ का ऊपरि परिबन्ध 0 तथा निम्न परिबन्ध 1 है।
अब यदि (L,R^{-1}) में a और a’ का कोई अन्य ऊपरि परिबन्ध k है,तो
a R^{-1} k तथा a^{\prime} R^{-1} k
\Rightarrow kRa तथा kRa’
\Rightarrow k R 0 [ \because (L,R) में a और a’ का निम्नक 0 है]
\Rightarrow 0 R^{-1} k
\Rightarrow 0, (L,R^{-1}) में a और a’ का उच्चक है।
i.e. (L,R^{-1}) में 0=Sup {a,a’}
अतः (L,R^{-1}) में a \vee a^{\prime}=0 \cdots(1)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि, (L,R^{-1}) में
1=Inf {a,a’}
i.e. a \wedge a^{\prime}=1 \cdots(2)
(1) तथा (2) से, (L,R^{-1}) में a का पूरक a’ है।
अतएव (L,R^{-1}) पूरित है।
उपर्युक्त प्रमेयों के द्वारा विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) को समझ सकते हैं।
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3.विविक्त गणित में जालक (Frequently Asked Questions Related to Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.जालक की परिभाषा दीजिए। (Define a Lattice):
उत्तर:आंशिक क्रमित समुच्चय (L, \leq) जिसके किन्हीं भी दो अवयवों से बने उपसमुच्चय [a,b] का उच्चक तथा निम्नक विद्यमान हो,जालक (Lattice) कहलाता है।उपसमुच्चय [a,b] के उच्चक को a \vee b से निरूपित करते हैं तथा इसे a और b का सम्मिलन कहते हैं।इसी प्रकार [a,b] के निम्नक को a \wedge b से निरूपित करते हैं तथा इसे a और b की अवसन्धि (meet) कहते हैं।
प्रश्न:2.जालक का उपयोग कहाँ होता है? (Where is the Lattice Used?):
उत्तर:जालकों (lattices) की अनेक विशेषताओं के कारण,इनका उपयोग,गणित तथा विज्ञान के अनेक क्षेत्रों में,जैसे बूलीय बीजगणित (Boolean algebra) और सूचना प्रवाह निदर्श (model of information flow) में अत्यन्त महत्त्वपूर्ण सिद्ध हुआ है।
उत्तर:(1.) \vee तथा \wedge की परिभाषा से स्पष्ट है कि a \vee b=b \vee a तथा a \wedge b=b \wedge a (क्रमविनिमेयता)
(2.)a \wedge a=a तथा a \vee a=a
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Lattices in Discrete Mathematics
विविक्त गणित में जालक
(Lattices in Discrete Mathematics)
Lattices in Discrete Mathematics
विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में जालक,
परिबद्ध जालक,बंटनात्मक जालक आदि के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
Lattices in Discrete Mathematics
1.विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices):
Lattices in Discrete Mathematics
विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में जालक,परिबद्ध जालक,बंटनात्मक जालक आदि के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में जालक पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems on Lattices in Discrete Mathematics):
प्रमेय (Theorem):1.यदि (L,\leq) एक जालक है और \vee तथा \wedge इस पर परिभाषित द्विआधारी संक्रियाएँ हैं तो अवयवों a,b,c \in L के लिए
(If (L,\leq) is a lattice with binary operations \vee and \wedge , then for elements a,b,c \in L )
(i) a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b=a
(ii) a \leq b \Leftrightarrow a \vee b=b
(iii)a \wedge (a \vee b)=a तथा (and) a \vee(a \wedge b)=a
(iv) a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c तथा (and) a \vee (b \vee c)=(a \vee b) \vee c
उपपत्ति (Proof): (i) a \leq b
चूँकि ‘ \leq ‘ स्वतुल्य है अतः a \leq a
अब a \leq a तथा a \leq b \Rightarrow a,\{a, b\} का निम्न परिबन्ध है
\Rightarrow a \leq \operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \Rightarrow a \leq a \wedge b \cdots(1)
पुनः चूँकि a \wedge b=\operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \therefore a \wedge b \leq a \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \wedge b=a
विलोमतःमाना a \wedge b=a
अब a \wedge b=\operatorname{Inf} \{a, b\} \\ \therefore a \wedge b \leq b \\ \Rightarrow a \leq b \quad [\because a \wedge b=a]
अतः a \leq b \Leftrightarrow a \wedge b=a
(ii)माना a \leq b ; a, b \in L
चूँकि ‘ \leq ‘ स्वतुल्य है
अतः b \leq b
अब a \leq b तथा b \leq b \Rightarrow b,\{a, b\} का उपरि परिबन्ध है।
\Rightarrow \sup \{a, b\} \leq b \\ \Rightarrow a \vee b \leq b \cdots(1)
पुनः चूँकि a \vee b समुच्चय {a,b} का एक उपरि परिबन्ध है
\therefore \quad b \leq a \vee b \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \vee b=b
विलोमतःमाना a \vee b=b
अब a \vee b=\sup \{a, b\} \\ \therefore a \leq a \vee b \\ \Rightarrow a \leq b \quad[ \because a \vee b=b]
अतः a \leq b \Leftrightarrow a \vee b=b
(iii)चूँकि \leq स्वतुल्य है अतः a \leq b और a \vee b ,a और b का ऊपरि परिबन्ध है,इसलिए
a \leq a \vee b , अतः निम्नक की परिभाषा से
a \leq a \wedge(a \vee b) \cdots(1) \\ \because a \wedge(a \vee b), a तथा a \vee b निम्न परिबन्ध है
\therefore a \wedge(a \vee b) \leq a \cdots(2)
(1) तथा (2) सेः
a \wedge (a \vee b)=a
इसी प्रकार a \leq a तथा a \wedge b ,a और b का निम्न परिबन्ध है,इसलिए
a \wedge b \leq a ,अतः उच्चक की परिभाषा सेः
a \vee(a \wedge b) \leq a \cdots(3)
\because a \vee(a \wedge b) ,a तथा b का उपरि परिबन्ध है
\therefore a \leq a \vee(a \wedge b) \cdots(4)
(3) तथा (4) सेः
a=a \vee(a \wedge b)
(iv)निम्नक की परिभाषा से
a \wedge(b \wedge c) \leq b \wedge c \leq c \cdots(1)
साथ ही a \wedge (b \wedge c) \leq b \wedge c \leq b तथा a \wedge(b \wedge c) \leq a
अतः निम्नक की परिभाषा से
a \wedge (b \wedge c) \leq a \wedge b \ldots(2)
(1) तथा (2) से,निम्नक की परिभाषा के अनुसार
a \wedge(b \wedge c) \leq(a \wedge b) \wedge c \ldots(3)
पुनः (a \wedge b) \wedge c=c \wedge(a \wedge b) [क्रमविनिमेयता]
\leq(c \wedge a) \wedge b [(3) से]
=b \wedge(c \wedge a) \\ \leq(b \wedge c) \wedge a [(3) से]
=a \wedge(b \wedge c)
अर्थात् (a \wedge b) \wedge c \leq a \wedge(b \wedge c) \cdots(4)
(3) तथा (4) से:
a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c
इसी प्रकार दूसरा भाग
a \vee(b \vee c)=(a \vee b) \vee c
सिद्ध किया जा सकता है।
प्रमेय (Theorem):2.यदि (L,\leq) एक जालक और द्विआधारी संक्रियाएँ \vee तथा \wedge ,समुच्चय L पर परिभाषित हैं,तब स्वेच्छ अवयवों a,b,c,d \in L के लिए,
(If (L,\leq) is a lattice with binary operations \vee and \wedge,then for arbitrary element a,b,c,d \in L)
(i)a \leq b तथा (and) c \leq d \Rightarrow a \wedge c \leq b \wedge d,
(ii) a \leq b तथा (and) c \leq d \Rightarrow a \vee c \leq b \vee d
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक जालक है तथा a,b,c,d \in L
(i) माना a \leq b तथा c \leq d
अब , \because a \wedge c \leq a तथा a \wedge c \leq c
\therefore संक्रामकता गुण से,
a \wedge c \leq a तथा a \leq b \Rightarrow a \wedge c \leq b
और a \wedge c \leq c तथा c \leq d \Rightarrow a \wedge c \leq d
पुनः a \wedge c \leq b तथा a \wedge b \leq d \Rightarrow a \wedge c, b तथा d का निम्न परिबन्ध है।
\Rightarrow a \wedge c \leq b \wedge d
(ii)माना a \leq b, c \leq d
अब b \leq b तथा d \leq b \vee d
संक्रामकता गुण से,
a \leq b और b \leq b \vee d \Rightarrow a \leq b \vee d
तथा c \leq d और d \leq b \vee d \Rightarrow c \leq b \vee d
पुनः a \leq b \vee d तथा c \leq b \vee d \Rightarrow b \vee d, a तथा c का ऊपरि परिबन्ध है
\Rightarrow a \vee c \leq b \vee d
प्रमेय (Theorem):3.यदि (L,\leq) एक जालक है और समुच्चय L पर \vee तथा \wedge द्विआधारी संक्रियाएँ परिभाषित हैं तब स्वेच्छ अवयवों a,b,c \in L के लिए,
(If (L,\leq)is a lattice with binary operations \vee and \wedge , the for arbitrary elements a,b,c \in L)
(i) a \wedge(b \vee c) \geq (a \wedge b) \vee (a \wedge c),
(ii) a \vee(b \wedge c) \leq(a \vee b) \wedge(a \vee c)
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक जालक है तथा a,b,c \in L
(i)चूँकि a \wedge b \leq a तथा a \wedge b \leq b \leq b \wedge c \\ \therefore a \wedge b \leq a \wedge(b \vee c) \cdots(1)
इसी प्रकार a \wedge c \leq a तथा a \wedge c \leq c \leq b \wedge c \\ \therefore a \wedge c \leq a \wedge (b \vee c) \cdots(2)
(1) तथा (2) से,
a \wedge (b \vee c), a \wedge b तथा a \wedge c का ऊपरि परिबन्ध है
अतः (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \leq a \wedge (b \vee c) \\ \therefore a \wedge(b \vee c) \geq (a \wedge b) \vee(a \wedge c)
(ii) \because a \leq a \vee b तथा b \wedge c \leq b \leq a \vee b
अतः a \vee b, a तथा b \wedge c का ऊपरि परिबन्ध है
\therefore a \vee(b \wedge c) \leq a \vee b \cdots(3)
इसी प्रकार a \leq a \vee c तथा b \wedge c \leq c \leq a \vee c \\ \Rightarrow a \vee(b \wedge c) \leq a \vee c \cdots(4)
(3) तथा (4) से,
\therefore a \vee(b \wedge c) \leq (a \vee b) \wedge(a \vee c)
प्रमेय (Theorem):4.किसी जालक का द्वैती भी एक जालक होता है।
(The dual of a lattice is also lattice):
उपपत्ति (Proof):माना (L,R) एक जालक है,जहाँ R,अरिक्त समुच्चय L पर एक आंशिक क्रमित सम्बन्ध है।तब (L,R) एक पोसैट है।माना R^{-1} ,R का प्रतिलोम सम्बन्ध है,तब R^{-1} भी एक आंशिक क्रमित सम्बन्ध है।फलस्वरूप (L,R^{-1}) एक पोसैट है।
हम सिद्ध करेंगे कि समुच्चय L के किन्हीं भी दो अवयवों a और b से बने उपसमुच्चय {a,b} का R^{-1} के सापेक्ष निम्नक a \vee b तथा उच्चक a \wedge b हैं।
\because a, b \in L
\therefore R के सापेक्ष a \vee b=\sup \{a, b\} [\because (L,R) एक जालक है]
\therefore a R(a \vee b) तथा b R(a \vee b)
\Rightarrow (a \vee b) R^{-1} a तथा (a \vee b) R^{-1} b
\Rightarrow a \vee b, R^{-1} के सापेक्ष a और b का निम्न परिबन्ध है।
अब यदि C, R^{-1} के सापेक्ष a और b का कोई अन्य निम्न परिबन्ध है तो,
c R^{-1} a तथा c R^{-1} b
\Rightarrow aRc तथा bRc
\Rightarrow C,R के सापेक्ष,a और b का ऊपरि परिबन्ध है।
\Rightarrow(a \vee b) R c[\because a \vee b=\sup \{a, b\}]
\Rightarrow c R^{-1}(a \vee b)
अतः (a \vee b), R^{-1} के सापेक्ष a और b का निम्नक है।
अर्थात् (L, R^{-1}) में a \vee b=\operatorname{Inf}\{a, b\}
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि
\left(L, R^{-1}\right) में a \wedge b=\operatorname{Sub}\{a, b\}
अतः (L,R^{-1}) का एक जालक है।
परिबद्ध जालक (Bounded lattices):
माना (L,\leq) एक जालक है।तब एक अवयव 1 से हमारा तात्पर्य समुच्चय L के उपरिबन्ध (Upper bound) से है (अर्थात् प्रत्येक a \in l के लिए a \leq 1)।स्पष्ट है कि जालक का 1 अद्वितीय होता है।(यदि यह विद्यमान है) इसी प्रकार अवयव 0 से तात्पर्य L के निम्न परिबन्ध (lower bound) से है (प्रत्येक a \in l के लिए 0 \leq a ).जालक का निम्न परिबन्ध 0 अद्वितीय होता है (यदि यह विद्यमान है)।
जालक (L,\leq) परिबद्ध कहलाता है यदि इसका ऊपरि परिबन्ध (1) तथा निम्न परिबन्ध (0) L में उपस्थित है।
टिप्पणी (Remark):यहाँ पर 1 तथा 0 केवल संकेत हैं,संख्याएँ नहीं।
Lattices in Discrete Mathematics
प्रमेय (Theorem):5.माना (L,\leq) जालक के ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध 1 तथा 0 हैं।तब प्रत्येक a \in L के लिए
(Let (L,\leq) be a lattice with 1 and 0 as its upper and lower bounds,then \forall a \in L )
(i) a \vee 1=1 तथा (and) a \wedge 1=a
(ii) a \vee 0=0 तथा (and) a \wedge 0=0
उपपत्ति (Proof):(i)माना a \in L चूँकि 1,L का ऊपरि परिबन्ध है
\therefore a \vee 1 \leq 1 \cdots(1)
पुनः चूँकि a \vee 1 ,अवयवों a तथा 1 का उच्चक है
\therefore 1 \leq a \vee 1 \cdots(2)
(1) तथा (2) से, a \vee 1=1
अब चूँकि a \wedge 1 ,अवयवों a तथा 1 का निम्नक है
\therefore a \wedge 1 \leq a \cdots(3)
[ \because स्वतुल्यता तथा 1,L का ऊपरि परिबन्ध है]
और a \wedge 1 ,निम्नक है
पुनः a \leq a तथा a \leq 1
एवं a \wedge 1 निम्नक है
\therefore a \leq a \wedge 1 \cdots(4)
(3) तथा (4) से, a \wedge 1=a
(ii)माना a \in L तब 0 \leq a तथा a \leq a
\therefore a \vee 0 \leq a [ \because 0,L का निम्न परिबन्ध है तथा स्वतुल्यता] ……..(5)
परन्तु चूँकि a \vee 0 ,अवयवों a तथा 0 का उच्चक है
\therefore a \leq a \vee 0 \cdots(6)
(5) तथा (6) से,
a \vee 0=a
अब चूँकि a \wedge 0 ,अवयवों a तथा 0 का निम्नक है।
\therefore a \wedge 0 \leq 0 \cdots(7)
पुनः 0 \leq a तथा 0 \leq 0 \Rightarrow 0 \leq a \wedge 0 \cdots(8)
(7) तथा (8) सेः
a \wedge 0
बंटनात्मक जालक (Distributive lattices):
जालक a \in L बंटनात्मक जालक (distributive lattice) कहलाता है यदि \forall a, b, c \in L
(i)a \wedge(b \vee c)=(a \wedge b) \vee(a \wedge c)
(ii)a \vee(b \wedge c)=(a \vee b) \wedge(a \vee c) [बंटन नियम (Distributive laws)]
जालक के अवयव का पूरक (Complement of an element of a lattice):
माना a \in L एक परिबद्ध जालक है,जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 और 0 है।तब अवयव x \in L ,किसी अवयव a \in L का पूरक कहलाता है यदि
a \vee x = 1 तथा a \wedge x=0
a \in L के पूरक को प्रायः a’ द्वारा निरूपित करते हैं।
अतः a \vee a^{\prime}=1 तथा a \wedge a^{\prime}=0
प्रमेय (Theorem):6.माना (L,\leq) एक परिबद्ध बंटनात्मक जालक है।यदि अवयव a \in L का पूरक विद्यमान है तो वह अद्वितीय है।
(Let (L,\leq) be bounded distributive lattice.If element a \in L ,has a complement then it is unique.)
उपपत्ति (Proof):माना (L,\leq) एक बंटनात्मक परिबद्ध जालक है जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 तथा 0 है।
माना b तथा c किसी अवयव के दो भिन्न-भिन्न पूरक हैं।तब,
a \vee b=1 और a \wedge b=0
तथा a \vee c=1 और a \wedge c=0
अब चूँकि L,बंटनात्मक है;
अतः b=b \vee 0=b \vee(a \wedge c)=(b \vee a) \wedge(b \vee c) \\ =1 \wedge(b \vee c)=b \vee c \cdots(1)
तथा c=c \vee 0=c \vee(a \wedge b)=(c \vee a) \wedge(c \vee b) \\ =1 \wedge(c \vee b)=c \vee b=b \vee c \cdots(2)
(1) तथा (2) से,b=c
अर्थात् a \in L का पूरक अद्वितीय है।
पूरित जालक (Complemented lattice):
परिबद्ध जालक (L,\leq) एक पूरित जालक (Complemented lattice) कहलाता है यदि इसके प्रत्येक अवयव का पूरक जालक में विद्यमान है।
प्रमेय (Theorem):7.यदि (L,\leq) एक बंटनात्मक पूरित जालक है,तो \forall a, b \in L
(i) (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime}\wedge b^{\prime}
(ii)(a \wedge b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime} [डी-मार्गन नियम (De-Morgon’s laws)]
(If (L,\leq) is a complemented distributive lattice,then for all \forall a, b \in L )
(i) (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime}\wedge b^{\prime}
(ii)(a \wedge b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime}
उपपत्ति (Proof):(i). \forall a, b \in L \\ (a \vee b) \vee\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right) =\left[(a \vee b) \vee a^{\prime}\right] \wedge [(a \vee b) \vee b^{\prime}] [ \because L,बंटनात्मक है]
=\left[\left(a \vee a^{\prime}\right) \vee b\right] \wedge\left[a \vee \left(b \vee b^{\prime} \right)\right] [साहचर्यता और क्रमविनिमेयता से]
=[1 \vee b] \wedge[a \vee 1]=1 \wedge 1=1 \cdots(1)
तथा (a \vee b) \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right)=\left[a \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right) \right] \vee\left[b \wedge\left(a^{\prime} \wedge b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[\left(a \wedge a^{\prime}\right) \wedge b^{\prime}\right] \vee\left[a^{\prime} \wedge\left(b \wedge b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[0 \wedge b^{\prime} \right] \vee\left[a^{\prime} \wedge 0\right] \\ =0 \vee 0=0 \cdots(2)
(1) तथा (2) से,स्पष्ट है कि, (a \vee b)^{\prime}=a^{\prime} \wedge b^{\prime}
(ii). (a \wedge b) \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)=\left[a \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime} \right)\right] \vee\left[b \vee\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[\left(a \vee a^{\prime} \right) \vee b^{\prime}\right] \wedge\left[a^{\prime} \vee\left(b \vee b^{\prime}\right)\right] \\ =\left[1 \vee b^{\prime}\right] \wedge\left[a^{\prime} \vee 1\right] \\ =1 \wedge 1=1 \cdots(3)
तथा (a \wedge b) \wedge\left(a^{\prime} \vee b^{\prime}\right)=[(a \wedge b) \wedge a] \vee[(a \vee b) \wedge b] \\ =\left[\left(a \wedge a^{\prime}\right) \wedge b\right] \vee[a \wedge(b \wedge b^{\prime})] \\ =[0 \wedge b] \vee[a \wedge 0] \\ =0 \vee 0=0 \cdots(4)
(3) तथा (4) से, (a \wedge b)=a^{\prime} \vee b^{\prime}
प्रमेय (Theorem):8.पूरित जालक का द्वैती जालक भी पूरित जालक होता है।
(The dual of a complemented lattice is also a complemented lattice.)
उपपत्ति (Proof):माना (L,R) एक पूरित जालक है जिसके ऊपरि तथा निम्न परिबन्ध क्रमशः 1 तथा 0 हैं।तब (L,R^{-1}) भी एक जालक है।
अवयव 1,जालक (L,R) का उपरि परिबन्ध है अतः
a R 1, \forall a \in L \\ \Rightarrow 1 R^{-1} a , \forall a \in L \Rightarrow 1 जालक (L,R^{-1}) का निम्न परिबन्ध है
इसी प्रकार अवयव 0,जालक (L,R) का निम्न परिबन्ध है अतः
0 R a, \forall a \in L \Rightarrow a R^{-1} 0, \forall a \in L
\Rightarrow O जालक (L,R^{-1}) का उपरि परिबन्ध है
माना कि a \in L
चूँकि (L,R) पूरित है अतः \exists a^{\prime} \in L इस प्रकार कि
a \wedge a^{\prime}=0 तथा a \vee a^{\prime}=1
अतः (L,R) में 0=Inf {a,a’} तथा 1=Sup {a,a’}
\Rightarrow 0Ra,0Ra’ तथा aR1,a’R1
\Rightarrow a R^{-1} 0, a^{\prime} R^{-1} 0 तथा 1 R^{-1} a,1 R^{-1} a^{\prime}
(L,R^{-1}) में a और a’ का ऊपरि परिबन्ध 0 तथा निम्न परिबन्ध 1 है।
अब यदि (L,R^{-1}) में a और a’ का कोई अन्य ऊपरि परिबन्ध k है,तो
a R^{-1} k तथा a^{\prime} R^{-1} k
\Rightarrow kRa तथा kRa’
\Rightarrow k R 0 [ \because (L,R) में a और a’ का निम्नक 0 है]
\Rightarrow 0 R^{-1} k
\Rightarrow 0, (L,R^{-1}) में a और a’ का उच्चक है।
i.e. (L,R^{-1}) में 0=Sup {a,a’}
अतः (L,R^{-1}) में a \vee a^{\prime}=0 \cdots(1)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि, (L,R^{-1}) में
1=Inf {a,a’}
i.e. a \wedge a^{\prime}=1 \cdots(2)
(1) तथा (2) से, (L,R^{-1}) में a का पूरक a’ है।
अतएव (L,R^{-1}) पूरित है।
उपर्युक्त प्रमेयों के द्वारा विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) को समझ सकते हैं।
Lattices in Discrete Mathematics
3.विविक्त गणित में जालक (Frequently Asked Questions Related to Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.जालक की परिभाषा दीजिए। (Define a Lattice):
उत्तर:आंशिक क्रमित समुच्चय (L, \leq) जिसके किन्हीं भी दो अवयवों से बने उपसमुच्चय [a,b] का उच्चक तथा निम्नक विद्यमान हो,जालक (Lattice) कहलाता है।उपसमुच्चय [a,b] के उच्चक को a \vee b से निरूपित करते हैं तथा इसे a और b का सम्मिलन कहते हैं।इसी प्रकार [a,b] के निम्नक को a \wedge b से निरूपित करते हैं तथा इसे a और b की अवसन्धि (meet) कहते हैं।
प्रश्न:2.जालक का उपयोग कहाँ होता है? (Where is the Lattice Used?):
उत्तर:जालकों (lattices) की अनेक विशेषताओं के कारण,इनका उपयोग,गणित तथा विज्ञान के अनेक क्षेत्रों में,जैसे बूलीय बीजगणित (Boolean algebra) और सूचना प्रवाह निदर्श (model of information flow) में अत्यन्त महत्त्वपूर्ण सिद्ध हुआ है।
प्रश्न:3.जालक पर टिप्पणी लिखो। (Write Comment on the Lattice):
उत्तर:(1.) \vee तथा \wedge की परिभाषा से स्पष्ट है कि a \vee b=b \vee a तथा a \wedge b=b \wedge a (क्रमविनिमेयता)
(2.)a \wedge a=a तथा a \vee a=a
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics),जालक (Lattices) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Lattices in Discrete Mathematics
विविक्त गणित में जालक
(Lattices in Discrete Mathematics)
Lattices in Discrete Mathematics
विविक्त गणित में जालक (Lattices in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में जालक,
परिबद्ध जालक,बंटनात्मक जालक आदि के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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