1.बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?),बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves):

How to Find Asymptotes Algebraically?

बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?) इसको ज्ञात करने की कई विधियां हैं जैसे व्यापक विधि,लघु विधि,अक्षों के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना,वैकल्पिक विधियाँ,सीमा विधि तथा निरीक्षण द्वारा अनन्तस्पर्शी ज्ञात करना इत्यादि।
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2.बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Find Asymptotes Algebraically?):

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:19. $x^4+x^2 y^2-a^2\left(x^2+y^2\right)=0$
Solution: $x^4+x^2 y^2-a^2 \left(x^2+y^2\right)=0 \\ \Rightarrow x^4+\left(x^2-a^2\right) y^2-a^2 x^2=0$
x की उच्चतम घात के गुणांक को शून्य रखने पर हमें कोई अनन्तस्पर्शी प्राप्त नहीं होती क्योंकि $x^4$ का गुणांक अचर है।अतः x-अक्ष के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शी नहीं है।
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a$
जो कि अभीष्ट y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।
Example:20. $x^2 y^2-a^2\left(x^2+y^2\right)=0$
Solution: $x^2 y^2-a^2\left(x^2+y^2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y^2-a^2\right) x^2-a^2 y^2=0$
x की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य के बराबर रखने परः

$y^2-a^2=0 \Rightarrow y=\pm a \\ \left(x^2-a^2\right) y^2-a^2 x^2=0$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य के बराबर रखने परः

$x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a \\ x=\pm a, y=\pm a$
जो कि अभीष्ट y-अक्ष और x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।
Example:21. $x^3+2 x^2 y+x y^2-x^2-x y+2=0$
Solution: $x^3+2 x^2 y+x y^2-x^2-x y+2=0$
x की उच्चतम घात के गुणांक को शून्य रखने पर हमें कोई अनन्तस्पर्शी प्राप्त नहीं होती क्योंकि का गुणांक अचर है।अतः x-अक्ष के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शी नहीं है।
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
x=0
जो कि अभीष्ट y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
Example:22. $(x-2)(x-3) y^2-9 x^2=0$
Solution: $(x-2)(x-3) y^2-9 x^2=0$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
$(x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2, x=3 \\ \left(y^2-9\right) x^2-5 x y^2+6 y^2=0$
x की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
$y^2-9=0 \Rightarrow y=\pm 3 \\ x=2, x=3, y=\pm 3$
जो कि y-अक्ष तथा x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।
Example:23. $y^2\left(x^2-a^2\right)=x$
Solution: $y^2\left(x^2-a^2\right)=x$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a \\ x^2 y^2-a^2 y^2-x=0$
x की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$y^2=0 \Rightarrow y=0 \\ x=\pm a, y=0$
जो कि y-अक्ष तथा x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।
Example:24. $x^3+3 x y^2+y^2+2 x+y=0$
Solution: $x^3+3 x y^2+y^2+2 x+y=0 \\ x^3+(3 x+1) y^2+2 x+y=0$
x की उच्चतम घात के गुणांक को शून्य रखने पर हमें कोई अनन्तस्पर्शी प्राप्त नहीं होती क्योंकि $x^3$ का गुणांक अचर है।अतः x-अक्ष के समान्तर कोई अनन्तस्पर्शी नहीं है।
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
3x+1=0
जो कि अभीष्ट y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
Example:25. $\frac{a^3}{x^3}-\frac{b^3}{y^3}=1$
Solution: $\frac{a^3}{x^3}-\frac{b^3}{y^3}=1 \\ \Rightarrow a^3 y^3-b^3 x^3=x^3 y^3 \\ \Rightarrow \left(a^3-x^3\right) y^3-b^3 x^3=0$
y की उच्चतम घात 3 के गुणांक को शून्य रखने परः

$a^3-x^3=0 \Rightarrow x=a \\ \left(y^3+b^3\right) x^3-a^3 y^3=0$
x की उच्चतम घात 3 के गुणांक को शून्य रखने परः

$y^3+b^3=0 \Rightarrow(y+b) \left(y^2-b y+b^2\right)=0 \\ \Rightarrow y+b=0 \\ \Rightarrow y+b=0, x=a$
जो कि x-अक्ष और y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

How to Find Asymptotes Algebraically?

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:26. $x y\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-4 y^2\right)+x y\left(x^2-a^2\right)+x^2+y^2-7=0$
Solution: $xy\left(x^2-y^2\right)\left(x^2-4 y^2\right)+x y\left(x^2-a^2\right)+x^2+y^2-7=0 \\ \Rightarrow x^5 y-5 x^3 y^3+x y^5+x y\left(x^2-a^2\right)+x^2+y^2-7=0$
x की उच्चतम घात 5 के गुणांक को शून्य रखने परः
y=0
y की उच्चतम घात 5 के गुणांक को शून्य रखने परः
x=0
x=0,y=0
जो कि y-अक्ष तथा x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

$\Rightarrow xy(x-y)(x+y)(x-2 y)(x+2 y)+x y\left(x^2-a^2\right)+x^2+y^2-7=0$
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{x y(x-y)(x+y)(x-2 y)(x+2 y)}{x y(x+y)(x-2 y)(x+2 y)}+ \frac{xy\left( x^2-a^2\right)}{x y(x+y)(x-2 y)(x+2y)} +\frac{x^2+y^2-7}{x y(x+y)(x-2 y)(x+2 y)}=0 \\ \Rightarrow x-y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{x^2 \left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x} \right)} +\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{x^2 \left(1+ \frac{y^2}{x^2}-\frac{7}{x^2}\right)}{x^4 y\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)\left(1+\frac{2y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x-y+0+0=0 \\ \Rightarrow x-y=0$
गुणनखण्ड x+y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ \frac{x y(x-y)(x+y)(x-2 y)(x+2 y)}{x y(x-y)(x-2 y)(x+2 y)}+\frac{x y\left(x^2-a^2\right)}{x y(x+y)(x-2 y)(x+2 y)}+\frac{x^2+y^2-7}{x y(x+y)(x-2 y)(x+2y)}=0 \\ \Rightarrow x+y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{x^2\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)} + \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{x^2\left(1+\frac{y}{x^2}-\frac{7}{x^2}\right)}{x^{4}y\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)\left(1+\frac{2y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x+y=0$
x-2y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x-2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{2} \\ x-2 y+ \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow \frac{1}{2}}} \frac{x^3 y\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}{x^4 y\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)}+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow \frac{1}{2}}} \frac{x^2\left(1+\frac{y^2}{x^2}-\frac{7}{x^2}\right)}{x^4 y\left(1+ \frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x-2 y+0+0=0 \Rightarrow x-2 y=0$
x+2y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x+2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} \\ x+2 y+ \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{x^3 y\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}{x^4 y(1-\frac{y}{x})(1+\frac{y}{x})\left(1-\frac{2 y}{x}\right)}+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{x^2\left(1+\frac{y^2}{x^2}-\frac{7}{x^2}\right)}{x^4 y\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x+2y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}{x\left(1-\frac{y}{x}\right) \left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)}+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{\left(1+\frac{y^2}{x^2}-\frac{7}{x^{2}}\right)}{x^2 y\left(1+ \frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{2 y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x+2y+0+0=0 \Rightarrow x+2y=0$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
x=0,y=0,x-y=0,x+y=0,x-2y=0,x+2y=0
Example:27. $x^4-y^4=a^2 x y$
Solution: $x^4-y^4=a^2 x y \\ \left(x^2+y^2\right)(x-y)(x+y)-a^2 x y=0$
x-y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{\left(x^2+y^2\right)(x-y)(x+y)}{\left(x^2+y^2\right)(x+y)}-\frac{a^2 x y}{\left(x^2+y^2\right)(x+y)}=0 \\ \Rightarrow x-y-\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{a^2 x y}{x^3\left(1+\frac{y^2} {x^2}\right)(1+\frac{y}{x})}=0 \\ \Rightarrow x-y-0=0 \Rightarrow x-y=0$
x+y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ \frac{\left(x^2+y^2\right)(x-y)(x+y)}{\left(x^2+y^2\right)(x-y)}-\frac{a^2 x y}{\left(x^2+y^2\right)(x-y)}=0 \\ \Rightarrow x+y-\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{a^2 x y}{x^3\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\left(1-\frac{y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x+y-0=0 \Rightarrow x+y=0$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
$\Rightarrow x-y=0,x+y=0$
Example:28. $\left(x^2-3 x+2\right)(x+y-2)+1=0$
Solution: $\left(x^2-3 x+2\right)(x+y-2)+1=0 \\ \Rightarrow x^3+\left(x^2-3 x+2\right)y-5 x^2+8 x-3=0$
y की उच्चतम घात 1 के गुणांक को शून्य रखने परः

$x^2-3 x+2=0 \Rightarrow(x-2)(x-1)=0 \\ \Rightarrow x=2, x=1$
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

$x(x-3)(x+y)+2(x+y)-2\left(x^2-3 x\right)-3=0$
x+y के संगत अनन्तस्पर्शी होगी

$x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ x+y+2(x+y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{1}{x(x-3)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{2 \left(x^2-3 x\right)-3}{x(x+3)}=0 \\ \Rightarrow x+y+2(x+y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{1}{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{2x^2 \left(1-\frac{3}{x}\right)-\frac{3}{x^2}}{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x+y+2(x+y) \cdot 0-\frac{2(1-0)-0}{(1-0)}=0 \\ \Rightarrow x+y-2=0$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
x=2,x=1,y=-x+2
Example:29.$(x-y)(x+y)(x+2y-1)=3x+4y+5$
Solution: $(x-y)(x+y)(x+2 y-1)=3 x+4 y+5 \\ \Rightarrow(x-y)(x+y)(x+2 y)-(x-y)(x+y)-(3 x+4 y+5)=0$
x-y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \Rightarrow x-y-(x-y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{(x+y)}{(x+y)(x+2 y)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{-(3 x+4 y+5)}{(x+y)(x+2 y)}=0 \\ \Rightarrow x-y-(x-y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{1}{x\left(1+\frac{2y}{x} \right)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{-x\left(3+\frac{4 y}{x}+\frac{5}{x}\right)}{x^2(1+\frac{y}{x} )\left(1+ \frac{2y}{x}\right)}=0\\ \Rightarrow x-y-0-0=0 \Rightarrow x-y=0$
x+y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ (x+y)-(x+y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow - 1}} \frac{1}{x\left(1+\frac{2 y}{x}\right)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -1}} \frac{x\left(3+\frac{4 y}{x}+\frac{5}{x}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2 y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow (x+y)-(x+y) \cdot 0-0=0 \Rightarrow x+y=0$
x+2y के संगत अनन्तस्पर्शी होगीः

$x+2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} \\ (x+2 y)-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{(3 x+4 y+5)}{(x-y)(x+y)}=0 \\ \Rightarrow (x+2 y)-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -\frac{1}{2}}} (1)-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{x\left(3+\frac{4 y}{x}+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(1-\frac{y}{x}\right)(1+\frac{y}{x})}=0 \\ \Rightarrow(x+2 y)-1-0=0 \Rightarrow x+2 y-1=0$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
x-y=0,x+y=0,x+2y-1=0
Example:30. $x^3+4 x^2 y+4 x y^2+5 x^2+15 x y+10 y^2-2 y+1=0$
Solution: $x^3+4 x^2 y+4 x y^2+5 x^2+15 x y+10 y^2-2 y+1=0 \\ \Rightarrow x^3+4 x^2 y+(4 x+10) y^2+5 x^2+15 x y-2 y+1=0$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$4 x+10=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$
जो y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।

$\phi_3(m)=1+4 m+4 m^2, \phi_2(m)=5+15 m+10 m^{2} \\ \Rightarrow \phi_3^{\prime}(m)=4+8 m, \phi_3^{\prime \prime}(m)=8, \phi_2^{\prime}(m)=15+20 m$
अब $\phi_3(m)=0$ समीकरण (1) में x=1 तथा y=m तृतीय घात के पदों में रखने परः
$1+4 m+4 m^2=0 \Rightarrow(2 m+1)^2=0 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ (दोनों समान हैं)

$\frac{1}{2} c^2 \phi_3^{\prime}(m)+c \phi_2^{\prime}(m)+\phi_1(m)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} c^2(8)+c(15+20 m)+(-2 m)=0 \\ \Rightarrow 4 c^2+15 c+20 m c-2 m=0 \\ m=-\frac{1}{2}$ रखने पर 

$\Rightarrow 4 c^2+15 c+20 c \times -\frac{1}{2}-2 \times-\frac{1}{2}=0 \\ \Rightarrow 4 c^2+15 c-10 c+1=0 \\ \Rightarrow 4 c^2+5 c+1=0 \\ \Rightarrow 4 c^2+4 c+c+1=0 \\ \Rightarrow 4 c(c+1)+1 (c+1)=0 \\ \Rightarrow (c+1)(4 c+1)=0 \\ \Rightarrow c=-1,-\frac{1}{4}$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः

$x=-\frac{5}{2}, y=-\frac{1}{2} x-1, y=-\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}$
Example:31. $y(x-y)^3=y(x-y)+2$
Solution: $y(x-y)^3=y(x-y)+2 \\ \Rightarrow x^3 y-3 x^2 y^2+3 x y^3-y^4-x y+y^2-2=0$
x की उच्चतम घात 3 के गुणांक को शून्य रखने परः
y=0
जो कि x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
अब समीकरण (1) में x=1 तथा y=m चतुर्थ घात के पदों में रखने परः

$\phi_4(m)=m-3 m^2+3 m^3-m^4 \\ \Rightarrow \phi_4^{\prime}(m) =1-6 m+9 m^2-4 m^3 \\ \phi_4^{\prime \prime}(m) =-6+18 m-12 m^2 \\ \phi_4^{\prime \prime}(m)=18-24 m$
तृतीय घात के पद अनुपस्थित हैं

$\phi_3(m)=0, \phi_3^{\prime}(m)=0, \phi_3^{\prime \prime}(m)=0$
अब समीकरण (1) में द्वितीय घात के पदों में x=1,y=m रखने परः

$\phi_2(m)=-m+m^2 \\ \phi_2^{\prime}(m)=-1+2 m$
प्रथम घात के पद अनुपस्थित हैं अतः

$\phi_1(m)=0$
अब $\phi_4(m)=0$  रखने परः

$m-3 m^2+3 m^3-m^4=0 \\ \Rightarrow m\left(1-3 m^2+3 m^2-m^3\right)=0 \\ \Rightarrow m(1-m)^3=0 \\ \Rightarrow m=0, \quad m=1,1,1$
जब m=1,1,1 तब

m=1 रखने परः

$\Rightarrow 3 c^3-4 c^3-c+2 c=0 \\ \Rightarrow-c^3+c=0 \\ \Rightarrow c\left(c^2-1\right)=0 \\ \Rightarrow c=0, \pm 1$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
y=0,y=x,y=x+1,y=x-1
Example:32. $x(y-3)^3=4 y(x-1)^3$
Solution: $x(y-3)^3=4 y(x-1)^3 \\ \Rightarrow x\left(y^3-9 y^2+27 y-27\right)=4 y\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \\ \Rightarrow x y^3-9 x y^2+27 x y-27 x-4 x^3 y+12 x^2 y-12 x y+4y=0 \\ \Rightarrow x y^3-4 x^3 y-9 x y^2+12 x^2 y+15 x y-27 x+4 y=0 \ldots(1)$
y की उच्चतम घात 3 के गुणांक को शून्य रखने परः
x=0
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
x की उच्चतम घात 3 के गुणांक को शून्य रखने परः
y=0
अब समीकरण (1) में x=1 तथा y=m चतुर्थ घात के पदों में रखने पर

$\phi_4(m)=m^3-4 m \\ \Rightarrow \phi_4^{\prime}(m)=3 m^2-4$
अब $\phi_4(m)=0$ रखने परः

$m^3-4 m=0 \Rightarrow m\left(m^2-4\right)=0 \\ \Rightarrow m=0, \pm 2$
पुनः (1) के तृतीय घात के पदों में x=1 तथा y=m रखने परः

$\phi_3(m)=-9 m^2+12 m$
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैंः

$c=-\frac{\phi_3(m)}{\phi_{4}^{\prime}(m)} \\=-\frac{\left(-9 m^2+12 m\right)}{\left(3 m^2-4\right)} \\ \Rightarrow c =\frac{\left(9 m^2-12 m\right)}{\left(3 m^2-4\right)}$
जब m=2 तब $c=\frac{9 \times 2^2-12 \times 2}{3 \times 2^2-4} \\ =\frac{36-24}{12-4} \\ \Rightarrow c=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$
जब m=-2 तब $c=\frac{9 \times(-2)^2-12 \times-2}{3 \times(-2)^2-4} \\ =\frac{36+24}{1 \times-4} \\ =\frac{60}{8} \\ \Rightarrow c =\frac{15}{2}$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
$x=0, y=0, y=2 x+\frac{3}{2} \Rightarrow 2 y=4 x+3 \\ y=-2 x+\frac{15}{2} \Rightarrow 2 y=-4 x+15$
Example:33. $\left(x^2-a^2\right)y^{2}=x^{2}\left(x^{2}-4a^2\right)$
Solution:$\left(x^2-a^2\right)y^{2}=x^{2}\left(x^{2}-4a^2\right)$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a$
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

$x^2 y^2-x^4-a^2 y^2+4 a^2 x^2=0 \ldots(1)$
अब चतुर्थ घात के पदों में x=1,y=m रखने परः

$\phi_4(m)=m^2-1 \\ \phi_4^{\prime}(m)=2 m$
अब $\phi_4(m)=0$ रखने परः
$m^2-1=0 \Rightarrow m=\pm 1$ (दोनों पृथक हैं)
तृतीय घात के पद अनुपस्थित हैं अतः

$\phi_3(m)=0$
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैंः

$c=-\frac{\phi_3(m)}{\phi_4(m)}=-\frac{0}{2 m} \\ \Rightarrow c=0$
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः

$x=\pm a, y=\pm x$
Example:34.सिद्ध कीजिए कि वक्र $x^2 y^2-a^2\left(x^2+y^2\right)-a^3(x+y)+a^4=0$ की अनन्तस्पर्शियाँ एक वर्ग निर्मित करती हैं,जिसके दो शीर्ष बिन्दुओं से वक्र गुजरता है।
(Show that the asymptotes of $x^2 y^2-a^2\left(x^2+y^2\right)-a^3(x+y)+a^4=0$ form a square, through two of whose angular points the curve passes.)
Solution: $x^2 y^2-a^2\left(a^2+y^2\right)-a^{3}(x+y)+a^2=0 \\ \Rightarrow\left(x^2-a^2\right) y^2-a^2 x^2-a^3(x+y)+a^4=0$
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$\Rightarrow x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a$
जो y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

$\Rightarrow\left(y^2-a^2\right) x^2-a^2 y^2-a^3(x+y)+a^4=0$
x की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः

$y^2-a^2=0 \Rightarrow y=\pm a$
जो x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।

$x=\pm a, y=\pm a$
एक वर्ग निर्मित करती हैं।
दो वर्ग के शीर्ष बिन्दु (a,-a) तथा (-a,a) वक्र को सन्तुष्ट करते हैं अतः वक्र दो शीर्ष बिन्दुओं से गुजरता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?),बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves) को समझ सकते हैं।

3.बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Find Asymptotes Algebraically?):

How to Find Asymptotes Algebraically?

निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):

(1.) $x^3-x y^2+x^2+y^2+x+y=0$
(2.) $2 x^3-x^2 y+2 x y^2-y^3-4 x^2+8 x y-4 x+1=0$
(3.) $4 x^3-x^2 y-4 x y^2+y^3+3 x^2+2 x y-y^2-7=0$
उत्तर (Answers):(1.)y=x+1,y=-x-1
(2.)5y=10x+12

(3) $y=x+\frac{2}{3}, y=-x, y=4 x+\frac{1}{3}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebraically?),बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Asymptotes Algebraically?),बीजीय वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (To Find Asymptotes of Algebraic Curves) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

बीजीय अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करें? (How to Find Asymptotes Algebrically?) इसको ज्ञात
करने की कई विधियां हैं जैसे व्यापक विधि,लघु विधि,अक्षों के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना