1.अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Irrational Numbers Class 9),परिमेय संख्याएँ कक्षा 9 (Rational Numbers Class 9):

Examples of Irrational Numbers Class 9

अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण (Examples of Irrational Numbers Class 9) के इस आर्टिकल में परिमेय और अपरिमेय संख्याओं पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण (Examples of Irrational Numbers Class 9):

Example:1.निम्न में से परिमेय या अपरिमेय संख्याओं की पहचान कीजिए।परिमेय संख्याओं का दशमलव निरूपण दीजिए।
Example:1(i) \sqrt{4}
Solution : \sqrt{4}=2 परिमेय संख्या
Example:1(ii) 3 \sqrt{18}
Solution: 3 \sqrt{18} =3 \sqrt{3 \times 3 \times 2}=9 \sqrt{2}
अपरिमेय संख्या
Example:1(iii) \sqrt{1.44}
Solution: \sqrt{1.44} \\ =\sqrt{\frac{144}{100}}= \sqrt{\frac{12 \times 12}{10 \times 10}}=\frac{12}{10}
परिमेय संख्या
Example:1(iv) \sqrt{\frac{9}{27}}
Solution: \sqrt{\frac{9}{27}} \\ =\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
अपरिमेय संख्या
Example:1(v) -\sqrt{0.64}
Solution: - \sqrt{0.64} \\ =-\sqrt{\frac{64}{100}}=-\sqrt{\frac{8 \times 8}{10 \times 10}} \\ =-\frac{8}{10}
परिमेय संख्या
Example:1(vi) \sqrt{100}
Solution: \sqrt{100} \\ =\sqrt{10 \times 10}=10
परिमेय संख्या
Example:2.निम्न समीकरणों में ज्ञात कीजिए कि x,y,z इत्यादि परिमेय या अपरिमेय संख्याओं को निरूपित करते हैं।
Example:2(i) x^2=5
Solution: x^2=5 \\ \Rightarrow x=\sqrt{5}
जो कि अपरिमेय संख्या है।
Example:2(ii) y^2=9
Solution: y^2=5 \\ \Rightarrow y=\sqrt{9}=3
जो कि परिमेय संख्या है।
Example:2(iii) z^2=0.04
Solution: z^2=0.04 \\ \Rightarrow z =\sqrt{0.04} \\ =\sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}
जो कि परिमेय संख्या है।
Example:2(iv) u^2=\frac{17}{4}
Solution: u^2=\frac{17}{4} \\ \Rightarrow u=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}
जो कि अपरिमेय संख्या है।
Example:2(v) v^2=3
Solution: v^2=3 \\ \Rightarrow v=\sqrt{3}
जो कि अपरिमेय संख्या है।
Example:2(vi) W^3=27
Solution: W^3=27 \\ \Rightarrow W=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3} \\ \Rightarrow W=3
जो कि परिमेय संख्या है।
Example:2(vii) t^2=0.4
Solution: t^2=0.4 \\ t^2=\frac{4}{10} \\ \Rightarrow t=\sqrt{\frac{4}{10}}=\sqrt{\frac{2}{5} \times \frac{5}{5}} \\ \Rightarrow t =\frac{\sqrt{10}}{5}
जो कि अपरिमेय संख्या है।
Example:3. 6 \sqrt{5} को 2 \sqrt{5} से गुणा कीजिए।
Solution: 6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} \\ =6 \times 2 \sqrt{5 \times 5}=6 \times 2 \times 5=60
Example:4. 8 \sqrt{15} को 2 \sqrt{3} से भाग दीजिए।
Solution: 8 \sqrt{15} \div 2 \sqrt{3} \\ =\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}} \\ =\frac{4 \sqrt{5 \times 3}}{\sqrt{3}} \\ =\frac{4 \sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4 \sqrt{5}
Example:5.2 और 3 के बीच एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।2 और 3 के बीच कितनी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं?
Solution:2 और 3 के बीच परिमेय संख्या
=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}
2 और 3 के बीच अपरिमेय संख्या है
=\sqrt{2 \times 3}=\sqrt{6}=2.4494897………..
अतः 2 और 3 के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती है।

Examples of Irrational Numbers Class 9

Example:6.निम्नलिखित को \frac{p}{q} के रूप में व्यक्त कीजिए:
Example:6(i).0.6666…..
Solution:माना कि x=0.6666…..  …. (1)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर:
10x=6.6666…      …… (2)
(1) को (2) में से घटाने परः
9x=6 \\ \Rightarrow x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
Example:6(ii).0.272727….
Solution:माना कि x=0.272727….   …. (1)
दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने परः
100x=27.272727….    ….. (2)
(1) को (2) में से घटाने पर:
99 x=27 \\ \Rightarrow x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}
Example:7. \sqrt{3} और \sqrt{5} के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करो।
Solution: \sqrt{3} और \sqrt{5} दोनों परिमेय संख्याएँ हैं।
\sqrt{3} और \sqrt{5} के बीच अपरिमेय संख्या है:
\sqrt{(\sqrt{3} \times \sqrt{5})}=\sqrt{\sqrt{15}}=15^{\frac{1}{4}}
\sqrt{3} और 15^{\frac{1}{4}} के बीच अपरिमेय संख्या है:
=\sqrt{\sqrt{3} \times \sqrt[4]{15}} \\ =\sqrt{3^{\frac{1}{2}} \times 15^{\frac{1}{4}}}= \sqrt{\left( 3^2\right)^{\frac{1}{4}} \times 15^{\frac{1}{4}}} \\ =\sqrt{\left(3^2 \times 15\right)^{\frac{1}{4}}}= \sqrt{(135)^{\frac{1}{4}}} \\ =135^{\frac{1}{8}}
अतः अभीष्ट अपरिमेय संख्याएँ हैं:
15^{\frac{1}{4}} तथा 135^{\frac{1}{8}}
Example:8. \sqrt{7} का मान दो दशमलव स्थानों तक शुद्ध प्राप्त कीजिए।
Solution: 4<7<9 \\ \Rightarrow 2^2 < 7 < 3^2
धनात्मक वर्गमूल लेने परः
2.6 < \sqrt{7} < 3
पुनः 6.76  < 7.29 \\ \Rightarrow(2.6)^2 < 7 < (2.7)^2
धनात्मक वर्गमूल लेने परः
2.6 < \sqrt{7} < 2.7
पुन: (2.64)^2=6.9696< 7< 7.0225=(2.65)^2
धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
2.64 < \sqrt{7} < 2.65
पुनः (2.645)^2=6.996025 < 7 < 7.001316 \\ =(2.646)^2
धनात्मक वर्गमूल लेने पर:
2.645< \sqrt{7} < 2.646 \\ \therefore \sqrt{7}=2.645 \approx 2.64
Example:9.a और b का मान ज्ञात कीजिए:
\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=a+b \sqrt{3}
Solution: \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=a+b \sqrt{3}
हर का परिमेयकरण करने पर:
\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3+1}} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{4-2 \sqrt{3}}{2}=a+b \sqrt{3} \\ =\frac{2(2-\sqrt{3})}{2} =a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow 2-\sqrt{3}=a+b \sqrt{3}
तुलना करने पर:
a=2,b=-1
Example:10.a और b का मान ज्ञात कीजिए:
\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}
Solution: \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3}
हर का परिमेयकरण करने पर:
\frac{(5+2 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{35-20 \sqrt{3}+14 \sqrt{3}-24}{49-48}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow 11-6 \sqrt{3}=a+b \sqrt{3}
तुलना करने पर:
a=11,b=-6
Example:11.हर का परिमेयकरण करके सरल कीजिए:
\frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}
Solution: \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}
हर का परिमेयकरण करने पर:
\frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} \times \frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} \times \frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} \\ =\frac{16+4 \sqrt{5}+4 \sqrt{5}+5}{16-5}+\frac{16-4 \sqrt{5}-4 \sqrt{5}+5}{16-5} \\ =\frac{21+8 \sqrt{5}}{11}+\frac{21-8 \sqrt{5}}{11} \\ =\frac{42}{11}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण (Examples of Irrational Numbers Class 9),परिमेय संख्याएँ कक्षा 9 (Rational Numbers Class 9) को समझ सकते हैं।

Examples of Irrational Numbers Class 9

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3.अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण (Examples of Irrational Numbers Class 9),परिमेय संख्याएँ कक्षा 9 (Rational Numbers Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अपरिमेय संख्याओं कक्षा 9 के उदाहरण (Examples of Irrational Numbers Class 9) के
इस आर्टिकल में परिमेय और अपरिमेय संख्याओं पर आधारित सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।