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Generating Functions

1.जनक फलन (Generating Functions)-

(1.)जनक फलन (Generating Functions)-

जनक फलन (Generating Functions) -वह फलन F है जिसे किसी प्रकार की अनन्त श्रेणी के रूप में निरूपित करने पर प्राप्त गुणांकों का अनुक्रम किसी विशेष अचर या फलन का अनुक्रम होता है।उदाहरणार्थ:{ \left( 1-2ux+{ u }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } को { \left( 1-2ux+{ u }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { p }_{ n }(x){ u }^{ n } के रूप में प्रसार करने पर लेजांद्रे बहुपद { p }_{ n } के क्रमागत पदों का अनुक्रम प्राप्त होता है।
इसी प्रकार माना a=\left( { a }_{ 0 },{ a }_{ 1 },{ a }_{ 2, },{ a }_{ 3 }..........,{ a }_{ n } \right) एक संख्यात्मक फलन है।तब अनन्त श्रेणी (infinite series)

G\left( x \right) ={ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+.........+{ a }_{ r }{ x }^{ r }+........=\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { a }_{ r }{ x }^{ r }
संख्यांक फलन a का जनक फलन (Generating Functions of a) कहलाती है।
उदाहरण के लिए,संख्यांक फलन \left( { 2 }^{ 0 },{ 2 }^{ 1 },{ 2 }^{ 2 },.........,{ 2 }^{ r },...... \right) ,i.e. संख्यांक फलन { a }_{ r }={ 2 }^{ r };r\ge 0 का जनक फलन (Generating Functions) G\left( x \right) ={ 2 }^{ 0 }+{ 2 }^{ 1 }x+{ 2 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+....+{ 2 }^{ r }{ x }^{ r }+.... है।जिसका संक्षिप्त रूप G\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1-2x } है।इसी प्रकार संख्यांक फलन{ a }_{ r }={ 2 }^{ r+2 };r\ge 0 का जनक फलन (Generating Functions) G\left( x \right) =\frac { 4 }{ 1-2x } है।

(2.)सामान्य जनक फलन (Common generating functions)-

गणित में, एक जनरेटिंग फ़ंक्शन संख्याओं an के अनंत अनुक्रम को एन्कोडिंग करने का एक तरीका है, उन्हें एक औपचारिक घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में माना जाता है।
जनक फलन (Generating Functions) व संख्यांक फलन से संबंधित आर्टिकल इससे पूर्व भी पोस्ट कर चुके हैं अतः जनक फलन (Generating Functions) को ठीक से समझने के लिए उन आर्टिकल को भी पढ़ना चाहिए।
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2.जनक फलन के उदाहरण (Generating Functions Examples)-

निम्न अनुक्रमों के जनक फलन ज्ञात कीजिए:
(Find the generating functions of the following sequences:)
Example-1. 1,-2,3,-4,5,-6,....,{ (-1) }^{ r }(r+1),......
Solution-दी हुई अनुक्रम का जनक फलन है:

G\left( x \right) ={ x }^{ 0 }-2{ x }^{ 1 }+3{ x }^{ 2 }+.......+{ (-1) }^{ r }(r+1)+.....\\ G\left( x \right) =\frac { 1 }{ { (1-x) }^{ 2 } }
Example-2.1,\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 3 }{ 9 } ,\frac { 4 }{ 27 } ,.......,\frac { (r+1) }{ { 3 }^{ r } } ,......
Solution-दी हुई अनुक्रम का जनक फलन है-

G\left( x \right) =1+\frac { 2 }{ 3 } x+\frac { 3 }{ { 3 }^{ 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 4 }{ { 3 }^{ 3 } } { x }^{ 3 }+......+\frac { r+1 }{ { 3 }^{ r } } +......\\ =1+2(\frac { x }{ 3 } )+3{ \left( \frac { x }{ 3 } \right) }^{ 2 }+4{ \left( \frac { x }{ 3 } \right) }^{ 3 }+........+(r+1){ \left( \frac { x }{ 3 } \right) }^{ r }+......\\ =\frac { 1 }{ { \left( 1-\frac { x }{ 3 } \right) }^{ 2 } } \\ G\left( x \right) =\frac { 9 }{ { \left( 3-x \right) }^{ 2 } }

Example-3. 0×1,1×2,2×3,3×4,………
Solution- 0×1,1×2,2×3,3×4,………
हम जानते हैं कि

\frac { 1 }{ { (1-x) }^{ 3 } } =1+3x+6{ x }^{ 2 }+.....+\frac { 1 }{ 2 } (r+1)(r+2){ x }^{ r }+........
दोनों पक्षों को 2x से गुणा करने पर-

\frac { 2x }{ { (1-x) }^{ 3 } } =2x+6{ x }^{ 2 }+12{ x }^{ 3 }+.............+r(r+1){ x }^{ r }+........\\ \Rightarrow \frac { 2x }{ { (1-x) }^{ 3 } } =2x+2(3{ x }^{ 2 })+3(4{ x }^{ 3 })+.............+r(r+1){ x }^{ r }+........\\ \Rightarrow \frac { 2x }{ { (1-x) }^{ 3 } } =0\times 1+1\times 2x+1\times 2{ x }^{ 2 }+....................+r(r+1){ x }^{ r }+........
अतः दी हुई अनुक्रम का जनक फलन है-

G\left( x \right) =\frac { 2x }{ { \left( 1-x \right) }^{ 3 } }
Example-4.0\times { 5 }^{ 0 },1\times { 5 }^{ 1 },2\times { 5 }^{ 2 },...............,r\times { 5 }^{ r }
Solution- हम जानते हैं कि

\frac { 1 }{ { \left( 1-x \right) }^{ 2 } } =1+2x+3{ x }^{ 2 }+12{ x }^{ 3 }+.............+r(r+1){ x }^{ r }+........
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

\frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } =x+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+.............+r{ x }^{ r }+........\\ \Rightarrow \frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } =0+x+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+.............+r{ x }^{ r }+........
अतः दी हुई अनुक्रम का जनक फलन निम्न प्रकार प्राप्त होगा-
x के स्थान पर 5x रखने पर-

\Rightarrow \frac { 5x }{ { (1-5x) }^{ 2 } } =0\times { 5 }^{ 0 }+5x+2{ (5x) }^{ 2 }+3{ (5x })^{ 3 }+r\times { 5 }^{ r }{ x }^{ r }+.............
जनक फलन G\left( x \right) =\frac { 5x }{ { (1-5x) }^{ 2 } }
Example-5.0,1,2,3,4,5,……
Solution- अनुक्रम 0,1,2,3,4,5,…….का जनक फलन है:

G(x)=0.{ x }^{ 0 }+1.{ x }^{ 1 }+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 4 }+........\\ G(x)=x(1+2x+3{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 3 }+........)\\ =\frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } }
अथवा
हम जानते हैं कि

\frac { 1 }{ 1-x } =1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }+........
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ { (1-x) }^{ 2 } } =1+2x+3{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 3 }+........
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

\Rightarrow \frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } =x+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 4 }+......\\ \Rightarrow \frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } =0.{ x }^{ 0 }+1.{ x }^{ 1 }+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 4 }+........
अतः अनुक्रम 0,1,2,3,4,…..का जनक फलन है:
G\left( x \right) =\frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } }
Example-6.{ 0 }^{ 2 },{ 1 }^{ 2 },{ 2 }^{ 2 },{ 3 }^{ 2, }{ 4 }^{ 2 },..........
Solution-हम जानते हैं कि

\frac { 1 }{ 1-x } =1+x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }+........
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { 1 }{ { (1-x) }^{ 2 } } =1+2x+3{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 3 }+........\\ \frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } =0.{ x }^{ 0 }+1.{ x }^{ 1 }+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 4 }+........
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर-

\frac { (1-{ x }^{ 2 }).1-x2(1-x) }{ { (1-x) }^{ 4 } } =1+{ 2 }^{ 2 }x+{ 3 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }{ x }^{ 3 }+.............\\ \Rightarrow \frac { 1+x }{ { (1-x) }^{ 3 } } ={ 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }x+{ 3 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }{ x }^{ 3 }+.............
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

\frac { x(1+x) }{ { (1-x) }^{ 3 } } ={ 1 }^{ 2 }x+{ 2 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }{ x }^{ 3 }+{ 4 }^{ 2 }{ x }^{ 4 }+.............\\ \Rightarrow \frac { x(1+x) }{ { (1-x) }^{ 3 } } ={ 0 }^{ 2 }{ x }^{ 0 }+{ 1 }^{ 2 }{ x }^{ 1 }+{ 2 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }{ x }^{ 3 }+{ 4 }^{ 2 }{ x }^{ 4 }..........
अतः अनुक्रम{ 0 }^{ 2 },{ 1 }^{ 2 },{ 2 }^{ 2 },{ 3 }^{ 2, }{ 4 }^{ 2 },.......... का जनक फलन है:

G\left( x \right) =\frac { x(1+x) }{ { (1-x) }^{ 3 } }
Example-7.निम्नलिखित संख्यांक फलन का जनक फलन ज्ञात कीजिए:
(Find the generating functions of the following numeric function:)

{ a }_{ r }=(r+3)(r+2)(r+1);r\ge 0
Solution-{ a }_{ r }=(r+3)(r+2)(r+1);r\ge 0
चूंकि संख्यांक फलन { a }_{ r }का जनक फलन होता है:

G\left( x \right) =\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { a }_{ r }{ x }^{ r }
अतः दिए हुए फलन का जनक फलन है-

G\left( x \right) =\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } (r+3)(r+2)(r+1){ x }^{ r }\\ =\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } ({ r }^{ 3 }+6{ r }^{ 2 }+11r+6){ x }^{ r }\\ =\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { r }^{ 3 }{ x }^{ r }+6\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { r }^{ 2 }{ x }^{ r }+11\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } r{ x }^{ r }+6\overset { \infty }{ \underset { r=0 }{ \Sigma } } { x }^{ r }
परन्तु चूंकि { 0 }^{ 3 },{ 1 }^{ 3 },{ 2 }^{ 3 },{ 3 }^{ 3 }........का जनक फलन (Generating Functions) \frac { x(1+4x+{ x }^{ 2 }) }{ { (1-x) }^{ 4 } } ,{ 0 }^{ 2 },{ 1 }^{ 2 },{ 2 }^{ 2 },{ 3 }^{ 2 } का जनक फलन (Generating Functions) \frac { x(1+x) }{ { (1-x) }^{ 3 } } ,0,1,2,3..... का जनक फलन (Generating Functions) \frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } तथा 1,1,1,1……का जनक फलन (Generating Functions) \frac { 1 }{ { (1-x) } } होता है।

G(x)=\frac { x(1+4x+{ x }^{ 2 }) }{ { (1-x) }^{ 4 } } +\frac { 6x(1+x) }{ { (1-x) }^{ 3 } } +\frac { 11x }{ { (1-x) }^{ 2 } } +\frac { 6 }{ 1-x } \\ \Rightarrow G(x)=\frac { x+4{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } }{ { (1-x) }^{ 4 } } +\frac { 6x+6{ x }^{ 2 } }{ { (1-x) }^{ 3 } } +\frac { 11x }{ { (1-x) }^{ 2 } } +\frac { 6 }{ 1-x } \\ \Rightarrow G(x)=\frac { x+4{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }+6x-6{ x }^{ 2 }+6{ x }^{ 2 }-6{ x }^{ 3 }+11x-22{ x }^{ 2 }+11{ x }^{ 3 }+6+18{ x }^{ 2 }-18x-6{ x }^{ 3 } }{ { (1-x) }^{ 4 } } \\ \Rightarrow G(x)=\frac { 6 }{ { (1-x) }^{ 4 } }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा जनक फलन (Generating Functions) को समझा जा सकता है।

3.जनक फलन की समस्याएं (Generating Functions Problems)-

निम्न अनुक्रमों के जनक फलन ज्ञात कीजिए:
(Find the generating functions of the following sequences:)
(1.)2,6,18,54,162,……..
(2.)1,-1,1,-1,1,-1,………
(3.)1,0,1,0,1,0,………..
(4.)0,1,-2,4,-8,16,…….
Answer-(1)\frac { 2 }{ 1-3x } ;\left| x \right| <\frac { 1 }{ 2 } \\ (2)\frac { 1 }{ 1+x } ;\left| x \right| <1\\ (3)\frac { 1 }{ 1-{ x }^{ 2 } } ;{ x }^{ 2 }<1\\ (4)\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ;{ x }^{ 2 }<1

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर जनक फलन (Generating Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.जनक फलन कोडफोर्सेज (Generating functions Codeforces)-

औपचारिक रूप से, संख्याओं के क्रम के लिए { \{ { a }_{ i }\} }_{ i=0 }^{ \infty }, हम a (x) = \overset { \infty }{ \underset { i=0 }{ \Sigma } } { a }_{ i }{ x }_{ i } के साधारण जनन फलन (OGF) को परिभाषित करते हैं।उदाहरण के लिए, 0,1,1,2,3,5,8, … के साथ फिबोनाची अनुक्रम f पर विचार करें।फिर, F (x) = 0+x+{ x }^{ 2 }+2{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 4 }+5{ x }^{ 5 }+8{ x }^{ 6 }+....

5.जनक फलन पुनरावृत्ति संबंध (Generating function recurrence relation)-

एक जनरेटिंग फ़ंक्शन एक (संभवतः अनंत) बहुपद है जिसका गुणांक संख्याओं के अनुक्रम में { a }_{ n } के अनुरूप होता है।पूर्णांक अनुक्रम के बारे में जानकारी को एन्कोड करने की उनकी क्षमता के कारण, जनरेटिंग फ़ंक्शन शक्तिशाली उपकरण हैं जो पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।आंशिक भिन्नता, बहुपद गुणन और अवकलज जैसी तकनीक पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने में मदद कर सकते हैं।

6.n^2 का जनक फलन (Generating function of n^2)-

जनरेटिंग फंक्शन को देखते हुए { n }^{ p }, f (x), श्रृंखला में n वें पद के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति

{ n }^{ p }

f(x)Series
1\frac { x }{ (1-x) } x+{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 }......
n\frac { x }{ { (1-x) }^{ 2 } } x+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 4 }+....
{ n }^{ 2 }\frac { x(x+1) }{ { (1-x) }^{ 3 } } x+4{ x }^{ 2 }+9{ x }^{ 3 }+16{ x }^{ 4 }+.....
{ n }^{ 3 }\frac { x({ x }^{ 2 }+4x+1) }{ { (1-x) }^{ 4 } } x+8{ x }^{ 2 }+27{ x }^{ 3 }+....

7.जनक फलनों का संयोजन करना (Generating functions combinatorics)-

एक जनरेटिंग फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं का एक क्रम लेता है और इसे एक औपचारिक घात श्रृंखला का गुणांक बनाता है।{ f }_{ n }{ x }_{ n } को सीक्वेंस { f }_{ n }|n≥0 का साधारण जनक फलन कहा जाता है।जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग करते हुए हम पावर श्रृंखला को औपचारिक रूप से देखेंगे, जिसका अर्थ है कि हम अभिसरण को अनदेखा करते हैं।

8.जनक फलन का गुणांक (Coefficient of generating function)-

दूसरे शब्दों में, एक जनक श्रृंखला द्वारा जनक अनुक्रम बस अनंत बहुपद के गुणांक का क्रम है।

9.अमूर्त गणित में जनक फलन (Generating function in Discrete Mathematics)-

जनक फलन।अमूर्त गणित में एक अत्यंत शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग अनुक्रम बनाने के लिए अनुक्रमों में हेरफेर करने के लिए किया जाता है।विचार यह है: एक अनंत अनुक्रम के बजाय (उदाहरण के लिए: 2,3,5,8,12,… 2, 3, 5, 8, 12,…) हम एक एकल फ़ंक्शन को देखते हैं जो अनुक्रम को एन्कोड करता है।

10.जनक फलन प्रायिकता (Generating function probability)-

प्रायिकता सिद्धांत में,अमूर्त रैंडम वैरिएबल का प्रायिकता जनरेटिंग फंक्शन रैंडम वेरिएबल के प्रायवेट मास फंक्शन का पॉवर सीरीज़ (जनरेटिंग फंक्शन) होता है।प्रायिकता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शंस को प्रायः यादृच्छिक चर X के लिए प्रायिकता मास फ़ंक्शन में प्रायिकता { P }_{ r }(X=i) के अनुक्रम के उनके संक्षिप्त विवरण के लिए नियोजित किया जाता है, और गैर-नकारात्मक गुणांकों के साथ घात श्रृंखला के सुविकसित सिद्धांत को उपलब्ध कराने के लिए।

11.चरघातांकी जनक फलन (Exponential generating function)-

घातांक जनरेटिंग फंक्शन्स एक अनुक्रम को घात श्रृंखला के गुणांक के रूप में एन्कोड करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।यह एन्कोडिंग विभिन्न तरीकों से उपयोगी साबित होती है।परिभाषा 1. क्रमचय की श्रेणी, A, प्रत्येक परिमित सेट के लिए एक संघ है। X, AX पर क्रमचय का एक सेट, जैसे कि #X = #Y = ⇒ #AX = #AY।

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