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A viral mathematics question

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बीथोवेन का नौवां

1.एक वायरल मैथ्स का सवाल(A viral mathematics question)

यह गणित का सवाल हाल ही में रेडिट पर वायरल हुआ:
That’s not how this works.That’s not how any of this works.

5.An orchestra of 120 players takes 40 minutes to play Beethoven’s 9th symphony.How long would it take for 60 players to play the symphony?
Let P be number of players and T the time playing.

आर / फनी में यह पोस्ट est ऑर्केस्ट्रा लॉजिक ’शीर्षक के साथ आर / फेसपल्म के लिए जल्दी से क्रॉस-पोस्ट किया गया था, और परियोजना प्रबंधकों के बारे में अपमानजनक शीर्षकों के साथ आर / परामर्श और आर / प्रोग्रामिंग के लिए और द मैथ्यू मैन-महीना  के बारे में टिप्पणियां।

वायरल होने वाला यह सवाल मेरे लिए (कम से कम) कुछ कारणों से दिलचस्प है:

(1.)मैं एक जीवित लेखन गणित के सवाल करता हूं और अन्य गणित-शिक्षा-संबंधित चीजें कर रहा हूं, इसलिए जब भी थोड़ा सा गणित वायरल होता है तो मैं उत्साहित होता हूं।
(2.)मैं सितंबर में एक संगीत कार्यक्रम के लिए बीथोवेन के नौवें का पूर्वाभ्यास करने के बीच में हूं।
दुर्भाग्य से, अगर आपको पहले से अनुमान नहीं था, तो हर कोई इस सवाल को लेकर उतना उत्साहित नहीं था जितना कि मैं था।
यह एक आनुपातिक प्रश्न की तरह क्यों दिखता है?(Why does this look like a proportions question?)

5.An orchestra of 120 players takes 40 minutes to play Beethoven’s 9th symphony.How long would it take for 60 players to play the symphony?
Let P be number of players and T the time playing.

जब आप पहली बार इसे पढ़ते हैं तो मुझे लगता है कि मेरी तरह, आपने इसे अनुपात के बारे में एक प्रश्न के रूप में देखा।  थिंकिंग, फास्ट एंड स्लो ’की शब्दावली का उपयोग करना, यह’ सिस्टम 1 ’की प्रतिक्रिया है। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो आपका 2 सिस्टम 2 ’तब इसमें शामिल हो गया और इंगित किया गया कि, वास्तव में, एक ऑर्केस्ट्रा को अपने आकार पर निर्भर होने के लिए कुछ करने का समय नहीं लगता है, कभी भी इसके लिए आनुपातिक (सीधे या विपरीत) दिमाग में नहीं आता है। यह एक आनुपातिक प्रश्न नहीं है, और इसका उत्तर ’40 मिनट ‘है।

2.गणित के प्रश्न को हल करने के लिए, लगभग दो चरण होते हैं(To solve a maths question, there are roughly two steps):

(1.)तय करें कि क्या करना है।
(2.)वो करें।
जब गणित का प्रश्न एक शब्द समस्या है, तो math क्या करना है ’का निर्णय लेना गद्य को अमूर्त गणित में बदलना शामिल है।

यह प्रश्न इस बात का परीक्षण करता है कि आप इसमें कितने अच्छे हैं। एक छात्र के लिए जो यह महसूस करता है कि समय नहीं बदला है, दूसरा चरण आसान है: बस ’40 मिनट लिख दें। ‘ लेकिन एक छात्र जो गलत तरीके से प्रत्यक्ष या उलटा अनुपात प्रश्न हल करने का निर्णय लेता है, न केवल कुछ गणना करने के लिए होता है, उन्हें एक गलत उत्तर भी मिलेगा – या तो ’20 मिनट ‘या ’80 मिनट’ – अंत में, यह मानते हुए कि वे अपना कार्यान्वयन करते हैं। प्रक्रिया को सही ढंग से चुना।
यहां तक ​​कि अगर तुम जाल में नहीं पड़े, तो भी मैं कम से कम इस पर ध्यान देना चाहूंगा। चित्र में कहीं भी शब्द ‘अनुपात’ नहीं दिखता है और फिर भी, कम से कम एक क्षण के लिए, आप जानते हैं कि ‘यह एक आनुपातिक प्रश्न की तस्वीर थी, जैसा कि आप जानते हैं कि यह’ गणित के प्रश्न की एक तस्वीर थी; जैसा कि आप निश्चित रूप से ‘जानते थे’ यह कुछ पाठ की एक तस्वीर थी।

हमारे लिए यह वर्णन करना कठिन है कि हम कैसे जानते हैं कि इस तरह की शब्द समस्या क्या है (और मैं उल्टे अल्पविरामों में ‘पता’ लिख रहा हूं क्योंकि कुछ चीजें जिन्हें हम ‘जानते हैं’ झूठी हैं!) परिणामस्वरूप, किसी शब्द की समस्या के गणितीय अर्थ बनाने की प्रक्रिया को सिखाना कठिन है। हमारे पास एक ही समस्या है एक शब्द समस्या को हल करने के लिए कंप्यूटर प्राप्त करने की कोशिश करना; वोल्फ्राम अल्फा हमारे प्रश्न के साथ संघर्ष करता है। मानव द्वारा उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया का विश्लेषण करने, उसे संहिताबद्ध करने और कंप्यूटर में प्रोग्राम करने का प्रयास सांख्यिकीय तकनीकों का उपयोग करने से अनुप्रयोगों में कम सफल हुआ है।

आप इसे नियमित (यदि आसान नहीं) अंकगणितीय और बीजगणितीय हेरफेर के साथ जोड़ सकते हैं जो दूसरे चरण में दिखाई देता है; एक बार जब आप जानते हैं कि क्या करना है, तो आम तौर पर इसे करने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, एक बार जब आप जान जाते हैं कि दो मात्राएँ आनुपातिक हैं और समीकरण सेट कर दिया है, तो इसे हल करना सरल है। हम छात्रों और कंप्यूटर के लिए पूरी सटीकता के साथ इन प्रक्रियाओं का वर्णन कर सकते हैं। इससे अधिक, हम छात्रों को समझा सकते हैं कि वे प्रक्रियाएँ क्यों काम करती हैं।

मुझे लगता है कि यह विशेष प्रश्न एक आनुपातिक प्रश्न की तरह दिखता है, विशेष रूप से एक व्युत्क्रम अनुपात प्रश्न में, क्योंकि यह एक कार्य पूरा करने में T P श्रमिकों के समय टी के सांचे को फिट करता है ‘। मैंने बहुत सारे प्रश्न देखे हैं, जैसा कि मैंने सोचा है कि आपके पास है, और अनुभव के माध्यम से मैंने इस संरचना को पहचानना सीख लिया है।

मैं वास्तव में, उस छात्र के बारे में चिंतित होऊंगा जिसने शुरू में इस प्रश्न को एक आनुपातिक प्रश्न के रूप में पहचाना नहीं था। यह मुझे सुझाव देगा कि उन्होंने शब्द समस्या के बारे में पहचान करने के लिए आवश्यक अंतर्ज्ञान विकसित नहीं किया है, और इसलिए वे वास्तविक रन-ऑफ-द-मिल अनुपात शब्द समस्या का उपयोग करने में असमर्थ होंगे क्योंकि उन्हें पता नहीं होगा। कहा से शुरुवात करे।
इस ‘प्रणाली 1’ अंतर्ज्ञान को विकसित करना महत्वपूर्ण है। सामग्री को इंटरलेव करने का यह एक कारण है; छात्र इस तथ्य पर भरोसा नहीं कर सकते हैं कि कार्यपत्रक का शीर्षक ‘अनुपात’ है या तथ्य यह है कि वे  क्या करना है ’यह तय करने में मदद करने के लिए पूरे सप्ताह के अनुपात के बारे में सीख रहे हैं, और इसलिए गहन अंतर्ज्ञान विकसित करें। क्रेग बार्टन की SSDD समस्याएं साइट को और आगे ले जाती हैं। अंतर्ज्ञान विकसित करने का तरीका सावधानी से डिज़ाइन किए गए अनुभव के माध्यम से है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि आप अपने अंतर्ज्ञान को इस हद तक ठीक कर सकते हैं कि इस तरह का एक प्रश्न आपको पकड़ नहीं सकता है।

इस प्रश्न में फंसने से बचने के लिए, हमें अपने अंतर्ज्ञान पर प्रतिबिंबित करने और सवाल करने की आवश्यकता है।

यह एक ‘प्रणाली 2’ की बात है

3.कोई छात्र क्यों गिर सकता है?(Why might a student fall into the trap?)-

जैसा कि मैंने ऊपर बताया है, मैं वास्तव में आशा करता हूं कि एक छात्र का अंतर्ज्ञान उन्हें बताता है कि यह एक आनुपातिक प्रश्न है। निश्चित रूप से मुझे यह भी उम्मीद है कि, प्रतिबिंब पर, वे महसूस करते हैं कि उनका अंतर्ज्ञान गलत था। आइए इस बारे में सोचें कि उन्हें यह अहसास क्यों नहीं हो सकता है।

शास्त्रीय संगीत के बारे में ज्ञान की कमी(Lack of knowledge about classical music)-

सांस्कृतिक पूंजी के बारे में वैध चिंताएं हैं और यह जानना कि कौन बीथोवेन था, एक सिम्फनी क्या है और एक ऑर्केस्ट्रा कैसे काम करता है, एक छात्र को दूसरे पर अनुचित लाभ दे सकता है। हालांकि, यदि सभी छात्रों को जो प्रश्न गलत था, से बिंदु रिक्त पूछा गया था  क्या दो खिलाड़ियों के साथ एक ऑर्केस्ट्रा है, तो कई खिलाड़ियों को कुछ खेलने के लिए आधा समय लगता है? ‘’मुझे लगता है कि उनमें से अधिकांश आत्मविश्वास से जवाब देंगे नहीं’।

मुझे लगता है कि सांस्कृतिक पूंजी यहाँ खेलने में मुख्य मुद्दा है, और हालाँकि मैं शायद एक संदर्भ पसंद करूँगा …

कल, 120 यात्रियों वाली एक ट्रेन को लंदन से रीडिंग तक पहुंचने में 40 मिनट लगे। आज उसी ट्रेन में 60 यात्री हैं। पठन में कितना समय लगेगा?

बता दें कि P यात्रियों की संख्या है और ट्रेन के चलने में समय लगता है।

… मुझे नहीं लगता कि यह परिवर्तन करने से यह सुनिश्चित होगा कि सभी छात्रों को 40 मिनट का उत्तर मिलेगा।

सिस्टम 2 सक्रिय नहीं है(System 2 isn’t activated)-

मान लीजिए कि छात्र उत्तर खोजने के लिए दौड़ते हैं और समस्या को समग्र रूप से समझने के लिए या अपने उत्तर के व्यापक परिणामों पर विचार करने के लिए आवश्यक समय बिताने के लिए इतना उपेक्षा करते हैं। क्या समाधान सिर्फ उन्हें अधिक सावधान रहने के लिए कहना है?

अपनी पुस्तक  हाउ चिल्ड्रन फेल ’में, जॉन होल्ट ‘ उत्पादकों’ और ‘विचारकों ’के बारे में बात करते हैं। मैं उन सभी तर्कों को दोहराने नहीं जा रहा हूं जो वह करता है, लेकिन वह एक अच्छा मामला बनाता है कि स्कूल की प्रक्रिया छात्रों को ‘विचारकों’ के बजाय ‘निर्माता’ होने के लिए प्रेरित करती है।

छात्रों को अपना काम दिखाने के लिए एक कारण यह है कि इस प्रक्रिया को ठीक करने की कोशिश की जाए, ताकि विचार प्रक्रिया के महत्व पर जोर दिया जा सके। लेकिन आम तौर पर छात्रों को दिखाने के लिए जो काम करना होता है, वह ‘उस’ चरण के लिए होता है; हमारे सवाल के साथ यह ‘पी और टी के विपरीत आनुपातिक’ कथन के साथ शुरू हो सकता है और कुछ बीजगणित के साथ जारी रहेगा।

हम छात्रों को हर समाधान शुरू करने के लिए नहीं देते हैं कि वे कैसे तय करें कि वे क्या करें। न ही मुझे लगता है कि हमें करना चाहिए; इन चीजों को शब्दों में डालने की कोशिश करने से संज्ञानात्मक भार अधिक हो जाता है, और मैं इसे जर्मेन के लिए आश्वस्त नहीं हूं। छात्रों को अपने कामकाजी दिखाने के लिए ‘क्या करना है’ चरण में प्रतिबिंब को प्रोत्साहित करने के लिए एक अच्छा समाधान नहीं है; हमें इसके महत्व के संकेत देने के अन्य तरीकों को खोजना होगा। शायद हम केवल छात्रों को प्रतिबिंबित न करने के परिणामों का अनुभव करने के लिए अवसर प्रदान कर सकते हैं।

सिस्टम 2 सक्रिय है, लेकिन अन्य चीजें कर रहा है(System 2 is activated, but is doing other things)-

शायद हम यह कहकर छात्रों के साथ अन्याय कर रहे हैं कि वे केवल अपने दिमाग को उलझाए नहीं हैं। वे उदाहरण के लिए किसी भी चीज़ की जाँच करने में लगे हो सकते हैं:

उन्होंने प्रश्न में सभी जानकारी का उपयोग किया है
उन्होंने उचित मात्रा में काम किया है
उन्हें मिलने वाला मूल्य समझदार है।
एक छात्र जो व्युत्क्रम अनुपात प्रश्न को हल करने के लिए सफलतापूर्वक प्रक्रिया को लागू करता है, उसे चेकलिस्ट पर सभी आइटम संतुष्ट होंगे।

वे प्रश्न में सभी मानों (120 खिलाड़ी, 40 मिनट, 60 खिलाड़ी) का उपयोग करते हैं और प्रश्न में परिभाषित चर और T का निर्विवाद उपयोग करते हैं।
वे अनुपात के प्रश्न को सेट करने और अज्ञात के लिए हल करने में उचित मात्रा में काम करते हैं।
80 मिनट में उन्हें जो उत्तर मिलता है, वह एक ऑर्केस्ट्रा के लिए कुछ खेलने के लिए उचित समय लगता है। अगर उन्हें 80 मिलीसेकंड या 80 घंटे का जवाब मिलता तो शायद उन्हें चूहे सूंघ जाते।
ये जांच अक्सर स्पष्ट रूप से सिखाई जाती हैं। क्यूं कर? क्योंकि वे उपयोगी हैं; इनमें से कोई भी जाँच विफल होने से किसी छात्र के संदेह पर संदेह होगा कि या तो उन्होंने गलत काम करने का फैसला किया है या करने की प्रक्रिया में कहीं फिसल गए हैं। तथ्य यह है कि जब गलत प्रक्रिया लागू की जाती है तो तीनों चेक पास करते हैं, यह दर्शाता है कि प्रश्न को कितनी सावधानी से लिखा गया था।

चेकलिस्ट की शक्ति के बारे में बहुत कुछ लिखा गया है, विशेष रूप से विमानन में, लेकिन ये चेकलिस्ट आमतौर पर हाथ में सटीक कार्य के लिए अविश्वसनीय रूप से विशिष्ट हैं। किसी भी गणित के प्रश्न के लिए, चेकलिस्ट लिखना असंभव होगा, आपको बताएगा कि आपने इसे सही तरीके से हल किया है या नहीं।

बेशक, व्यक्तिगत प्रश्नों के लिए जाँचकर्ता मौजूद हैं; उन्हें मार्क स्कीम कहा जाता है। आप तर्क दे सकते हैं कि कई श्रमिकों को शामिल अनुपात प्रश्न को हल करने के लिए एक चेकलिस्ट और एक कार्य में एक चेक होना चाहिए जो कार्य करने के लिए अधिक श्रमिकों को कम समय लेता है। (जो कोई मीटिंग में गया है वह जानता है कि कभी-कभी विपरीत सच होता है।) शायद इस चेकलिस्ट के साथ एक छात्र प्रश्न में फंसने से बच जाता था – मैं आपको बताता हूं कि मैं जल्द ही इस बारे में आश्वस्त क्यों नहीं हूं – लेकिन छात्रों को प्राप्त करना कई संदर्भ-विशिष्ट जाँचकर्ताओं को याद करने के लिए (क्योंकि उन्हें अपने जाँचकर्ताओं को अपनी परीक्षा में लाने की अनुमति नहीं होगी) स्पष्ट रूप से एक मूर्खतापूर्ण विचार है।

ऊपर दिए गए तीनों चेक सामान्य नहीं हैं, लेकिन वे सरल, अपेक्षाकृत अस्पष्ट हैं, और जैसा कि किसी अन्य के लिए उलटा अनुपात के बारे में एक प्रश्न (प्रतीत होता है) पर लागू होता है। बेशक, पहले दो चेक गणित के प्रश्नों के मानदंडों पर निर्भर करते हैं, और ऑर्केस्ट्रा प्रश्न में वे नहीं होते हैं।

सिस्टम 2 को ओवरराइड किया गया है(System 2 is overruled)

या मुझे यह कहना चाहिए कि यह खुद को खत्म कर देता है?

यह अब तक का सबसे दिलचस्प मामला है। एक छात्र को पता चलता है कि यह समझ में नहीं आता है कि दूसरा ऑर्केस्ट्रा दो बार लेता है, लेकिन फिर भी जवाब देता है 80 मिनट ‘क्योंकि यह वही है जो सवाल पूछ रहा है।

इस घटना को समझने का एक तरीका छात्र की नौसिखिया सोच है। वे अनिश्चित हैं कि इस प्रक्रिया को लागू करना सही बात है, लेकिन उनके पास पहले के समान अनुभव थे, जहां वे इसी तरह अनिश्चित थे और यह ठीक निकला। वे पूरी निश्चितता की उम्मीद नहीं कर रहे हैं; अगर वे पूरी निश्चितता के लिए इंतजार करते थे तो उन्हें कभी कुछ नहीं मिलता था।

80 मिनट का उत्तर पाने के बाद भी उनके पास योग्यता हो सकती है, लेकिन फिर, यह अभूतपूर्व नहीं है। यह उत्तर, और इसके लिए अग्रणी प्रक्रिया, पिछले अनुभाग से सभी तीन चेक पास करती है। 40 मिनट ‘का उत्तर, जिसके द्वारा उन्हें लुभाया जा सकता है; यह सवाल से खिलाड़ियों की संख्या का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और न ही चर पी और टी। यह वास्तव में किसी भी काम की आवश्यकता नहीं है। 80 मिनट सही उत्तर होना चाहिए, और यह तथ्य कि यह समझ में नहीं आता है कि गणित के कई रहस्यों में से एक है।

इस घटना को समझने का एक अन्य तरीका वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के बार-बार वादों से मोहभंग के रूप में छात्र की सोच से है। वे अच्छी तरह से जानते हैं कि एकमात्र समझदार उत्तर 40 मिनट का है, लेकिन यह  मैथ्स वर्ल्ड ’है जहां लोग अनुचित मात्रा में फल खरीदते हैं, पहेलियों के साथ उनकी उम्र के बारे में उचित पूछताछ का जवाब देते हैं और घर्षण को अनदेखा करते हैं। अपनी आलोचनात्मक सोच को दरवाजे पर छोड़ दें।

शायद इस छात्र ने पहले संदर्भों पर आपत्ति जताई है और उनकी परेशानियों के लिए एक पेडेंट या  स्मार्ट एलेक ’ब्रांड किया गया था। हो सकता है कि उनके शिक्षक को लगता था कि उनकी आलोचना सिर्फ एक काम करने की कोशिश थी। शायद उनका शिक्षक सही था। किसी भी मामले में, जबकि छात्र ने सार्वजनिक रूप से आपत्तियों को उठाना बंद कर दिया है, निजी तौर पर उनके विचारों को केवल प्रबल किया गया है और उनका मोहभंग केवल बढ़ा है।

यह इस तरह का छात्र था जिसने सोशल मीडिया पर सवाल पोस्ट किया था।

4.फिर से पोस्ट(The Post again)

पोस्ट का शीर्षक पोस्ट करने वाले व्यक्ति के विचारों को दूर करता है:
That’s not how this works.That’s not how any of this works.

5.An orchestra of 120 players takes 40 minutes to play Beethoven’s 9th symphony.How long would it take for 60 players to play the symphony?
Let P be number of players and T the time playing.

प्रश्न के लेखक को यह गलत लगा। ऑर्केस्ट्रा को अपने आकार के विपरीत आनुपातिक रूप से कुछ खेलने में समय नहीं लगता है।

प्रश्न पोस्ट करने वाला व्यक्ति इस संभावना पर विचार नहीं करता है कि यह एक ‘ट्रिक प्रश्न’ हो सकता है। पोस्ट को अपग्रेड करने वालों की संख्या को देखते हुए, ऐसा प्रतीत होता है कि कई लोग इस आकलन से सहमत थे।

ऐसा क्यों है?

इस शीर्षक के साथ, इस पोस्ट को देखने वाले लोगों को प्रश्न में एक गलती की तलाश करने के लिए प्राइम किया गया है और, एक पाए जाने पर, प्रश्न की वैकल्पिक व्याख्या के लिए देखने की आवश्यकता महसूस नहीं होती है। इस सवाल के साथ दिलचस्प समानताएं हैं, जिसकी संरचना आपको अनुपात के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है।

टिप्पणियों को देखते हुए आप देखेंगे कि यह संपूर्ण उत्तर नहीं हो सकता है; ऐसे कई लोग हैं जो इस विचार को अस्वीकार करते हैं कि यह प्रश्न जानबूझकर आपको सोचने के लिए लिखा गया था:

कुछ प्रसंग(Some context)

यह प्रश्न वायरल होने के बाद पहली बार नहीं है।  इसे पिछले साल कई बार  ट्विटर पर देखा था:

ध्यान दें कि जब बाद में रेडिट को पोस्ट की गई तस्वीर को सीधा किया गया था, तो कैप्शन वही रहा।
प्रश्न के लेखक, नॉटिंघम के एक शिक्षक ने कुछ दिनों बाद धागे में उलट दिया और कार्यपत्रक को साझा किया, जिस प्रश्न को हटा दिया गया था:
यद्यपि कार्यपत्रक का शीर्षक ‘प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात’ है, हम चेतावनी से अनुमान लगा सकते हैं  खबरदार एक चाल सवाल है! ’कि हमारी ऑर्केस्ट्रा शब्द की समस्या केवल एक बुरी तरह से उलटा लिखित अनुपात प्रश्न नहीं है। इसके अलावा, ‘प्रत्यक्ष और विलोम अनुपात में इन प्रश्नों को क्रमबद्ध करने’ का निर्देश बताता है कि कार्यपत्रक को ‘क्या करना है’ को ध्यान में रखते हुए महत्व के साथ लिखा गया था।

मामला समाप्त? काफी नहीं।

5.बीथोवेन के नौवें के रूप में एक ही सदी से कुछ अंतर्दृष्टि के लिए समय

Beethoven’s Ninth Symphony plaque

कांच के माध्यम से
फरवरी 1880 के मासिक पैकेट में, बीथोवेन के नौवें के प्रीमियर के 50 साल बाद प्रकाशित किया गया, लेखक लुईस कैरोल (जो दिन के अनुसार, गणितज्ञ चार्ल्स डोड्सन थे) ने आनुपातिक समस्या के बारे में लिखा:

बिल्लियों और चूहों फिर से।
 यदि ६ बिल्लियाँ ६ मिनट में ६ चूहों को मार देती हैं, तो ५० मिनट में १०० चूहों को मारने की कितनी आवश्यकता होगी? ‘

यह एक घटना का एक अच्छा उदाहरण है जो अक्सर दोहरे अनुपात में कामकाजी समस्याओं में होता है; इसका उत्तर पहली बार में सब ठीक लग रहा है, लेकिन जब हम इसका परीक्षण करने आते हैं, तो हम पाते हैं कि, मामले में अजीब परिस्थितियों के कारण, समाधान या तो असंभव है या फिर अनिश्चित, और आगे के डेटा की आवश्यकता है। ‘अजीब स्थिति’ यहाँ यह है कि भिन्नात्मक बिल्लियों या चूहों को विचार से बाहर रखा गया है, और इसके परिणामस्वरूप समाधान है, जैसा कि हम देखेंगे, अनिश्चितकालीन।

दोहरे अनुपात के सामान्य नियमों द्वारा समाधान इस प्रकार है: –

लेकिन जब हम इस डरावने दृश्य के इतिहास को उसके सभी डरावने विवरणों के माध्यम से पता लगाने के लिए आते हैं, तो हम पाते हैं कि 48 मिनट के अंत में 96 चूहे मर चुके हैं, और यह कि 4 जीवित चूहे और उन्हें मारने के लिए 2 मिनट बाकी हैं: सवाल यह है कि , यह किया जा सकता है?

अब कम से कम चार अलग-अलग तरीके हैं जिसमें 6 मिनट में 6 चूहों को मारने वाली 6 बिल्लियों की मूल उपलब्धि हासिल की जा सकती है। निर्मलता के लिए हमें उन्हें सारणीबद्ध करना चाहिए: –

A. चूहे को मारने के लिए सभी 6 बिल्लियों की जरूरत होती है; और वे एक मिनट में करते हैं, अन्य चूहों ने बारी-बारी से खड़े होकर अपनी बारी का इंतजार किया।

ख। चूहे को मारने के लिए 3 बिल्लियों की ज़रूरत होती है; और यह वे इसे 2 मिनट में करते हैं।

सी। 2 बिल्लियों की जरूरत है, और इसे 3 मिनट में करें।

डी। प्रत्येक बिल्ली अपने आप ही एक चूहे को मार देती है, और उसे करने में 6 मिनट लगते हैं।

ए और बी के मामलों में यह स्पष्ट है कि 12 बिल्लियाँ (जिन्हें उनके 48 मिनट के वध से काफी ताजा माना जाता है) आवश्यक समय में चक्कर खत्म कर सकती हैं; लेकिन, सी के मामले में, यह केवल यह मानकर किया जा सकता है कि 2 बिल्लियाँ 2 मिनट में दो-तिहाई चूहे मार सकती हैं; और मामले में डी, यह मानकर कि एक बिल्ली 2 मिनट में एक तिहाई चूहे को मार सकती है। न तो डेटा द्वारा सज़ा दी जाती है; न ही भिन्नात्मक चूहों (भले ही समान जीवन शक्ति के साथ संपन्न) को अलग-अलग बिल्लियों को सौंपा जा सकता है। मेरे हिस्से के लिए, यदि मैं डी मामले में एक बिल्ली था, और मेरे पंजे अच्छे कार्य क्रम में नहीं मिले, तो मुझे निश्चित रूप से पूंछ के अंत से अपने ऑन-थर्ड-चूहे को काटना पसंद करना चाहिए।

सी और डी के मामलों में, यह स्पष्ट है कि हमें अतिरिक्त बिल्ली-शक्ति प्रदान करनी चाहिए। मामले में C 2 से कम अतिरिक्त बिल्लियों का कोई फायदा नहीं होगा। यदि 2 की आपूर्ति की गई थी, और यदि वे समय की शुरुआत में अपने 4 चूहों को मारना शुरू कर देते थे, तो वे उन्हें 12 मिनट में खत्म कर देते थे, और 36 मिनट के लिए छोड़ देते थे, जिस दौरान वे सिकंदर की तरह रो सकते थे, क्योंकि 12 और नहीं थे मारने के लिए चूहों मामले में डी, एक अतिरिक्त बिल्ली पर्याप्त होगी; यह 24 मिनट में अपने 4 चूहों को मार डालेगा, और उसके पास 24 मिनट बचेगा, जिसके दौरान यह एक और हत्या कर सकता है 4. लेकिन न तो किसी भी मामले में पिछले 2 मिनटों में, आधे-मारने वाले चूहों को छोड़कर कोई भी उपयोग नहीं किया जा सकता है – एक बर्बरता हमें ध्यान में रखने की आवश्यकता नहीं है।

हमारे परिणामों का योग करने के लिए। यदि 6 बिल्लियाँ विधि A या B द्वारा 6 चूहों को मारती हैं, तो इसका उत्तर है ’12; यदि विधि C, by14; यदि विधि D, ‘13 द्वारा।

फिर, यह मामले की परिस्थितियों से ‘अनिश्चित’ बने समाधान का एक उदाहरण है। यदि ‘असंभव’ के किसी भी उदाहरण को वांछित किया जाता है, तो निम्न कार्य करें: – ‘अगर एक बिल्ली एक मिनट में एक चूहे को मार सकती है, तो उसे एक सेकंड के हजारवें भाग में मारने की कितनी आवश्यकता होगी?’ ‘गणितीय उत्तर, बेशक, ’60, 000, ‘है और इससे कम कोई संदेह पर्याप्त नहीं होगा’ लेकिन क्या 60,000 पर्याप्त होगा? मुझे इस पर बहुत संदेह है। मैं कल्पना करता हूं कि कम से कम 50,000 बिल्लियाँ कभी भी चूहे को नहीं देख पाएंगी, या किसी को भी पता नहीं होगा कि क्या चल रहा है।

या इसे लें: – ‘अगर एक बिल्ली एक मिनट में एक चूहे को मार सकती है, तो वह 60,000 चूहों को कब तक मार सकता है? मेरी निजी राय है, कि चूहे बिल्ली को मार देंगे।
लुईस कैरोल।

हैट टिप: मैंने कई साल पहले जेम्स डॉव एलन की वेबसाइट पर इसे पढ़ा था।

यद्यपि उन्होंने लुईस कैरोल के रूप में अपने लेख पर हस्ताक्षर किए, एक गणितज्ञ के रूप में उनका दर्शन एक लेखक के रूप में उनकी भावना के रूप में उज्ज्वल रूप से चमकता है।

आप सोच सकते हैं कि उनकी आलोचनाएं सिर्फ हास्य में सजे हुए हैं और उन्हें ‘स्मार्ट एलेक्स’ शिविर में डाल दिया है, लेकिन मैं यह जानना चाहूंगा कि एक छात्र के लिए यह स्पष्ट क्यों होना चाहिए कि एक धारणा (बिल्ली-घंटों और चूहों को मार डाला) सीधे आनुपातिक हैं) वैध है लेकिन एक और (जो एक ऑर्केस्ट्रा के सदस्यों की संख्या और बीथोवेन के नौवें खेलने के लिए उन्हें लगने वाले समय के विपरीत आनुपातिक है) नहीं है। क्या आप एक चेकलिस्ट के साथ आ सकते हैं, जिस पर बिल्लियों और चूहों का प्रश्न है, लेकिन ऑर्केस्ट्रा का सवाल नहीं है?

निम्नलिखित प्रश्न पर एक नज़र डालें और इस बारे में सोचें कि आप इसे लुईस कैरोल की शैली में कैसे अलग कर सकते हैं।

स्ट्रॉबेरी पिकर आर अस ने 15 लोगों को 10 घंटे में स्ट्रॉबेरी का एक क्षेत्र चुनने के लिए नियुक्त किया। 3 घंटे में स्ट्रॉबेरी के एक क्षेत्र को चुनने के लिए कितने स्ट्रॉबेरी पिकर की आवश्यकता होती है?

बता दें कि टी स्ट्रॉबेरी और पी लेने वालों की संख्या लेने का समय है।

निश्चित रूप से आपको 15 से अधिक स्ट्रॉबेरी पिकर की आवश्यकता होगी। क्या वे एक-दूसरे के रास्ते में आएंगे, सभी की अलग-अलग पिकिंग दर को कम करेंगे, या वे कम समय के लिए तेजी से आगे बढ़ेंगे? क्या वे सभी एक ही दर पर हैं? हो सकता है कि मूल 15 पिकर, कम से कम 10 घंटे के अनुभव के साथ, वे उन टेंपों की तुलना में अधिक कुशल हैं जो उन्हें मिल गए हैं। क्या उनके 10 घंटे की शिफ्ट के दौरान लंच ब्रेक था?

जितना अधिक आप इसके बारे में सोचते हैं, उतना कम आनुपातिक यह परिदृश्य लगता है।

यह प्रश्न कार्यपत्रक पर प्रश्न 3 है जिसमें से मूल प्रश्न लिया गया था। यह देखते हुए कि हमने निर्णय लिया है कि प्रश्न 5 एकल ट्रिक प्रश्न है, मुझे लगता है कि प्रश्न 3 में मात्राएं व्युत्क्रमानुपाती होनी चाहिए।
क्या करें?
शब्द समस्याओं को हमने देखा है उनमें सभी छिपी हुई धारणाएँ हैं। हमारे पास दो विकल्प हैं:

मान्यताओं को स्पष्ट करें।
स्वीकार करें और अस्पष्टता को गले लगा लें।
विकल्प 1 में 1 प्रत्येक (कैट | स्ट्रॉबेरी पिकर) की तरह कुछ जोड़ना होगा जो एक ही स्थिर दर पर स्वतंत्र रूप से काम करता है … “प्रश्न के लिए। यह प्रश्न को प्रूफ़-प्रूफ बनाता है और जिन छात्रों के पास स्पष्ट रूप से बताई गई मान्यताओं के बिना प्रश्न के बारे में आरक्षण था, उन्हें आश्वस्त किया जाएगा कि एक स्पष्ट रूप से सही उत्तर है।

इस बात का खतरा है कि छात्र अंततः सीखेंगे कि इस तरह के बॉयलरप्लेट पाठ का अर्थ है कि ‘ये दो मात्राएँ आनुपातिक हैं’। उच्च दांव के योगात्मक आकलन के लिए यह स्पष्ट रूप से आनुपातिकता को स्पष्ट रूप से बताना बेहतर हो सकता है। आपके पास कोई भी शब्द समस्या नहीं है और इसलिए आपको  क्या करना है ’का एक बड़ा हिस्सा निकाल रहे हैं, लेकिन आप अधिक छात्रों को प्रक्रिया को लागू करने के लिए अंक तक पहुंचने की अनुमति दे रहे हैं।

विकल्प 2 छात्र को अपनी मान्यताओं के बारे में बताने के लिए, और बाद में शायद उन्हें उचित ठहराने या मान्यताओं के विभिन्न सेटों का पता लगाने के लिए रखेगा। यह हमें केवल गणितीय मॉडलिंग की समृद्ध दुनिया के लिए शब्द समस्याओं से ले जाता है। बच्चों को बताया जा सकता है कि एक प्रश्न जानबूझकर खुला-समाप्त होता है, एक उद्देश्य अद्वितीय सही उत्तर के बिना। ‘स्मार्ट एलेक्स’ को  गणितीय मोडेलर ’के रूप में फिर से लिखा जा सकता है और कहा जा सकता है कि पुराने की आलोचना करने के बजाय परिदृश्य के नए मॉडल बनाएं।

हालांकि उच्च-दांव परीक्षाओं के लिए उपयुक्त नहीं है, कक्षा में गणितीय मॉडलिंग भी छात्रों को क्या करना है ’तय करने का पर्याप्त अनुभव देता है। यदि आप गणितीय मॉडलिंग और इसके लाभों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो एम 3 चुनौती के लिए हैंडबुक महान संसाधन हैं। मेरे लिए यह स्पष्ट है कि, ज्यादातर मामलों में, गणितीय मॉडलिंग ट्रिक प्रश्नों की तुलना में हमारे संकटों को बेहतर समाधान प्रदान करती है।

गणितीय मॉडलिंग के साथ प्रगति करने के लिए, छात्रों को निश्चित रूप से मूल बातें में प्रवाह की आवश्यकता होगी, इसलिए यह बहुत ही जल्दी है कि समानुपातिकता के सवालों और अंतर को पाटने वाले सरल शब्द समस्याओं को दूर किया जाए। एक बार जब वे इन कौशल में महारत हासिल कर लेते हैं, तो वे शब्द की समस्याओं को फिर से दोहरा सकते हैं, आनुपातिकता की धारणा को चुनौती दे सकते हैं, और अधिक परिष्कृत मॉडल का पता लगा सकते हैं। उम्मीद है कि ऐसा करने से वे सीखेंगे, यदि वे पहले नहीं थे, तो यह गणित सिर्फ नियमित प्रक्रियाओं के अप्रभावित अनुप्रयोग से अधिक है।

6.निष्कर्ष(Conclusion)

हो सकता है कि यह लेख वायरल होने वाले गणित के प्रश्न के लिए आनुपातिक प्रतिक्रिया (वाक्य के अनुसार) से बाहर है, लेकिन मुझे ऐसा नहीं लगता। यह समझना कि एक छात्र को उत्तर गलत क्यों मिल सकता है यदि हम उन्हें सही पाने में मदद करना चाहते हैं तो यह महत्वपूर्ण है; यह समझना कि कुछ लोगों का मानना ​​है कि प्रश्न गलत है महत्वपूर्ण है यदि हम गणित की अवधारणा को चुनौती देना चाहते हैं जो इस विश्वास की ओर जाता है।

शब्द समस्या का उत्तर कैसे दिया जाए, यह तय करने के लिए एक एल्गोरिथ्म नहीं है। इसके लिए अंतर्ज्ञान की आवश्यकता होती है जो केवल अनुभव के साथ आ सकता है। उस अंतर्ज्ञान को विकसित करना और परिष्कृत करना, गणित सीखने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, लेकिन छात्रों द्वारा इस बिंदु को याद किया जा सकता है। ज्ञान के अभिशाप का मतलब है कि हम अक्सर इस बिंदु को स्वयं याद कर सकते हैं, क्योंकि हम स्वचालित रूप से उन सभी छिपी हुई धारणाओं को भरते हैं जो हमें पता है कि किसी प्रश्न का उत्तर देने के लिए बनाया जाना चाहिए।

सामग्री को इंटरलेय करने से आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि छात्र यह तय नहीं करते हैं कि हाल ही में उन्होंने जो सीखा है, उसके आधार पर क्या करना है। इसी तरह, गणितीय मॉडलिंग करके हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे इस बात पर भरोसा न करें कि क्या उन्होंने एक प्रश्न में सभी जानकारी का उपयोग किया है, क्या उन्होंने उचित मात्रा में काम किया है, या क्या गणित के सवालों के मानदंडों के बारे में कुछ अन्य मानदंड वास्तविकता की प्रकृति संतुष्ट है। यह भी देखें कि प्रसिद्ध also चरवाहा का प्रश्न कितना पुराना है। इन मानदंडों का उपयोग करना अच्छी परीक्षा तकनीक हो सकती है, लेकिन उनका उपयोग एक प्रश्न के उत्तर के बाद चेक के रूप में किया जाना चाहिए और प्रारंभ में साइनपोस्ट के रूप में नहीं।
जब मैं सितंबर के अंत में बीथोवेन के 9 वें गाने में आऊंगा तो मुझे प्रदर्शन के समय और ऑर्केस्ट्रा में खिलाड़ियों की संख्या गिनना सुनिश्चित होगा। क्या यह सवाल उठने में 40 मिनट या विषम सटीक 55 मिनट और 14 सेकंड का समय लेगा, जो कि रेड्डी पोस्ट पर शीर्ष टिप्पणी से पता चलता है? शायद यह 74 मिनट के करीब होगा कि एक सीडी को स्टोर करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, कथित तौर पर बीथोवेन के सभी नौवें को रखने के लिए। मैं आपको बता दूँगा।

5. 120 खिलाड़ियों में से एक ऑर्केस्ट्रा को बीथोवेन की 9 वीं सिम्फनी खेलने में 40 मिनट लगते हैं। 60 खिलाड़ियों को सिम्फनी बजाने में कितना समय लगेगा?

बता दें कि P खिलाड़ियों की संख्या है और T खेलते समय।

5. 120 खिलाड़ियों का एक ऑर्केस्ट्रा बीथोवेन की 9 वीं सिम्फनी खेलने के लिए 40 मिनट का समय लेता है। 60 खिलाड़ियों को सिम्फनी खेलने में कितना समय लगेगा?

बता दें कि P खिलाड़ियों की संख्या है और T खेलते समय।

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