1.दो चरों के फलन की सांतत्यता (Continuity of Function of Two Variable):

Continuity of Function of Two Variable

दो चरों के फलन की सांतत्यता (Continuity of Function of Two Variable) में हम जानेंगे कि दो चरों के लिए सांतत्यता का परीक्षण किस प्रकार किया जाता है।इसे हम थ्योरी व उदाहरणों के द्वारा ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.दो चरों के फलन की सांतत्यता की महत्त्वपूर्ण बातें (Important Points of Continuity of Two Variable):

(1.)युगपत सीमा में दो चर (x,y) होते हैं जबकि एक चर की सीमा में x या y केवल एक चर होता है।जैसे:
युगपथ सीमा है (Simultaneous Limits):
\underset{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}}{\lim} f(x,y)
तथा एक चर की सीमा है (Limits of One Variable):
\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim} f(x)
(2.)फलन की सांतत्यता की शर्त है कि फलन परिभाषित हो,सीमा का अस्तित्व हो और सीमा का मान फलन के मान के बराबर हो।
(3.)पथ पर निर्भरता का परीक्षण (Path Dependency Test):
यदि सीमा पथ पर निर्भर करती है तो सीमा अद्वितीय नहीं होती फलतः फलन संतत नहीं होता है।जैसे
f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}
माना y=mx \\ f(x,mx)=\frac{x(m x)}{x^2+(m x)^2} \\ f(x,mx)=\frac{m x^2}{x^2\left(1+m^2\right)} \\ f(x,mx)=\frac{m}{1+m^2}
चूँकि उक्त सीमा m पर निर्भर है अतः,यह फलन संतत नहीं है।
(4.)एपसाईलन-डेल्टा परिभाषा (Epsilon-delta Definition (for Two Variables)):
हमने FAQ में Epsilon-delta तकनीक के द्वारा दो फलनों की सांतत्यता की परिभाषा लिखी है उसे पढ़ें।
(5.)सांतत्यता की जाँच करने के लिए फलन का मान निकालें (x,y) पर और सीमा की जाँच करें,भिन्न-भिन्न पथ पर।दोनों की तुलना करें।दोनों समान होने पर फलन संतत होता है।

3.टिप्पणी (Note:Continuity of Two Variables):

4.Comparison:Continuity of 1-Variable VS 2-Variables

5.दो चरों के फलन की सांतत्यता के साधित उदाहरण (Continuity of Function of Two Variable Solved Illustrations):

Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x, y)=x^2+3 x y बिन्दु (1,2) पर संतत है।
(Prove that the function f(x, y)=x^2+3 x y continuous on the point (1,2).)
Solution: \underset{\substack{x \rightarrow 1 \\y \rightarrow 2}}{\lim} f(x, y)=\underset{\substack{x \rightarrow 1 \\y \rightarrow 2}}{\lim} \left(x^2+3 x y\right) \\ =1^2+3 \times 1 \times 2=1+6=7 \\ \underset{\substack{x \rightarrow 1 \\y \rightarrow 2}}{\lim} f(x, y)=7 \\ f(1,2)=x^2+3 x y=1^2+3 \times 1 \times 2=7
तथा \underset{\substack{x \rightarrow 1 \\y \rightarrow 2}}{\lim} f(x, y)=f(1,2) =7
फलतः फलन बिन्दु (1,2) पर संतत है।
Illustration:2.निम्न फलनों का मूलबिन्दु पर सांतत्यता का विवेचन कीजिए:
(Discuss the continuing of the following functions at the given points):
Illustration:2(i). f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0, & x=0, y=0 \end{array}\right.
Solution: f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0, & x=0, y=0 \end{array}\right.
सीमा x \rightarrow 0 जबकि y=0
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, 0)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2-0^2}{x^2+0^2} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2}{x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} 1=1
y-अक्ष की ओर अग्रसर होने पर (x=0)
\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(0, y)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{0^2-y^2}{0^2+y^2} \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{-y^2}{y^2} \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} (-1) \\ \Rightarrow \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(0, y) =-1
युगपत सीमा का अस्तित्व नहीं फलतः फलन संतत नहीं है।
Illustration:2(ii). f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^3-y^3}, & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0, & x=0, y=0 \end{array}\right.
Solution: f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^3-y^3}, & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0, & x=0, y=0 \end{array}\right.
सीमा x \rightarrow 0 जबकि y=0
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, 0)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x(0)}{x^3-0^3} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{0}{x^3} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} 0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, 0)=0
y-अक्ष की ओर अग्रसर होने पर (x=0)
\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(0, y)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{0(y)}{0^3-y^3} \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{0}{-y^3}\right)=0 \\ f(x,y)=f(0,0)=0 \\ \therefore \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y)=f(0,0)=0
फलतः फलन मूलबिन्दु (0,0) पर संतत है।
Illustration:3.निम्न फलन के सांतत्य का परीक्षण मूलबिन्दु पर कीजिए।
(Examine the continuity of the following function on the origin):

f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Solution: f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
जब x \rightarrow 0 तब y=mx से  y \rightarrow 0
\therefore \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y)= \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{x y}{x^2+y^2} \\ = \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{x(m x)}{x^2+(m x)^2} [y=mx रखने पर ]
=\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{m x^2}{x^2\left(1+m^2\right)} \\ \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{m}{1+m^2}
जो कि x पर निर्भर है अर्थात् m के विभिन्न मानों के लिए भिन्न-भिन्न होगी।उदाहरणार्थ
m=2\\ \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y)=\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{2}{1+2^2}=\frac{2}{5} \\ m=1 \\ \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x,y)=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}
फलतः सीमा उपगमन पथ पर निर्भर करती है इसलिए
\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x,y)
का अस्तित्व नहीं है।अतः फलन संतत नहीं है।

Continuity of Function of Two Variable

Illustration:4.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x, y)=\frac{2xy}{x^2+y^2},(x \neq 0, y \neq 0), f(0,0)=0
केवल x या y का मूलबिन्दु पर संतत फलन है परन्तु एक साथ (0,0) पर असंतत है।
(Prove that the function f(x, y)=\frac{2xy}{x^2+y^2},(x \neq 0, y \neq 0), f(0,0)=0
is continuous only at the origin for x and y but it is discontinuous at simultaneous x=0,y=0 or (0,0).)
Solution: f(x, y)=\frac{2xy}{x^2+y^2} जब (x, y) \neq(0,0) \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x(0)}{x^2+0^2} \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x,y)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{0}{x^2}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} 0=0
तथा \underset{y \rightarrow 0}{\lim} \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{2(0) y}{0^2+y^2} \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{0}{y^2}=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} 0=0 \\ \Rightarrow \underset{y \rightarrow 0}{\lim} \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)=0
फलतः पुनरावृत्ति सीमा का अस्तित्व है और शून्य के बराबर है अतः
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)=f(0,0)=0
अतः केवल x या y का मूलबिन्दु पर संतत फलन है।
युगपत सीमा के लिए:
अब जब x \rightarrow 0 तब y=mx से y \rightarrow 0
\therefore \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y)=\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim}\left(\frac{2 x y}{x^2+y^2}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 x(m x)}{x^2+(m x)^2} [y=mx रखने पर ]
=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 m x^2}{x^2\left(1+m^2\right)} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{2 m}{1+m^2}\right)
जो कि m पर आधारित है अर्थात् m के विभिन्न मानों के लिए भिन्न-भिन्न होगी फलतः सीमा उपगमन पथ पर निर्भर करती है इसलिए \underset{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\lim} f(x, y) का अस्तित्व नहीं है।
\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y) \neq f(0,0)
फलतः फलन एक साथ (0,0) पर असंतत है।
Illustration:5.सिद्ध करिए कि निम्न फलन मूलबिन्दु पर संतत नहीं है:
(Prove that the following function is not continuous on the origin):
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y^3}{x^2+y 6} ; & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0 ; & x=y=0 \end{array}\right.
Solution: f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y^3}{x^2+y 6} ; & x \neq 0, y \neq 0 \\ 0 ; & x=y=0 \end{array}\right. \\ x=my^3 लेने परः
f\left(m y^3, y\right)=\frac{\left(m y^3\right) \cdot y^3}{\left(m y^3\right)^2+y^6} \\ =\frac{m y^6}{y^6\left(m^2+1\right)} \\ \Rightarrow f\left(m y^3, y\right)=\frac{m}{1+m^2} \\ \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f\left(m y^3, y\right)=\frac{m}{m^2+1}
अतः सीमा का मान m पर निर्भर है (विशिष्ट पथ चुनने पर),सीमा अद्वितीय नहीं है।
यदि m=2, तो सीमा है \frac{2}{1+2^2}=\frac{2}{5}
यदि m=3,तो सीमा है \frac{3}{1+3^2}=\frac{3}{10}
भिन्न-भिन्न पथ के लिए सीमा के भिन्न मान हैं अतः सीमा विद्यमान नहीं है।
\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} f(x, y) \neq f(0,0)
फलतः फलन असंतत है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चरों के फलन की सांतत्यता (Continuity of Function of Two Variable) को समझ सकते हैं।

6.छात्र-छात्राओं द्वारा सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes by Students):

Continuity of Function of Two Variable

प्रायः छात्र-छात्राएँ एक सामान्य गलती कर देते हैं वे युगपत सीमा (Simultaneous Limits) को पुनरावृत्त सीमा (iterated Limits) समझ लेते हैं।
पढ़ाई के साथ सेहत का भी ध्यान रखें,पढ़िए हमारा नया आर्टिकल:Weight Loss for Students 2026 Update

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7.दो चरों के फलन की सांतत्यता (Frequently Asked Questions Related to Continuity of Function of Two Variable) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो चरों के फलन की सांतत्यता (Continuity of Function of Two Variable) में हम जानेंगे
कि दो चरों के लिए सांतत्यता का परीक्षण किस प्रकार किया जाता है।इसे हम थ्योरी व
उदाहरणों के द्वारा ज्ञात करना सीखेंगे।