1.फलन के फलन का अवकलज (Derivative of Function of Function),अवकलज का श्रृंखला नियम (Chain Rule of Derivative):

Derivative of Function of Function

फलन के फलन का अवकलज (Derivative of Function of Function) के इस आर्टिकल में श्रृंखला नियम के आधार पर फलन के फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.फलन के फलन का अवकलज के साधित उदाहरण (Derivative of Function of Function Solved Examples):

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए:
Example:1. e^{\sqrt{\cot x}}
Solution:माना y=e^{\sqrt{\cot x}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने परः
\log y=\log e^{\sqrt{\cot x}} \\ \Rightarrow \log y =\sqrt{\cot x} \log_e e \\ \Rightarrow \log y=\sqrt{\cot x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{\cot x}}\left(-\operatorname{cosec}^2 x\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y \operatorname{cosec}^2 x}{2 \sqrt{\cot x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{e^{\sqrt{\cot x}} \operatorname{cosec}^2 x}{2 \sqrt{\cot x}}
Example:2. \sec log_e x^n
Solution:माना y=\sec log_e x^n
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sec \log _e x^n\right) \\ =\sec \left(\log _e x^n\right) \tan \left(\log _e x^n\right) \frac{d}{d x} \log _e x^n \\ =\sec \left(\log _e x^n\right) \tan \left(\log_e x^n\right) \frac{1}{x^n} \frac{d\left(x^n\right)}{d x} \\ =\sec \left(\log_e x^n\right) \tan \left(\log _e x^n\right) \cdot \frac{1}{x^n} \cdot n x^{n-1} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{n}{x} \sec \left(\log _e x^n\right) \tan \left(\log _e x^n\right)
Example:3. \sin x
Solution:माना y=\sin x^{\circ} \\ x^{\circ} =\frac{\pi x}{180} रेडियन
y=\sin \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \frac{\pi x}{180}=u रखने परः
y=\sin u, u=\frac{\pi x}{180} \\ \frac{d y}{du}=\cos u, \frac{d u}{d x}=\frac{\pi}{180} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\cos u \cdot \frac{\pi}{180} \\ =\frac{\pi}{180} \cos \left(\frac{\pi x}{180}\right) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\pi}{180} \cos x^{\circ}
Example:4. \log _e \sin x
Solution:माना y=\log _e \sin x \\ \sin x=u रखने परः
y=\log _e u, u=\sin x \\ \frac{d y}{d u}=\frac{1}{u}, \frac{d u}{d x}=\cos x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\frac{1}{u} \cdot \cos x \\ =\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\cot x
Example:5. e^{\cos x^2}
Solution:माना y=e^{\cos x^2} \\ \cos x^2=u, x^2=v रखने परः
y=e^u, u=\cos v, v=x^2 \\ \frac{d y}{d u} =e^u, \frac{d u}{d v}=-\sin v, \frac{d v}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =e^u \cdot(-\sin v)(2 x) \\ =-2 x e^u \sin v \\ =-2 x e^{\cos x^2} \cdot \sin x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-2 x \sin x^2 e^{\cos x^2}
Example:6. \sin \left(x^2+1\right)
Solution:माना y=\sin \left(x^2+1\right) \\ x^2+1=u रखने परः
y=\sin u, u=x^2+1 \\ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\cos u \cdot 2 u \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x \cos \left(x^2+1\right)
Example:7. \sin \left(e^{x^2}\right)
Solution:माना y=\sin \left(e^{x^2}\right) \\ e^{x^2}=u, \quad x^2=v रखने परः
y=\sin u, u=e^v, v=x^2 \\ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d v}=e^v, \frac{d v}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\cos u \cdot e^v \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x e^{x^2} \cos \left(e^{x^2}\right)

Derivative of Function of Function

Example:8. \log _e\left(\sin x^2\right)
Solution:माना y=\log _e\left(\sin x^2\right) \\ \sin x^2=u, x^2=v रखने परः
y=\log _e u, u=\sin v, v=x^2 \\ \frac{d y}{d u}=\frac{1}{u}, \frac{d u}{d v}=\cos v, \frac{d v}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot 2 x \\ =2 x \cdot \frac{1}{\sin x^2} \cdot \cos x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 x \cot x^2
Example:9. \tan ^{-1}\left(\sin e^x\right)
Solution:माना y=\tan ^{-1}\left(\sin e^x\right) \\ \sin e^x=u, e^x=v रखने परः
y=\tan ^{-1} u, u=\sin v, v=e^x \\ \frac{d y}{d u} =\frac{1}{1+u^2}, \frac{d u}{d v}=\cos v, \frac{d v}{d x}=e^x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\frac{1}{1+u^2} \cdot \cos v \cdot e^x \\ =\frac{1}{1+\sin ^2 e^x} \cdot \cos e^x \cdot e^x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{e^x \cos^2 \left(e^x\right) }{1+\sin ^2 \left(e^x\right)}
Example:10. \sec x^0
Solution:माना y=\sec x^{\circ} \\ x^{\circ}=\frac{\pi x}{180^{\circ}} रेडियन रखने परः
y=\sec \left(\frac{\pi x}{180^{\circ}}\right)
x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \sec \left(\frac{\pi x}{180^{\circ}}\right) \\ =\sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan \left(\frac{\pi x}{180}\right) \frac{d}{d x}\left(\frac{\pi x}{180^{\circ}}\right) \\ =\sec \left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan \left(\frac{\pi x}{180}\right) \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\pi}{180^{\circ}} \sec x^{\circ} \tan x^{\circ}
Example:11. \sin \left[\log _e(2 x+3)\right]
Solution:माना y=\sin \left[\log _e(2 x+3)\right] \\ \log _e(2 x+3)=u, 2 x+3=v रखने परः
y=\sin u, u=\log _e v, v=2 x+3 \\ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d v}=\frac{1}{v} , \frac{d v}{d x}=2 \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\cos u \cdot \frac{1}{v} \cdot 2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2}{2 x+3} \cos \left[\log _e(2 x+3)\right]
Example:12. e^{\sqrt{\tan x}}
Solution:माना y=e^{\sqrt{\tan x}} \\ \sqrt{\tan x}=u, \tan x=v रखने परः
y=e^u, u=\sqrt{v}, v=\tan x \\ \frac{d y}{d u}=e^u, \frac{d u}{d v}=\frac{1}{2 \sqrt{v}}, \frac{d v}{d x}=\sec ^2 x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =e^u \cdot \frac{1}{2 \sqrt{v}} \cdot \sec ^2 x \\ =e^{\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\tan x}} \cdot \sec ^2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\sec ^2 x}{2 \sqrt{\tan x}} e^{\sqrt{\tan x}}
Example:13. \sin \log _e\left(1+x^2\right)
Solution:माना y=\sin \log _e\left(1+x^2\right) \\ \log _e\left(1+x^2\right)=u, 1+x^2=v रखने परः
y=\sin u, u=\log _e v, v=1+x^2 \\ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d v}=\frac{1}{v}, \frac{d v}{d x}=2 x \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \\ =\cos u \cdot \frac{1}{v} \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{2 x}{1+x^2} \cos \left[\log_e \left(1+x^2\right)\right]
Example:14. \sin ^{-1}\left(\frac{a+b \cos x}{b+a \cos x}\right)
Solution:माना y=\sin ^{-1}\left(\frac{a+b \cos x}{b+a \cos x}\right)\\ \frac{a+b \cos x}{b+a \cos x}=u रखने परः
y=\sin ^{-1} u, \quad u=\frac{a+b \cos x}{b+a \cos x} \\ \frac{d y}{d u} =\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}= \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{a+b \cos x}{b+a \cos x}\right)^2}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{(b+a \cos x)^2-(a+b \cos x)^2}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{(b+a \cos x-a-b \cos x)(b+a \cos x+a+b \cos x)}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{[b(1-\cos x)-a(1-\cos x)][b(1+\cos x)+a(1+\cos x)]}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{(b-a)(1-\cos x)(b+a)(1+\cos x)}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{\left(b^2-a^2\right)\left(1-\cos ^2 x\right)}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{\left(b^2-a^2\right) \sin ^2 x}} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{\left(b^2-a^2\right)} \sin x} \\ \frac{d u}{d x}=\frac{(b+a \cos x) \frac{d}{d x}(a+b \cos x)-(a+b \cos x) \frac{d}{d x}(b+a \cos x)}{(b+a \cos x)^2} \\ =\frac{(b+a \cos x)(-b \sin x)-(a+b \cos x)(-a \sin x)}{(b+a \cos x)^2} \\ =\frac{-b^2 \sin x-a b \sin x \cos x+a^2 \sin x+a b \sin x \cos x}{(b+a \cos x)^2} \\ \frac{d u}{d x} =\frac{\left(a^2-b^2\right) \sin x}{(b+a \cos x)^2} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ =\frac{b+a \cos x}{\sqrt{\left(b^2-a^2\right)} \sin x} \cdot \frac{\left(a^2-b^2\right) \sin x}{(b+a \cos x)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-\sqrt{\left(b^2-a^2\right)}}{(b+a \cos x)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फलन के फलन का अवकलज (Derivative of Function of Function),अवकलज का श्रृंखला नियम (Chain Rule of Derivative) को समझ सकते हैं।

3.फलन के फलन का अवकलज की समस्याएँ (Derivative of Function of Function Problems):

Derivative of Function of Function

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए:
(1.) \log _e \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
(2.) \sin ^{-1} \sqrt{\sin x^2}
उत्तर (Answers): (1.) \frac{d y}{d x}=\sec x
(2.) \frac{d y}{d x}=\frac{x \cos x^2}{\sqrt{1-\sin x^2} \sqrt{\sin x^2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फलन के फलन का अवकलज (Derivative of Function of Function),अवकलज का श्रृंखला नियम (Chain Rule of Derivative) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.फलन के फलन का अवकलज (Frequently Asked Questions Related to Derivative of Function of Function),अवकलज का श्रृंखला नियम (Chain Rule of Derivative) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

फलन के फलन का अवकलज (Derivative of Function of Function) के इस आर्टिकल
में श्रृंखला नियम के आधार पर फलन के फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए कुछ
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।