1.दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Equation Involving Two Multiple Angles),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11):

Equation Involving Two Multiple Angles

दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Equation Involving Two Multiple Angles) के इस आर्टिकल में दो गुणज वाले कोणों को एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात के पदों में व्यक्त करके व्यापक हल ज्ञात करेंगे।
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2.दो गुणज कोणों वाले समीकरण के साधित उदाहरण (Equation Involving Two Multiple Angles Solved Illustrations):

निम्नलिखित समीकरणों के हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:1. \cos 3 \theta=\cos 2 \theta
Solution: \cos 3 \theta=\cos 2 \theta \\ \Rightarrow \cos 3 \theta-\cos 2 \theta=0 \\ 2 \sin \left(\frac{3 \theta+2 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{2 \theta-3 \theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{5 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)=0 \\ \sin \frac{5 \theta}{2}=0 \Rightarrow \sin \frac{5 \theta}{2}=\sin 0 \\ \frac{5 \theta}{2}=n \pi+(-1)^n 0 \\ \Rightarrow \theta=\frac{2 n \pi}{5}, n \in I \\ \sin \frac{\theta}{2}=0 \Rightarrow \sin \frac{\theta}{2}=\sin 0 \\ \Rightarrow \frac{\theta}{2}=n \pi+\left(-1\right)^n 0 \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi, n \in I \\ \Rightarrow \theta=\frac{2 n \pi}{5}, 2 n \pi, n \in I
Illustration:2. \sin p \theta=\sin q \theta
Solution: \sin p \theta=\sin q \theta \\ \Rightarrow \sin p \theta-\sin q \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{p \theta+q \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{p \theta-q \theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \theta \sin \left(\frac{p-q}{2}\right) \theta=0 \\ \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \theta=0 \Rightarrow \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow\left(\frac{p+q}{2}\right) \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=\frac{(2n+1) \pi}{p+q} \\ \sin \left(\frac{p-q}{2}\right) \theta=0 \Rightarrow \sin \left(\frac{p-q}{2}\right) \theta=\sin 0 \\ \left(\frac{p-q}{2}\right) \theta=n \pi+(-1)^n 0 \\ \theta=\frac{2 n \pi}{p-q} \\ \theta=\frac{(2 n+1)}{p+q} p, \frac{2 n \pi}{p-q}, n \in I
Illustration:3. \tan 11 \theta=\tan 5 \theta
Solution: \tan 11 \theta=\tan 5 \theta \\ \Rightarrow \tan 11 \theta-\tan 5 \theta=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin 11 \theta}{\cos 11 \theta}-\frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta}=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin 11 \theta \cos 5 \theta-\cos 11 \theta \sin 5 \theta}{\cos 11 \theta \cos 5 \theta}=0 \\ \Rightarrow \sin (11 \theta-5 \theta)=0 \\ \Rightarrow \sin 6 \theta=0 \Rightarrow \sin 6 \theta=\sin 0 \\ \Rightarrow 6 \theta=n \pi+(-1)^n 0 \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{6} , n \in I
Illustration:4. \tan 5 \theta=\cot 2 \theta
Solution: \tan 5 \theta=\cot 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta}=\frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} \\ \Rightarrow \sin 5 \theta \sin 2 \theta=\cos 2 \theta \cos 5 \theta \\ \Rightarrow \sin 5 \theta \sin 2 \theta-\cos 2 \theta \cos 5 \theta =0 \\ \Rightarrow \cos (5 \theta+2 \theta)=0 \\ \Rightarrow \cos 7 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 7 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{\pi}, n \in I
Illustration:5. \sin 2 \theta+\cos \theta=0
Solution: \sin 2 \theta+\cos \theta=0 \\ 2 \sin \theta \cos \theta+\cos \theta=0 \\ \Rightarrow \cos \theta(2 \sin \theta+1)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=0,2 \sin \theta+1=0 \\ \Rightarrow\cos \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ 2 \sin \theta+1=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=-\frac{1}{2} \Rightarrow \sin \theta=-\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in I
Illustration:6. \sin 6 \theta=\sin 4 \theta-\sin 2 \theta
Solution: \sin 6 \theta=\sin 4 \theta-\sin 2 \theta \\ \Rightarrow \sin 6 \theta-\sin 4 \theta+\sin 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{6 \theta+4 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{6 \theta-4 \theta}{2}\right)+\sin 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 5 \theta \sin \theta+\sin 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 5 \theta \sin \theta+2 \sin \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \sin \theta(\cos 5 \theta+\cos \theta)=0 \\ \Rightarrow 2 \sin \theta \cdot 2 \cos \left(\frac{5 \theta+\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{5 \theta-\theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 4 \sin \theta \cos 3 \theta \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=0, \cos 3 \theta=0, \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin \theta \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^{n} 0 \Rightarrow \theta=n \pi \\ \cos 3 \theta=0 \Rightarrow \cos 3 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 3 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{6} \\ \cos 2 \theta=0 \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2n+1) \frac{\pi}{4} \\ \theta=n \pi,(2 n+1) \frac{\pi}{6}, (2n+1) \frac{\pi}{4}, n \in I
Illustration:7. 2 \cos ^2 2 \theta=1-2 \sin \theta \cos \theta
Solution: 2 \cos ^2 2 \theta=1-2 \sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1=0 \\ \Rightarrow 2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)+\sin 2 \theta-1=0 \\ \Rightarrow 2-2 \sin ^2 2 \theta+\sin 2 \theta-1=0 \\ \Rightarrow-2 \sin ^2 2 \theta+\sin 2 \theta+1=0 \\ \Rightarrow-\left(2 \sin ^2 2 \theta-\sin 2 \theta-1\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 2 \theta-\sin 2 \theta-1=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 2 \theta-2 \sin 2 \theta+\sin 2 \theta-1=0 \\ \Rightarrow 2 \sin 2 \theta(\sin 2 \theta-1)+1(\sin 2 \theta-1)=0 \\ \Rightarrow (\sin 2 \theta-1)(2 \sin 2 \theta+1)=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta-1=0,2 \sin 2 \theta+1=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=1 \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=(4n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(4 n+1) \frac{\pi}{4} \\ 2 \sin 2 \theta+1=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=-\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow 2 \theta=n \pi-(-1)^n \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{2}-(-1)^n \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(4 n+1) \frac{\pi}{4}, \frac{n \pi}{2}-(-1)^n \frac{\pi}{12}, n \in I
Illustration:8. \cos \theta+\cos 3 \theta-2 \cos 2 \theta=0
Solution: \cos \theta+\cos 3 \theta-2 \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{\theta+3 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-3 \theta}{2}\right)-2 \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 \theta \cos \theta-2 \cos 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 \theta(\cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=0, \cos \theta-1=0 \Rightarrow \cos \theta=1 \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4} \\ \cos \theta=1 \Rightarrow \cos \theta=\cos 0 \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+0 \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, 2 n \pi, n \in I

Equation Involving Two Multiple Angles

Illustration:9. \cos 7 \theta=\cos \theta-\sin 4 \theta
Solution: \cos 7 \theta=\cos \theta-\sin 4 \theta \\ \Rightarrow \cos 7 \theta-\cos \theta+\sin 4 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \sin \left(\frac{7 \theta+\theta}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-7 \theta}{2}\right)+\sin 4 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \sin 4 \theta \sin (-3 \theta)+\sin 4 \theta=0 \\ \Rightarrow \sin 4 \theta(-2 \sin 3 \theta+1)=0 \\ \Rightarrow \sin 4 \theta=0,-2 \sin 3 \theta+1=0 \\ \Rightarrow \sin 4 \theta=\sin 0 \\ \Rightarrow 4 \theta=n \pi+(-1)^n 0 \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{4} \\ -2 \sin 3 \theta+1=0 \Rightarrow \sin 3 \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin 3 \theta=\sin \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow 3 \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{3}+(-1)^n \frac{\pi}{18} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{4}, \frac{n \pi}{3}+(-1)^n \frac{\pi}{18}, n \in I
Illustration:10. \cos \theta+\cos 3 \theta + \cos 5 \theta+\cos 7 \theta=0
Solution: \cos \theta+\cos 3 \theta+\cos 5 \theta+\cos 7 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{\theta+3 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-3 \theta}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \theta+7 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{5 \theta-7 \theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 \theta \cos \theta+2 \cos 6 \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta(\cos 2 \theta+\cos 6 \theta)=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \left(\frac{2 \theta+6 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{2 \theta-6 \theta}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta \cos 4 \theta \cos 2 \theta=0 \\ \cos \theta=0, \cos 4 \theta=0 \cos 2 \theta=0 \\ \cos \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \cos 4 \theta=0 \Rightarrow \cos 4 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 4 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8} \\ \Rightarrow \cos 2 \theta=0 \Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4} \\ \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2},(2 n+1) \frac{\pi}{4},(2 n+1) \frac{\pi}{8}, n \in I
Illustration:11. \tan \theta+\tan 2 \theta+\tan 3 \theta =\tan \theta \cdot \tan 2 \theta \cdot \tan 3 \theta
Solution: \tan \theta+\tan 2 \theta+\tan 3 \theta =\tan \theta \cdot \tan 2 \theta \cdot \tan 3 \theta \\ \Rightarrow \frac{\tan \theta+\tan 2 \theta+\tan 3 \theta-\tan \theta \tan 2 \theta \tan 3 \theta}{1-\tan \theta \tan 2 \theta-\tan \theta \tan 3 \theta-\tan 2 \theta \tan 3 \theta}=0 \\ \Rightarrow \tan (\theta+2 \theta+3 \theta)=0 \\ \Rightarrow \tan 6 \theta=\tan 0 \\ \Rightarrow \frac{2 \tan 3 \theta}{1-\tan ^2 3 \theta}=0 \\ \Rightarrow 2 \tan 3 \theta=0 \Rightarrow \tan 3 \theta=0 \\ \Rightarrow \tan 3 \theta=\tan 0 \\ \Rightarrow 3 \theta=n \pi+0 \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{3}, n \in I
Illustration:12. \sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=1-\sin \theta \cos \theta
Solution: \sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=1-\sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow \sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta-(1-\sin \theta \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta\right)-(1-\sin \theta \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow(\sin \theta+\cos \theta)(1-\sin \theta \cos \theta)-(1-\sin \theta \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow(\sin \theta+\cos \theta)(1-\sin \theta \cos \theta)-(1-\sin \theta \cos \theta)=0 \\ \Rightarrow (1-\sin \theta \cos \theta)(\sin \theta+\cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \sin \theta+\cos \theta-1=0 \\ \Rightarrow \sin \theta+\cos \theta=1
दोनों पक्षों में \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} का भाग देने परः
\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \quad \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta+\cos \frac{\pi}{4} \cos \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta-\frac{\pi}{4}=2 n \pi+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{2} \\ 1-\sin \theta \cos \theta=0 \\ \sin \theta \cos \theta=1 \\ 2 \sin \theta \cos \theta=2 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=2 (जो कि असम्भव है)
\therefore \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{2}, \quad n \in I
Illustration:13. \sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}
Solution: \sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}
दोनों पक्षों में \sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2}=\sqrt{4}=2 का भाग देने परः
\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta+\sin \frac{\pi}{6} \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) =\sin \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta+\frac{\pi}{6}=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta+\frac{\pi}{6}=n \pi-\frac{\pi}{4} (जब n विषम है)
\Rightarrow \theta=(2 r+1) \pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=2 r \pi+\frac{7 \pi}{12}
जब n सम हो
\theta+\frac{\pi}{6}=2 r \pi+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 r \pi+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=2 r \pi+\frac{3 \pi-2 \pi}{12} \\ \Rightarrow \theta=2 r \pi+\frac{\pi}{12} \\ \Rightarrow \theta= 2 r \pi+\frac{7 \pi}{12}, 2 r \pi+\frac{\pi}{12}, r \in I
Illustration:14. \sec \theta+\tan \theta=\sqrt{3}
Solution: \sec \theta+\tan \theta=\sqrt{3} \\\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\sqrt{3} \\ \Rightarrow 1+\sin \theta=\sqrt{3} \cos \theta \\ \Rightarrow \sqrt{3} \cos \theta-\sin \theta=1
दोनों पक्षों में \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2 का भाग देने परः
\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta-\sin \frac{\pi}{6} \sin \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \cos \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta+\frac{\pi}{6}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2}, n \in I
Illustration:15. \operatorname{cosec} \theta-\sqrt{3}=\cot \theta
Solution: \operatorname{cosec} \theta-\sqrt{3}=\cot \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{\sin \theta}-\sqrt{3}=\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\ \Rightarrow 1-\sqrt{3} \sin \theta=\cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=1
दोनों पक्षों में \sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2}=2 का भाग देने पर:
\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \frac{\pi}{3} \cos \theta+\sin \frac{\pi}{3} \sin \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) =\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta-\frac{\pi}{3}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}, 2 n \pi-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi, 2 n \pi+\frac{2 \pi}{3}, n \in I
Illustration:16. \tan \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)=\cot \left(\frac{\pi}{2} \sin \theta\right)
Solution: \tan \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)=\cot \left(\frac{\pi}{2} \sin \theta\right) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} \sin \theta\right) \\ \Rightarrow \frac{\pi}{2} \cos \theta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} \sin \theta \\ \Rightarrow \cos \theta+\sin \theta=1
दोनों पक्षों में \sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2} का भाग देने पर:
\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos \frac{\pi}{4} \cos \theta+\sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta-\frac{\pi}{4}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, 2 n \pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{2}, 2 n \pi, n \in I
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Equation Involving Two Multiple Angles),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11) को समझ सकते हैं।

3.दो गुणज कोणों वाले समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Equation Involving Two Multiple Angles):

Equation Involving Two Multiple Angles

निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(1.) \sqrt{3} \cos \theta-\sin \theta=1
(2.) \operatorname{cosec} \theta=1+\cot \theta
उत्तर (Answers): (1.) \theta=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2} जहाँ n \in I
(2.) \theta=2 n \pi, 2 n \pi+\frac{\pi}{2} जहाँ n \in I
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Equation Involving Two Multiple Angles),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equation Involving Two Multiple Angles),कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो गुणज कोणों वाले समीकरण (Equation Involving Two Multiple Angles) के इस
आर्टिकल में दो गुणज वाले कोणों को एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात के पदों में व्यक्त
करके व्यापक हल ज्ञात करेंगे।