Linear Programming in Class 12th
1.12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न-भिन्न प्रकार (Different Types of Linear Programming Problems):
12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th) के इस आर्टिकल में आहार सम्बन्धी समस्या,आवंटन समस्या और उत्पादन सम्बन्धी समस्याओं को समझने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Linear Programming in Class 12
2.12वीं में रैखिक प्रोग्रामन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Linear Programming in Class 12th):
Example:7.एक कम्पनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है।A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं।B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं।दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घण्टे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घण्टे उपलब्ध हैं।प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs.5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs.6 का लाभ होता है।ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कम्पनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
Solution:माना A प्रकार के x और B प्रकार के y स्मृति चिह्न तैयार किए जाते हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{ स्मृति चिन्ह } & & \text{ उपलब्ध } \\ \hline & A & B & \text{ समय } \\ \hline \text{ काटने } & 5 \text{ मिनट} & 8 \text{ मिनट } & 200 \text{ मिनट } \\ \text{ का समय} & & & \\ \hline \text{ जोड़ने } & 10 \text{ मिनट} & 8 \text{ मिनट} & 240 \text{ मिनट} \\ \text{ का समय } & & & \\ \hline \text{ लाभ} & 5 \text{ रु. } & 6 \text{ रु. } \\ & \text{प्रति चिह्न} & \text{प्रति चिह्न} \\ \hline \end{array}
स्मृति चिह्न के काटने पर कुल समय 5x+8y जो अधिकतम 200 मिनट है अतः
5 x+8 y \leq 200
स्मृति चिह्न के जोड़ने पर कुल समय 10x+8y जो अधिकतम 240 मिनट है अतः
10x+8 y \leq 240 \Rightarrow 5 x+4 y \leq 120
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Max Z=5x+6y
व्यवरोध
5x+8 y \leq 200 \\ 5x+4 y \leq 120, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
5x+8y=200,5x+4y=120,x=0,y=0
5x+8y=200 में y=0 रखने पर x=40
अब x=0 रखने पर y=25
अतः यह अक्षों को A(40,0) और B(0,25) पर काटती है।
इसी प्रकार 5x+4y=20 में y=0 रखने पर x=24
अब x=0 रखने पर y=30
अतः यह अक्षों को C(24,0) व D(0,30) पर काटती है।
5x+8y=200 व 5x+4y=120 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(8,20) है।
5x+8y \leq 200 में x=0,y=0 रखने पर 5(0)+8(0) \leq 200 \Rightarrow 0 \leq 200 जो कि सत्य है।
5x+4 y \leq 120 में x=0,y=0 रखने पर 5(0)+4(0) \leq 120 \Rightarrow 0 \leq 120 जो कि सत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र OCPB है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज OCPB के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
O(0,0),C(24,0),P(8,20),D(0,25)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{ शीर्ष } & \text{ निर्देशांक } & \text{ उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline 0 & (0,0) & 5 \times 0+6 \times 0=0 \\ \hline C & (24,0) & 5 \times 24+6 \times 0=120 \\ \hline P & (8,20) & 5 \times 8+6 \times 20=160 \\ \hline B & (0,25) & 5 \times 0+6 \times 25=150 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान 160 है जब A प्रकार के 8 और B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न का निर्माण किया जाता है।
x=8,y=20,Max. Z=160
Example:8.एक सौदागर दो प्रकार के निजी कम्प्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना,जिनकी कीमते क्रमशः Rs.25000 और Rs.40000 होगी,बेचने की योजना बनाता है।वह अनुमान लगाता है कि कम्प्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी।प्रत्येक प्रकार के कम्प्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागर अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करे यदि उसके पास निवेश के लिए Rs.70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ Rs.4500 और पोर्टेबल नमूने पर Rs.5000 लाभ हो।
Solution:माना डेस्कटॉप नमूने के x और पोर्टेबल नमूने के y कम्प्यूटर हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
कम्प्यूटर डेस्कटॉप पोर्टेबल उपलब्ध संख्या कीमत लाभ
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{कम्प्यूटर} & \text{डेस्कटॉप} & \text{पोर्टेबल} & \text{उपलब्ध} \\ \hline \text{संख्या} & x & y & 250 \\ \hline \text{कीमत} & \text{₹} 25000 & \text{₹} 48,000 & \text{₹} 70 \text{लाख} \\ \hline \text{लाभ} & \text{₹} 4500 & \text{₹} 5000 & \\ \hline \end{array}
कम्प्यूटरों की x+y है जिनकी मासिक माँग अधिकतम 250 है अतः
x+y \leq 250
डेस्कटॉप व पोर्टेबल की कुल कीमत 25000x+40000y है जिनके लिए अधिकतम निवेश 70 लाख हैं अतः
5000 x+40000 y \leq 70,00,000 \\ \Rightarrow 15x+8y \leq 1400
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Max Z=4500x+5000y
व्यवरोध : x+y \leq 250,5 x+8 y \leq 1400 \\ x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=250,5x+8y=1400,x=0,y=0
x+y=250 में y=0 रखने पर x=250
अब x=0 रखने पर y=250
अतः यह अक्षों को A(250,0) और B(0,250) पर काटती है।
इसी प्रकार 5x+8y=1400 में y=0 रखने पर x=280
अब x=0 रखने पर y=175
अतः यह अक्षों को C(280,0) व D(0,175) पर काटती है।
x+y=250 व 5x+8y=1400 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(200,50) है।
x+y \leq 250 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \leq 250 \Rightarrow 0 \leq 250 जो कि सत्य है।
5x+8y \leq 1400 में x=0,y=0 रखने पर 5(0)+8(0) \leq 1400 \Rightarrow 0 \leq 1400 जो कि सत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र OAPD है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज OAPD के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
O(0,0),A(250,0),P(200,50),D(0,175)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{शीर्ष} & \text{ निर्देशांक} & \text{उद्देश्य फलन Z का मान} \\ \hline O & (0,0) & 4500 \times 0+5000 \times 0 \\ & & =0 \\ \hline A & (250,0) & 4500 \times 250+5000 \times 0 \\ & & =1125000 \\ \hline P & (200,50) & 4500 \times 200+5000 \times 50 \\ & & =1150000 \\ \hline C & (0,175) & 4500 \times 0+5000 \times 175 \\ & & =875000 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का अधिकतम मान 1150000 है जबकि 200 डेस्कटॉप और 50 पोर्टेबल कम्प्यूटर रखने चाहिए।
x=200,y=50,Max. Z=1150000
Example:9.एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए।दो प्रकार के भोज्य F_1 और F_2 उपलब्ध हैं।भोज्य F_1 की लागत Rs.4 प्रति मात्रक और F_2 की लागत Rs.6 प्रति मात्रक है।भोज्य F_1 की एक इकाई में कम से कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। F_2 की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज है।इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्घ कीजिए।उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए,जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्त्व हैं।
Solution:माना भोज्य पदार्थ में x मात्रक भोज्य F_1 और y मात्रक भोज्य F_2 की मात्रा हैं।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{ भोज्य } & & \text{न्यूनतम कुल} \\ \hline & F_1 & F_2 & \text{मात्रक} \\ \hline \text{मात्रा} & x & y & \\ \hline \text{विटामिन A } & 3 \text{ मात्रक} & 6 \text{ मात्रक} & 80 \text{ मात्रक} \\ \hline \text{खनिज} & 4 \text{ मात्रक} & 3 \text{ मात्रक} & 100 \text{ मात्रक} \\ \hline \text{लागत} & \text { ₹ 5 प्रति } & \text { ₹ 6 प्रति } & \\ & \text { मात्रक } & \text { मात्रक } & \\ \hline \end{array}
न्यूनतम कुल मात्रा मात्रा मात्रक खनिज लागत
विटामिन A के मात्रक 3x+4y है जो कम से कम 80 मात्रक होने चाहिए अतः
3 x+6 y \geq 80
खनिज कुल मात्रक 4x+3y है जो कम से कम 100 मात्रक होने चाहिए अतः
4 x+3 y \geq 100
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Min Z=4x+6y
प्रतिबन्ध
3 x+6 y \geq 80,4 x+3 y \geq 100, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
3x+6y=80,4x+3y=100,x=0,y=0
3x+6y=80 में y=0 रखने पर x=\frac{80}{3}
अब x=0 रखने पर y=\frac{40}{3}
अतः यह अक्षों को A\left(\frac{80}{3}, 0\right) और B\left(0, \frac{40}{3}\right) पर काटती है।
इसी प्रकार 4x+3y=100 में y=0 रखने पर x=25
अब x=0 रखने पर y=\frac{100}{3}
अतः यह अक्षों को C(25,0) व D\left(0, \frac{40}{3}\right) पर काटती है।
3x+6y=तथा 4x+3y=100 का प्रतिच्छेद बिन्दु P\left(0, \frac{100}{3}\right) है।
3x+6y \geq 80 में x=0,y=0 रखने पर 3(0)+6(0) \geq 80 \Rightarrow 0 \geq 80 जो कि असत्य है।
4x+3y \geq 100 में x=0,y=0 रखने पर 4(0)+3(0) \geq 100 \Rightarrow 0 \geq 100 जो कि असत्य है।
अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र YDPAX है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज YDPAX के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
D\left(0, \frac{100}{3}\right), P\left(24, \frac{4}{3}\right), A\left(\frac{80}{3}, 0\right)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{शीर्ष} & \text{निर्देशांक} & \text{उद्देश्य फलन Z का मान} \\ \hline D & \left(0, \frac{100}{3}\right) & 4 \times 0+6 \times \frac{100}{3}=200\\ & & \\ \hline P & \left(24, \frac{4}{3}\right) & 4 \times 24+6 \times \frac{4}{3}=104 \\ & & \\ \hline A & \left(\frac{80}{3}, 0\right) & 4 \times \frac{80}{3}+6 \times 0=\frac{320}{3} \\ & & =106 \frac{2}{3} \\ \hline \end{array}
अतः न्यूनतम मान ₹ 104 है।परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।रेखा 4x+6y <104 या 2x+3y <52 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ नहीं है।इस प्रकार भोज्य का इष्टतम हल हैः
F_1 की मात्रा x=24 मात्रक, F_2 की मात्रा y=\frac{4}{3} मात्रक तथा Mix. Z=₹ 104
Example:10.दो प्रकार के उर्वरक F_1 और F_2 हैं। F_1 में 10% नाइट्रोजन और 6% फाॅस्फोरिक अम्ल है।तथा F_2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फाॅस्फोरिक अम्ल है।मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14kg नाइट्रोजन और 14kg फाॅस्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है।यदि F_1 की कीमत Rs. 6/kg और F_2 की कीमत Rs.5/kg है,प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्त्व मिल सके।न्यूनतम लागत क्या है?
Solution:माना F_1 की x किग्रा और F_2 की y किग्रा उर्वरक की आवश्यकता है।स्पष्टतः x \geq 0, y \geq 0
हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैंः
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline & \text{उर्वरक} & & \text{ उर्वरक की } \\ \hline & F_1 & F_2 & \text{ आवश्यकता } \\ \hline \text{मात्रा } & x & y & \\ \hline \text{नाइट्रोजन } & 10\% & 5\% & 14 \text{ किग्रा } \\ \text{की मात्रा} & & & \\ \hline \text{फाॅस्फोरिक } & 6\% & 10\% & 14 \text{ किग्रा } \\ \text{अम्ल } & & & \\ \text{की मात्रा } & & & \\ \hline \text{लागत} & \text{ ₹ 6 प्रति } & \text { ₹ 5 प्रति } \\ & \text{किग्रा} & \text{किग्रा} \\ \hline \end{array}
दोनों उर्वरकों में नाइट्रोजन की मात्रा \frac{10 x}{100}+\frac{5 y}{100} है जो कम से कम 14 किग्रा होना चाहिए अतः
\frac{10 x}{100}+\frac{5 y}{100} \geq 14 \Rightarrow 2 x+y \geq 280
दोनों उर्वरकों में फाॅस्फोरिक अम्ल की मात्रा \frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100} है जो कम से कम 14 किग्रा होना चाहिए अतः
\frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100} \geq 14 \Rightarrow 3 x+5 y \geq 700
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
उद्देश्य फलन Min Z=6x+5y
तथा प्रतिबन्ध 2x+y \geq 280,3 x+5 y \geq 700, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
2x+y=280,3x+5y=700,x=0,y=0
2x+6+y=280 में y=0 रखने पर x=140
अब x=0 रखने पर y=280
अतः यह अक्षों को A(140,0) और B(0,280) पर काटती है।
इसी प्रकार 3x+5y=700 में y=0 रखने पर x=\frac{700}{3}
अब x=0 रखने पर y=100
अतः यह अक्षों को C\left(\frac{700}{3}, 0\right) व D(0,140) पर काटती है।
2x+y=280 तथा 3x+5y=700 का प्रतिच्छेद बिन्दु P (100,80) है।
2 x+y \geq 280 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+0 \geq 280 \Rightarrow 0 \geq 280 जो कि असत्य है।
3x+5y \geq 700 में x=0,y=0 रखने पर 3(0)+5(0) \geq 700 \Rightarrow 0 \geq 700 जो कि असत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र YBPCX है।जिसे चित्र में छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।बहुभुज YBPCX के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
B(0,280),P(100,80)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
अतः न्यूनतम मान ₹ 1000 है।परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।रेखा का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ नहीं है।अतः उक्त समस्या का इष्टतम हल हैः
उर्वरक F_1 की मात्रा x=100 किग्रा और उर्वरक F_2 की मात्रा y=80 किग्रा तथा Mix. Z=₹ 1000
Example:11.निम्नलिखित असमीकरण निकाय : 2 x+y \leq 10, x+3 y \leq 15, x, y \geq 0 से निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दु (0,0),(5,0),(3,4) और (0,5) है।मानाकि Z=px+qy,जहाँ p, q>0 , p तथा q के लिए निम्नलिखित में कौन प्रतिबन्ध उचित है ताकि Z का अधिकतम (3,4) और (0,5) दोनों पर घटित होता है।
(A)p=q (B)p=2q (C)p=3q (D)q=3p
Solution:Z=px+qy
(3,4) पर अधिकतम Z=3p+4q
(0,5) पर अधिकतम Z=0×p+5q=5q
अधिकतम पर दोनों बराबर हैं अतः 3p+4q=5q
\Rightarrow 3p=q
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न-भिन्न प्रकार (Different Types of Linear Programming Problems) को समझ सकते हैं।
3.12वीं में रैखिक प्रोग्रामन की समस्याएँ (Linear Programming in Class 12th Problems):
(1.)एक व्यक्ति के पास चावल और गेहूँ खरीदने के लिए ₹ 15000 है।एक बैग चावल खरीदने पर ₹ 1800 और एक बैग गेहूँ खरीदने पर ₹ 1200 लागत आती है।उसके स्टोर में 10 बैग रखने का स्थान उपलब्ध है।उनको बेचकर वह चावल पर ₹ 110 प्रति बैग गेहूँ पर ₹ 90 प्रति बैग लाभ उठाता है।अधिकतम लाभ के लिए चावल और गेहूँ के कितने-कितने बैग स्टोर में रखने चाहिए?
(2.)एक रेडियो निर्माता A_1 और A_2 दो प्रकार के रेडियो बनाता है और मजदूरी सहित A_1 और A_2 प्रति रेडियो बनाने के लिए उसका कुल व्यय क्रमशः ₹ 80 और ₹ 100 आता है।उसका मूल्य तथा मजदूरी का कुल व्यय प्रति सप्ताह ₹ 4000 से अधिक नहीं है। व्यापार चलाने के लिए सप्ताह में उसे कम-से-कम बीस A_1 रेडियो,बारह A_2 रेडियो बेचने चाहिए । A_1 और A_2 प्रति रेडियो पर लाभ क्रमशः ₹ 32 और ₹ 48 है।प्रत्येक प्रकार के रेडियो की संख्या निर्धारित कीजिए ताकि सप्ताह में उतने रेडियो बनाने पर उसे अधिकतम लाभ हो।
उत्तर (Answers):(1.)5 बैग चावल व 5 बैग गेहूँ स्टाॅक में रखने से अधिकतम लाभ ₹ 1000 होगा।
(2.) A_1=20, A_2=24
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न-भिन्न प्रकार (Different Types of Linear Programming Problems) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Linear Programming Class 12
4.12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Frequently Asked Questions Related to Linear Programming in Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न-भिन्न प्रकार (Different Types of Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.उद्देश्य फलन किसे कहते हैं? (What is An Objective Function?):
उत्तर:रैखिक फलन Z=ax+by,जबकि a,b अचर है जिनका अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण होना है एक रैखिक उद्देश्य फलन कहलाता है।
प्रश्न:2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं में व्यवरोध क्या होता है? (What Constraints in Linear Programming Problems?):
उत्तर:एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के चरों पर रैखिक असमिकाओं या समीकरण या प्रतिबन्ध व्यवरोध कहलाते हैं।प्रतिबन्ध ऋणेतर व्यवरोध कहलाता है।
प्रश्न:3.इष्टतम सुसंगत समस्या से क्या आशय है? (What is Meant by the Optimal Feasible Problem?):
उत्तर:निश्चित व्यवरोधों के अधीन असमिकाओं के समुच्चय द्वारा निर्धारित समस्या दो चरों (यथा दो चर x और y) में रैखिक फलन की अधिकतम या न्यूनतम करे,इष्टतम सुसंगत समस्या कहलाती है।रैखिक प्रोग्रामन समस्याएँ एक विशिष्ट प्रकार की इष्टतम समस्या है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा 12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न-भिन्न प्रकार (Different Types of Linear Programming Problems) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here | |
| 7. | click here |
Linear Programming in Class 12th
12वीं में रैखिक प्रोग्रामन
(Linear Programming in Class 12th)
Linear Programming in Class 12th
12वीं में रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming in Class 12th) के इस आर्टिकल में आहार
सम्बन्धी समस्या,आवंटन समस्या और उत्पादन सम्बन्धी समस्याओं को समझने के लिए कुछ
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
