1.त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Conditional Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11):

Trigonometrical Conditional Identities

त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Conditional Identities) के इस आर्टिकल में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Trigonometrical Conditional Identities):

यदि A+B+C=180° या \pi हो तो सिद्ध कीजिए (प्रश्न 30)
Illustration:30. \tan (B+C-A)+\tan (C+A-B)+\tan (A+B-C)=\tan (B+C-A)+\tan (C+A-B) \tan (A+B-C)
Solution: \tan (B+C-A)+\tan (C+A-B)+\tan (A+B-C)=\tan (B+C-A)+\tan (C+A-B) \tan (A+B-C) \\ A+B+C=180^{\circ} \\ \Rightarrow (B+C-A)+(C+A-B)+(A+B-C)=180 \\ \Rightarrow \tan \left[(B+C-A)+(C+A-B)+(A+B-C)\right]=\tan 180^{\circ} \\ \Rightarrow \frac{\tan (B+C-A)+\tan (C+A-B)+\tan (A+B-C)-\tan (B+C-A) \tan (C+A-B) \tan (A+B-C)}{ 1-\tan (B+C-A) \tan (C+A-B)-\tan (C+A-B) \tan (A+B-C) -\tan (B+C-A) \tan (A+B-C)}=0 \\ \Rightarrow \tan (B+C-A)+\tan (C+A-B)+\tan (A+B-C)-\tan (B+C-A) \tan (C+A-B) \tan (A+B-C)=0 \\ \Rightarrow \tan (B+C-A)+\tan (C+A-B)+\tan (A+B-C) =\tan (B+C-A) \tan (C+A-B) \tan (A+B-C)
यदि A+B+C=2S हो तो सिद्ध कीजिए:[प्रश्न 31-34]
Illustration:31. \sin (S-A)+\sin (S-B)+ \sin (S-C)-\sin S=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \sin (S-A)+\sin (S-B)+ \sin (S-C)-\sin S=4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text{L.H.S.} \sin(S-A)+\sin (S-B)+\sin (S-C)-\sin S \\ =2 \sin \left[\frac{(S-A)}{2}+\frac{(S-B)}{2}\right] \cos \left[\frac{(S-A)-(S-B)}{2}\right] +2 \sin \left(\frac{S-C+S}{2}\right) \cos \left(\frac{S-C-S}{2}\right) \\=2 \sin \left(\frac{2 S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{-A+B}{2}\right) +2 \cos \left(\frac{2 S-C}{2}\right) \sin \left(\frac{-C}{2}\right) \\ =2 \sin \left(\frac{A+B+C-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-2 \cos \left(\frac{A+B+C-C}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) \\ =2 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) -2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \frac{C}{2} \\ =2 \sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =2 \sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right) \\ =4 \sin \frac{C}{2} \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \\ =4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)=R.H.S. 
Illustration:32. 4 \sin S \sin (S-A) \sin (S-B) \sin (S-C)=1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C
Solution: 4 \sin S \sin (S-A) \sin (S-B) \sin (S-C)=1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C \\ \text{L.H.S. } 4 \sin S \sin (S-A) \sin (S-B) \sin (S-C) \\ =2[2 \sin S \sin (S-B)] \sin (S-C) \sin (S-A) \\ =[\cos (S-S+B)-\cos (S+S-B)][ \cos (S-A-S+C)-\cos (S-A+S-C)] \\ =[\cos (B)-\cos (2 S-B)][\cos (C-A)-\cos (2 S-A-C)] \\ ={[\cos B-\cos (A+B+C-B)][\cos (C-A)} -\cos (A+B+C-A-C)][ \because 2 S=A+B+C] \\ = [\cos B-\cos (A+C)][\cos (C-A)-\cos (B)] \\ = \cos B \cos (C-A)-\cos ^2 B-\cos (A+C)\cos (C-A)+\cos (A+C) \cos B \\ =\cos B \cos (C-A)-\cos ^2 B-\cos (C+A) \cos (C-A)+\cos (A+C) \cos B \\ =\cos B \cos (C-A)-\cos ^2 B-\left(\cos ^2 C-\sin ^2 A\right) +\cos (A+C) \cos B\left[\because \cos (C+A) \cos (C-A)=\cos ^2 C-\sin ^2 A \text{सूत्र से} \right] \\ = \cos B \cos (C-A)-\cos ^2 B-\cos ^2 C+\sin ^2 A +\cos (A+C) \cos B \\ =1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+\cos B[\cos (C-A) +\cos (C+A)] \\ =1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+\cos B-2 \cos \left(\frac{C-A+C+A}{2}\right) \cos \left(\frac{C-A-C-A}{2}\right) \\ =1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+2 \cos B \cos 6 \cos A \\ =1-\cos ^2 A-\cos ^2 B-\cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C =R.H.S. 
Illustration:33. 4 \cos S \cos (S-A) \cos (S-B) \cos (S-C)=\cos ^2 A+\cos ^2 B+ \cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C-1
Solution: 4 \cos S \cos (S-A) \cos (S-B) \cos (S-C)=\cos ^2 A+\cos ^2 B+ \cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C-1 \\ \text { L.H.S. } 4 \cos S \cos (S-A) \cos (S-B) \cos (S-C) \\ =[2 \cos S \cos (S-A)][2 \cos (S-B) \cos (S-C)] \\ =[\cos (S+S-A)+\cos (S-S+A)][\cos (S-B+S-C)+\cos(S-B-S+C)] \\ =[\cos (2 S-A)+\cos (A)][\cos (2 S-B-C) +\cos (B-C)] \\ = [\cos(A+B+C-A)+\cos A][\cos (A+B+C-B-C)+\cos (B-C)] [\because 2 S=A+B+C] \\ =\cos (B+C)+\cos A][\cos A+\cos (B-C)] \\ =\cos A \cos (B+C)+\cos (B+C) \cos (B-C) +\cos ^2 A+\cos A \cos (B-C) \\ =\cos A[\cos (B+C)+\cos (B-C)]+\cos ^2 A +\cos ^2 B-\sin ^2 C[ \because \cos (B+C) \cos (B-C) =\left(\cos ^2 B-\sin ^2 C \text{सूत्र से }\right) \\ =\cos A \left[2 \cos \left(\frac{B+C+B-C}{2}\right) \cos \left(\frac{B+C-B+C}{2}\right)\right] \left.+\cos ^2 B-\left(1-\cos ^2 C\right)\right]+\cos ^2 A \\ =\cos ^2 B+\cos ^2 B-1+\cos A(2 \cos B \cos C) +\cos ^2 A \\ =\cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C-1=R.H.S. 
Illustration:34. \cos ^2 S+\cos ^2 (S-A) +\cos ^2 (S-B)+\cos ^2(S-C)=2+2 \cos A \sin B \sin C
Solution: \cos ^2 S+\cos ^2 (S-A) +\cos ^2 (S-B)+\cos ^2(S-C)=2+2 \cos A \sin B \sin C \\ \text { L.H.S. } \cos ^2 S+\cos ^2(S-A)+\cos ^2(S-B) +\cos ^2(S-C) \\ =\frac{1+\cos 2 S}{2}+\frac{1+\cos (2 S-2 A)}{2}+\frac{1+\cos (2 S-2 B)}{2}+\frac{1+\cos (2 S-2 C)}{2} \\ =2+\frac{1}{2}[\cos 2 S+\cos (2 S-2 A)]+\frac{1}{2}[\cos (2 S-2 B)] +\cos (2 S-2 C)] \\=2+\frac{1}{2}\left[2 \cos \left(\frac{2 S+2 S-2 A}{2}\right) \cos \left(\frac{2 S-2 S+2 A}{2}\right)\right] +\frac{1}{2}\left[2 \cos \left(\frac{2 S-2 B+2 S-2 C}{2}\right) \cos \left(\frac{2 S-2 B-2S+2C}{2}\right) \right]\\ \left[ \because \cos C+\cos D=\cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \text{} \right] \\ = 2+\cos (2 S-A) \cos A+\cos (2 S-B-C) \cos (B-C) \\ =2+\cos (A+B+C-A) \cos A+\cos (A+B+C-B-C) \cos (B-C) \quad[\because 2 S=A+B+C] \\ =2+\cos (B+C) \cos A+\cos A \cos (B-C) \\ =2+\cos A[\cos (B+C)+\cos (B-C)] \\ =2+\cos A \cdot 2 \cos \left(\frac{B+C +B-C}{2}\right) \cos \left(\frac{B+C-B+C}{2}\right) \\ =2+2 \cos A \cos B \cos C=R.H.S. 

Trigonometrical Conditional Identities

Illustration:35.यदि A+B+C=\frac{\pi}{2} हो तो सिद्ध कीजिए
 \sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C+2 \sin A \sin B \sin C=1
Solution: \sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C+2 \sin A \sin B \sin C=1 \\ \text { L.H.S. } \sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C+2 \sin A \sin B \sin C \\ \frac{1-\cos 2 A}{2}+\frac{1-\cos 2 B}{2}+\frac{1-\cos 2 C}{2}+2 \sin A \sin B \sin C \\ =\frac{3}{2}-\frac{\cos 2 A}{2}-\frac{\cos 2 B}{2}-\frac{\cos 2 C}{2}+2 \sin A \sin B \sin C \\ =\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \times 2 \cos \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)-\frac{\cos 2 C}{2} +2 \sin A \sin B \sin C \\ \left[\because \cos C+\cos D=2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2} \text {सूत्र से }\right] \\ =\frac{3}{2}-\cos (A+B) \cos (A-B)-\frac{\cos 2 C}{2}+2 \sin A \sin B \sin C \\ =\frac{3}{2}-\cos \left(\frac{\pi}{2}-C\right) \cos (A-B)-\frac{\left(1-2 \sin ^2 C\right)}{2} +2 \sin A \sin B \sin C \\ \left[\therefore A+B=\frac{\pi}{2}, \cos 2 C=1-2 \sin ^2 C\right] \\ =\frac{3}{2}-\sin C \cos (A-B)-\frac{1+2 \sin ^2 C}{2} +2 \sin A \sin B \sin C \\ =1-\sin C[\cos (A-B)-\sin C] +2 \sin A \sin B \sin C \\ =-\sin C\left[\cos (A-B)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\overline{A+B}\right)\right]+2 \sin A \sin B \sin C \\=-\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)] +2 \sin A \sin B \sin C \\ =-\sin C \cdot 2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right) +2 \sin A \sin B \sin C \\ =1-2 \sin A \sin B \sin C+2 \sin A \sin B \sin C \\ =1= R.H.S. 
Illustration:36.यदि  A+B+C=2 \pi हो तो सिद्ध कीजिए
 \cos ^2 B+\cos ^2 C-\sin ^2 A=2 \cos A \cos B \cos C
Solution: \cos ^2 B+\cos ^2 C-\sin ^2 A=2 \cos A \cos B \cos C \\ =\frac{1+\cos 2 B}{2}+\frac{1+ \cos 2 C}{2}-\frac{1-\cos 2 A}{2} \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\cos 2 B+\cos 2 C)+\frac{\cos 2 A}{2} \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left[2 \cos \left(\frac{2 B+2 C}{2}\right) \cos \left(\frac{2 B-2 C}{2}\right)\right] +\frac{\cos 2 A}{2} \\ \left[\because \cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) \text{सूत्र से} \right] \\ =\frac{1}{2}+\cos (B+C) \cos (B-C)+\frac{1}{2} \cos 2 A \\ =\frac{1}{2}+\cos (2 \pi-A) \cos (B-C)+\frac{1}{2}\left(2 \cos ^2 A-1\right) \\ \left[\because A+B+C=2 \pi \text { तथा } \cos 2 A=2 \cos ^2 A-1 \text{सूत्रों से} \right] \\ =\frac{1}{2}+\cos A \cos (B-C)+\cos ^2 A-\frac{1}{2} \\ =\cos A[\cos (B-C)+\cos A] \\ =\cos A[\cos (B-C)+\cos (2 \pi-\overline{B+C})] \quad [\because A+B+C=2 \pi] \\ =\cos A[\cos (B-C)+\cos (B+C)] \\ =\cos A \cdot 2 \cos \left(\frac{B-C+B+C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-C}{2}-\frac{B+C}{2}\right) \\ =2 \cos A \cos B \cos C=R.H.S.
यदि x+y+z=xyz हो तो सिद्ध कीजिए [प्रश्न 37-38]
Illustration:37. \frac{2 x}{1-x^2}+\frac{2 y}{1-y^2}+\frac{2 z}{1-z^2}=\frac{2 x}{1-x^2} \cdot \frac{2 y}{1-y 2} \cdot \frac{2 z}{1-z^2}
Solution: \frac{2 x}{1-x^2}+\frac{2 y}{1-y^2}+\frac{2 z}{1-z^2}=\frac{2 x}{1-x^2} \cdot \frac{2 y}{1-y 2} \cdot \frac{2 z}{1-z^2}\\ \text { L.H.S. } \frac{2 x}{1-x^2}+\frac{2 y}{1-y^2}+\frac{2 z}{1-z^2} \\ \text { put } x=\tan A, y=\tan B, z=\tan C \\ x+y+z=xyz \\ \tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C \\ \tan A+\tan B=\tan A \tan B \tan C-\tan C \\ \tan A+\tan B=-\tan C (1- \tan B \tan A) \\ \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=-\tan C \\ \Rightarrow \tan (A+B)=\tan (n \pi-c) \\ \Rightarrow A+B=n \pi-c \\ \Rightarrow 2 A+ 2 B=2 n \pi-2 C \\ \Rightarrow \tan (2 A+2 B)=\tan (2 n \pi-2 C) \\ \Rightarrow \frac{\tan 2 A+\tan 2 B}{1-\tan 2 A \tan 2 B}=-\tan 2 C \\ \Rightarrow \tan 2 A+\tan 2 B=-\tan 2 C+\tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C \\ \Rightarrow \tan 2 A+\tan 2 B+\tan 2 C=\tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C \\ \Rightarrow \frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A}+\frac{2 \tan B}{1-\tan ^2 B}+\frac{2 \tan C}{1-\tan ^2 C}=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \cdot \frac{2 \tan B}{1-\tan ^2 B} \cdot \frac{2 \tan C}{1-\tan ^2 C} \\ \left[\because \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \text{सूत्र से} \right] \\ \Rightarrow \frac{2 x}{1-x^2}+\frac{2 y}{1-y^2}+\frac{2 z}{1-z^2}= \frac{2 x}{1-x^2} \cdot \frac{2 y}{1-y^2} \cdot \frac{2 z}{1-z^2}
[ \tan A, \tan B, \tan C का मान रखने पर ]
Illustration:38. \frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}+\frac{3 y-y^3}{1-3 y^2}+\frac{3 z-z^3}{1-3 z^2} =\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2} \cdot \frac{3 y-y^3}{1-3 y^2} \cdot \frac{3 z-z^3}{1-3 z^2}
Solution: \frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}+\frac{3 y-y^3}{1-3 y^2}+\frac{3 z-z^3}{1-3 z^2} =\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2} \cdot \frac{3 y-y^3}{1-3 y^2} \cdot \frac{3 z-z^3}{1-3 z^2} \\ x+y+z=x y z \\ \text { put } x=\tan A, y=\tan B, z=\tan C \\ \tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C \\ \Rightarrow \tan A+\tan B=\tan A \tan B \tan C-\tan C \\ \Rightarrow \tan A+\tan B=-\tan C(1-\tan A \tan B) \\ \Rightarrow \tan A+\tan B=-\tan C \\ \Rightarrow \tan (A+B)=\tan (n \pi-c) \\ \Rightarrow A+B=n \pi-c \\ \Rightarrow 3 A+3 B=3 n \pi-3 C \\ \Rightarrow 3 A+3 B+3 C=3 n \pi \\ \Rightarrow \tan (3 A+3 B+3 C)=\tan 3 n \pi \\ \Rightarrow \frac{\tan 3 A+\tan 3 B+\tan 3 C-\tan 3 A \tan 3 B \tan 3 C} {1-\tan 3 A \tan 3 B-\tan 3 B \tan 3 C-\tan 3 A \tan 3 C}=0 \\ \Rightarrow \tan 3 A+\tan 3 B+\tan 3 C-\tan 3 A \tan 3 B \tan 3C=0 \\ \Rightarrow \frac{3 \tan A-\tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A}+\frac{3 \tan B-\tan ^3 B}{1-3 \tan ^2 B}+\frac{3 \tan C-\tan ^3 C}{1-3 \tan ^2 C}=\frac{3 \tan A-\tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A} \cdot \frac{3 \tan B-\tan ^3 B}{1-3 \tan ^2 B} \cdot \frac{3 \tan C-\tan ^3 C}{1-3 \tan ^2 C}
[\tan A, \tan B, \tan C का मान रखने पर ]
 \Rightarrow \frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}+\frac{3 y-y^3}{1-3 y^2}+\frac{3 z-z^3}{1-3 z^2}=\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2} \cdot \frac{3 y-y^3}{1-3 y^2} \cdot \frac{3 z-z^3}{1-3 z^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Conditional Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं के सवाल (Trigonometrical Conditional Identities Questions):

Trigonometrical Conditional Identities

(1.)यदि A+B+C=180° हो तो सिद्ध कीजिए:
\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2}=1
(2.)यदि x+y+z=xyz हो तो सिद्ध कीजिए:
x\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)+y\left(1-z^2\right)\left(1-x^2\right)+z\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)=4 x yz
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Conditional Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Conditional Identities),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कक्षा 11 (Conditional Trigonometrical Identities Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Trigonometrical Conditional Identities) के इस
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समझने का प्रयास करेंगे।