1.प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability),प्रायिकता का गुणन नियम कक्षा 12 (Multiplication Rule of Probability Class 12):

Multiplication Rule of Probability

प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability) के इस आर्टिकल में स्वतन्त्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Probability Class 12

2.प्रायिकता का गुणन नियम के उदाहरण (Multiplication Rule of Probability Examples):

Example:1.यदि P(A)=\frac{3}{5}, P(B)=\frac{1}{5} और A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो P(A \cap B) ज्ञात कीजिए।
Solution: P(A)=\frac{3}{5}, P(B)=\frac{1}{5}
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ =\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{3}{25} \\ \Rightarrow P(A \cap B) =\frac{3}{25}
Example:2.52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए।दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पहला पत्ता काला रंग का होने की घटना A तथा दूसरा पत्ता काला रंग का होने की घटना B है।
पहला पत्ता काला रंग का निकाले जाने की प्रायिकता
P(A)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}
दूसरा पत्ता काला रंग का निकाले (बिना प्रतिस्थापन) जाने की प्रायिकता
P(B)=\frac{25}{51}
दोनों स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः दो पत्ते काले रंग के निकाले जाने की प्रायिकता
P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}=\frac{25}{102}
Example:3.संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है।यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं।एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं,के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना तीन संतरे बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाने की घटनाएँ क्रमशः A,B,C हैं।
कुल संतरे=15,अच्छे संतरे=12
पहला अच्छा संतरा निकाले जाने की प्रायिकता:
P(A)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}
दूसरा अच्छा संतरा निकाले जाने की प्रायिकता:
P(B)=\frac{11}{14}
तीसरा अच्छा संतरा निकाले जाने की प्रायिकता:
P(C)=\frac{10}{13}
तीनों स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः तीन अच्छे संतरे (बिना प्रतिस्थापन) के निकाले जाने की प्रायिकता:
P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)=\frac{4}{5} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13}=\frac{44}{91}
Example:4.एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया।मान लें A घटना ‘सिक्के पर चित्त प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं।निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं या नहीं?
Solution:पासे और सिक्के को उछालने पर कुल परिणाम={H1,H2,H3,H4,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}
घटना A सिक्के पर चित्त प्रकट होना={H1,H2,H3,H4,H5,H6}
घटना B पासे पर संख्या 3 प्रकट होना={H3,T3}
A \cap B=\{H 3\} \Rightarrow n(A \cap B)=1 \\ P(A \cap B)=\frac{1}{12} \\ P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \\ P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{12} \\ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
अतः A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
Example:5.एक पासे पर 1,2,3 लाल रंग से और 4,5,6 हरे रंग से लिखे गए हैं।इस पासे को उछाला गया।मान लें A घटना ‘सम संख्या है’ और B घटना ‘संख्या लाल रंग से लिखी गई है’, को निरूपित करते हैं।क्या A और B स्वतन्त्र हैं?
Solution:प्रतिदर्श समष्टि S={1(R),2(R),3(R),4(G),5(G),6(G)}
घटना A संख्या सम है={2(R),4(G),6(G)}
घटना B संख्या लाल रंग से लिखी गई है ={1(R),2(R),3(R)}
A \cap B=\{2(R)\} \Rightarrow n(A \cap B)=1 \\ P(A \cap B)=\frac{1}{6} \\ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \\ P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं है।
Example:6.मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{3}{10} और P(E \cap F)=\frac{1}{5} तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं?
Solution: P(E)=\frac{3}{5}, P(E)=\frac{3}{10} \\ \Rightarrow P(E) \cdot P(E)=\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{50}
तथा P(E \cap F)=\frac{1}{5} \\ P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)
अतः E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं है।
Example:7.A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A)=\frac{1}{2}, P(A \cup B)=\frac{3}{5} तथा P(B)=p.p का मान ज्ञात कीजिए यदि (i)घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।(ii)घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
Solution: P(A)=\frac{1}{2}, P(A \cup B)=\frac{3}{5}, P(B)=p
(i)घटनाएँ अपवर्जी हैं तो
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{1}{2}+p-0 \\ \Rightarrow p=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6-5}{10}=\frac{1}{10}
(ii)घटनाएँ स्वतन्त्र हैं तो:
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ \Rightarrow P(A)+P(B)-P(A \cup B)=P(A) \cdot P(B) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}+p-\frac{3}{5}=\frac{1}{2} p \\ \Rightarrow p-\frac{1}{2} p=\frac{3}{5}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} p=\frac{6-5}{10} \\ \Rightarrow p=\frac{1}{10} \times 2 \Rightarrow p=\frac{1}{5}

Multiplication Rule of Probability

Example:8.मान लें A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा P(A)=0.3 और P(B)=0.4,तब
(i) P(A \cap B) (ii) P(A \cup B) (iii) P\left(\frac{A}{B}\right) (iv) P\left(\frac{B}{A}\right) ज्ञात कीजिए।
Solution:P(A)=0.3,P(B)=0.4
(i)स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः
P(A \cap B) =P(A) \cdot P(B) \\ =0.3 \times 0.4 \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.12
(ii) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =0.3+0.4-0.12 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.58
(iii) P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ =\frac{0.12}{0.4} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right) =0.3
(iv) P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ =\frac{0.12}{0.3} \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=0.4
Example:9.दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं,जहाँ P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2} और तब P(A-नहीं और B-नहीं) ज्ञात कीजिए।
Solution: P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}
P(A \cap B)=\frac{1}{8} \\ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
अतः A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं फलतः
P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=P\left(A^{\prime}\right) \cdot P\left(B^{\prime}\right) \\ =(1-P(A)) \cdot(1-P(B)) \\ =\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{8} \\ \Rightarrow P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=\frac{3}{8}
Example:10.मान लें A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं और P(A)=\frac{1}{2} तथा P(B)=\frac{7}{12} और P(A-नहीं और B-नहीं)=. क्या A’ और B’ स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?
Solution: P(A)=\frac{1}{2}, P(A^{\prime})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ P(B)=\frac{7}{12} , P\left( B^{\prime} \right)=1-P(B)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12} \\ P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=\frac{1}{4} \\ P\left(A^{\prime}\right) \cdot P\left(B^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}=\frac{5}{24} \\ P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right) \neq P\left(A^{\prime}\right) \cdot P\left(B^{\prime}\right)
अतः A’ व B’ स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं है।
Example:11.A और B स्वतन्त्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A)=0.3,P(B)=0.6 तो
(i)P(A और B) (ii)P(A और B-नहीं)
(iii)P(A या B) (iv)P(A और B में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:P(A)=0.3,P(B)=0.6
(i) P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ =(0.3)(0.6) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=0.18
(ii) P\left(A \cap B^{\prime}\right) =P(A) \cdot P\left(B^{\prime}\right) \\ = P(A) \cdot[1-P(B)] \\ =0.3 \times[1-0.6] \\ = 0.3 \times 0.4 \\ \Rightarrow P\left(A \cap B^{\prime}\right) =0.12
(iii) P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =0.3+0.6-0.18 \\ =0.9-0.18 \\ \Rightarrow P(A \cup B) =0.72
(iv) P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=P\left(A^{\prime}\right) \cdot P\left(B^{\prime}\right) \\ =[1-P(A)][1-P(B)] \\ =(1-0.3)(1-0.6) \\ =0.7 \times 0.4 \\ \Rightarrow P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=0.28
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः
Example:12.एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:एक बार उछालने पर पासे की प्रतिदर्श समष्टि={1,2,3,4,5,6}
एक बार उछालने पर सम संख्या आने की प्रायिकता= \frac{1}{2}
तीन बार पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}
P(एक पासे को तीन बार उछालने पर कम से कम एक बार विषम संख्या आना) =1-\frac{1}{8} \\ =\frac{7}{8}
Example:13.दो गेंद एक बाॅक्स से प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है।बाक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए (i)दोनों गेंदें लाल हों (ii)एक काली तथा दूसरी लाल हो।
Solution:(i).दोनों गेंद लाल हों
कुल गेंदें=10+8=18
दो गेंदें लाल होने की प्रायिकता=\frac{8}{18} \times \frac{8}{18} \\=\frac{16}{81}
(ii)प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो
P(प्रथम काली एवं दूसरी लाल गेंद निकालने की घटना)=\frac{10}{18} \times \frac{8}{18}=\frac{20}{81}
(iii).एक काली तथा दूसरी लाल हो
P(एक काली तथा दूसरी लाल गेंद निकालने की घटना)=\frac{10}{18} \times \frac{8}{18}+\frac{8}{18} \times \frac{10}{18} \\ =\frac{80+80}{324}=\frac{160}{324}=\frac{40}{81}
Example:14.एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \frac{1}{2} और \frac{1}{3} हैं।यदि दोनों स्वतन्त्र रूप से,समस्या हल करने का प्रयास करते हैं,तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i)समस्या हल हो जाती है (ii)उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
Solution: P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}
(i)P(समस्या हल होने की घटना)=P(A) \cdot P(B)+P(A) \cdot P\left(B^{\prime}\right) +P\left(A^{\prime}\right) \cdot P(B) \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{3} \\ =\frac{1}{6}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \\ =\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \\ =\frac{1+2+1}{6} \\ =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
(ii).P(तथ्यतः कोई एक समस्या को हल करने की घटना)=P(A) \cdot P\left(B^{\prime}\right) +P\left( A^{\prime} \right) \cdot P(B) \\ =\frac{1}{2} \times \left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{3} \\ =\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \\ =\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Example:15.ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है।निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं?
Example:15(i).E:’निकाला गया पत्ता हुकुम का है’
F:’निकाला गया पत्ता इक्का है’
Solution: P(E)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\\ P(F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} \\ P(E) \cdot P(F)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{52}
E \cap F={हुकुम का इक्का}
n(E \cap F)=1 \\ P(E \cap F)=\frac{1}{52} \\ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F)
अतः E व F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
Example:15(ii).E:’निकाला गया पत्ता काले रंग का है’
F:’निकाला गया पत्ता एक बादशाह है’
Solution: P(E)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2} \\ P(F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} \\ P(E) \cdot P(F)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{26}
E \cap F={चिड़ी व हुकुम का बादशाह}
n(E \cap F)=2, P(E \cap F)=\frac{2}{52} \\ \Rightarrow P(E \cap F)=\frac{1}{26} \\ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F)
अतः E व F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
Example:15(iii).E:’ निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है’
F:’निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है’
Solution: एक बेगम या एक बादशाह का निकालना अपवर्जी घटनाएँ हैं।
P(E)=\frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}
एक बेगम या एक गुलाम का निकालना अपवर्जी घटनाएँ हैं।
P(F)=\frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13} \\ P(E) \cdot P(F)=\frac{2}{13} \times \frac{2}{13}=\frac{4}{169}
E \cap F={निकाला गया पत्ता बेगम}
n(E \cap F)=4 \\ \Rightarrow P(E \cap F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} \\ P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)
Example:16.एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का,40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं।एक छात्र को यादृच्छया चुना जाता है।
Example:16(a).प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी अखबार पढ़ती है।
Solution:माना हिन्दी के अखबार पढ़ने की घटना=H, अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की घटना E है।
P(H)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}, P(E)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5} \\ P(H \cap E)=\frac{20}{100} =\frac{1}{5} \\ P(\bar{H} \cap \bar{E}) =P(H \cup E)^{\prime} \\=1-P(H \cup E) \\ =1-[P(H)+P(E)-P(H \cap E)] \\ =1-\left[\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right] \\ =1-\frac{4}{5} \\ \Rightarrow P(\bar{H} \cap \bar{E})=\frac{1}{5}
Example:16(b).यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अँग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution: P\left(\frac{E}{H}\right) =\frac{P(E \cap H)}{P(H)} \\ =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E}{H}\right) =\frac{1}{3}
Example:16(c).यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution: P\left(\frac{H}{E}\right) =\frac{P(H \cap E)}{P(E)} \\ =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow P\left(\frac{H}{E}\right)=\frac{1}{2}
Example:17.यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्न में से क्या है?
(A) 0 (B) \frac{1}{3} (C) \frac{1}{12} (D) \frac{1}{36}
Solution:पासों के जोड़े को उछालने पर कुल सम्भावित परिणाम=6^2=36
पहले पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
दूसरे पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
दोनों स्वतन्त्र घटनाएँ हैं अतः प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}
विकल्प (D) सही है।
Example:18.दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतन्त्र कहते हैं,यदि
(A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं (B) P\left(A^{\prime} B^{\prime}\right)=[1-P(A)][1-P(B)]
(C) P(A)=P(B) (D) P(A)+P(B)=1
Solution:यदि A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो \bar{A} तथा \bar{B} भी स्वतन्त्र घटनाएँ होती है।
अतः विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability),प्रायिकता का गुणन नियम कक्षा 12 (Multiplication Rule of Probability Class 12) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता का गुणन नियम पर आधारित सवाल (Questions Based on Multiplication Rule of Probability):

(1.)A,B,C भिन्न-भिन्न प्रतियोगिताओं में भाग लेते हैं।A के सफल होने की प्रायिकता \frac{2}{5} है,B की \frac{1}{8} तथा C की \frac{5}{8} है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i)तीनों सफल हों (ii)कम से कम एक सफल हो।
(2.)मोहन 60% स्थितियों में सत्य बोलता है।सोहन 80% स्थितियों में सत्य बोलता है।किसी कथन पर उनका एक-दूसरे से विरोधाभास होने की प्रायिकता क्या होगी?
उत्तर (Answers): (1) (i) P(A \cap B \cap C)=\frac{1}{32}
(ii) P(A \cup B \cup C)=\frac{257}{320}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability),प्रायिकता का गुणन नियम कक्षा 12 (Multiplication Rule of Probability Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Equation of Plane in Class 12

4.प्रायिकता के गुणन नियम की मुख्य बातें (HIGHLIGHTS of Rule of Multiplication of Probability):

(1.)दो घटनाओं E तथा F को पराश्रित (depdent) कहते हैं,यदि वे स्वतन्त्र न हों अर्थात् यदि P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)
(2.)कभी-कभी स्वतन्त्र घटनाओं और परस्पर अपवर्जी घटनाओं के बीच भ्रम पैदा हो जाता है।’स्वतन्त्र घटनाओं’ की परिभाषा ‘घटनाओं की प्रायिकता’ के रूप में की गई है जबकि ‘परस्पर अपवर्जी घटनाओं’ की परिभाषा ‘घटनाओं’ के रूप में की गई है।इसके अतिरिक्त परस्पर अपवर्जी घटनाओं में कोई भी परिणाम सार्व कदापि नहीं हो सकता है किन्तु स्वतन्त्र घटनाओं में परिणाम सार्व भी हो सकते हैं,यदि प्रत्येक घटना अरिक्त है।स्पष्टतया ‘स्वतन्त्र घटनाएँ ‘ समानार्थी नहीं है।
दूसरे शब्दों में,यदि दो ऐसी स्वतन्त्र घटनाएँ घटती है जिनकी प्रायिकता शून्येतर है,तो वह परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकती है।विलोमतः यदि शून्येतर प्रायिकता वाली परस्पर अपवर्जी घटनाएँ घटती हैं,तो वह स्वतन्त्र नहीं हो सकती है।
(3.)दो यादृच्छिक परीक्षण स्वतन्त्र कहलाते हैं,यदि प्रत्येक घटना युग्म E और F के लिए,जहाँ E पहले परीक्षण से तथा F दूसरे परीक्षण से सम्बन्धित हैं,घटनाओं E तथा F के एक साथ घटित होने की प्रायिकता,जब दोनों परीक्षण सम्पन्न किए जाएँ,प्रायिकता P(E) और P(F) के गुणनफल के बराबर होती हैं,जिनका परिकलन दोनों परीक्षणों के आधार पर अलग-अलग किया जाता है।
अर्थात् P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F)
(4.)तीन घटनाओं A,B और C को स्वतन्त्र कहा जाता है यदि और केवल यदि
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ P(A \cap C)=P(A) \cdot P(C) \\ P(B \cap C)=P(B) \cdot P(C)
और P(A \cap B \cap C )=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)
यदि उपर्युक्त में से एक भी शर्त सत्य नहीं होती है तो दी गई घटनाओं को स्वतन्त्र नहीं कहा जाता है।

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability),प्रायिकता का गुणन नियम कक्षा 12 (Multiplication Rule of Probability Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

Multiplication Rule of Probability

5.प्रायिकता का गुणन नियम (Frequently Asked Questions Related to Multiplication Rule of Probability),प्रायिकता का गुणन नियम कक्षा 12 (Multiplication Rule of Probability Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule of Probability) के इस आर्टिकल में
स्वतन्त्र घटनाओं पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।