1.त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण का परिचय (Introduction to MCQ Type Examples of Trigonometric),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratio of Compound Angles):

MCQ Type Examples of Trigonometric

त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Trigonometric) के इस आर्टिकल में संयुक्त कोणों पर आधारित बहुविकल्पात्मक सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Trigonometric):

Example:1. \sin 75^{\circ} \sin 105^{\circ} का मान होगाः
(a) -(2+\sqrt{3}) (b) (2+\sqrt{3}) (c) 0 (d) \frac{\sqrt{3}+2}{4}
Solution: \sin 75^{\circ} \sin 105^{\circ} \\ =\sin \left(115^{\circ}+30^{\circ}\right) \sin \\ =\frac{1}{2} \times 2 \sin 75^{\circ} \sin 105^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(105^{\circ}-75^{\circ}\right)-\cos \left(75^{\circ}+105^{\circ}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\cos 30^{\circ}-\cos 180^{\circ}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}-(-1)\right] \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\frac{\sqrt{3}+2}{4}
विकल्प (d) सही है।
Example:2. \cot 15^{\circ} का मान होगाः
(a) 2+\sqrt{3} (b) 2-\sqrt{3} (c) -2+\sqrt{3} (d) -2-\sqrt{3}
Solution: \cot 15^{\circ} \\ =\cot \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ =\frac{\cot 45^{\circ} \cot 30^{\circ}+1}{\cot 30^{\circ}-\cot 45^{\circ}} \\ =\frac{(1)(\sqrt{3})+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \\ =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \\ =\frac{3+1+2 \sqrt{3}}{3-1}=\frac{4+2 \sqrt{3}}{2} \\ =\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}
विकल्प (a) सही है।
Example:3. \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} \cos 67 \frac{1}{2}^{\circ} का मान होगाः
(a) \frac{1}{\sqrt{2}} (b) \frac{1}{2} (c) \frac{1}{2 \sqrt{2}} (d) –\frac{1}{2 \sqrt{2}}
Solution: \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} \cos 67 \frac{1}{2}^{\circ} \\ =\frac{1}{2} \times 2 \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} \cos 67 \frac{1}{2}^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(22 \frac{1}{2}^{\circ}+67 \frac{1}{2}^{\circ}\right)+\cos \left(22 \frac{1}{2}^{\circ}-67 \frac{1}{2}^{\circ}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\cos 90^{\circ}+\cos 45^{\circ}\right] \\ =\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}}
विकल्प (c) सही है।
Example:4. \cos 15^{\circ} का मान होगाः
(a) \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} (b) \frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} (c) \frac{\sqrt{3}-1}{2} (d) \frac{\sqrt{3}+1}{2}
Solution: \cos 15^{\circ} \\ =\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) \\ =\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}
विकल्प (a) सही है।
Example:5.यदि \sin A=\frac{3}{5} ; \cos B=\frac{9}{41} हो एवं A एवं B न्यून कोण हो,तो cos (A+B) का मान होगा:
(a) -\frac{133}{205} (b) -\frac{84}{205} (c) \frac{84}{205} (d) \frac{133}{205}
Solution: \sin A=\frac{3}{5}, \cos A=\sqrt{1-\sin ^2 A} \\ \cos A =\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ \Rightarrow \cos A =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \\ \cos B =\frac{9}{41} \\ \sin B =\sqrt{1-\cos ^2 B} \\ =\sqrt{1-\left(\frac{9}{41}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{81}{1681}} \\ =\sqrt{\frac{1681-81}{1681}}=\sqrt{\frac{1600}{1681}} \\ \Rightarrow \sin B=\frac{40}{41} \\ \cos (A+B) =\cos A \cos B-\sin A \sin B \\ =\frac{4}{5} \times \frac{9}{41}-\frac{3}{5} \times \frac{40}{41} \\ =\frac{36}{205}-\frac{120}{205}=\frac{36-120}{205} \\ \Rightarrow \cos (A+B)=\frac{-84}{205}
विकल्प (b) सही है।
Example:6.यदि \sin A=\frac{3}{5} ; \cos B=-\frac{12}{\sqrt{3}} हो तथा 0<A< \frac{\pi}{2} एवं \pi<B< \frac{3 \pi}{2} हो,तो का मान होगा:
(a) \frac{16}{63} (b) -\frac{16}{63} (c) -\frac{33}{63} (d) \frac{33}{63}
Solution: \sin A=\frac{3}{5}, \cos A=\sqrt{1-\sin ^2 A} \\ \cos A =\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} \\ =\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}} \\ \Rightarrow \cos A =\frac{4}{5} \\ \cos B =-\frac{12}{13} \\ \sin B =-\sqrt{1-\cos ^2 B} \\ =-\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2} \\ =-\sqrt{1-\frac{144}{169}} \\ =-\sqrt{\frac{169-144}{169}} \\ =-\sqrt{\frac{25}{169}} \\ \Rightarrow \sin B =-\frac{5}{13} \\ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4} \\ \tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} \\ \Rightarrow \tan B=\frac{5}{12} \\ \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B} \\ =\frac{\frac{3}{4}-\frac{5}{12}}{1+\frac{3}{4} \times \frac{5}{12}} \\ =\frac{\frac{9-5}{12}}{1+\frac{5}{16}}=\frac{\frac{4}{12}}{\frac{16+5}{16}} \\ =\frac{4}{12} \times \frac{16}{21}=\frac{16}{63} \\ \Rightarrow \tan (A-B)=\frac{16}{63}
विकल्प (a) सही है।
Example:7. 2 \sin \frac{5 \pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} का मान होगा:
(a) 1 (b) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right) (c) \frac{\sqrt{3}}{2} (d) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)
Solution: 2 \sin \left(\frac{5 \pi}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) \\ =\sin \left(\frac{5 \pi}{12}+\frac{\pi}{12}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right) \\ =\sin \left(\frac{6 \pi}{12}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{12}\right) \\ =\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ =1+\sin 60^{\circ} \\ =1+\frac{\sqrt{3}}{2}
विकल्प (d) सही है।
Example:8. \cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12} का मान होगा:
(a) \frac{1}{2 \sqrt{2}} (b) –\frac{1}{2 \sqrt{2}} (c)0 (d) \frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12} \\ =\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) \\ =\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{1+1}{2 \sqrt{2}}=\frac{2}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}
विकल्प (d) सही है।

MCQ Type Examples of Trigonometric

Example:9.यदि \tan A=\frac{1}{11} एवं \tan B=\frac{5}{6} हो,तो (A+B) का मान होगा:
(a) \pi (b) \frac{\pi}{2} (c) \frac{\pi}{4} (d) 0
Solution: \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \\ =\frac{\frac{1}{11}+\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{11} \times \frac{5}{6}} \\ =\frac{\frac{6+55}{66}}{\frac{66-5}{66}}=\frac{61}{66} \times \frac{66}{61} \\ \Rightarrow \tan (A+B)=1 \\ \Rightarrow \tan (A+B)=\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow A+B=\frac{\pi}{4}
विकल्प (c) सही है।
Example:10. \cos 64^{\circ} \cos 19^{\circ}+\sin 64^{\circ} \sin 19^{\circ} का मान होगाः
(a) 0 (b) \sqrt{2} (c) \frac{1}{\sqrt{2}} (d) 1
Solution: \cos 64^{\circ} \cos 19^{\circ}+\sin 64^{\circ} \sin 19^{\circ} \\ =\cos \left(64^{\circ} -19^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}
विकल्प (c) सही है।
Example:11. \sin 3 \theta-\sin \theta को गुणनफल के रूप में लिखिए:
Solution: \sin 3 \theta-\sin \theta \\ =2 \cos \left(\frac{3 \theta+\theta}{2}\right) \sin \left(\frac{3 \theta-\theta}{2}\right) \\=2 \cos 2 \theta \sin \theta
Example:12. \cos 7 \theta \cos 3 \theta को योग एवं अन्तर के रूप में लिखिये।
Solution: \cos 7 \theta \cos 3 \theta \\ =\frac{1}{2}(2 \cos 7 \theta \cos 3 \theta) \\ =\frac{1}{2}[\cos (7 \theta+3 \theta)+\cos (7 \theta-3 \theta)] \\ =\frac{1}{2}[\cos 10 \theta+\cos 4 \theta]
Example:13. \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} का मान लिखियेः
Solution: \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} \\ =\frac{1}{2}\left(2 \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)-\cos \left(\frac{5 \pi}{12}+ \frac{\pi}{12}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{2}\right] \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{4}
Example:14.यदि \cos A=-\frac{24}{25} एवं \cos B=\frac{3}{5} ,जहाँ \pi < A<\frac{3 \pi}{2} एवं \frac{3 \pi}{2} < A< 2 \pi हो तो \sin(A+B) का मान लिखिये।
Solution: \cos A=-\frac{24}{25}, \cos B=\frac{3}{5} \\ \sin A =\sqrt{1-\cos ^2 A} \\ =-\sqrt{1-\left(-\frac{24}{25}\right)^2} \\ =-\sqrt{1-\frac{576}{625}} \\ =-\sqrt{\frac{625-576}{625}} \\ =-\sqrt{\frac{49}{625}} \\ \Rightarrow \sin A =\frac{-7}{25} \\ \sin B =\sqrt{1-\cos ^2 B} \\ =-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}  \\ =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ =-\sqrt{\frac{16}{25}} \\ \Rightarrow \sin B =-\frac{4}{5} \\ \sin (A+B) =\sin A \cos B+\cos A \sin B \\ =\left(-\frac{7}{25}\right) \left(\frac{3}{5}\right) +\left(\frac{-24}{25}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) \\ -\frac{21}{125}+\frac{96}{125}=\frac{-21+96}{125} \\ \Rightarrow \sin (A+B) =\frac{75}{125} \\ \Rightarrow \sin (A+B) =\frac{3}{5}
Example:15. \cos 80^{\circ} \cos 20^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 20^{\circ} का मान लिखिए:
Solution: \cos 80^{\circ} \cos 20^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 20^{\circ} \\=\cos \left(80^{\circ} -20^{\circ}\right)=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}
Example:16. \frac{\sin 40^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}-\cos 40^{\circ}} का मान होगाः
(a) \frac{1}{\sqrt{2}} (b) \frac{\sqrt{3}}{2} (c) \sqrt{3} (d) 1
Solution: \frac{\sin 40^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}-\cos 40^{\circ}} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{40^{\circ}+20^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{20^{\circ}+40^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{40^{\circ}-20^{\circ}}{2}\right)} \\ =\frac{2 \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ}}{2 \sin 30^{\circ} \sin 10^{\circ}} \\ =\cot 30^{\circ}=\sqrt{3}
विकल्प (c) सही है।
Example:17. \frac{1-\tan 2^{\circ} \cot 62^{\circ}}{\tan 118^{\circ}-\cot 88^{\circ}} का मान होगाः
(a) 1 (b) \sqrt{3} (c) -\sqrt{3} (d) 0
Solution: \frac{1-\tan 2^{\circ} \cot 62^{\circ}}{\tan 118^{\circ}-\cot 88^{\circ}} \\ = \frac{1-\tan \left(90^{\circ}-88^{\circ}\right) \cot 62^{\circ} }{\tan \left(180^{\circ}-62^{\circ}\right)-\cot 88^{\circ}} \\ = \frac{1-\cot 88^{\circ} \cot 62^{\circ}}{-\cot 62^{\circ}-\cot 88^{\circ}}=\frac{\cot 62^{\circ} \cot 88^{\circ}-1}{\cot 62^{\circ}+\cot 88^{\circ}} \\ =\cot \left(62^{\circ}+88^{\circ}\right)=\cot 150^{\circ}=\cot \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)=-\cot 30^{\circ}=-\sqrt{3}
विकल्प (c) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Trigonometric),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratio of Compound Angles) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on MCQ Type Examples of Trigonometric):

MCQ Type Examples of Trigonometric

(1.)सिद्ध कीजिए कि:
\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ}=\tan 60^{\circ}
(2.)सिद्ध कीजिए कि:
2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Trigonometric),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratio of Compound Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to MCQ Type Examples of Trigonometric),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratio of Compound Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमिति के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Examples of Trigonometric) के इस
आर्टिकल में संयुक्त कोणों पर आधारित बहुविकल्पात्मक सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।