Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)
1.काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [ Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)]:
क्या आप त्रिकोणमिति के सवालों को हल करने में कठिनाई महसूस करते हैं? जानिए काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज ( Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams) हल और सूत्र सहित सम्पूर्ण डिटेल।
Also Read This Article:- Number Series in Competitive Exams
2.त्रिकोणमितीय अनुपातों के महत्त्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas of Trigonometric Ratios):
(1.) \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \\ (2.) \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \\ (3.) \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \\ (4.) \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \\ (5.) \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\ (6.) 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \\ (7.) 1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta \\ (8.) \sin\theta = \frac{1}{\operatorname{cosec}\theta} \\ (9.) \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} \\ (10.) \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} \\ (11.) \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ (12.) \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\ (13.) \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \\ (14.) \sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B \\ (15.) \cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B \\ (16.) \cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B \\ (17.) \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} \\ (18.) \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B} \\ (19.) \cot(A + B) = \frac{\cot A\cot B - 1}{\cot A + \cot B} \\ (20.) \cot(A - B) = \frac{\cot A\cot B + 1}{\cot B - \cot A} \\ (21.) \sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B = \cos^2 B - \cos^2 A \\ (22.) \cos(A + B)\cos(A - B) = \cos^2 A - \sin^2 B = \cos^2 B - \sin^2 A \\ (23.) \sin C + \sin D = 2\sin\left(\frac{C + D}{2}\right)\cos\left(\frac{C - D}{2}\right) \\ (24.) \sin C - \sin D = 2\cos\left(\frac{C + D}{2}\right)\sin\left(\frac{C - D}{2}\right) \\ (25.) \cos C + \cos D = 2\cos\left(\frac{C + D}{2}\right)\cos\left(\frac{C - D}{2}\right)\\ (26.) \cos C - \cos D = 2\sin\left(\frac{C + D}{2}\right)\sin\left(\frac{D - C}{2}\right) \\ (27.) 2\sin A\cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B) \\ (28.) 2\cos A\sin B = \sin(A + B) - \sin(A - B) \\ (29.) 2\cos A\cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B) \\ (30.) 2\sin A\sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B) \\ (31.) \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} \\ (32.) \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \\ (33.) \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \\ (34.) \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \\ (35.) \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \\ (36.) \tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} \\ (37.) \sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} \\ (38.) \cos\theta = \cos^2\frac{\theta}{2} - \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} \\ (39.) \sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} \\ (40.) \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [ Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)] की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Also Read This Article:- Logarithms MCQs with Solution
3.टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज ( Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams):
\text{Example : 1. यदि } \sin\theta + \operatorname{cosec}\theta = 2, \text{तो } \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta \text{ का मान है :} \\\text{(a) } 1 \quad \text{(b) } 4 \quad \text{(c) } 2 \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \sin\theta + \operatorname{cosec}\theta = 2 \\ \Rightarrow (\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta)^2 = 2^2 \\ \Rightarrow \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta + 2\sin\theta\operatorname{cosec}\theta = 4 \\ \Rightarrow \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta + 2 \times 1 = 4 \\ [\because \sin\theta\operatorname{cosec}\theta = 1] \\ \Rightarrow \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = 4 - 2 = 2 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 2. यदि } \sin A = \frac{1}{\sqrt{10}} \text{तथा } \sin B = \frac{1}{\sqrt{5}} ; \text{ जहाँ } A \text{ तथा} B \text{ धनात्मक न्यूनकोण हैं, तो } (A + B) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } \pi \quad \text{(b) } \frac{\pi}{2} \quad \text{(c) } \frac{\pi}{3} \quad \text{(d) } \frac{\pi}{4} \\ \text{Solution : } \sin A = \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} \\ \Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} \\ = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} \\ = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow \cos B = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \\ = \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} \\ = \frac{2}{\sqrt{50}} + \frac{3}{\sqrt{50}} \\ = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow A + B = \frac{\pi}{4} \\ \text{विकल्प } (d) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 3. } \frac{\cot^2\theta + 1}{\cot^2\theta - 1} \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \sin 2\theta \quad \text{(b) } \cos 2\theta \quad \text{(c) } \operatorname{cosec} 2\theta \text{(d) } \sec 2\theta \\ \text{Solution : } \frac{\cot^2\theta + 1}{\cot^2\theta - 1} = \frac{\operatorname{cosec}^2\theta}{\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin^2\theta}} \\ = \frac{\operatorname{cosec}^2\theta \cdot \sin^2\theta}{\cos^2\theta - \sin^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta - \sin^2\theta} \\ = \frac{1}{\cos 2\theta} \quad [\because \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta] \\ = \sec 2\theta \\ \text{विकल्प } (d) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 4. } \tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } 2\tan 2\theta \quad \text{(b) } 2\cot 2\theta \quad \text{(c) } \tan 2\theta \text{(d) } \cot 2\theta \\ \text{Solution : } \tan\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \\ = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan\theta}{1 - \tan\frac{\pi}{4}\tan\theta} - \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\theta}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan\theta} \\ = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta} - \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} \\ = \frac{(1 + \tan\theta)^2 - (1 - \tan\theta)^2}{(1 - \tan\theta)(1 + \tan\theta)} \\ = \frac{1 + \tan^2\theta + 2\tan\theta - (1 + \tan^2\theta - 2\tan\theta)}{1 - \tan^2\theta}\\ = \frac{4\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = 2\left(\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\right) \\ = 2\tan 2\theta \\ \text{विकल्प } (a) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 5. यदि } \tan A = 2\tan B + \cot B, \text{तो } 2\tan(A - B) \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \tan B \quad \text{(b) } 2\tan B \quad \text{(c) } \cot B \quad \text{(d) } 2\cot B \\ \text{Solution : } \tan A = 2\tan B + \cot B \\ 2\tan(A - B) = 2 \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B} \\ = 2 \left[\frac{2\tan B + \cot B - \tan B}{1 + (2\tan B + \cot B)\tan B}\right] \\ = 2 \left[\frac{\cot B + \tan B}{1 + 2\tan^2 B + \cot B\tan B}\right] \\ = 2 \left(\frac{\frac{1}{\tan B} + \tan B}{1 + 2\tan^2 B + 1}\right) \\ = \frac{2\left(\frac{1 + \tan^2 B}{\tan B}\right)}{2 + 2\tan^2 B} \\ = \frac{2(1 + \tan^2 B)}{\tan B} \times \frac{1}{2(1 + \tan^2 B)} \\ = \frac{1}{\tan B} = \cot B \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 6. } \frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A} \text{का मान है :} \\ \text{(a) } \sin\frac{A}{2} \quad \text{(b) } \cos\frac{A}{2} \quad \text{(c) } \tan\frac{A}{2} \\ \text{(d) } \cot\frac{A}{2} \\ \text{Solution : } \frac{1 + \sin A - \cos A}{1 + \sin A + \cos A} \\ = \frac{\sin^2\frac{A}{2} + \cos^2\frac{A}{2} + 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} - (\cos^2\frac{A}{2} - \sin^2\frac{A}{2})}{\sin^2\frac{A}{2} + \cos^2\frac{A}{2} + 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} + \cos^2\frac{A}{2} - \sin^2\frac{A}{2}} \\ =\frac{\sin^2\frac{A}{2} + \cos^2\frac{A}{2} + 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2} - \cos^2\frac{A}{2} + \sin^2\frac{A}{2}}{2 \cos \frac{A}{2} (\cos\frac{A}{2}+ \sin\frac{A}{2})}\\ = \frac{2\sin^2\frac{A}{2} + 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}{2 \cos \frac{A}{2} (\cos\frac{A}{2}+ \sin\frac{A}{2})} \\ = \frac{2\sin\frac{A}{2}\left(\sin\frac{A}{2} + \cos\frac{A}{2}\right)}{2\cos\frac{A}{2}\left(\cos\frac{A}{2} + \sin\frac{A}{2}\right)} \\ = \tan\frac{A}{2} \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 7. } \sin A\sin(60^\circ - A)\sin(60^\circ + A) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } \sin 3A \quad \text{(b) } \frac{\sin 3A}{2} \quad \text{(c) } \frac{\sin 3A}{4} \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \sin A\sin(60^\circ - A)\sin(60^\circ + A) \\ = \sin A(\sin^2 60^\circ - \sin^2 A) \\ [\because \sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B] \\ = \sin A \left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \sin^2 A\right] \\ = \sin A \left[\frac{3}{4} - \sin^2 A\right] \\ = \frac{1}{4}(3\sin A - 4\sin^3 A) \\ = \frac{1}{4}\sin 3A \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 8. } \cot(45^\circ + \theta)\cot(45^\circ - \theta) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } -1 \quad \text{(b) } 0 \quad \text{(c) } 1 \quad \text{(d) } \infty \\ \text{Solution : } \cot(45^\circ + \theta)\cot(45^\circ - \theta)\\ = \frac{\cos(45^\circ + \theta)\cos(45^\circ - \theta)}{\sin(45^\circ + \theta)\sin(45^\circ - \theta)} \\ = \frac{\cos^2 45^\circ - \sin^2\theta}{\sin^2 45^\circ - \sin^2\theta} \\ [\because \cos(A + B)\cos(A - B) = \cos^2 A - \sin^2 B \\ \sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B] \\ = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \sin^2\theta}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \sin^2\theta} \\ = \frac{\frac{1}{2} - \sin^2\theta}{\frac{1}{2} - \sin^2\theta} = 1 \\ \text{ विकल्पतः : } \\ \cot(45^\circ + \theta)\cot(45^\circ - \theta) \\ = \tan [90^\circ - (45^\circ + \theta)] \cot(45^\circ - \theta) \\ = \tan(45^\circ - \theta)\cot(45^\circ - \theta) = 1 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 9. } \frac{\sin 3\theta - \cos 3\theta}{\sin\theta + \cos\theta} + 1 \text{का मान है :} \\ \text{(a) } 2\sin 2\theta \quad \text{(b) } 2\cos 2\theta \quad\text{(c) } \tan 2\theta \quad \text{(d) } \cot 2\theta \\ \text{Solution : } \frac{\sin 3\theta - \cos 3\theta}{\sin\theta + \cos\theta} + 1 \\ = \frac{\sin 3\theta - \cos 3\theta + \sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta} \\ = \frac{(\sin 3\theta + \sin\theta) + (\cos\theta - \cos 3\theta)}{\sin\theta + \cos\theta} \\ = \frac{2\sin\left(\frac{3\theta + \theta}{2}\right)\cos\left(\frac{3\theta - \theta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\theta + 3\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta - \theta}{2}\right)}{\sin\theta + \cos\theta} \\ = \frac{2\sin 2\theta\cos\theta + 2\sin 2\theta\sin\theta}{\sin\theta + \cos\theta} \\ = \frac{2\sin 2\theta(\cos\theta + \sin\theta)}{\sin\theta + \cos\theta} \\ = 2\sin 2\theta \\ \text{विकल्प } (a) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 10. } \sin\left(\frac{\pi}{10}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{10}\right) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{2} \quad \text{(b) } -\frac{1}{2} \quad \text{(c) } \frac{1}{4} \quad \text{(d) } 1 \\ \text{Solution : } \sin\left(\frac{\pi}{10}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{10}\right) \\ = \sin 18^\circ \sin 54^\circ \\ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{5 - 1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 11. } \sin 75^\circ \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \quad \text{(b) } \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \quad \text{(c) } \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \quad \text{(d) } \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ \text{Solution : } \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।}\\ \text{Example : 12. } \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \tan\frac{\theta}{2} \quad \text{(b) } \cot\frac{\theta}{2} \quad \text{(c) } \tan\theta \quad \text{(d) } \cot\theta \\ \text{Solution : } \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} \\ = \frac{1 + 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} \\ \left[\because \cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 \text{ and } \sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right] \\ = \frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \cot\frac{\theta}{2} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 13. यदि } x + \frac{1}{x} = 2\cos\theta, \text{ तो} x^3 + \frac{1}{x^3} \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \cos 3\theta \quad \text{(b) } 2\cos 3\theta \quad \text{(c) } \frac{1}{2}\cos 3\theta \text{(d) } \frac{1}{3}\cos 3\theta \\ \text{Solution : } x + \frac{1}{x} = 2\cos\theta \\ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right) \\ = 2\cos\theta \left[\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3\right] \\ = 2\cos\theta \left[(2\cos\theta)^2 - 3\right] \\ = 2\left[4\cos^3\theta - 3\cos\theta\right] \\ = 2\cos 3\theta \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 14. } \cos^2 A(3 - 4\cos^2 A)^2 + \sin^2 A(3 - 4\sin^2 A)^2 \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \cos 4A \quad \text{(b) } \sin 4A \quad \text{(c) } 1 \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \cos^2 A(3 - 4\cos^2 A)^2 + \sin^2 A(3 - 4\sin^2 A)^2 \\ = (3\cos A - 4\cos^3 A)^2 + (3\sin A - 4\sin^3 A)^2 \\ = \cos^2 3A + \sin^2 3A = 1 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 15. यदि } \sin\theta = -\frac{4}{5} \text{ तथा } \theta \text{तीसरे चतुर्थांश में हो, तो } \cos\frac{\theta}{2} \text{ का} \text{मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{(b) } -\frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{(c) } \sqrt{\frac{2}{5}} \quad \text{(d) } -\sqrt{\frac{2}{5}} \\ \text{Solution : } \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} \\ = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} \Rightarrow \cos\theta = \frac{3}{5} \\ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} \\ = \pm\sqrt{\frac{4}{2 \times 5}} = \pm\sqrt{\frac{2}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} \dots \\ \cos\frac{\theta}{2} \text{ द्वितीय चतुर्थांश में होगा;} \\ \text{अतः } \cos\frac{\theta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \text{Example : 16. } \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3}\tan 20^\circ\tan 40^\circ \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{(b) } \sqrt{3} \quad \text{(c) } -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{(d) } -\sqrt{3} \\ \text{Solution : } \tan(40^\circ + 20^\circ) = \frac{\tan 40^\circ + \tan 20^\circ}{1 - \tan 40^\circ\tan 20^\circ} \\ \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{\tan 40^\circ + \tan 20^\circ}{1 - \tan 40^\circ\tan 20^\circ} \\ \Rightarrow \sqrt{3}(1 - \tan 40^\circ\tan 20^\circ) = \tan 40^\circ + \tan 20^\circ \\ \Rightarrow \sqrt{3}\tan 40^\circ\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 20^\circ = \sqrt{3} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 17. } \frac{1}{4}\left(\sqrt{3}\cos 23^\circ - \sin 23^\circ\right) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } \cos 43^\circ \quad \text{(b) } \cos 7^\circ \quad \text{(c) } \cos 53^\circ \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \frac{1}{4}\left(\sqrt{3}\cos 23^\circ - \sin 23^\circ\right) \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 23^\circ - \frac{1}{2}\sin 23^\circ\right) \\ = \frac{1}{2}\left[\cos 30^\circ\cos 23^\circ - \sin 30^\circ\sin 23^\circ\right] \\ = \frac{1}{2}\cos(30^\circ + 23^\circ) = \frac{1}{2}\cos 53^\circ \\ \text{विकल्प } (d) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 18. } \sin 12^\circ\sin 48^\circ \sin 54^\circ \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{16} \quad \text{(b) } \frac{1}{32} \quad \text{(c) } \frac{1}{8} \quad \text{(d) } \frac{1}{4}\\ \text{Solution : } \sin 12^\circ\sin 48^\circ\sin 54^\circ \\ = \frac{1}{2}(2\sin 12^\circ\sin 48^\circ)\sin(90^\circ - 36^\circ) \\ = \frac{1}{2}[\cos 36^\circ - \cos 60^\circ]\cos 36^\circ \\ = \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{1}{2}\right]\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right) \\ = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 19. } 2\cos x - \cos 3x - \cos 5x \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } 16\cos^3 x\sin^2 x \quad \text{(b) } 16\sin^3 x\cos^2 x \\ \text{(c) } 4\cos^3 x\sin^2 x \quad \text{(d) } 4\sin^3 x\cos^2 x \\ \text{Solution : } 2\cos x - \cos 3x - \cos 5x \\ = 2\cos x - 2\cos\left(\frac{3x + 5x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x - 3x}{2}\right) \\ = 2\cos x - 2\cos 4x\cos x \\ = 2\cos x(1 - \cos 4x) \\ = 2\cos x[1 - (1 - 2\sin^2 2x)] \\ = 2\cos x(1 - 1 + 2\sin^2 2x) \\ = 4\sin^2 2x\cos x \\ = 4(2\sin x\cos x)^2\cos x = 16\sin^2 x\cos^3 x \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 20. } 5\sin^2\theta + 4\cos^2\theta \text{ का न्यूनतम मान है :} \\ \text{(a) } 1 \quad \text{(b) } 2 \quad \text{(c) } 3 \quad \text{(d) } 4 \\ \text{Solution : } 5\sin^2\theta + 4\cos^2\theta \\ = \sin^2\theta + 4(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\ = \sin^2\theta + 4 = 0 + 4 = 4 \quad [\because \sin^2\theta \ge 0] \\ \text{विकल्प } (d) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 21. यदि } \sin A + \cos A = \sqrt{2}, \text{ तो } \cos^2 A \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{4} \quad \text{(b) } \frac{1}{2} \quad \text{(c) } \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(d) } \frac{3}{2} \\ \text{Solution : } \sin A + \cos A = \sqrt{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\sin A + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos A = 1 \\ \Rightarrow \sin 45^\circ\sin A + \cos 45^\circ\cos A = 1 \\ \Rightarrow \cos(45^\circ - A) = \cos 0 \\ \Rightarrow A = 45^\circ \Rightarrow \cos^2 A = \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 22. } \frac{\sec A + \tan A - 1}{\sec A - \tan A + 1} - 2\tan A \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \sec A \quad \text{(b) } 2\sec A \quad \text{(c) } 0 \quad \text{(d) } 1 \\ \text{Solution : }= \sec^2 A - (1 - \tan A)^2 - 2\tan A \\ = \sec^2 A - 1 - \tan^2 A + 2\tan A - 2\tan A \\ = \sec^2 A - 1 - \tan^2 A = \tan^2 A - \tan^2 A = 0 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 23. यदि } \tan A = -\frac{1}{2} \text{ तथा } \tan B = -\frac{1}{3}, \text{तो } (A + B) \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{\pi}{4} \quad \text{(b) } \frac{3\pi}{4} \quad \text{(c) } \frac{5\pi}{4} \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} \\ = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{-\left(\frac{3 + 2}{6}\right)}{1 - \frac{1}{6}} \\ \Rightarrow \tan(A + B) = -\frac{5}{6} \times \frac{6}{5} = -1 \\ \tan(A + B) = \tan(135^\circ) \Rightarrow A + B = 135^\circ = 135^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।}\\ \text{Example : 24. } \frac{ 2 \sin \theta \tan \theta (1-\tan \theta)+2 \sin \theta \sec^2 \theta}{(1+\tan \theta)^2} \text{ का मान है :} \\ (a) \frac{-\sin\theta}{1 + \tan\theta} \quad \text{(b) } \frac{2\sin\theta}{1 + \tan\theta} \quad \text{(c) } \frac{-2\sin\theta}{(1 + \tan\theta)^2} \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution :} \frac{2\sin\theta\tan\theta(1 - \tan\theta) + 2\sin\theta\sec^2\theta}{(1 + \tan\theta)^2} \\ = \frac{2\sin\theta\sec\theta[\sin\theta(1 - \tan\theta) + \sec\theta]}{(\sec^2\theta)^2} \\ = \frac{2\sin\theta}{\sec\theta} \left[\frac{\sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta}}{(\sin\theta + \cos\theta)^2 }\right] \\ = \frac{2\sin\theta}{\sec\theta} \left[\frac{\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta + 1}{\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta)^2}\right] \\ =\frac{2 \sin \theta \times \cos \theta(\sin\theta+\cos\theta)}{(\sin\theta + \cos\theta)^2} \\ = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta} = \frac{2\sin\theta}{1 + \tan\theta} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 25. यदि } m\tan(\theta - 30^\circ) = n\tan(\theta + 120^\circ), \text{ तो } \frac{m + n}{m - n} \text{ का} \text{मान है :} \\ \text{(a) } 2\cos 2\theta \quad \text{(b) } \cos 2\theta \quad \text{(c) } 2\sin 2\theta \quad \text{(d) } \sin 2\theta \\ \text{Solution : } m\tan(\theta - 30^\circ) = n\tan(\theta + 120^\circ) \\ \Rightarrow \frac{\tan(\theta + 120^\circ)}{\tan(\theta - 30^\circ)} = \frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3} + \tan\theta}{1 - \sqrt{3}\tan\theta} \times \frac{1 + \tan\theta\frac{1}{\sqrt{3}}} {\tan\theta - \frac{1}{\sqrt{3}}}= \frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{-\sqrt{3} + \tan\theta}{1 + \sqrt{3}\tan\theta} \times \frac{ \sqrt{3}+\tan\theta}{ \sqrt{3} \tan\theta -1} = \frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{\tan^2\theta - 3}{3\tan^2\theta - 1} = \frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{\sin^2\theta - 3\cos^2\theta}{3\sin^2\theta - \cos^2\theta} = \frac{m}{n} \\ \Rightarrow \frac{\sin^2\theta - 3\cos^2\theta + 3\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin^2\theta - 3\cos^2\theta - 3\sin^2\theta + \cos^2\theta} = \frac{m + n}{m - n} \\ \Rightarrow \frac{4\sin^2\theta - 4\cos^2\theta}{-2\sin^2\theta - 2\cos^2\theta} = \frac{m + n}{m - n} \\ \Rightarrow \frac{4}{2} \frac{(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} = \frac{m + n}{m - n} \\ \Rightarrow 2\cos 2\theta = \frac{m + n}{m - n} \\ \text{विकल्प } (a) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 26. } \tan^2\theta\sec^2\theta(\cot^2\theta - \cos^2\theta) \text{का मान है :} \\ \text{(a) } 0 \quad \text{(b) } -1 \quad \text{(c) } 1 \quad \text{(d) } 2 \\ \text{Solution :} \tan^2\theta\sec^2\theta(\cot^2\theta - \cos^2\theta) \\ = \tan^2\theta\sec^2\theta\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \cos^2\theta\right) \\ = \tan^2\theta\sec^2\theta\cos^2\theta\left(\frac{1 - \sin^2\theta}{\sin^2\theta}\right) \\ = \tan^2\theta \cdot \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \tan^2\theta\cot^2\theta = 1 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 27. } \tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{2} \quad \text{(b) } 2 \quad \text{(c) } 4 \quad \text{(d) } 8 \\ \text{Solution : } \tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ \\ = (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ) \\ = \frac{\sin^2 9^\circ + \cos^2 9^\circ}{\sin 9^\circ\cos 9^\circ} - \frac{\sin^2 27^\circ + \cos^2 27^\circ}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ} \\ = \frac{1}{\sin 9^\circ\cos 9^\circ} - \frac{1}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ}\\ = \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ} \\ = 2\left(\frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ}\right) \\ = \frac{2 \cdot 2\sin\left(\frac{54^\circ - 18^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right)}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ} \\ = \frac{4\sin 18^\circ\cos 36^\circ}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ} \quad [\because \sin 54^\circ = \cos 36^\circ] \\ = 4 \\ \text{विकल्प } (c) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 28. } \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)} \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{\cos B + \sin B}{\cos B - \sin B} \quad \text{(b) } \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A} \quad \text{(c) } \frac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\ \text{Solution : } \frac{\sin(B + A) + \cos(B - A)}{\sin(B - A) + \cos(B + A)} \\ = \frac{\sin(B + A) + \sin(90^\circ - B + A)}{\sin(B - A) + \sin(90^\circ - B - A)} \\ = \frac{2\sin(A + 45^\circ)\cos(45^\circ - B)}{2\sin(45^\circ - A)\cos(45^\circ - B)} \\ = \frac{\sin(A + 45^\circ)}{\sin(45^\circ - A)} = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 29. } \cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{1}{2} \quad \text{(b) } \frac{1}{4} \quad \text{(c) } \frac{1}{6} \quad \text{(d) } \frac{1}{8} \\ \text{Solution : } \cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ = \frac{\sin^3 20^\circ}{2^3\sin 20^\circ} \\ = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8} \\ \text{विकल्प } (d) \text{ सही है।} \\ \text{Example : 30. यदि } \tan\theta = \frac{x\sin\phi}{1 - x\cos\phi} \text{तथा } \tan\phi = \frac{y\sin\theta}{1 - y\cos\theta}, \text{ तो } \frac{x}{y} \text{ का मान है :} \\ \text{(a) } \frac{\sin\phi}{\sin\theta} \quad \text{(b) } \frac{\sin\theta}{\sin\phi} \quad \text{(c) } \frac{\sin\phi}{1 - \cos\theta} \quad \text{(d) } \frac{\sin\theta}{1 - \cos\phi} \\ \text{Solution : } \tan\theta = \frac{x\sin\phi}{1 - x\cos\phi} \\ \Rightarrow \tan\theta - x\cos\phi\tan\theta = x\sin\phi \\ \Rightarrow x = \frac{\tan\theta}{\sin\phi + \cos\phi\tan\theta} \\ \tan\phi = \frac{y\sin\theta}{1 - y\cos\theta} \Rightarrow \tan\phi - y\cos\theta\tan\phi = y\sin\theta \\ \Rightarrow y = \frac{\tan\phi}{\sin\theta + \cos\theta\tan\phi} \\ \frac{x}{y} = \frac{\tan\theta}{\sin\phi + \cos\phi\tan\theta} \times \frac{\sin\theta + \cos\theta\tan\phi}{\tan\phi} \\ = \frac{\sin\theta}{\sin\phi} \cdot \frac{\cos\phi(\sin\theta + \cos\theta\tan\phi)}{\cos\theta(\sin\phi + \cos\phi\tan\theta)} \\ = \frac{\sin\theta}{\sin\phi} \cdot \frac{\sin\theta\cos\phi + \cos\theta\sin\phi}{\cos\theta\sin\phi + \sin\theta\cos\phi} \\ = \frac{\sin\theta}{\sin\phi} \\ \text{विकल्प } (b) \text{ सही है।}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) ( Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams ) की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
4.छात्र-छात्राओं के लिए प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems for Students):
(1.) \text{ यदि } \sin\theta = \frac{m^2 + 2mn}{m^2 + 2mn + 2n^2} \text{ हो, तो} \tan\theta \text{ का मान है :} \\
\text{(a) } \frac{m}{m + n} \quad \text{(b) } \frac{m + 2n}{m + n} \quad \text{(c) } \frac{m + 2n}{2n} \quad \text{(d) इनमें से कोई नहीं} \\
(2.) \tan 1^\circ\tan 2^\circ\tan 3^\circ \dots \tan 59^\circ \text{ का मान है :} \\
\text{(a) } 0 \quad \text{(b) } 3 \quad \text{(c) } 1 \quad \text{(d) } \sqrt{2}
उत्तर (Answers):(1.)(d) (2)(c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आप काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams को अच्छी तरह से समझ सकते हैं क्योंकि स्वयं प्रैक्टिकल रूप से हल करने पर कांसेप्ट अच्छी तरह समझ में आती है।
### 📢 यदि आपको यह गणित का आर्टिकल पसंद आया हो:
* 👥 **मित्रों के साथ शेयर करें:** ज्ञान बांटने से बढ़ता है,इसलिए इसे अपने दोस्तों के साथ ज़रूर साझा करें।
* 🔔 **वेबसाइट को फॉलो करें:** अगर आप यहाँ पहली बार आए हैं, तो हमारे **ईमेल सब्सक्रिप्शन** को फॉलो करें।साथ ही, **Push Notification (घंटी के आइकॉन) को भी अलाउ (Allow) करें** ताकि हर नए ज़रूरी आर्टिकल और टेस्ट सीरीज़ का नोटिस आपके मोबाइल पर तुरंत मिल जाए!
* 💬 **अपने सुझाव दें:** यदि आपकी कोई समस्या है या कोई सुझाव देना चाहते हैं,तो नीचे **कमेंट** करके हमें ज़रूर बताएं।
**पूरा आर्टिकल पढ़ने के लिए आपका स्वागत है!** 🙏
Also Read This Article:- Trigonometry
5.काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [Frequently Asked Questions Related to Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)] से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.धनात्मक कोण से क्या आशय है? (What do you mean by positive angle?):
उत्तर:यदि किसी कोण की अन्तिम रेखा प्रारम्भिक रेखा के वामावर्त दिशा में घूमती है,तो इस प्रकार बने कोण को धनात्मक कोण कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [ Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)] की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
प्रश्न:2.ऋणात्मक कोण की परिभाषा दो। (Give the Definition of Negative Angle):
उत्तर:यदि किसी कोण की अन्तिम रेखा उसकी प्रारम्भिक रेखा के दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है,तो इस प्रकार बने कोण को ऋणात्मक कोण कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [ Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)] की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
प्रश्न:3.कोण मापने की कौनसी पद्धतियाँ हैं? (What are the methods of measuring angles?):
उत्तर:(1.)षाष्ठिक पद्धति (Sexagesimal System) (2.)शतिक पद्धति (Centisimal System)
(3.)वृत्तीय पद्धति (Circular Measure)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा काॅम्पीटेटिव एग्जाम के लिए टाॅप 30 त्रिकोणमितीय एमसीक्यूज (हल और सूत्र सहित) [ Top 30 Trigonometry MCQs for Competitive Exams (with Solutions & Formulas)] की प्राइमरी टर्म्स के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
6.छात्र-छात्राओं से आज का प्रश्न (Today’s Question to Students):
🎯विनर्स कॉर्नर:क्या आप इस सवाल का सही जवाब दे सकते हैं? अपने नाम के साथ नीचे कमेंट करें!सही जवाब देने वाले Top Students के नाम हमारी आगे post/is article ke update में Photo ya Special Mention के साथ publish की जाएगी। अपना जवाब अभी दर्ज करें!👇
Q:एक परीक्षा में मोहन को 20 में से 15 अंक प्राप्त हुए।उसी परीक्षा में कमल को 100 में 80 अंक प्राप्त हुए।कौन अधिक प्रतिभाशाली है? मोहन या कमल?
धनात्मक कोण से क्या आशय है?
(In an examination, Mohan scored 15 marks out of 20. In the same examination, Kamal got 80 marks out of 100. Who is more talented? Mohan or Kamal?)
*पिछली प्रश्नोत्तरी का उत्तर*289
माना विद्यार्थियों की संख्या=x
\frac{x - 2}{7} = r, \quad \frac{x - 3}{11} = r - 15, \quad \frac{x - 4}{15} = r - 15 - 7 \\
\Rightarrow x = 7r + 2, \quad x = 11r - 162, \quad x = 15r - 326
किन्हीं दो को हल करने पर:
11x = 77r + 22 \\ 7x = 77r - 1134 \\ 4x = 1156 \Rightarrow x = \frac{1156}{4} = 289
**Previous Quiz Solution*289
Let the number of students=x
\frac{x - 2}{7} = r, \quad \frac{x - 3}{11} = r - 15, \quad \frac{x - 4}{15} = r - 15 - 7 \\
\Rightarrow x = 7r + 2, \quad x = 11r - 162, \quad x = 15r - 326
Upon solving any two:
11x = 77r + 22 \\ 7x = 77r - 1134 \\ 4x = 1156 \Rightarrow x = \frac{1156}{4} = 289
*”यह आर्टिकल **Satyam Mathematics** ब्लॉग पर **Satyam Coaching Centre** के द्वारा तैयार किया गया है।”*
About Author
Sanjay Kumawat
(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.* Updated on 15.06.2026
){kind=link}