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Quotient Group

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1 1.विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group):

1.विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group):

विभाग ग्रुप (Quotient Group) की परिभाषा:माना कि H,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो

x H=H x \forall x \in G
ग्रुप G के विशिष्ट उपग्रुप H के सभी सहसमुच्चयों को से निरूपित करते हैं।
H के किन्हीं दो सहसमुच्चयों का गुणन:
हम यह सिद्ध करेंगे कि G में H के किन्हीं दो सहसमुच्चयों का गुणनफल भी G में H का सहसमुच्चय होता है।माना कि x,y \in G तो Hx तथा Hy,H के G में दो सहसमुच्चय हैं अर्थात् H x \in \frac{G}{H} तथा H y \in \frac{G}{H} तब
(Hx)(Hy)=H(xH)y=H(Hx)y [चूँकि Hx=xH]
=(HH)(xy) तथा HH=H
=Hxy
चूँकि x \in G, y \in G \Rightarrow x y \in G
अतः H x y \in \frac{G}{H} अर्थात् (H x)(H y) \in \frac{G}{H}
प्रमेय (Theorem):किसी समूह G के विशिष्ट उपसमूह H के सभी सहकुलकों का सहसमुच्चय एक समूह है जिसकी गुणन संक्रिया HaHb =H a b \quad \forall a, b \in G से परिभाषित है।
(The set of all cosets of a normal subgroup H of a group G,is group with respect to multiplication of cosets defined as HaHb =H a b \quad \forall a, b \in G .)
उपपत्ति (Proof):माना कि ग्रुप G का H एक विशिष्ट उपग्रुप है तथा G में H के सभी सहकुलकों का समुच्चय

\frac{G}{H}=\{H a \mid \forall a \in G\}
अब हम \frac{G}{H} को ग्रुप सिद्ध करेंगे
ग्रुप के अभिग्रहीत:
(i)संवृतता (Closure):

a \in G, b \in G \Rightarrow a b \in G \\ \Rightarrow H a b \in \frac{G}{H} \\ \therefore H a \in \frac{G}{H}, H b \in \frac{G}{H} \Rightarrow H a H b=H a b \in \frac{G}{H}
अतः \frac{G}{H} परिभाषित गुणन संक्रिया के लिए संवृत्त है।
(ii)साहचर्यता (Associativity):
माना a, b, c \in G तो H a, H b, H c \in \frac{G}{H}
Ha [Hb Hc]=HaHbc=Ha(bc)
=H(ab)c=HabHc [चूँकि a, b, c \in G, G एक ग्रुप है]
(iii)तत्समक का अस्तित्व (Existence of Identity):
Hx,\frac{G}{H} का एक तत्समक अवयव होगा यदि
HaHx=Ha=HxHa
अब HaHx=Hax=Ha \Rightarrow xa=a \Rightarrow x=e
इसी प्रकार
HxHa=Hxa=Ha \Rightarrow xa=a \Rightarrow x=e
परन्तु x=e \in G

\therefore Hx=He=H \in G
अतः H, \frac{G}{H} में तत्समक अवयव है।
(iv)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना a \in G \Rightarrow H a \in \frac{G}{H}
माना Hx इस प्रकार है कि
Hax=H=HxHa
Hax=H=He \Rightarrow a x=e \Rightarrow x=a^{-1}
इसी प्रकार HaHx=H से हम सिद्ध कर सकते हैं कि Ha^{-1},Ha का प्रतिलोम है तथा \frac{G}{H} में है
अतः \frac{G}{H} के प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम \frac{G}{H} में विद्यमान है।
उपर्युक्त से यह सिद्ध होता है कि \frac{G}{H} परिभाषित संक्रिया के लिए एक ग्रुप है।
टिप्पणी:यदि सहकुलकों की गुणन संक्रिया परिभाषित नहीं हो तो
HaHb=H(aH)b
=H(Ha)b
=H(Hab)
=Hab
परन्तु a \in G, b \in G \Rightarrow a b \in G
\therefore Hab भी H का सहकुलक है।
यदि यहाँ एक विशिष्ट उपग्रुप न होता तो Ha \neq aH जिससे संक्रिया संवृत्त नहीं होती अतः \frac{G}{H} एक ग्रुप नहीं होता
विभाग ग्रुप परिभाषा (Quotient Group Definition),खण्ड ग्रुप परिभाषा (Factor Group Definition):
यदि H;ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप हो तो G में H के समस्त सहसमुच्चयों (सहकुलकों) का समुच्चय \frac{G}{H} एक सहसमुच्चयों के गुणन संक्रिया HaHb=Hab \forall Ha,Hb \in \frac{G}{H} के लिए ग्रुप है तथा इस ग्रुप को G का H द्वारा खण्ड ग्रुप या विभाग ग्रुप कहते हैं।
टिप्पणी:यदि ग्रुप G में संक्रिया + हो तो \frac{G}{H} की संक्रिया निम्न प्रकार परिभाषित होगी:
(H+a)(H+b)=H+(a+b)
प्रमेय (Theorem):1.एक आबेली ग्रुप का प्रत्येक अवशेष वर्ग (खण्ड) ग्रुप आबेली होता है।परन्तु इसका विलोम आवश्यक नहीं कि सत्य हो।
(Every quotient group of an abelian group is abelian.But its converse is not necessarily true.)
उपपत्ति (Proof):माना N आबेली ग्रुप G का एक उपग्रुप है इसलिए N भी क्रमविनिमेय होगा अतः N भी क्रमविनिमेय होगा अतः N ग्रुप G में विशिष्ट उपग्रुप है।
सिद्ध करना है क्रमविनिमेय ग्रुप होगा।
माना N a, N b \in \frac{G}{N}, a, b \in G के लिए
तब (Na)(Nb)=Nab=Nba
=(Nb)(Na) [चूँकि ab=ba \forall a,b \in G]
अतः Na Nb=NbNa
\therefore \frac{G}{N} भी एक क्रमविनिमेय समूह है।
इसका विलोम सदैव सत्य नहीं है,उदाहरणार्थ S_{3} एक अक्रमविनिमेय ग्रुप है तथा A_{3} एकान्तर (Alternating) ग्रुप है A_{3};S_{3} में एक विशेष उपग्रुप है इसलिए \frac{S_{3}}{A_{3}} एक खण्ड (विभाग) ग्रुप है।
\frac{S_{3}}{A_{3}} में केवल दो अवयव हैं इसलिए क्रमविनिमेय है।(प्रत्येक ग्रुप जिसका ग्रुपांक 2 है,वह क्रमविनिमेय होता है।)जबकि S_{3} क्रमविनिमेय नहीं होता है।
प्रमेय (Theorem):2.सिद्ध कीजिए कि चक्रीय ग्रुप का भागफल-समूह चक्रीय होता है।परन्तु इसका विलोम आवश्यक नहीं कि सत्य हो।
(Show that every quotient of a cyclic.But its converse is not necessarily true.)
उपपत्ति (Proof):मान लो ग्रुप G एक चक्रीय ग्रुप है तथा G का जनक a है यह भी माना कि N,G का एक उपग्रुप है N a^{n},G का कोई एक अवयव है जहाँ n \in Z
तो N a^{n} \in \frac{G}{N} तब
N a^{n}=N(a a a..........n बार)
=N a N a N a ..........N a n बार [चूँकि Nab=NaNb]

=N a^{n}
अतः \frac{G}{N} एक चक्रीय ग्रुप है जिसका जनक Na है
इसका विलोम सदैव सत्य नहीं होता क्योंकि S_{3} एक चक्रीय ग्रुप नहीं है।
जबकि \frac{S_{3}}{A_{3}} की कोटि 2 है इसलिए वह चक्रीय है।
प्रमेय (Theorem):3.प्रत्येक ग्रुप अपने विभाग ग्रुप के समाकारी होता है।
(Every group is homomorphic to its quotient group.)
उपपत्ति (Proof):मान लो कि किसी ग्रुप G का एक प्रसामान्य (विशिष्ट) उपग्रुप N है।प्रतिचित्रण f,ग्रुप G से ग्रुप पर निम्न प्रकार परिभाषित करते हैं

f: G \rightarrow \frac{G}{N}, f(x)=N x \quad \forall x \in G
स्पष्ट है कि \forall N a \in \frac{G}{N} के लिए a \in G ऐसा अवयव है कि f(a)=Na
\therefore f आच्छादक है।
पुनः a,b  \in G के लिए
f(ab)=Nab=(Na)(Nb)=f(a) f(b)
\therefore f: G \rightarrow \frac{G}{N} समाकारिता है
अतः f: G \rightarrow \frac{G}{N} पर प्रतिचित्रण आच्छादक एवं समाकारी है अर्थात् G अपने विभाग ग्रुप \frac{G}{N}  के समाकारी है।
समाकारिता की मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem on Homomorphism)
प्रमेय (Theorem):4.सिद्ध कीजिए कि किसी समूह G का प्रत्येक समाकृतिक प्रतिबिम्ब किसी अवशेष वर्ग समूह के तुल्यकारी होता है।
(Prove that every homomorphic image of a group G is isomorphic to some quotient of G.)
अथवा
यदि K समूह G तथा G' की समाकारिता की अष्टि हो तो सिद्ध कीजिए कि \frac{G}{K} तथा G' तुल्यकारी है।
(If K be the kernel of homomorphism of a group G onto a group G' then prove that \frac{G}{K} is isomorphic with G'.)
उपपत्ति (Proof):मान लो G' ग्रुप G का समाकारी प्रतिबिम्ब है तथा f ग्रुप G से G' पर संगत समाकारिता है।माना समाकारिता f की अष्टि K है।इसलिए K,G का विशिष्ट उपग्रुप है अतः \frac{G}{K},G का एक खण्ड ग्रुप (Quotient Group) है।
अब हमें सिद्ध करना है कि \frac{G}{K} \cong G^{\prime}
ग्रुप \frac{G}{K}  से ग्रुप G' पर \phi प्रतिचित्रण निम्न प्रकार परिभाषित किया 

\phi: \frac{G}{K} \rightarrow G^{\prime}
इस प्रकार कि \phi(ka)=f(a) \forall a \in G
सर्वप्रथम हम यह सिद्ध करेंगे कि \phi सुपरिभाषित है अर्थात्

a, b \in G तथा k a=k b \Rightarrow \phi(k a)=\phi(k b)
अब  k a=k b \Rightarrow ab^{-1} \in k
\Rightarrow f(a b^{-1})=e^{\prime} [जहाँ e',G' का तत्समक है]

\Rightarrow f(a) f\left(b^{-1}\right)=e^{\prime} \\ \Rightarrow f(a)[f(b)]^{-1}=e^{\prime} \\ \Rightarrow f(a)=f(b) \\ \Rightarrow \phi(k a)=\phi(k b)
जिससे एक सुपरिभाषित प्रतिचित्रण है
\forall k a, k b \in \frac{G}{K} के लिए

\phi[Ka,kb]=\phi[K a b]=f(a b)=f(a) f(b)=\phi(k a) \phi(k b)
\therefore \phi, \frac{G}{K} से G' पर समाकारिता है।
अब \phi(K a)=\phi(K b) \Rightarrow f(a)=f(b) \\ \Rightarrow f(a)[f(b)]^{-1}=f(b)[f(b)]^{-1} \\ \Rightarrow f(a) f\left(b^{-1}\right)=e^{\prime} \\ \Rightarrow f(ab^{-1})=e^{\prime} \\ \Rightarrow a b^{-1} \in K [चूँकि,f की अष्टि K है]
\Rightarrow K a=K b \\ \therefore \phi एकैकी है
माना कि x,G' का कोई भी अवयव है तब x=f(a),किसी के लिए क्योंकि f,G' पर आच्छादक है।
अब साथ में
पर आच्छादक है
अतः K a \in \frac{G}{K} से G' पर एकैकी आच्छादक समाकारिता है अर्थात् \phi, \frac{G}{K} से G' पर तुल्यकारिता है।अर्थात् \frac{G}{K} \cong G^{\prime}
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2.विभाग ग्रुप के उदाहरण (Quotient Group Examples),खण्ड ग्रुप के उदाहरण (Factor Group Examples):

निम्नलिखित स्थिति में विभाग (खण्ड) ग्रुप \frac{G}{H} ज्ञात कीजिए तथा इसकी ग्रुप संक्रिया सारणी भी बनाइए।
(Find the Quotient group \frac{G}{H}  in each of the following cases and also give the composition table for it.)
(प्रश्न 1 से 4 तक)
Example:1.G=\left(Z_{12},+_{12} \right), N=\left ( \{0,3,6,9\},+_{12} \right )
Solution: G=\left(Z_{12},+_{12} \right) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है तथा N,G का उपग्रुप है इसलिए N,G का विशिष्ट उपग्रुप है
अतः विद्यमान है।
G में N के सहकुलक निम्न है:

0 +_{12} N=N +_{12} 0=\{0,3,6,9\}=N \\ 1 +_{12} N=N +_{12} 1=\{1,4,7,10\} \\ 2 +_{12} N=N +_{12} 2= \{2,5,8,11\} \\ 3 +_{12} N=N +_{12} 3=\{3,6,9,0\} \\ 4 +_{12} N=N +_{12} 4=\{4,7,10,1\}=1 +_{12} N \\ 5 +_{12} N=N +_{12} 5=\{5,8,11,2\}=2 +_{12} N
G में N के 4 विभिन्न सहकुलक हैं:
अतः \frac{G}{N}=\left\{N, N +_{12} 1, N +_{12} 2, N +_{12} 3\right\}
की संक्रिया सारणी निम्न है:

\begin{array}{c|cccc} +_{12} & N & N +_{12}1 & N +_{12} 2 & N +_{12} 3 \\ \hline N & N & N +_{12} 1 & N +_{12} 2 & N +_{12} 3 \\ N +_{12} 1 & N +_{12} 1 & N +_{12} 2 & N +_{12} 3 & N \\ N +_{12} 2 & N +_{12} 2 & N +_{12} 3 & N & N +_{12} 1 \\ N +_{12} 3 & N +_{12} 3 & N & N +_{12} 1 & N +_{12} 2 \end{array}
Example:2.चूँकि G=(Z,+),H=(3Z,+)
Solution:चूँकि G=(Z,+) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है तथा H,G का उपग्रुप है इसलिए H,G का विशिष्ट उपग्रुप है अतः \frac{G}{H}  विद्यमान है।
G में H के सहकुलक निम्न हैं:
0+H=H+0={...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...}=H
1+H=H+1={...,-8,-5,-2,1,4,7,10,...}
2+H=H+2={....,-7,-4,-1,2,5,8,11,....}
3+H=H+3={...-6,-3,0,3,6,9,12,...}=H
इसी प्रकार 4+H=H+4=H+1 इत्यादि
अतः G में H के केवल तीन विभिन्न सहसमुच्चय हैं:

\frac{G}{H}=\{H, H+1, H+2\}
\frac{G}{H} की संक्रिया सारणी निम्न है:

\begin{array}{l|lll} + & H & H+1 & H+2 \\ \hline H & H & H+1 & H+2 \\ H+1 & H+1 & H+2 & H \\ H+2 & H+2 & H & H+1 \end{array}
Example:3.G=\langle I, +\rangle, H=\langle 5 I, +\rangle,  I=\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots\}
Solution: G=\langle I, +\rangle, H=\langle 5 I, +\rangle
चूँकि G=\langle I, +\rangle एक क्रमविनिमेय ग्रुप है तथा H,G का उपग्रुप है इसलिए H,G का विशिष्ट उपग्रुप है अतः \frac{G}{H} विद्यमान है।
G में H के सहकुलक निम्न हैं:
0+H=H+0={...-15,-10,-5,0,5,10,15,...}
1+H=H+1={...-14,-9,-4,1,6,11,16,...}
2+H=H+2={....-13,-8,-3,2,7,12,17,...}
3+H=H+3={...-12,-7,-2,3,8,13,18,...}
4+H=H+4={....-11,-6,-1,4,9,14,19,...}
5+H=H+5={...-10,-5,0,5,10,15,...}=H
इसी प्रकार 6+H=H+6=H+1 इत्यादि
अतः G में केवल 5 विभिन्न सहसमुच्चय (सहकुलक) हैं:

\frac{G}{H}=\{H,H+1,H+2,H+3,H+4\}
\frac{G}{H} की संक्रिया सारणी निम्न है:

\begin{array}{c|ccccc} + & H & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 \\ \hline H & H & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 \\ H+1 & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 & H \\ H+2 & H+2 & H+3 & H+4 & H & H+1 \\ H+3 & H+3 & H+4 & H & H+1 & H+2 \\ H+4 & H+4 & H & H+1 & H+2 & H+3 \end{array}

Example:4.G=\left[\left\{a, a^{2}, a^{3}, \cdots a^{12}=e\right\}, \bullet \right], H=\left[\left\{a^{3}, a^{6}, a^{9}, a^{12}=e\right\},\bullet \right]
Solution:G=\left[\left\{a, a^{2}, a^{3}, \cdots a^{12}=e\right\}, \bullet \right], H=\left[\left\{a^{3}, a^{6}, a^{9}, a^{12}=e\right\},\bullet \right] \\ H \cdot a=\left\{a^{4}, a^{7}, a^{10}, a^{13}=a\right\} \\ H \cdot a^{2}=\left\{a^{5},a^{8},a^{11}, a^{13}=a^{2}\right\} \\ H \cdot a^{3}=\left\{a^{6}, a^{9}, a^{12}, a^{15}=a^{3}\right\} \\ H \cdot a^{4}=\left\{a^{7}, a^{10}, a^{13}=a, a^{16}=a^{4}\right\}=H \cdot a
इसी प्रकार H \cdot a^{5}=H \cdot a^{2}
अतः G में H के केवल तीन सहकुलक निम्न हैं: 

\frac{G}{H}=\left\{H \cdot a, H \cdot a^{2}, H \cdot a^{3}\right\}
\frac{G}{H} की संक्रिया सारणी निम्न हैं:

\begin{array}{c|ccc}\bullet & H & H \cdot a & H \cdot a^{2} \\ \hline H & H & H \cdot a & H \cdot a^{2} \\ H \cdot a & H \cdot a & H \cdot a^{2} & H \\ H \cdot a^{2} & H \cdot a^{2} & H & H \cdot a \end{array}
Example:5.माना कि G कोई ग्रुप है तथा H,G में ऐसा विशिष्ट उपग्रुप है कि \frac{G}{H} क्रमविनिमेय है तो सिद्ध कीजिए कि a b a^{-1} b^{-1} \in H \forall a, b \in G
(Let G be a group and H be a normal subgroup of G such that \frac{G}{H} is abelian.Show that \forall a, b \in G a b a^{-1} b^{-1} \in H )
Solution:\frac{G}{H} क्रमविनिमेय है अतः

\Rightarrow(a b) H=(b a) H \\ \Rightarrow(ba^{-1})(a b) \in H \\ \Rightarrow\left(a^{-1} b^{-1}\right)(a b) \in H \\ \Rightarrow(a b)\left(a^{-1} b^{-1}\right) \in H
Example:6.सिद्ध कीजिए कि एक ग्रुप G पर परिभाषित समस्त आन्तरिक स्वाकारिताओं का समुच्चय,ग्रुप \frac{G}{Z} जहाँ का समूह केन्द्र है,के साथ तुल्यकारिक है।
(Show that the set of all inner automorphism on a group G is isomorphic to the group \frac{G}{Z}; Where Z is the centre of G.)
Solution:माना A(G),ग्रुप G की सभी स्वाकारिताओं को प्रदर्शित करता है।तब I(G) \subset A(G)
माना a,b \in G
हम सर्वप्रथम निम्न दो परिणाम सिद्ध करेंगे
(i) f_{a^{-1}}=f^{-1}_{a}
अतः आन्तरिक स्वाकारिता की f_{a^{-1}}, f_{a} की आन्तरिक स्वाकारिता का प्रतिलोम फलन है।
(ii)f_{a} f_{b}=f_{ba}
उपपत्ति (Proof):(i)यदि x \in G तब

\left(f_{a} f_{a^{-1}}\right)(x)=f_{a}\left[f_{a^{-1}}(x)\right]\\ =f_{a}\left[(a^{-1})^{-1} x a^{-1}\right]\\ =f_{a}\left[a x a^{-1}\right]\\ =a^{-1} \left( ax a^{-1}\right) a\\=x
f_{a}=\left(f_{a^{-1}}\right) ,G पर तत्समक फलन है।

f_{a^{-1}}=f^{-1}_{a}
(ii)x \in G तब

\left(f_{a} f_{b}\right)(x)=f_{a}\left[f_{b}(x)\right] \\ =f_{a}\left(b^{-1}x b\right) \\ =a^{-1}(b^{-1} x b) a \\ =\left(a^{-1} b^{-1}\right) x(b a) \\ =(ba^{-1}) \cdot x(b a) \\ =f_{b a}(x) \\ f_{a} f_{b}=f_{ba}
अब हम सिद्ध करेंगे कि I(G),A(G) का उपग्रुप है।
माना f_{a},f_{b},I(G) के कोई दो अवयव हैं।
तब f_{a}\left(f_{b}\right)^{-1} =f_{a} f_{b^{-1}} \\ =f_{b^{-1}a} \in I_{G} जबकि b^{-1} a \in G
इस प्रकार f_{a},f_{b} \in I(G) \Rightarrow f\left(f_{b}\right)^{-1} \in I(G)
I(G),A(G) का उपग्रुप है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि I(G),A(G) का विशिष्ट उपग्रुप है
माना f \in A(G) तथा f(a) \in I(G) यदि x \in G तब
(f f_{a}f^{-1})(x)=(f f_{a})[f^{-1}(x)] \\ = f\left[f_{a} \left ( f^{-1}(x) \right ) \right] \\=f\left [ a^{-1} f^{-1}(x)a \right ] \\= f(a^{-1}) f[f^{-1}(x)] f(a) \\ =f\left(a^{-1}\right) x f(a) [\because  f is composition preserving]
=[f(a^{-1})] x f(a) \\ =\left [ f(a) \right ]^{-1} x f(a)\\=c^{-1} x c  [जहाँ f(a)=c \in G]
I(G) विविष्ट उपग्रुप है A(G) का
अब हम सिद्ध करेंगे कि I(G),\frac{G}{Z} का तुल्यकारिक है इसके लिए हम सिद्ध करेंगे कि I(G),G और Z का समाकृतिक प्रतिबिम्ब है संगत समाकारिता की अष्टि है।
समाकारिता की मूलभूत प्रमेय से:

\frac{G}{Z} \cong I(G)
\phi: G \rightarrow I(G) पर विचार करो जो निम्न प्रकार परिभाषित है:

\phi(a)=f a^{-1} \quad \forall a \in G
\phi,I(G) का आच्छादक है क्योंकि
f_{a} \in I(G) \Rightarrow a \in G  और \Rightarrow a^{-1} \in G
अब \phi(a^{-1})=f_{a^{-1}}^{-1}=f_{a}
\phi,I(G) का आच्छादक है
अब सिद्ध करेंगे

\phi(a b)=f_{(a b)^{-1}} =f_{b^{-1} a^{-1}}=f_{a^{-1}} f_{b^{-1}}\\ =\phi(a) \phi(b)
Z, \phi की अष्टि सिद्ध करने के लिए:
तत्समक फलन i,ग्रुप I(G) पर तत्समक है माना K,\phi की अष्टि है:
तब Z \in K \Leftrightarrow \phi(z)=i \Leftrightarrow f_{z^{-1}}=i \Leftrightarrow f_{z^{-1}}(x)=i(x) \\ \forall x \in G \Leftrightarrow(z^{-1})^{-1} x z^{-1}=x \forall x \in G \Leftrightarrow Z x Z^{-1}=x \forall x \in G \\ \Leftrightarrow Z x=x Z \quad \forall x \in G \Rightarrow Z \in G \\ \therefore K=Z
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group) को समझ सकते हैं।

3.विभाग ग्रुप के सवाल (Quotient Group Questions),खण्ड ग्रुप के सवाल (Factor Group Questions)

(1.)माना पूर्णांक I,योग संक्रिया के लिए ग्रुप है तथा H,I का एक उपग्रुप है जहाँ \{H=m x: x \in I\} जहाँ m एक अचर पूर्णांक है।खण्ड ग्रुप के अवयव बताइए। \frac{I}{H} ,जहां m=5 के लिए संक्रिया तालिका बनाइए।
(Let I be the additive group of integers.Let H be a subgroup of I such that \{H=m x: x \in I\}.Where m is a fixed integer.Write the element of the quotient group \frac{I}{H}.Also prepare a composition table for when m=5.)
(2.)समूह \frac{G}{H} का विभाग समूह ज्ञात करो जहाँ G=(Z,+) तथा H=(4Z,+) है।\frac{G}{H} के लिए संक्रिया सारणी भी बनाओ।
(Find the quotient group \frac{G}{H} when G=(Z,+) and H=(4Z,+).Also prepare the composition table of \frac{G}{H}.)
उत्तर (Answers):(1.)\frac{I}{H}=\{H,H+1,H+2,H+3,H+4\}
\frac{I}{H} की संक्रिया सारणी निम्न है:

\begin{array}{c|lllll}+ & H & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 \\\hline H & H & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 \\H+1 & H+1 & H+2 & H+3 & H+4 & H \\H+2 & H+2 & H+3 & H+4 & H & H+1 \\H+3 & H+3 & H+4 & H & H+1 & H+2 \\H+4 & H+4 & H & H+1 & H+2 & H+3\end{array}
(2.) \frac{G}{H}=\{H,H+1,H+2,H+3\}
\frac{G}{H} की संक्रिया सारणी निम्न है:

\begin{array}{c|cccc}+ & H & H+1 & H+2 & H+3 \\\hline H & H & H+1 & H+2 & H+3 \\H H & H+1 & H+2 & H+3 & H \\H+2 & H+2 & H+3 & H & H+1 \\H+3 & H+3 & H & H+1 & H+2\end{array}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.विभाग समूह को परिभाषित करें। (Define Quotient Group.):

उत्तर:एक विभाग समूह या खण्ड समूह एक गणितीय समूह है जो एक तुल्यता संबंध का उपयोग करके एक बड़े समूह के समान अवयवों को एकत्र करके प्राप्त किया जाता है जो कुछ समूह संरचना को संरक्षित करता है।

प्रश्न:2.क्या विभाग समूह एक समूह है? (Is quotient group a group?):

उत्तर:परिभाषा: यदि G एक समूह है और N समूह G का एक विशिष्ट उपसमूह है (normal subgroup),तो सेट G|N,G में N के सभी सहकुलक (cosets) समूह है गुणा के संबंध में एक समूह है।इसे N द्वारा G का विभाग ग्रुप (quotient group) या खण्ड समूह (factor group) कहा जाता है।

प्रश्न:3.विभाग समूह Q Z क्या है? (What is the quotient group Q Z?):

उत्तर:Q क्रमविनिमेय (abelian) है तो Z एक विशिष्ट उपसमूह (normal subgroup) है,इसलिए Q/Z इसकी इकाई अवयव 0 मॉड्यूलो Z (सभी पूर्णांक) का तुल्यता वर्ग (equivalence class) है।

प्रश्न:4.क्या विभाग समूह चक्रीय है? (Is quotient group cyclic?):

उत्तर:फिर यह सत्यापित किया जा सकता है कि H के सापेक्ष G के कोसेट (Cosets) एक समूह बनाते हैं।इस समूह को H के सापेक्ष G का विभाग समूह (quotient group) या खण्ड समूह (factor group) कहा जाता है और इसे \frac{G}{H} के रूप में चिह्नित किया जाता है ।
फिर | \frac{G}{Z}|=p |\frac{G}{Z}|=p तो \frac{G}{Z} चक्रीय है,इस प्रकार हम G कोसेट Z,Zg,…,Zgp^{-1} for some g \in G .
विघटित हो सकते हैं ।

प्रश्न:5.कोसेट का क्या मतलब है? (What is meant by Coset?):

उत्तर:कोसेट की परिभाषा:एक गणितीय समूह का एक सबसेट जिसमें किसी दिए गए उपसमूह के प्रत्येक अवयव द्वारा समूह के दाईं या बाईं ओर एक निश्चित अवयव को गुणा करके प्राप्त सभी गुणन (products) होते हैं।

प्रश्न:6.विभाग समूह क्यों महत्वपूर्ण हैं? (Why are quotient groups important?):

उत्तर:विभाग समूह एक मौजूदा समूह से नए (छोटे) समूहों का निर्माण करने का एक तरीका है।अन्य तरीके से प्रत्यक्ष गुणन (direct products),अर्धप्रत्यक्ष गुणन (semidirect products) आदि हैं। विभाग समूहों (quotient groups) के साथ परिमित समूहों को जोड़ने के लिए एक समूह के क्रम की गिनती (order of a group) करने के लिए दिलचस्प तरीके।उदाहरण के लिए,यह सर्वविदित है कि s_{g}n:(S_{n},∘)→(\{−1,1\},.)

प्रश्न:7.क्या विभाग समूह अबेलियन है? (Is the quotient group abelian?):

उत्तर: विभाग समूह \frac{G}{N} एक abelian है अगर और केवल अगर Nab=Nba सभी a, b ∈ G के लिए।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विभाग ग्रुप (Quotient Group),खण्ड ग्रुप (Factor Group) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Quotient Group

विभाग ग्रुप (Quotient Group)

Quotient Group

विभाग ग्रुप (Quotient Group) की परिभाषा:माना कि H,ग्रुप G का एक विशिष्ट उपग्रुप है तो
x H=H x ; x belong to G ग्रुप G के विशिष्ट उपग्रुप H के सभी सहसमुच्चयों को से निरूपित करते हैं।

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