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Normal Subgroup

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1 1.विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition):

1.विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition):

विशिष्ट (या प्रसामान्य) उपग्रुप (Normal Subgroup) परिभाषा:किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है यदि N g=g N \forall g \in G
अथवा
किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है यदि प्रत्येक g \in G तथा x \in N के लिए g x g^{-1} \in N
संकेत:यदि N,G का विशिष्ट उपग्रुप है तो इसे N ⊲ G से व्यक्त करते हैं।
टिप्पणी:विशिष्ट उपग्रुप को प्रसामान्य उपग्रुप, निश्चय उपग्रुप (invariant subgroup) तथा स्वयं युग्मी (Self Conjugate) उपग्रुप कहते हैं।
विषम विशिष्ट उपग्रुप (Improper Normal Subgroup):
विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा से स्पष्ट है कि G के कम से कम दो विशिष्ट उपग्रुप अवश्य होते हैं।वह G तथा e हैं।G,{e} ग्रुप G के विशिष्ट उपग्रुप (Improper Normal Subgroup) कहलाते हैं।
उचित विशिष्ट उपग्रुप (Proper Normal Subgroup):
G,{e} के अतिरिक्त G का विशिष्ट उपग्रुप उचित विशिष्ट उपग्रुप (Proper Normal Subgroup) कहलाता है।
सरल ग्रुप (Simple Subgroup):
यदि किसी ग्रुप का कोई भी उचित विशिष्ट उपग्रुप विद्यमान न हो तो वह ग्रुप सरल ग्रुप (Simple Group) कहलाता है।
क्रमविनिमेय उपग्रुप (Commutator Subgroup):किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप G’,G का क्रमविनिमयक उपग्रुप कहलाता है यदि उसके सदस्य अवयवों के परिमित गुणन aba^{-1}b^{-1},a \in G  तथा b \in G के रूप के हों।यह सरलता से सिद्ध किया जा सकता है कि G का क्रमविनिमयक उपग्रुप G’,G का एक विशिष्ट उपग्रुप होता है।
विशिष्ट उपग्रुप पर प्रमेय (Theorems on Normal Subgroups):
प्रमेय (Theorem):1.सिद्ध कीजिए कि ग्रुप (G,o) का उपग्रुप N,विशिष्ट होगा यदि और केवल यदि प्रत्येक n \in N और प्रत्येक g \in G के लिए g \in G ,g^{-1} \circ n \circ g \in N
(Prove that a subgroup N of a group (G,o) is normal iff for every n \in N and every g \in G ,g^{-1} \circ n \circ g \in N)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता
माना कि N ग्रुप का विशिष्ट उपग्रुप है तथा तब
Ng=gN (विशिष्ट उपग्रुप की परिभाषा से)
अब ng \in N g=gN \Rightarrow ng=gn , किसी विशेष n_{1} \in N के लिए 

\Rightarrow g^{-1} n g=g^{-1} \left(g n_{1}\right) =\left(g^{-1} g\right) n_{1}=e n_{1}=n_{1} \in N
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता:
माना कि N इस प्रकार है कि

g^{-1} n g \in N \forall n \in N, g \in G
अब यदि a \in G तो \forall n \in G \Rightarrow a^{-1} n a \in N \\ n a \in N a \Rightarrow n a=\left(a a^{-1}\right)(n a)=a\left(a^{-1} n a\right)=a n_{1} \in a N \\ N a \subseteq a N \cdots(1)
माना b=a^{-1} तब b^{-1} n b \in N
परन्तु b^{-1} n b=(a^{-1})^{-1} n(a^{-1})=a n a^{-1} \\ \therefore a n a^{-1} \in N
अब a n=\left(a n a^{-1}\right) a \in N a \\ an \in a N \Rightarrow an \in N a \\ \therefore a N \subseteq N a \cdots(2)
अतः (1) व (2) से:
aN=Na
प्रमेय (Theorem):2.एक आबेली समूह का प्रत्येक उप-समूह विशिष्ट होता है।
(Every subgroup of an abelian group is normal.):
उपपत्ति (Proof):माना कि N किसी आबेली समूह G का उपसमूह है,अब यदि g \in G तथा n \in N हो तो
g n g^{-1} =(g n) g^{-1} \\ =(n g) g^{-1} [चूँकि n \in N \Rightarrow n \in G तथा G क्रमविनिमेय है]
=n\left ( gg^{-1} \right )[G एक समूह है जिसमें साहचर्यता सत्य है]
=ne

=n \in N \\ \forall g \in G, n \in N \Rightarrow g n g^{-1} \in N
N,G का एक विशिष्ट उपसमूह (Normal Subgroup) है।
प्रमेय (Theorem):3.समूह (ग्रुप) G का उपसमूह (उपग्रुप) N एक विशिष्ट उपग्रुप (उपसमूह)होगा यदि और केवल यदि g N g^{-1}=N \forall g \in G है।
(A subgroup N of a group G is normal subgroup iff g N g^{-1}=N \forall g \in G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि N ग्रुप G में एक विशिष्ट उपग्रुप है तब

g \in G,n \in N \Rightarrow g n g^{-1} \in N \\ g N g^{-1} \subset N \cdots(1)
पुनः g N g^{-1} \subset N \forall g \in G \\ \Rightarrow g^{-1} N \left ( g^{-1} \right )^{-1} \subset N[चूँकि g \in G \Rightarrow g^{-1} \in G ]

\Rightarrow g^{-1} N g \subset N \\ \Rightarrow g\left(g^{-1} N g\right) g^{-1} \subset g N g^{-1} \\ \Rightarrow \left(g g^{-1}\right) N(g g^{-1}) \subset g N g^{-1} \\ \Rightarrow eNe \subset g N g^{-1} \\ \Rightarrow N \subset gNg^{-1} \cdots(2)
अब (1) तथा (2) से:

g N g^{-1}=N
विलोमत:यदि g N g^{-1}=N \forall g \in G तब

g N g^{-1}=N \Rightarrow g N g^{-1} \subset N \\ \Rightarrow g n g^{-1} \in N \forall n \in N ; g \in G
N,G में विशिष्ट उपग्रुप (उपसमूह) है
अतः N,G में विशिष्ट उपग्रुप है

\Leftrightarrow g N g^{-1}=N \forall g \in G
प्रमेय (Theorem):4.किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N एक विशिष्ट उपग्रुप होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक वाम (या दक्षिण) सहसमुच्चय दक्षिण (वाम) सहसमुच्चय है।
(The subgroup N of G is a normal subgroup of G iff every left (or right) coset of N in G is a right (left) coset N in G.)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता:
मानलो ग्रुप G का N एक विशिष्ट उपग्रुप है तब
\forall g \in G, g N g^{-1}=N  [प्रमेय 2 से]

\Rightarrow \left(g N g^{-1}\right) g=N g \\ \Rightarrow g N\left(g^{-1} g\right)=N g \\ \Rightarrow g N e=N g

\Rightarrow g N e=N g \\ \Rightarrow g(N e)=N g \\ \Rightarrow g N=N g
अर्थात् ग्रुप G का N एक विशिष्ट उपग्रुप \Rightarrow g N=N g
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता:
प्रत्येक वाम सहसमुच्चय दक्षिण सहसमुच्चय है।अब g \in G के लिए gN एक वाम सहसमुच्चय (left coset) है इसलिए यह एक दक्षिण सहसमुच्चय भी है, यह दक्षिण सहसमुच्चय कौनसा होगा?
चूँकि g=g e \in h N
तथा gN किसी दक्षिण सहसमुच्चय के बराबर है, उसमें g एक अवयव अवश्य होगा।परन्तु g \in G \Rightarrow g \in N g साथ में हम यह भी जानते हैं कि कोई भी दो दक्षिण सहसमुच्चय या तो असंयुक्त होंगे या दोनों समान होंगे इसलिए यह Ng एक अद्वितीय दक्षिण सहसमुच्चय है।
अतः g N=N g \quad \forall g \in G
अब g N=N g \Rightarrow g N g^{-1}=N g g^{-1} \\ \Rightarrow g N g^{-1}=N e=N \\ \Rightarrow g N g^{-1}=N
अतः ग्रुप G में N एक विशिष्ट उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):5.किसी ग्रुप G का कोई उपसमूह N एक विशिष्ट उपग्रुप होता है यदि और केवल यदि G में N के केवल किन्हीं दो दक्षिण (वाम) समुच्चय का गुणन N का एक दक्षिण(वाम) सहसमुच्चय है।
(A subgroup N of a group G is normal subgroup of G iff the product of two right (left) cosets of N in G is again a right (left) coset of N in G.)
उपपत्ति (Proof):मान लो G का एक विशिष्ट उपग्रुप N है।a, b \in G के लिए
(Na)(Nb)=N(aN)b
=N(Na)b [N एक विशिष्ट उपग्रुप है तथा,Na=aN]
=N(Nab)
=Nab
विलोमत:माना कि N के किन्हीं दो दक्षिण सहसमुच्चयों का गुणन N का G में दक्षिण सहसमुच्चय है।
इसलिए \forall a \in G, N a,Na तथा Na^{-1},G में N के दो दक्षिण सहसमुच्चय हैं तो Na Na^{-1} भी दक्षिण सहसमुच्चय है।
अब a \in Na तथा a^{-1} \in Na^{-1}
\Rightarrow aa^{-1} \in NaNa^{-1} =Nb(माना)

\Rightarrow e \in Nb
परन्तु Ne=N ग्रुप G का दक्षिण सहसमुच्चय है तथा e \in N है।साथ ही हम यह भी जानते हैं कि किसी उपग्रुप के दो दक्षिण सहसमुच्चय या तो सर्वसम हैं या असंयुक्त होते हैं।
अतः NaNa^{-1}=N b=N \forall a \in G \\ n_{1} a n_{2} a^{-1} \in N \forall a \in G ; n_{1}, n_{2} \in n \\ \Rightarrow n_{1}^{-1}\left(n_{1}a n_{2} a^{-1}\right) \in n_{1}^{-1} N \\ \Rightarrow\left(n_{1}^{-1} n_{1}\right)\left(a n_{2}a^{-1}\right) \in N
[चूँकि n_{1} \in N \Rightarrow n_{1}^{-1} \in N \Rightarrow n_{1}^{-1} N=N]

\Rightarrow (e) \left(a n_{2} a^{-1}\right) \in N \Rightarrow a n_{2} a^{-1} \in N \forall a \in G ; n_{2} \in N
N एक विशिष्ट उपग्रुप है।
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2.विशिष्ट उपग्रुप के उदाहरण (Normal Subgroup Examples):

Example:1.यदि H,G का एक उपग्रुप है तथा (If H be a subgroup of G and).N (H)=\left\{g \in G \mid g H g^{-1}=H\right\} तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)
(i)N(H),G का उपग्रुप है (N(H) is a subgroup of G)
(ii)H,N(H) का एक विशिष्ट उपग्रुप है [H is a normal subgroup of N(H)]
(iii)H ⊲ G \Leftrightarrow N(H)=G
Solution:(i)स्पष्टतः N \neq \phi तथा N \subset G 
माना कि A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right], a d-b c=1 \\B =\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right], p s-q r=1 \\ A, B \subset N \\A B =\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right] \left[ \begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}a p+b r & a q+b s \\c p+d r & c q+d s\end{array}\right] \\ |B| =p s-r q \\ adj B =\left[\begin{array}{ll}s & -r \\-q & p\end{array}\right]^{T} \\ =\left[ \begin{array}{ll}s & -q \\-r & p\end{array}\right] \\ B^{-1}=\frac{1}{|B|} \text{adj} B \\=\frac{1}{ps-r q}\left[\begin{array}{cc}s & -q \\-r & p \end{array}\right] \\ =\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc}s & -q \\-r & p\end{array}\right] \\=\left[ \begin{array}{cc}s & -q \\-r & p\end{array}\right] \\A B^{-1} =\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}s & -q \\-r & p\end{array}\right] \\ A B=-\left[\begin{array}{cc}a s-b r& b p-a q \\c s-d r & d p-c q\end{array}\right] \in N \\ A \in H, B \in N \Rightarrow AB^{-1} \in N
फलतः H,G का उपग्रुप है।
(ii)माना A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right] \in G, a d-b c \neq 0 \\ B \in N \\ |A| =a d-b c \\ \text { adj } A =\left[\begin{array}{cc}d & -c \\-b & a\end{array}\right]^{T} \\ =\left[\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a\end{array} \right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} a d j A \\ =\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a \end{array}\right] \\ A B A^{-1} =(A B) A^{-1} \\=\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s \end{array} \right] \frac{1}{a d-bc}\left[\begin{array}{ll} d & -b \\-c & a\end{array}\right]
N,G का उपग्रुप है अतः

A B A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \frac{1}{a d-bc}\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}d & -b \\-c & a\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \frac{1}{a d-b c} \left[\begin{array}{ll}a d-bc & -ab+ab \\c d-c d & -b c+a d\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}p & q \\ r & s\end{array}\right] \frac{1}{a d-bc}\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \frac{1}{a d-b c}\\ =\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \frac{1}{1} \\ A B A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}p & q \\r & s\end{array}\right] \in N
अतः N विशिष्ट उपग्रुप है।
Example:2.माना G वास्तविक संख्याओं पर
=( \left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\0 & d\end{array}\right) ; a d \neq 0\right\},मैट्रिक्स गुणन)
तथा N=( \left\{\left(\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right), b \in R\right\},मैट्रिक्स गुणन)
तो सिद्ध कीजिए कि N,G का एक विशिष्ट उपग्रुप है
(Let G be group all real 2×2 matrices \left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\0 & d\end{array}\right) \right\} where a d \neq 0 under matric multiplication.Let N=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right), b \in R\right\}, Prove that N is a normal subgroup of G.)
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll}1 & b_{1} \\0 & 1\end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{ll}1 & b_{2} \\0 & 1\end{array}\right] \in N, b_{1}, b_{2} \in R \\ |B| =1-0=1 \neq 0 \\\text{adj} B =\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\-b_{2} & 1\end{array}\right]^{T} \\=\left[\begin{array}{cc}1 & -b_{2} \\0 & 1\end{array}\right] \\A B^{-1} =\left[\begin{array}{cc}1 & b_{1} \\0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & -b_{2} \\0 & 1\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{cc}1 & -b_{2}+b_{1} \\0 & 1\end{array}\right] \in N \\ b_{1}-b_{2} \in R
अतः N,G का उपग्रुप है।

A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\0 & d\end{array}\right] \in G, a d \neq 0 \\ |A|=a d \\ \text{adj} A=\left[ \begin{array}{cc}d & 0 \\-b & a\end{array}\right]^{T} \\ =\left[\begin{array}{ll}d & -b \\0 & a\end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text { adj } A \\ =\frac{1}{a d}\left[\begin{array}{ll}d & -b \\0 & a\end{array}\right] \\ A B A^{-1} =\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\0 & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right]\right\} \frac{1}{a d}\left[\begin{array}{ll}d & -b \\0 & a\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right]\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\0 & d\end{array}\right] \frac{1}{a d}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\0 & a\end{array}\right]\right\}
[AB=BA क्योंकि N,G का उपग्रुप है]

=\left[\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right] \frac{1}{a d}\left[\begin{array}{cc}a d & -a b+a b \\0 & a d\end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array} \right] \\ =\left[\begin{array}{ll}1 & b \\0 & 1\end{array}\right] \in N
अतः N,G का विशिष्ट उपग्रुप है।

Example:3.निम्नलिखित में प्रत्येक का उदाहरण दीजिए:
(Give an Example of each of the following):
(i)एक ग्रुप G का उपग्रुप H जो G में विशिष्ट न हो
(A subgroup H of Group G which is normal in G.)
Solution:H=\{(1),(1 \quad 2)\}, S_{3}=\{(1),(1 \quad 2),(1 \quad 2 \quad 3 )\} \\ x_{2}=(1 \quad 2), x_{1} =(1) \\ x_{2} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ x_{1} x_{2}^{-1}=(1)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=(1 \quad 2) \in H \\ x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः H,G का उपग्रुप है।

x_{1}=(1 \quad 2), x_{2}=(1 \quad 2 \quad 3) \\ x_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array} \right) \\ x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ x_{2} x_{1} x_{2}^{-1} =\left( \begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array} \right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\=\left( \begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\2 & 3 & 1\end{array} \right) \\ x_{2} x_{1} x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \end{array} \right) \notin H
अतः H,G में विशिष्ट उपग्रुप नहीं है।
(ii)अक्रमविनिमेय ग्रुप G में उपग्रुप H जो G का विशिष्ट उपग्रुप है।
(A subgroup H of non-abelian group G, which is normal in G.
Solution:H=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\}, \quad S_{3}=\{(1),(1 \quad 2),(1\quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\} \\ A=(1 \quad 2 \quad 3) ; B=(1 \quad 3 \quad 2) \\ A B =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\3 & 2 & 1 \end{array} \right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\  =\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ =(1) \\ B A=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\3 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array} \right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\3 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\3 & 2 & 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 \end{array}\right) \\ A B \neq B A
अतः S_{3} अक्रमविनिमेय ग्रुप है।

A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right) \\ A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\3 & 2 & 1\end{array}\right) \\ B^{-1} =\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\1 & 3 & 2\end{array}\right) \\ A B^{-1} =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 2 &1 \\3 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right) \in H
अतः H,S_{3} का उपग्रुप है।

A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 \end{array}\right) \in S_{3} \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ B =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right)\\ A B A^{-1} =\left( \begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array} \right)\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\2 & 3 & 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3\end{array}\right) \\=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3\end{array}\right) \\ A B A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2\end{array}\right) \in H

अतः H,S_{3} का उपग्रुप है।
Example:4.यदि H किसी ग्रुप G का एक ऐसा उपग्रुप है कि x^{2} \in H \forall x \in G तो सिद्ध करो कि H,G का विशिष्ट उपग्रुप है।
(If H is a subgroup of G such that x^{2} \in H for every x \in G then prove that H is a normal subgroup of G.)
Solution: \forall g \in G, h \in H \Rightarrow g h \in G \Rightarrow(g h)^{2} \in H
साथ ही g \in G \Rightarrow g^{-1} \in G \Rightarrow g^{-2} \in H \\ h \in H \Rightarrow h^{-1} \in H \Rightarrow g^{-2} \in H \\ h \in H \Rightarrow h^{-1} \in H \\ \therefore h^{-1} g^{-2} \cdot \in H
अब (g h)^{2} \in H, h^{-1} g^{-2} \in H \\ \Rightarrow (g h)^{2} \left ( h^{-1}g^{-2} \right ) \in H \\ \Rightarrow g h(ghh^{-1})g^{-2} \in H \\ \Rightarrow g h g g^{-2} \in H \\ \Rightarrow g h g^{-1} \in H \Rightarrow H ⊲ G
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition) को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट उपग्रुप की समस्याएं (Normal Subgroup Problems):

(1.)माना कि G एक ग्रुप है तथा H=\{x \in G \mid x g=g x \forall x \in G\} तो सिद्ध कीजिए कि H,G का एक प्रसामान्य (या विशिष्ट) उपग्रुप है।
(Let G be a group and H=\{x \in G \mid x g=g x \forall x \in G\} Show that H is a normal subgroup of G.)
(2.)यदि H और K किसी समूह के दो विशिष्ट उपसमूह है तो सिद्ध कीजिए कि HK भी समूह G का एक विशिष्ट उपसमूह है।
(If H and K are two normal subgroup of G then HK is also a normal subgroup of G.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1 उदाहरण के साथ सामान्य उपसमूह क्या है? (What is normal subgroup with example?):

उत्तर:एक समूह G के एक उपसमूह N,G के विशिष्ट उपसमूह के रूप में जाना जाता है अगर G में N के हर बाएं सहकुलक (Left coset) G में N के इसी दाएं सहकुलक (Left coset) के बराबर है।यही है,gN=Ng for every g ∈ G।एक समूह G के एक उपसमूह N,G के विशिष्ट उपसमूह के रूप में जाना जाता है,अगर h∈N तो हर एक a∈G aha^{-1}∈G के लिए।

प्रश्न:2.आप एक सामान्य उपसमूह कैसे पाते हैं? (How do you find a normal subgroup?):

उत्तर:एक सामान्य उपसमूह एक उपसमूह है जो मूल समूह (original group) के किसी भी अवयव द्वारा संयुग्मी के तहत निश्चर (invariant under conjugation) है:H विशिष्ट है यदि और केवल यदि G, gHg^{-1}= H किसी भी g∈G के लिए।समान रूप से,G का एक उपसमूह H विशिष्ट है यदि और केवल यदि gH=Hg,G में g∈G के लिए है।

प्रश्न:3.समूह सिद्धांत में एक सामान्य उपसमूह क्या है? (What is a normal subgroup in group theory?):

उत्तर:समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक विशिष्ट उपसमूह, जिसे इनवेरिएंट उपसमूह (invariant subgroup) या विशिष्ट भाजक (normal divisor) के रूप में भी जाना जाता है,समूह G का एक (उचित या अनुचित) उपसमूह H है जो G के सभी अलयवों द्वारा संयुग्मी के तहत निश्चर है (invariant under conjugation)।
G के दो अवयवों,a और a' द्वारा संयुग्मी कहा जाता है,अगर g ∈ G, if a′ = g a g^{-1}

प्रश्न:4.सामान्य उपसमूह से आपका क्या तात्पर्य है? (What do you mean by normal subgroup?):

उत्तर:अमूर्त बीजगणित में, एक विशिष्ट उपसमूह (जिसे एक अपरिवर्तनीय उपसमूह (invariant subgroup) या स्व-युग्मी उपसमूह (self-conjugate subgroup) के रूप में भी जाना जाता है) एक उपसमूह है जो समूह के सदस्यों द्वारा संयुग्मी के तहत अपरिवर्तनीय (invariant under conjugation) है,जिसका यह एक हिस्सा है।

प्रश्न:5.सामान्य उपसमूहों को सामान्य क्यों कहा जाता है? (Why are normal subgroups called normal?):

उत्तर:विस्तार से,"विशिष्ट (normal)" का अर्थ है "कुछ नियमितता (regularity)/क्रम (order) को प्रेरित करना" और इसलिए "कुछ संरचना": भागफल (quotient) में प्रेरित समूह संरचना (group structure) के बारे में सोचें जब उपसमूह (वास्तव में) "विशिष्ट" होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विशिष्ट उपग्रुप (Normal Subgroup),विशिष्ट उपसमूह परिभाषा (Normal Subgroup Definition) के
बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Normal Subgroup

विशिष्ट (या प्रसामान्य) उपग्रुप (Normal Subgroup)

Normal Subgroup

विशिष्ट (या प्रसामान्य) उपग्रुप (Normal Subgroup) परिभाषा:किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का
विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है यदि N g=g N \forall g \in Gअथवा
किसी ग्रुप G का कोई उपग्रुप N,G का विशिष्ट उपग्रुप कहलाता है

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