1.विचरण गुणांक कक्षा 11 (Coefficient of Variation Class 11),विचरण गुणांक (Coefficient of Variation):

Coefficient of Variation Class 11

विचरण गुणांक कक्षा 11 (Coefficient of Variation Class 11) के इस आर्टिकल में दो अथवा अधिक श्रेणियों के विचरण गुणांक ज्ञात करके यह जानने का प्रयास करेंगे कि किस श्रेणी में बिखराव ज्यादा है और कौनसी श्रेणी में स्थिरता अधिक है।
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2.विचरण गुणांक कक्षा 11 के उदाहरण (Coefficient of Variation Class 11 Illustrations):

Illustration:1.निम्नलिखित आँकड़ों से बताइए कि A या B में से किसमें बिखराव है:
\begin{array}{|ccc|} \hline \text { अक } & \text { समूह A } & \text { समूह B} \\ \hline 10-20 & 9 & 10 \\ 20-30 & 17 & 20 \\ 30-40 & 32 & 30 \\ 40-50 & 33 & 25 \\ 50-60 & 40 & 43 \\60-70 & 10 & 15 \\ 70-80 & 9 & 7\\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Variance

समूह A

 \bar{X_1} =A+\frac{\Sigma f_i y_i}{N} \times h \\ =45+\frac{(-6)}{150} \times 10=45-\frac{60}{150} \\ \Rightarrow \bar{X}_1=45-0.4 \\ \bar{X}_1=44.60
प्रसरण (समूह A)

\sigma_1^2=\frac{h^2}{N^2}\left[N \Sigma f_i y_i^2-(\Sigma f_i y_i)^2\right]\\ =\frac{10^2}{(150)^2}\left[150 \times 342-(-6)^2\right] \\ =\frac{100}{22500}[51300-36] \\ =\frac{1}{225} \times 51264 \\ =227.84 \\ \Rightarrow \sigma_1=\sqrt{227.84}=15.094
C.V. (समूह A)=\frac{\sigma_1}{\bar{X}_1} \times 100 \\ =\frac{15.094}{44.60} \times 100 \\ \Rightarrow C.V. (समूह A) 33.84 %
समूह B

\bar{X}_2 =A+\frac{\Sigma f_i y_i}{N} \times h \\=45+\frac{-6}{150} \times 10 \\ =45-\frac{60}{150} \\ \Rightarrow \bar{x}_2=45-0.4 \\ \Rightarrow \bar{X}_2 =44.60
प्रसरण (समूह B)

\sigma_2^2=\frac{h^2}{N^2}\left[N \Sigma f_i y_i^2-(\Sigma f_i y_i)^2\right] \\ =\frac{10^2}{(150)^2}\left[150 \times 366-(-6)^2\right] \\ =\frac{100}{22500}[54900-36] \\ =\frac{1}{225} \times 55864 \\ \sigma_2^2=243.84 \\ \Rightarrow \sigma_2=\sqrt{243.84}=15.615
C.V. (समूह B) =\frac{\sigma_2}{\bar{X}_2} \times 100 \\ =\frac{15.615}{44.60} \times 100 \\ =35.011 \\ \Rightarrow C.V.  (समूह  B)=35.01 %
समूह B में बिखराव अधिक है क्योंकि समूह B का विचरण गुणांक अधिक है।
Illustration:2.शेयरों X और Y के नीचे दिए गए मूल्यों से बताइए कि किस के मूल्यों में अधिक स्थिरता है?

Solution:Calculation Table of Variance

शेयर X
समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{510}{10} \\ \Rightarrow \overline{X}=51
प्रसरण \left(\sigma_1^2\right) =\frac{1}{N} \Sigma (X-\overline{X})^2 \\ =\frac{1}{10} \times 350 \\ \Rightarrow \sigma_1^2 =35 \\ \sigma_1 =5.916 \\ \text {C.V.} =\frac{\sigma_1}{\overline{X}} \times 100=\frac{5.916}{51} \times 100 \\ \Rightarrow \text {C.V.}=11.6 \%
शेयर Y

समान्तर माध्य \overline{Y}=\frac{\Sigma Y}{N} \\ =\frac{1050}{10} \\ \Rightarrow \overline{Y}=105
प्रसरण \left(\sigma_2^2\right)=\frac{1}{N} \Sigma (Y-\overline{Y})^2 \\ =\frac{40}{10}=4 \\ \sigma_2=\sqrt{4} =2 \\ \text {C.V.}=\frac{\sigma_2}{\overline{Y}} \times 100 \\ =\frac{2}{105} \times 100 \\ \Rightarrow \text {C.V.}=1.90 \%
विचरण गुणांक Y का कम है अतः Y में स्थिरता अधिक है।
Illustration:3.एक कारखाने की दो फर्मों A और B,के कर्मचारियों को दिए गए मासिक वेतन के विश्लेषण का निम्नलिखित परिणाम है:
\begin{array}{|ccc|} \hline & \text{ फर्म A } & \text{ फर्म B } \\ \hline \text{वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या}& 586 & 648 \\ \text{मासिक वेतनों का माध्य} & 5253 \text{₹} & 5253 \text{₹} \\ \text{वेतनों के बंटन का प्रसरण} & 100 & 121\\ \hline \end{array}
(i)A और B में से कौनसी फर्म अपने कर्मचारियों को वेतन के रूप में अधिक राशि देती है?
(ii)व्यक्तिगत वेतनों में किस फर्म A या B,में अधिक विचरण है?
Solution:फर्म A में वेतनों के बंटन का प्रसरण \left(\sigma_1^2\right)=100
फर्म A में वेतनों के बंटन का मानक विचलन (\sigma_1)=10
साथ ही फर्म B में वेतनों के बंटन का प्रसरण \left(\sigma_2^2\right)=121
इसलिए फर्म B में वेतनों के बंटन का मानक विचलन \sigma_2=11
(i)फर्म A द्वारा अपने कर्मचारियों को कुल वेतन का भुगतान
=N_1 \times \overline{X}_1
=586 × 5253
=30,78,258 रुपये
फर्म B द्वारा अपने कर्मचारियों को कुल वेतन का भुगतान=
=N_1 \times \overline{X}_2
=648 × 5253
=34,03,944 रुपये
अतः फर्म B द्वारा अधिक वेतन का भुगतान किया जाता है।
(ii)दोनों कारखानों में औसत (माध्य) वेतन समान है अर्थात् 5253 रुपये है,इसलिए बड़े मानक विचलन वाली फर्म में अधिक बिखराव या विचलन होगा।अतः फर्म B में व्यक्तिगत वेतनों में अधिक विचरण है।

Coefficient of Variation Class 11

Illustration:4.टीम A द्वारा एक सत्र में खेले गए फुटबाल मैचों में आँकड़े नीचे दिए गए हैं:
\begin{array}{|ll|} \hline \text{ किए गए गोलों की संख्या  } & \text{ मैचों की संख्या } \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 9 \\ 2 & 7 \\ 3 & 5 \\ 4 & 3 \\ \hline \end{array}
टीम B द्वारा खेले गए मैचों बनाए गए गोलों का माध्य 2 प्रति मैच और गोलों का मानक विचलन 1.25 था।किस टीम को अधिक संगत (consistent) समझा जाना चाहिए?
Solution:Calculation Table of Variance गोलों की संख्या मैचों की संख्या

टीम A
समान्तर माध्य \overline{X}_1=\frac{\Sigma fx}{N}=\frac{50}{25} \\ \Rightarrow \overline{X}_1=2
प्रसरण \left(\sigma_1^2\right)=\frac{1}{N}\left[N \Sigma f_i x_i^2-\left(\Sigma f_i x_i\right)^2\right] \\ =\frac{1}{(25)^2}\left[25 \times 130-(50)^2\right] \\ =\frac{1}{625}[3250-2500] \\=\frac{1}{625} \times 750 \\ \sigma_1^2=1.2 \\ \Rightarrow \sigma_1=1.095
C.V. (टीम A)=\frac{\sigma_1}{\overline{X}_1} \times 100 \\ =\frac{1.095}{2} \times 100 \\ \Rightarrow \text{C.V. (टीम A)}=54.75 \%
टीम B

\overline{X}_2= 2 \\ \sigma_2 =1.25
C.V. (टीम B) =\frac{\sigma_2}{\overline{X}_2} \times 100 \\=\frac{1.25}{2} \times 100 \\ \Rightarrow \text{C.V. (टीम B)} =62.5 \%
टीम A का C.V. (विचरण गुणांक) कम है अतः टीम A अधिक संगत है।
Illustration:5.पचास वनस्पति उत्पादों की लम्बाई x (सेमी में) और भार y (ग्राम में) के योग और वर्गों के योग नीचे दिए गए हैं:

\overset{50}{\underset{i=1}{\sum}} x_i=212 , \overset{50}{\underset{i=1}{\sum}} x_i^2=902.8, \overset{50}{\underset{i=1}{\sum}} y_i=261, \overset{50}{\underset{i=1}{\sum}} y_i^2=1457.6
लम्बाई या भार में किसमें अधिक विचरण है?
Solution:लम्बाई
समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\overset{50}{\underset{i=1}{\sum}} x_i}{N} \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{212}{50}=4.24
प्रसरण \left(\sigma_1^2\right)=\frac{1}{N^2}\left[N \Sigma x_i^2-\left(\Sigma x_i\right)^2\right] \\ =\frac{1}{(50)^2}\left[50 \times 902.8-(212)^2\right] \\ =\frac{1}{2500}[45140-44944] \\ =\frac{1}{2500} \times 196 \\ =0.0784 \\ \Rightarrow \sigma_1^2=0.0784 \\ \Rightarrow \sigma=0.28
C.V. (लम्बाई) =\frac{\sigma_1}{\overline{X}} \times 100 \\=\frac{0.28}{4.24} \times 100 \\ \Rightarrow \text{ C.V. (लम्बाई)  }=6.60 \%
भार
समान्तर माध्य \overline{Y}=\frac{\sum_{i=1}^{50} y_i}{N} \\ \Rightarrow \overline{Y}=\frac{261}{50}=5.22
प्रसरण \left(\sigma_2^2\right)=\frac{1}{N^2}\left[N \Sigma y_i^2-\left(\Sigma y_i\right)^2\right] \\ =\frac{1}{(50)^2}\left[50 \times 1457.6-(261)^2\right] \\ =\frac{1}{2500}[72880-68121] \\=\frac{1}{2500} \times 459 \\=0.1836 \\ \Rightarrow \sigma_2=0.428
C.V. (भार) =\frac{\sigma_2}{\overline{Y}} \times 100 \\ =\frac{0.428}{5.22} \times 100 \\ =8.20 \%
विचरण गुणांक भार का अधिक है अतः भार में अधिक विचरण है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विचरण गुणांक कक्षा 11 (Coefficient of Variation Class 11),विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) को समझ सकते हैं।

3.विचरण गुणांक कक्षा 11 के सवाल (Coefficient of Variation Class 11 Questions):

Coefficient of Variation Class 11

(1.)निम्न आँकड़ों से विचरण गुणांक की गणना कीजिए:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{ वर्ग } & \text{ बारम्बारता } \\ \hline 0-2 & 2 \\ 2-4 & 5 \\ 4-6 & 15 \\ 6-8 & 7 \\ 8-10 & 1 \\ \hline \end{array}
(2.)निम्नलिखित बंटन का विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर (Answers):(1.)C.V.=36 (2.)C.V.=24.2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विचरण गुणांक कक्षा 11 (Coefficient of Variation Class 11),विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विचरण गुणांक कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Coefficient of Variation Class 11),विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विचरण गुणांक कक्षा 11 (Coefficient of Variation Class 11) के इस आर्टिकल में दो
अथवा अधिक श्रेणियों के विचरण गुणांक ज्ञात करके यह जानने का प्रयास करेंगे कि
किस श्रेणी में बिखराव ज्यादा है और कौनसी श्रेणी में स्थिरता अधिक है।