1.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometry Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11):

Trigonometry Ratio of Compound Angles

संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometry Ratio of Compound Angles) के इस आर्टिकल में संयुक्त कोणों (A+B),(A-B) आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Trigonometry Ratio of Compound Angles):

सिद्ध कीजिए: (प्रश्न 1-8)
Example:1. \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ}=\frac{1}{16}
Solution: \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ}=\frac{1}{16} \\ \text { L.H.S. } \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left(2 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}\right) \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(20^{\circ}+40^{\circ}\right) +\cos \left(20^{\circ}-40^{\circ}\right) \times \frac{1}{2} \cos 80^{\circ}\right. \\ =\frac{1}{4}\left(\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ}\right) \cos 80^{\circ} \\ =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\cos 20^{\circ}\right) \cos 80^{\circ} \\ =\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \cos 80^{\circ}+\cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ}\right) \\ =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} \cos 80^{\circ}+\frac{1}{2} \times 2 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ}\right) \\ =\frac{1}{8}\left[\cos 80^{\circ}+\cos \left(20^{\circ}+80^{\circ}\right)+\cos \left(20^{\circ}-80^{\circ}\right)\right] \\ =\frac{1}{8}\left[\cos 80^{\circ}+\cos 100^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right] \\ =\frac{1}{8}\left[\cos 80^{\circ}+\cos \left(180^{\circ}-80^{\circ}\right)+\cos 60^{\circ}\right] \\ =\frac{1}{8}\left[\cos 80^{\circ}-\cos 80^{\circ}+\frac{1}{2}\right] \\ =\frac{1}{16}= R.H.S.
Example:2. \tan 20^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ}=1
Solution: \tan 20^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ}=1 \\ \text { L.H.S. } \tan 20^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ} \\ =\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} \cdot \frac{\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}} \cdot \frac{\sin 80^{\circ}}{\cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\left(\sin 20^{\circ} \sin 30^{\circ}\right)\left(2 \sin 40^{\circ} \sin 80^{\circ} \right)}{\left( \cos 20^{\circ} \cos 30^{\circ}\right)\left(2 \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}\right)} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\cos \left(40^{\circ}-80^{\circ} \right) -\cos \left(40^{\circ}+80^{\circ}\right)}{\cos \left(40^{\circ}+80^{\circ}\right)+\cos \left(40^{\circ}-80^{\circ} \right)} \\=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\cos 40^{\circ}-\cos 120^{\circ}}{\cos 120^{\circ}+\cos 40^{\circ}} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\left[\cos 40^{\circ}-\cos \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)\right]}{\left[\cos \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)+\cos 40^{\circ}\right]} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\left[\cos 40^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right]}{\left[-\cos 60^{\circ}+\cos 40^{\circ}\right]} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cos 40^{\circ}+\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos 40^{\circ}\right)} \\ =\frac{2}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\left(2 \cos 40^{\circ} \sin 20^{\circ}+\sin 20^{\circ}\right)}{\left(-\cos 20^{\circ}+2 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}\right)} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\left[\sin \left(40^{\circ}+ 20^{\circ}\right)-\sin \left(40^{\circ}+20^{\circ}\right)+\sin 20^{\circ}\right]}{\left[-\cos 20^{\circ}+\cos \left(20^{\circ}+40^{\circ}\right)+\cos \left(20^{\circ}-40^{\circ}\right)\right]} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\left(\sin 60^{\circ}-\sin 20^{\circ}+\sin 20^{\circ}\right)}{\left(-\cos 20^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ}\right)} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \tan 60^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}=1=R.H.S.
Example:3. \frac{\cos 3 A+2 \cos 5 A+\cos 7 A}{\cos A+2 \cos 3 A+\cos 5 A}=\frac{\cos 5 A}{\cos 3 A}
Solution: \frac{\cos 3 A+2 \cos 5 A+\cos 7 A}{\cos A+2 \cos 3 A+\cos 5 A}=\frac{\cos 5 A}{\cos 3 A} \\ \text{L.H.S.} \frac{\cos 3 A+2 \cos 5 A+\cos 7 A}{\cos A+2 \cos 3 A+\cos 5 A} \\ =\frac{\cos 3 A+\cos 7 A+2 \cos 5 A}{\cos A+\cos 5 A+2 \cos 3 A} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{3 A-7A}{2}\right) \cos \left(\frac{3 A+7 A}{2}\right)+2 \cos 5 A}{2 \cos \left(\frac{A-5 A}{2}\right) \cos \left(\frac{A+5 A}{2}\right)+2 \cos 3 A}\\ =\frac{2 \cos 2 A \cos 5 A+2 \cos 5 A}{2 \cos 2 A \cos 3 A+2 \cos 3 A} \\ =\frac{(2 \cos 2 A+2) \cos 5 A}{(2 \cos 2 A+2) \cos 3 A} \\ =\frac{\cos 5 A}{\cos 3 A}= R.H.S.
Example:4. \frac{\sin 3 A+\sin 5 A+\sin 7 A+\sin 9 A}{\cos 3 A+\cos 5 A+\cos 7 A+\cos 9 A}=\tan 6 A
Solution: \frac{\sin 3 A+\sin 5 A+\sin 7 A+\sin 9 A}{\cos 3 A+\cos 5 A+\cos 7 A+\cos 9 A}=\tan 6 A \\ \text { L.H.S } \frac{\sin 3 A+\sin 5 A+\sin 7 A+\sin 9 A}{\cos 3 A+\cos 5 A+\cos 7 A+\cos 9 A} \\ =\frac{\sin 3 A+\sin 9 A+\sin 5 A+\sin 7 A}{\cos 3 A+\cos 9 A+\cos 5 A+\cos 7 A} \\ =\frac{2 \sin \left(\frac{3 A+9 A}{2}\right) \cos \left(\frac{3 A-9 A}{2}\right)+2 \sin \left(\frac{5 A+7 A}{2}\right)\cos \left(\frac{5 A-7 A}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{3 A+9 A}{2}\right) \cos \left(\frac{3 A-9 A}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{5 A+7 A}{2}\right) \cos \left(\frac{5 A-7 A}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin 6 A \cos 3 A+2 \sin 6 A \cos A}{2 \cos 6 A \cos 3 A+2 \cos 6 A \cos A} \\ =\frac{\sin 6 A(2 \cos 3 A+2 \cos A)}{\cos 6 A(2 \cos 3 A+2 \cos A)} \\ =\tan 6 A=L.H.S.
Example:5. \frac{\sin (A+B)-2 \sin A+\sin (A-B)}{\cos (A+B)-2 \cos A+\cos (A-B)}=\tan A
Solution: \frac{\sin (A+B)-2 \sin A+\sin (A-B)}{\cos (A+B)-2 \cos A+\cos (A-B)}=\tan A \\ \text{L.H.S.} \frac{\sin (A+B)-2 \sin A+\sin (A-B)}{\cos (A+B)-2 \cos A+\cos (A-B)} \\ =\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)-2 \sin A}{\cos (A+B)+\cos (A-B)-2 \cos A} \\ =\frac{2 \sin A \cos B-2 \sin A}{2 \cos A \cos B-2 \cos A} \\ =\frac{\sin A(2 \cos B-2)}{\cos A(2 \cos B-2)}=\frac{\sin A}{\cos A} \\ =\tan A=R.H.S.
Example:6. \frac{\cos 2 A \cos 3 A-\cos 2 A \cos 7 A+\cos A \cos 10 A}{\sin 4 A \sin 3 A-\sin 2 A \sin 5 A+\sin 4 A \sin 7 A}=\frac{\cot 6 A}{\cot 5A}
Solution: \frac{\cos 2 A \cos 3 A-\cos 2 A \cos 7 A+\cos A \cos 10 A}{\sin 4 A \sin 3 A-\sin 2 A \sin 5 A+\sin 4 A \sin 7 A}=\frac{\cot 6 A}{\cot 5A} \\ \text { L.H.S. } \frac{\cos 2 A \cos 3 A-\cos 2 A \cos 7 A+\cos A \cos 10 A}{\sin 4 A \sin 3 A-\sin 2 A \sin 5 A+\sin 4 A \sin 7 A} \\ =\frac{2 \cos 2 A \cos 3 A-2 \cos 2 A \cos 7 A+2 \cos A \cos 10 A}{2 \sin 4A \sin 3 A-2 \sin 2 A \sin 5 A+2 \sin 4 A \sin 7 A} \\ =\frac{\cos (2 A+3 A)+\cos (3 A-2 A)-[\cos (2 A+7 A)+\cos (7 A-2 A)]+2 \cos A \cos 10 A}{\cos (4 A-3 A)-\cos (4 A+3 A)-2 \sin 2 A \sin 5 A+\cos (4 A-7 A)-\cos (4 A+7 A)} \\ =\frac{\cos (5 A)+\cos A-(\cos 9 A+\cos 5 A)+2 \cos A \cos 10 A}{\cos A-\cos 7 A-2 \sin 2 A \sin 5 A +\cos 3 A-\cos 11 A} \\ =\frac{\cos A-\cos 9 A+2 \cos A \cos 10 A}{\cos A-\cos 11 A+\cos 3 A-\cos 7 A-2 \sin 2 A +\sin 5A} \\ =\frac{\cos A-\cos9A+2 \cos A\left(2 \cos ^2 5 A-1\right)}{2 \sin \left(\frac{A+11 A}{2}\right) \sin \left(\frac{11 A-A}{2}\right)+2 \sin \left(\frac{3 A+7 A}{2}\right) \sin \left(\frac{7 A-3 A}{2}\right)-2 \sin 2 A \sin 5 A} \\ =\frac{\cos A-\cos 9 A+4 \cos A \cos ^2 5 A-2 \cos A}{2 \sin 6 A \sin 5 A+2 \sin 5 A \sin 2 A-2 \sin 2 A \sin 5 A} \\ =\frac{-\cos A-\cos 9 A+4 \cos A \cos ^2 5 A}{2 \sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{-2 \cos \left(\frac{A+9 A}{2}\right) \cos \left(\frac{9 A-A}{2}\right)+4 \cos A \cos ^2 5 A}{2 \sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{-2 \cos 5 A \cos 4 A+4 \cos A \cos ^2 5 A}{2 \sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{2 \cos 5 A(2 \cos A \cos 5 A-\cos 4 A)}{2 \sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{\cos 5 A[\cos (A+5 A)+\cos (5 A-A)-\cos 4 A]}{\sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{\cos 5 A(\cos 6 A+\cos 4 A-\cos 4 A)}{\sin 6 A \sin 5 A} \\ =\frac{\cos 6 A \cos 5 A}{\sin 6 A \sin 5 A}=\cot 6 A \cot 5 A =R.H.S.
Example:7. \frac{\cos 8 A \cos 5 A-\cos 12 A \cos 9 A}{\sin 8 A \cos 5 A+\cos 12 A \sin 9 A}=\tan 4 A
Solution:\frac{\cos 8 A \cos 5 A-\cos 12 A \cos 9 A}{\sin 8 A \cos 9 A+\cos 12 A \sin 9 A}=\tan 4 A \\ \text { L.H.S. } \frac{\cos 8 A \cos 5 A-\cos 12 A \cos 9 A}{\sin 8 A \cos 5 A+\cos 12 A \sin 9 A} \\ =\frac{2 \cos 8 A \cos 5 A-2 \cos 12 A \cos 9 A}{2 \sin 8 A \cos 5 A+2 \cos 12 A \sin 9 A}\\= \frac{\cos (8 A+5 A)+\cos (8 A-5 A)-[\cos (12 A+9 A)+\cos (12 A-9 A)]}{ \sin (8 A+5 A)+\sin (8 A- 5A)+\sin (12 A+9 A) -\sin (12 A-9 A)} \\ =\frac{\cos 13 A+\cos 3 A-\cos 21 A-\cos 3 A}{\sin 13 A+\sin 3 A+\sin 21 A-\sin 3 A} \\ =\frac{\cos 13 A-\cos 21 A}{\sin 13 A+\sin 21 A} \\ =\frac{2 \sin \left(\frac{13 A+21 A}{2}\right) \sin \left(\frac{21 A-13 A}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{13 A+21 A}{2}\right) \cos \left(\frac{13 A-21 A}{2}\right)} \\ =\frac{\sin 17 A \sin 4 A}{\sin 17 A \cos 4 A}=\tan 4 A=R.H.S 

Trigonometry Ratio of Compound Angles

Example:8(i). (\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 =4 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
Solution: (\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2=4 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\\ \text { L.H.S. }(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin \alpha+\sin \beta)^2 \\=\cos ^2 \alpha +\cos ^2 \beta +2 \cos \alpha \cos \beta+\sin ^2 \alpha+\sin ^2 \beta+2 \sin \alpha \sin \beta \\ =\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \beta+\cos ^2 \beta+2 ( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ) \\ =1+1+2 \cos (\alpha-\beta) \\ =2+2 \cos (\alpha-\beta) \\ =2[1+\cos (\alpha-\beta)] \\ =2\left[1+2 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-1\right] \\ =4 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=R.H.S. 
Example:8(ii). (\cos \alpha-\cos \beta)^2+(\sin \alpha-\sin \beta)^2 =4 \sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
Solution: (\cos \alpha-\cos \beta)^2+(\sin \alpha-\sin \beta)^2=4 \sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } (\cos \alpha-\cos \beta)^2+(\sin \alpha-\sin \beta)^2 \\ =\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta-2 \cos \alpha \cos \beta+\sin ^2 \alpha+\sin ^2 \beta -2 \sin \alpha \sin \beta \\ = \sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \beta+\cos ^2 \beta-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta) \\ =1+1-2 \cos (\alpha-\beta) \\ =2[1-\cos (\alpha-\beta)] \\ =2\left[1-1+2 \sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\right] \\ =4 \sin ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=R.H.S. 
Example:8(iii). \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma+ \cos (\alpha+\beta+\gamma)=4 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\gamma+\alpha}{2}\right)
Solution: \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma+\cos (\alpha+\beta+\gamma) \\=4 \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\gamma+\alpha}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma+\cos (\alpha+\beta+\gamma) \\ =2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta+ \gamma +\gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha+\beta+\gamma-\gamma}{2}\right) \\ =2 \cos \left( \frac{\alpha+ \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta+2 \gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \left[\cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\cos \left(\frac{\alpha+\beta+2 \gamma}{2}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot 2 \cos \left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta+2 \gamma}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta+2 \gamma}{2}}{2}\right) \\ =4 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta +\gamma}{2}\right)=R.H.S.
Example:9.यदि A+B=225° हो,तो सिद्ध कीजिए कि \frac{\cot A}{(1+\cot A)} \cdot \frac{\cot B}{(1+\cot B)}=\frac{1}{2}
Solution: \frac{\cot A}{(1+\cot A)} \cdot \frac{\cot B}{(1+\cot B)}=\frac{1}{2}\\ A+B=225^{\circ} \Rightarrow B=225^{\circ}-A रखने परः
\frac{\cot A}{(1+\cot A)} \cdot \frac{\cot \left(225^{\circ}-A\right)}{1+\cot \left(225^{\circ}-A\right)} \\ =\frac{\cot A}{(1+\cot A)} \cdot \frac{\cot \left(180^{\circ}+45^{\circ}-A\right)}{1+\cot \left(180^{\circ} +45^{\circ} -A\right)} \\ =\frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\cot \left(45^{\circ}-A\right)}{1+\cot \left(45^{\circ}-A\right)} \\ =\frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\frac{\cot 45^{\circ} \cot A+1}{\cot A - \cot 45^{\circ}}}{1+\frac{\cot 45^{\circ} \cot A+1}{\cot A-\cot 45^{\circ}}} \\=\frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\left(\frac{1+\cot A}{\cot A-1}\right)}{\left(1+\frac{1+\cot A}{\cot A-1}\right)} \\ =\frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{\frac{1+\cot A}{\cot A-1}}{\frac{\cot A-1+1+\cot A}{\cot A-1}} \\ =\frac{\cot A}{1+\cot A} \cdot \frac{1+\cot A}{2 \cot A}=\frac{1}{2}=R.H.S.
Example:10.यदि \tan A+\tan B=a एवं \cot A+\cot B=b हो,तो सिद्ध कीजिए:
\cot (A+B)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}
Solution: \cot (A+B)=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \\ \text { L.H.S. } \cot (A+B) \\ =\frac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B} \\ \frac{\frac{1}{\tan A} \frac{1}{\tan B}-1}{b} \cdots(1)
तथा \cot A+\cot B=b \\ \frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B} =b \\ \frac{\tan A+\tan B}{\tan A \tan B}=b \\ \frac{a}{\tan A \tan B}=b \\ \Rightarrow \tan A \tan B=\frac{a}{b} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
\frac{\frac{1}{\frac{a}{b}}-1}{b}=\frac{\frac{b}{a}-1}{b} \\ =\left(\frac{b}{a}-1\right) \times \frac{1}{b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=R.H.S. 
Example:11.यदि \sin A+\sin B=a एवं \cos A+\cos B=b हो,तो सिद्ध कीजिए:
Example:11(i). \sin (A+B)=\frac{2 a b}{a^2+b^2}
Solution: \sin (A+B)=\frac{2 a b}{a^2+b^2} \\ a^2+b^2=(\sin A+\sin B)^2+(\cos A+\cos B)^2 \\ =\sin ^2 A+\sin ^2 B+2 \sin A \sin B+\cos ^2 A +\cos ^2 B+2 \cos A \cos B \\ =\sin ^2 A+\cos ^2 A+\sin ^2 B+\cos ^2 B+2(\sin A \sin B+\cos A \cos B) \\ =1+1+2 \cos (A-B) \\ =2(1+\cos (A-B)] \\ \Rightarrow a^2+b^2=2[1+\cos (A-B)] \cdots(1) \\ 2 a b=2(\sin A+\sin B)(\cos A+\cos B) \\ =2(\sin A \cos A+\sin B \cos B+\sin A \cos B+\cos A \sin B) \\ =2 \sin A \cos A+2 \sin B \cos B+2 \sin (A+B) \\ =\sin 2 A+\sin 2 B+2 \sin (A+B) \\ =2 \sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)+2 \sin (A+B) \\ =2 \sin (A+B) \cos (A-B)+2 \sin (A+B) \\ =2 \sin (A+B)[1+\cos (A-B)] \\ \Rightarrow 2 a b=2 \sin (A+B)[1+\cos (A-B)] \cdots(2)
समीकरण (2) में (1) का भाग देने परः
\frac{2 \sin (A+B)[1+\cos (A-B)]}{2[1+\cos (A-B)]}=\frac{2 a b}{a^2+b^2} \\ \sin (A+B)=\frac{2 a b}{a^2+b^2}
Example:11(ii). \cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}
Solution: \cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2} \\ b^2-a^2=(\cos A+\cos B)^2-(\sin A+\sin B)^2 \\ =\cos ^2 A+\cos ^2 B+2 \cos A \cos B-\sin ^2 A -\sin ^2 B-2 \sin A \sin B \\ =\cos ^2 A-\sin ^2 A+\cos ^2 B-\sin ^2 B +2(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \\ =\cos 2 A+\cos 2 B+2 \cos (A+B) \\=2 \cos \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)+2 \cos (A+B) \\=2 \cos (A+B) \cos (A-B)+2 \cos (A+B) \\ =2 \cos (A+B)[1+\cos (A-B)] \\ \Rightarrow b^2-a^2=2 \cos (A+B)[1+\cos (A-B)] \cdots(3)
समीकरण (3) में (1) का भाग देने पर:
\frac{2 \cos (A+B)[1+\cos (A-B)]}{2[1+\cos (A-B)]}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2} \\ \Rightarrow \cos (A+B)=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometry Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) को समझ सकते हैं।

3.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित सवाल (Questions Based on Trigonometry Ratio of Compound Angles):

Trigonometry Ratio of Compound Angles

(1.)सिद्ध कीजिए कि
\frac{\sin (A-C)+2 \sin A+\sin (A+C)}{\sin (B-C)+2 \sin B+\sin (B+C)}=\frac{\sin A}{\sin B}
(2.)यदि A,B एवं C समान्तर श्रेढ़ी में हो,तो सिद्ध कीजिए
\cot B=\frac{\sin A-\sin C}{\cos C-\cos A}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometry Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometry Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometry Ratio of Compound Angles) के
इस आर्टिकल में संयुक्त कोणों (A+B),(A-B) आदि पर आधारित सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।