1.कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume in Class 9th),पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume):

Surface Area and Volume in Class 9th

कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume in Class 9th) के इस आर्टिकल में ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बारे में अध्ययन करने के लिए कुछ वस्तुनिष्ठ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Surface Area and Volume in Class 9th):

Example:1.एक बेलनाकार बोतल का व्यास 10 सेमी है।यदि उसमें 14 सेमी ऊँचाई तक द्रव भरा हो,तो द्रव का आयतन है:
(a) 1200 घनसेमी (b) 1100 घनसेमी (c) 1500 घनसेमी (d)1150 घनसेमी
Solution: r=\frac{10}{2}=5 सेमी,h=14 सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 14=1100 घनसेमी
विकल्प (b) सही है।
Example:2.सीसे के एक घन की कोर 11 सेमी है।घन को पिघलाकर 1 सेमी व्यास की गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?
(a) 2541 (b) 2154 (c) 5245 (d) 1245
Solution:घन का आयतन=\text{ भुजा }^3 \\ =11^3=1331
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{11}{21}
गोलियों की संख्या=\frac{\text{घन का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} \\ =\frac{1331}{\frac{11}{21}}=1331 \times \frac{21}{11} \\ =2541
विकल्प (a) सही है।
Example:3.14 सेमी भुजा के एक घन से एक बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है।शंकु का आयतन है:
(a) 766.18 घन सेमी (b) 817.54 घन सेमी (c) 1232 घन सेमी (d) 718.66 घन सेमी
Solution: r=\frac{14}{2}=7 सेमी , h=14 सेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 14=\frac{2156}{3} \\ \approx 718.66 घन सेमी
विकल्प (d) सही है।
Example:4.यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है,तो उनके आयतन का अनुपात हैः
(a) 7:8 (b) 8: 27 (c) 4: 9 (d) 1: 27
Solution:माना दोनों गोलों की त्रिज्याएँ=2x,3x
दो गोलों के आयतनों में अनुपात
=\frac{4}{3} \pi r_1^3 : \frac{\pi}{3} \pi r_2^3 \\ =r_1^3: r_2^3 \\ =(2 x)^3:(3 x)^3 \\ =8 x^3: 27 x^3=8: 27
विकल्प (b) सही है।
Example:5.यदि दो बेलनों की त्रिज्याओं में अनुपात 2:3 और ऊँचाइयों में अनुपात 3:4 है,तो उनके आयतनों में अनुपात होगा:
(a) 2: 1 (b)3: 1 (c)1: 3 (d) 1: 2
Solution:माना दो बेलनों की त्रिज्याएँ r_1=2 x, r_2=3 x
तथा ऊँचाईयाँ h_1=3 y, h_2=4 y
दोनों बेलनों के आयतनों में अनुपात
=\pi r_2^2 h_1: \pi r_2^2 h_2 \\ =(2 x)^2 \times 3 y:(3 x)^2 \times 4 y \\ =4 x^2 \times 3 y: 9 x^2 \times 4 y \\ =12 x^2 y: 36 x^2 y \\ =1: 3
विकल्प (c) सही है।
Example:6.यदि दो शंकुओं की त्रिज्याओं में अनुपात 3:1 और ऊँचाइयों में अनुपात 1:3 है,तो उनके आयतनों में अनुपात होगा:
(a) 2:1 (b) 3: 1 (c) 1:3 (d) 1: 2
Solution:माना दो शंकुओं की त्रिज्याएँ क्रमशः
r_1=3 x, r_2=x
तथा ऊँचाईयाँ
h_1=y, h_2=3 y
दोनों शंकुओं के आयतनों में अनुपात
=\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 : \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 \\ =(3 x)^2 \times y : x^2 \times 3 y \\ =9 x^2 y : 3 x^2 y \\ =3: 1
विकल्प (b) सही है।
Example:7.यदि एक बेलन की ऊँचाई 11 सेमी और वक्र पृष्ठ 968 वर्गसेमी है,तो बेलन की त्रिज्या है
(a) 3 सेमी (b) 7 सेमी (c) 3.5 सेमी (d) 14 सेमी
Solution:बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r h=968 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 11=968 \\ \Rightarrow r=\frac{968 \times 7}{2 \times 22 \times 11}=\frac{6776}{484} \\ \Rightarrow r=14
विकल्प (d) सही है।
Example:8.9 सेमी त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई के शंकु बनाये जा सकने वाले शंकुओं की संख्या है:
(a) 54 (b) 45 (c) 55 (d) 44
Solution:गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \pi \times 9^3 \\ =972 \pi
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \pi \times 3 \times 3 \times 6 \\ =18 \pi
शंकुओं की संख्या=\frac{\text{गोले का आयतन}}{\text{एक शंकु का आयतन}} \\ =\frac{972 \pi}{18 \pi}=54
विकल्प (a) सही है।

Surface Area and Volume in Class 9th

Example:9.एक शंकु,अर्द्धगोला और बेलन एक ही आधार और ऊँचाई पर बने हैं।उनके आयतनों का अनुपात होगाः
(a) 2: 1: 3 (b) 1: 2: 3 (c) 3: 1: 2 (d) 1: 3: 2
Solution:शंकु की ऊँचाई h_1=बेलन की ऊँचाई h_2=गोले की त्रिज्या=r
शंकु का आयतन:अर्द्धगोले का आयतन:बेलन का आयतन
\frac{1}{3} \pi r^2 h_1 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \pi r^2 h_2 \\ \Rightarrow r^2(r): 2 r^3: 3 r^2(r) \left[\because h_1=h_2=r\right] \\ \Rightarrow r^3 : 2 r^3 : 3 r^3 \\ \Rightarrow 1: 2: 3
विकल्प (b) सही है।
Example:10.एक शंकु और एक गोलार्द्ध का आधार और आयतन समान है उनकी ऊँचाईयों का अनुपात होगा:
(a) 1: 3 (b) 1: 2 (c) 2: 3 (d) 2: 1
Solution:शंकु का आयतन=गोलार्द्ध का आयतन
\Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{2}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow h=2 r \\ \Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{2}{1} \\ \Rightarrow h: r=2: 1
विकल्प (d) सही है।
Example:11.एक घन का आयतन 343 घनसेमी है।घन के एक पृष्ठ का क्षेत्रफल है:
(a)7 \text{सेमी}^2 (B) 14 \text{सेमी}^2 (c) 49 \text{सेमी}^2 (d) 249 \text{सेमी}^2
Solution:घन का आयतन= \text { भुजा }^3 =343 \\ \Rightarrow \text { भुजा }^3=7^3 \\ \Rightarrow \text {भुजा }=7
घन के एक पृष्ठ का क्षेत्रफल = \text { भुजा }^2 \\ =7^2 =49
विकल्प (c) सही है।
Example:12.एक बेलन का वक्रपृष्ठ 528 वर्गसेमी तथा ऊँचाई 14 सेमी है।बेलन की त्रिज्या है:
(a) 6 सेमी (b) 5 सेमी (c)4 सेमी (d) 3 सेमी
Solution:बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल=2 \pi r h=528 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14=528 \\ \Rightarrow r=\frac{528 \times 7}{2 \times 22 \times 14}=\frac{3696}{616} \\ \Rightarrow r=6
विकल्प (a) सही है।
Example:13.धातु के एक बेलन की त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।इसे पिघला कर एक शंकु बनाया जाता है जिसकी त्रिज्या बेलन की त्रिज्या के समान है,तो उस शंकु की ऊँचाई हैः
(a) 28 सेमी (b) 21 सेमी (c) 14 सेमी (d) 7 सेमी
Solution:माना शंकु की ऊँचाई= h_1
बेलन का आयतन=शंकु का आयतन
\Rightarrow \pi r^2 h=\frac{1}{3} \pi r^2 h_1 \\ \Rightarrow 7=\frac{1}{3} h_1 \\ \Rightarrow h_1=21 सेमी
विकल्प (b) सही है।
Example:14.यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:3 है,तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात है:
(a) 1: 3(b) 1: 6 (c) 1: 9 (d) 1: 27
Solution:माना दो गोलों की त्रिज्याएँ
r_1=x, r_2=3 x
दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात
=4 \pi r_1^2 : 4 \pi r_2^2 \\ =r_1^2 : r_2^2 \\ =(x)^2 : (3 x)^2 =x^2 : 9 x^2 \\ =1 : 9
विकल्प (c) सही है।
Example:15.दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 तथा उनकी ऊँचाईयों का अनुपात 3:4 है,तो उनके आयतनों का अनुपात होगाः
(a) 1: 2 (b) 1: 3 (c) 2: 1 (d) 3: 1
Solution:माना दो बेलनों की त्रिज्याएँ
r_1=2 x, r_2=3 x
तथा उनकी ऊँचाईयाँ
\Rightarrow h_1=3 y, h_2=4 y
दोनों बेलनों के आयतनों में अनुपात
=\pi r_1^2 h_1^2 : \pi r_2^2 h_2^2 \\ =r_1^2 h_1^2: r_2^2 h_2^2 \\ =(2 x)^2 \times 3 y:(3 x)^2 \times 4 y \\ =4 x^2 \times 3 y: 9 x^2 \times 4 y \\ =12 x^2 y:36 x^2 y \\ =1: 3
विकल्प (b) सही है।
Example:16.एक घन की कोर 5 सेमी है,इसके विकर्ण की लम्बाई हैः
(a) 15 सेमी (b) 25 \sqrt{3} सेमी (c) 5 \sqrt{3} सेमी (d) 15 \sqrt{3} सेमी
Solution:घन के विकर्ण की लम्बाई=\sqrt{3} भुजा
=\sqrt{3} \times 5=5 \sqrt{3}
विकल्प (c) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume in Class 9th),पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन पर आधारित सवाल (Questions Based on Surface Area and Volume in Class 9th):

Surface Area and Volume in Class 9th

(1.)14 सेमी भुजा के घन से एक बड़े से बड़ा शंकु काटा जाता है।इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। (लीजिए)
(2.)10 मीटर लम्बे 8 मीटर चोड़े और 6 मीटर ऊँचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है?
उत्तर (Answers):(1.)718.66 वर्ग सेमी (2.)14.14 मी.
उपर्युक्त सवालों को हल करके पर कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume in Class 9th),पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की महत्त्वपूर्ण बातें (HIGHLIGHTS of Surface Area and Volume in Class 9th):

(1.)क्षेत्रफल:ठोस आकृतियों के प्रत्येक पृष्ठ के क्षेत्रफलों का योग ठोस आकृतियों का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है।
(2.)आयतन:किसी ठोस आकृति को किसी पदार्थ से आंशिक या पूर्ण रूप से भरा जाए तो भरा गया पदार्थ उस ठोस आकृति का आयतन कहलाता है।
(3.)समान क्षेत्रफल के वर्गों से निर्मित बंद आकृति को ही घन कहते हैं।घन के छः पृष्ठ,बारह कोरें (भुजा) तथा आठ शीर्ष होते हैं।
(4.)आमने सामने के समान क्षेत्रफल वाले पृष्ठों से बनी आकृति घनाभ कहलाती है।घनाभ की संरचना भी घन के समान ही होती है।परन्तु घनाभ के केवल आमने सामने के पृष्ठों का ही क्षेत्रफल समान होता है।
(5.)बेलन वह आकृति है,जिससे नीचे और ऊपर के दो पृष्ठ समतल होते हैं जो वृत्ताकार एवं समान त्रिज्या के होते हैं तथा इनके केन्द्र को मिलाने वाली रेखा वृत्तों पर लम्ब होती है।अतः यह बेलन लम्बवृत्तीय बेलन कहलाता है।
(6.)शंकुःलम्बवृत्तीय बेलन का कटा हुआ,एक तिहाई भाग जिसके शीर्ष को आधार के केन्द्र से मिलाने वाली रेखा आधार पर लम्ब होती है।शंकु कहलाता है।शंकु का आधार वृत्ताकार होता है।शंकु की ऊँचाई,तिर्यक ऊँचाई तथा आधार की त्रिज्या को क्रमशः h,l व r से प्रदर्शित करते हैं।
(7.)गोला:किसी बिन्दु से प्रत्येक दिशा में समान दूरी पर स्थित कई बिन्दुओं के आपस में मिलने से बनी आकृति गोला कहलाती है।
(8.)अर्द्धगोला:किसी गोले को इसके केन्द्र से जाते हुए एक तल के द्वारा दो भागों में काटा जाए तो इस प्रकार प्राप्त दोनों आकृतियाँ समान होती हैं।इन्हीं समान आकृतियों को अर्द्धगोला कहा जाता है।

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5.कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Frequently Asked Questions Related to Surface Area and Volume in Class 9th),पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

कक्षा 9वीं में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume in Class 9th) के
इस आर्टिकल में ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बारे में अध्ययन करने के लिए कुछ
वस्तुनिष्ठ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।