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Subgroups Examples

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1 1.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) का परिचय (Introduction to Subgroups Examples),उपग्रुप परिभाषा (Subgroups Definition):
1.2 3.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) की समस्याएं (Subgroups Examples Problems):

1.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) का परिचय (Introduction to Subgroups Examples),उपग्रुप परिभाषा (Subgroups Definition):

उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples):यदि H ग्रुप (समूह) G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (Binary Operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करे जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H ग्रुप G का उपग्रुप (उपसमूह) कहलाता है।
प्रमेय (Theorem):9.यदि H_{1} तथा H_{2} किसी ग्रुप G के दो उपग्रुप हैं तो उनके गुणन H_{1} H_{2} या H_{2} H_{1} का ग्रुप G के उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है।
(If H_{1} and H_{2} be any two subgroups of the group G then it is not necessary that H_{1} H_{2} or H_{2} H_{1} is a subgroup of G.)
प्रमाण (Proof):इस प्रमेय को निम्न उदाहरण लेकर सिद्ध करेंगे:
माना H_{1}=\{(1),(1 \quad 2),(1 \quad 2)(1),(1 \quad 2)(2 \quad 3)\} \\ =\{(1),(2 \quad 3),(1 \quad 2),(1 \quad 2 \quad 3)\} अब (2 \quad 3) \in H, H_{2},(1 \quad 2) \in H_{1} H_{2} परन्तु

(2 \quad 3)(1 \quad 2)=(1 \quad 3 \quad 2) \notin H_{1}, H_{2}
अतः H_{1} H_{2} ग्रुप S_{3} के संक्रिया के लिए संवृत्त नहीं है।
अतः H_{1} H_{2},S_{3} का उपग्रुप नहीं है।
प्रमेय (Theorem):10.सिद्ध कीजिए कि यदि किसी ग्रुप G का a कोई अवयव है तो H=\{a^{n}: n \in z\},G का उपग्रुप है।
(Prove that if a is any element of a group G, then H=\{a^{n}: n \in z\}, is a subgroup of G.)
उपपत्ति (Proof): \forall h_{1}, h_{2} \in H \Rightarrow h_{1}=a^{m}, h_{2}=a^{n} जहाँ m तथा n \in Z \\ \Rightarrow h_{1} h_{2}^{-1} =a^{m}\left(a^{n}\right)^{-1} \\ =a^{m} a^{-n}=a^{m-n}
अब m \in z, n \in z \Rightarrow m-n \in Z \\ \therefore \forall h_{1}, h_{2} \in H \Rightarrow h_{1} h_{2}^{-1} \in H
साथ ही H \neq \phi \because n=1 के लिए G \in H
इसलिए H ग्रुप G का उपग्रुप है।
उपर्युक्त प्रमेय से स्पष्ट है कि ग्रुप G का प्रत्येक अवयव एक ग्रुप जनन (Generate) करता है जिसे चक्रीय उपग्रुप (Cyclic Subgroup) कहते हैं अर्थात् किसी ग्रुप G का कोई अवयव a, H=\left\{a^{n} \mid a \in z\right\} को जनित करता है तथा H,G का उपग्रुप है और इसे G का चक्रीय उपग्रुप कहते हैं और H को संकेत [a] से व्यक्त करते हैं।
ग्रुप के एक उपग्रुप के सापेक्ष सर्वांगसमता सम्बन्ध (Relation of Congruence Modulo a subgroup in a Group)
परिभाषा (Definition):मानाकि कि H,ग्रुप G का एक उपग्रुप है। ab \in G के लिए a,b के माॅड्यूलो H सर्वांगसम कहलाता है यदि और केवल यदि ab^{-1} \in H
इसको निम्न संकेत से प्रकट करते हैं:
a \equiv b(\bmod H) iff (यदि और केवल यदि) ab^{-1} \in H
प्रमेय (Theorem):किसी ग्रुप G में निम्न प्रकार परिभाषित सर्वांगसमता सम्बन्ध a \equiv b(\bmod H) \Leftrightarrow a b^{-1} \in H एक तुल्यता सम्बन्ध  है जहाँ H,G का उपग्रुप है।
(The relation of congruency in a Group G defined by a \equiv b(\bmod H)  iff a b^{-1} \in H is an equivalence relation, where H is a subgroup of H.)
उपपत्ति (Proof):स्वतुल्य (Reflexive):
माना a \in G  तो a a^{-1}=e \in H क्योंकि H,G का उपग्रुप है:

a \equiv a(\bmod H)
अतः यह सम्बन्ध स्वतुल्य है।
सममित (Symmetry):माना a \equiv b(\bmod H) तो
a \equiv b(\text { mod } H) \Rightarrow a b^{-1} \in H \\ \Rightarrow(a b^{-1})^{-1} \in H \\ \Rightarrow \left(b^{-1}\right)^{-1} a^{-1} \in H \\ \Rightarrow b a^{-1} \in H \Rightarrow b \equiv b(\bmod H) तथा b \equiv c(\bmod H)
अतः यह सममित सम्बन्ध है।
संक्रामक (Transitivity):माना  a \equiv b(\bmod H) तथा b \equiv c(\bmod H)
तो a \equiv b(\bmod H), b \equiv c(\bmod H) \\ \Rightarrow a b^{-1} \in H, b c^{-1} \in H \\ \Rightarrow (a b^{-1}) \cdot (bc^{-1}) \in H [चूँकि H,G का उपग्रुप है] 
\Rightarrow a(b^{-1} b) c^{-1} \in H \\ \Rightarrow a (e) \cdot c^{-1} \in H \\ \Rightarrow(a e) \cdot c^{-1} \in H \\ \Rightarrow(a e) \cdot c^{-1}=a c^{-1} \in H \\ \Rightarrow a \equiv c(\bmod H )
अतः यह सम्बन्ध संक्रामक है।
अतः ग्रुप G में माड् H सर्वांगसमता सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है।
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2.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples):

Example:1.यदि a किसी ग्रुप G का कोई अवयव है तो सिद्ध करो कि H=\left\{x \in G \mid x a^{2}=a^{2} x\right\}
G का एक उपग्रुप है।पुनः सिद्ध करो कि K=\left\{x \in G \mid x a=a x\right\}
H का उपग्रुप है।
(Prove that those elements of a group G which commute with the square of a given element a of form a subgroup H of G and those which commute with a itself form a subgroup of H.)

H=\left\{x \in G \mid x a^{2}=a^{2} x\right\}
Solution:H=\left\{x \in G \mid x a^{2}=a^{2} x\right\}
G एक समूह है अतः e \in G जहाँ e तत्समक है।

e \in G \Rightarrow e a^{2}=a^{2} e \forall a \in G \\ \Rightarrow e \in H \Rightarrow H \neq \phi
पुनः माना कि समुच्चय H के दो स्वेच्छित अवयव x_{1} x_{2} हैं।
H की परिभाषा से:

x_{1} a^{2}=a^{2} x_{1} \quad \forall a \in G \cdots (1)
अब x_{2} \in H \Rightarrow x_{2} a^{2}=a^{2} x_{2} \\ \Rightarrow \left(x_{2} a^{2}\right) x_{2}^{-1}=\left(a^{2} x_{2}\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{2}\left(a^{2} x_{2}^{-1}\right) =a^{2}\left(x_{2} x_{2}^{-1}\right) [G में साहचर्यता से]
\Rightarrow x_{2}\left(a^{2} x_{2}^{-1}\right)=a^{2} e \\ \Rightarrow x_{2}\left(a^{2} x_{2}^{-1} \right)=a^{2} \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} x_{2}\left(a^{2} x_{2}^{-1}\right)=x_{2}^{-1} a^{2} \\ \Rightarrow \left(x_{2}^{-1} x_{2}\right) \left(a^{2} x_{2}^{-1}\right)=x_{2}^{-1} a^{2} \\ \Rightarrow e\left(a^{2}{x_{2}}^{-1}\right)=x_{2}^{-1} a^{2} \\ \Rightarrow a^{2} x_{2}^{-1}=x_{2}^{-1} a^{2} \\ \Rightarrow x_{2}\left(a^{2} x_{2}^{-1}\right)=x_{1}\left(x_{2}^{-1} a^{2}\right) \\ \Rightarrow\left(x_{1} a^{2}\right)\left(x_{2}^{-1}\right)=\left(x_{1}, x_{2}^{-1}\right) a^{2}[साहचर्यता से]

\Rightarrow\left(a^{2} x_{1}\right) x_{2}^{-1}=\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right) a^{-1} [(1)से ]
\Rightarrow a^{2}\left(x_{1}, x_{2}^{-1}\right)=\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right) a^{2} [G में साहचर्यता से]
साथ ही x_{1} \in G, x_{2} \in G \Rightarrow x_{1}, x_{2}^{-1} \in G
अतः x_{1} x_{2}^{-1} \in G तथा यह G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय करता है अर्थात्

\forall a \in G \\ a^{2}\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right)=\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right) a^{2}
फलतः x_{1}, x_{2}^{-1} \in H, x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H,G का उपसमूह है।
माना e \in H जहाँ e तत्समक है।
अब e \in H \Rightarrow e a=a e \quad \forall a \in H \\ \Rightarrow e \in k \Rightarrow k \neq \phi
पुनः माना कि समुच्चय K के दो स्वेच्छित अवयव x_{1} x_{2} हैं।K की परिभाषा से:
x_{1} a=a x_{1} \forall a \in H तथा x_{2} a=a x_{2} \forall a \in H \cdots (2)
अब x_{2} \in k \Rightarrow a x_{2}=x_{2} a \\ \Rightarrow \left(a x_{2}\right) x_{2}^{-1}=\left(x_{2} a\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow a\left(x_{2} x_{2}^{-1}\right)=x_{2}\left(a x_{2}^{-1}\right) [H में साहचर्यता से]
\Rightarrow a e=x_{2}\left(a x_{2}^{-1} \right) \\ \Rightarrow a=x_{2}\left(a{x}_{2}^{-1}\right) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} a=x_{2}^{-1}\left[x_{2}\left(a x_{2}^{-1}\right)\right] \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} a =\left(x_{2}^{-1} x_{2}\right) (a x_{2}^{-1}) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} a =e (a x_{2}^{-1}) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} a=a x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{1}\left(x_{2}^{-1} a\right)=\left(x_{1} a\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{1} \left(x_{2}^{-1} a\right)=\left(a x_{1}\right) x_{2}^{-1} [(2) से] तथा [x_{1} \in K] \\ \Rightarrow \left(x_{1} x_{2}^{-1}\right) a=a\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right) [G में साहचर्यता से]
साथ ही x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in K
अतः x_{1} x_{2}^{-1} \in G तथा यह G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय करता है अर्थात्

\forall a \in H,\left(x_{1}, x_{2}^{-1}\right) a=a\left(x_{1} x_{2}^{-1}\right)
फलतः x_{1} x_{2}^{-1} \in K
अतः x_{1} \in K ,x_{2} \in K \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in K
फलतः K,H का उपग्रुप है।
Example:2.यदि G एक क्रमविनिमेय ग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि H=\left\{x \in G \mid x^{2}=e\right\} H का उपग्रुप है।
(If G is an abelian group,then prove that H=\left\{x \in G \mid x^{2}=e\right\} is a subgroup of G.)
Solution:माना e \in G जहाँ e तत्समक है।
अब e \in G \Rightarrow x^{2}=e \forall x \in G \\ \Rightarrow e \in H \Rightarrow H \neq \phi
पुनः माना कि समुच्चय H के दो स्वेच्छित अवयव x_{1}, x_{2} है तो H की परिभाषा से:
x_{1}^{2}=e \quad \forall e \in G तथा x_{2}^{2}=e \forall e \in G \cdots (1)
अब x_{2} \in H \Rightarrow x_{2}^{2}=e \\ \Rightarrow x_{2}^{2} x_{2}^{-1}=e x_{2}^{1} \\ \Rightarrow x_{2}\left(x_{2} x_{2}^{-1}\right)=x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{2} e=x_{2}^{-1} [e तत्समक है]
\Rightarrow x_{2}=x_{2}^{-1} \cdots (2) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} x_{2}=x_{2}^{-1}\left(x_{2}^{-1}\right) \\ \Rightarrow e=\left(x_{2}^{-1}\right)^{2} \\ \Rightarrow x_{1}^{2}=\left(x_{2}^{-1}\right)^{2}[(1) से]
\Rightarrow x_{1}=x_{2}^{-1} \cdots(3)\\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=x_{2}^{-1} x_{2}^{-1} [(3) से]
\Rightarrow x_{2} x_{2}^{-1}=x_{2}^{-1} x_{2} [(2) से]
\Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=x_{2}^{-1} x_{1}[(2) व (3) से]
अतः x_{1} \in G, x_{2} \in G, \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in G
तथा G के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय करता है।
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतःH,G का उपग्रुप है।
Example:3.माना कि H,ग्रुप G का उपग्रुप है तथा x \in G के लिए

x H x^{-1}=\{x h x^{-1} \mid h \in H\}
सिद्ध कीजिए कि x H x^{-1} ;G का एक उपग्रुप है।
(Let H be a subgroup of a group G and let for x \in G,x H x^{-1}=\{x h x^{-1} \mid h \in H\}.Prove that x H x^{-1} is a subgroup of G.)
Solution:स्पषटत: H \subset G अतः H \neq \phi
माना a,b \in x H x^{-1}\\ a=x h_{1} x^{-1}, \quad b=x h_{2} x^{-1} जहाँ h_{1}, h_{2} \in H
H, उपग्रुप है अतः h_{1}, h_{2}^{-1} \in H \quad x H x^{-1} को उपग्रुप सिद्ध करने के लिए a, b^{-1} \in x H x^{-1} सिद्ध करना है जहाँ a, b \in x H x^{-1} \\ a b^{-1}=\left(x h_{1} x^{-1}\right)\left(x h_{2} x^{-1}\right)^{-1} \\ =\left(x h_{1} x^{-1}\right) (x^{-1})^{-1} \left( h_{2}\right)^{-1}(x)^{-1}\\ =\left(x h_{1} x^{-1}\right) \cdot\left(x h_{2}^{-1} x^{-1}\right)\\ =x h_{1}\left(x^{-1} x\right)\left(h_{2}^{-1} x^{-1}\right) \\ =x h_{1} e h_{2}^{-1} x^{-1} \\=x h_{1} h_{2}^{-1} x^{-1}\\=x h x^{-1} जहाँ h=h_{1} h_{2}^{-1} \in H
परन्तु x h x^{-1} \in x H x^{-1} \\ a b^{-1} \in x H x^{-1}
अतः x H x^{-1},G का उपग्रुप है।

Example:4.सिद्ध कीजिए कि (Prove that) H=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\}, S _{3} का उपग्रुप है (is subgroup of S _{3} )
Solution: H=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2)\}, S _{3}
का उपग्रुप है।
माना x_{1}=(1 \quad 2 \quad 3) \\ x_{2}=(1 \quad 3 \quad 2) \\ x_{2}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \\ x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)\\ x_{1} x_{2}^{-1}=\left(1 \quad 2 \quad 3 \right) \left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{lll} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=(1 \quad 3 \quad 2)
अतः x_{1} \in H,x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः H,S _{3} का उपग्रुप है।
Example:5.यदि H=\{(1),(1 \quad 2)\} तथा K=\{(1),(3 \quad 1)\} सममित ग्रुप S _{3} के दो उपग्रुप हों तो प्रदर्शित कीजिए कि H K \neq K H
(If H=\{(1),(1 \quad 2)\} and K=\{(1),(3 \quad 1)\} are subgroups of the symmetric group S _{3} ,then show that H K \neq K H)
Solution:H=\{(1),(1 \quad 2)\} \\ K=\{(1),(3 \quad 1)\} \\ H K=\{(1)(1),(1)(3 \quad 1),(1 \quad 2)(1)\} \\ \{(1 \quad 2)(3 \quad 1)\} \\ =\{(1),(3 \quad 1),(1 \quad 2),(1 \quad 3 \quad 2)\} \cdots(1) \\ K H =\{(1)(1),(1)(1 \quad 2),(3 \quad 1)(1),(3 \quad 1)(1 \quad 2)\} \\ =\{(1),(1 \quad 2),(3 \quad 1),(3 \quad 1)(1 \quad 2)\} \\ \Rightarrow K H=\{(1),(1 \quad 2),(3 \quad 1),(1 \quad2 \quad 3)\}\cdots(2)
(1) व (2) से सपष्ट है कि

H K \neq K H[\because(1 \quad 3 \quad 2) \neq(1 \quad 2 \quad 3)]
Example:6.यदि H_{1}, H_{2} का उपग्रुप है तथा H_{2},G का उपग्रुप हो तो प्रदर्शित कीजिए कि H_{1},G का भी उपग्रुप है।
(If H_{1} is a subgroup of H_{2} and H_{2} is a subgroup of G then prove that H_{1} is also a subgroup of G.)
Solution:माना H_{1}=\left\{x \in H_{2}: x b^{2}=b^{2} x\right\} तथा H_{1}, H_{2} का उपग्रुप है।

x_{1}, x_{2} \in H_{1} \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H_{1}

माना H_{2}=\left\{y \in G: y b=b y\right\}

H_{2},G  का उपग्रुप है।

\therefore y_{1} y_{2} \in H_{2} \Rightarrow y_{1} y_{2}^{-1} \in H_{2}

स्पषटत: H _{1} \subset H _{2}  तथा H_{1} \neq \phi \\ H_{2} \subset G  तथा H_{2} \neq \phi \\ H _{1} \subset G

माना x_{1}, x_{2}^{-1}, x_{3}, x_{4}^{-1} \in H_{1}

\left(x_{1} x_{2}^{-1} b^{2}\right)=b^{2} x_{1} x_{2}

तथा  x_{3} x_{4}^{-1} b^{2}=b^{2} x_{3} x_{4}^{-1} \\ \Rightarrow\left(x_{3} x_{4}^{-1} \right)\left(x_{3} x_{4}^{-1}\right) b^{2}\left(x_{3} x_{4}^{-1}\right)^{-1}=\left(x_{3} x_{4}^{-1} \right)^{-1}\left(b^{2} x_{3} x_{4}^{-1}\right) \left(x_{3} x_{4}^{-1}\right)^{-1}\\ \Rightarrow \left(x_{4} x_{3}^{-1}\right) \cdot\left(x_{3} x_{4}^{-1}\right) b^{2}\left(x_{4} x_{3}^{-1}\right) =\left(x_{3}^{-1} x_{4}\right)\left(b^{2} x_{3} x_{4}^{-1}\right)\left(x_{4} x_{3}^{-1}\right) \\ \Rightarrow x_{4} \left(x_{3}^{-1} x_{3}\right) x_{4}^{-1} b^{2}\left(x_{4} x_{3}^{-1}\right)= x_{3}^{-1} x_{4}\left(b^{2} x_{3}\right) \left(x_{4}^{-1} x_{4}\right) x_{3}^{-1} \\ \Rightarrow b^{2} \cdot x_{4} x_{3}^{-1}=x_{3}^{-1} x_{4} b^{2}\\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}; x_{3} x_{4}^{-1} \in H_{1} \\ \Rightarrow (x_{1} x_{2}^{-1})(x_{3} x_{4}^{-1})^{-1} \in H_{1} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}; x_{3} x_{4}^{-1} \in H_{1}\cdots(1)

तब x_{3} x_{4}^{-1} b=b x_{3} x_{4}^{-1}\\ \Rightarrow \left(x_{3} x_{4}^{-1}\right)^{-1}\left(x_{3} x_{4}^{-1} b\right)\left(x_{3}^{-1} x_{4}^{-1}\right)^{-1}=\left(x_{3} x_{4}^{-1}\right)^{-1}\left(b x_{3} x_{4}^{-1}\right)\left(x_{4} x_{3}^{-1}\right)\\ \Rightarrow b x_{4} x_{3}^{-1}=x_{4} x_{3}^{-1} b\\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}, x_{3}{x}_{4}^{-1} \in H_{2}  \\ \Rightarrow (x_{1} x_{2}^{-1})( x_{3}{x}_{4}^{-1})^{-1} \in H_{2} \cdots(2)

(1) व (2) से
H_{2} ,G का उपसमूह है।
Example:7.यदि G एक ग्रुप है तथा H,K इसके उपग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि
(If G is a group and H,K are its two subgroup then prove that)

( H K )^{-1}=K^{-1} H^{-1}
Solution:माना H तथा K,G के दो उपग्रुप हैं।
मानाकि HK=KH
HK,G का उपग्रुप है यह सिद्ध करने के लिए यह पर्याप्त है कि
(H K) \cdot(H K)^{-1}=H K \\ \text{ L.H.S. } (H K)(H K)^{-1} =(H K)\left(K^{-1} H^{-1}\right) \\ =K\left(K K^{-1}\right) H^{-1} \\ =H K H^{-1}  [K उपग्रुप है \Rightarrow K K^{-1}=K]

=KHH^{-1} [\because HK=KH]

=K \left ( H H^{-1} \right ) \\ =K H [H उपग्रुप है \Rightarrow H H^{-1}=H ]

=HK=R.H.S
HK=KH \Rightarrow HK,G का उपग्रुप है।HK उपग्रुप है तोः

(H K)^{-1}=HK \Rightarrow K^{-1} H^{-1}=HK
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples) को समझ सकते हैं।

3.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) की समस्याएं (Subgroups Examples Problems):

(1.)सममित समूह के S _{3} दो उपसमूह H=\{(1),(1 \quad 2)\} और K=\{(1),(1 \quad 3)\} हैं तो सिद्ध कीजिए कि HK \neq KH
(Let H=\{(1),(1 \quad 2)\}  and K=\{(1),(1 \quad 3)\} be two subgroups of S _{3} the symmetric group,then prove that HK \neq KH.)
(2.)(G,*) एक समूह है और H=\{x \in G: x*g=g * x \forall g \in G\}
सिद्ध कीजिए कि H समूह G का उपसमूह है।
(Let (G,*) be a group and H=\{x \in G: x*g=g * x \forall g \in G\} .Show that H is a subgroup of G.)
उपर्युक्त सवालों को हर करने पर उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बातें (HIGHLIGHTS):

(1.)ग्रुप का केन्द्र (Centre of Group):यदि (G,*) एक ग्रुप है तो समुच्चय H=\{x \in G: x*g=g * x \forall g \in G\} जो कि G के उन सब अवयवों का समुच्चय है जो क्रमविनिमेय नियम का पालन करते हैं,ग्रुप (G,*) का केन्द्र (Centre of the Group) कहलाता है।
(2.)प्रसामान्यक (Normaliser):माना (G,*) एक ग्रुप है, a \in G तथा N(a)=\{x \mid x \in G: x*a=a * x \},N(a)ग्रुप G में a का प्रसामान्यक (Normaliser) कहलाता है।
(3.)यदि H तथा K किसी समूह G के कोई दो उपसमूह हों तो HK समूह G का उपसमूह होगा यदि और केवल यदि HK=KH.
(If H and K are any two subgroups of a group G,then HK is a sub-group of G iff HK=KH.)
(4.)ग्रुप G का प्रत्येक अवयव एक ग्रुप का जनन (Generate) करता है जिसे चक्रीय उपग्रुप (Cyclic Subgroup) कहते हैं अर्थात् किसी ग्रुप G का कोई अवयव a,H=\{a^{n}: n \in z\} को जनित करता है तथा H,G का उपग्रुप है और इसे G का चक्रीय उपग्रुप कहते हैं और H को संकेत [a] से व्यक्त करते हैं।

5.उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples),उपग्रुप परिभाषा (Subgroups Definition) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समूह का उपसमूह क्या है? (What is a subgroup of a group?):

उत्तर:एक उपसमूह समूह के समूह अवयवों का एक उपसमूह है।जो चार समूह आवश्यकताओं को पूरा करता है।इसलिए इसमें तत्समक अवयव (identity element) होना चाहिए।

प्रश्न:2.मैं एक उपसमूह कैसे ढूंढूं? (How do I find a subgroup?):

उत्तर:समूह G का एक अरिक्त उपसमुच्चय H,G का एक उपसमूह है यदि H,G के बाइनरी ऑपरेशन (*) (binary operation) के तहत एक समूह है।हम संकेतन H ≤ G का उपयोग यह इंगित करने के लिए करते हैं कि H,G का एक उपसमूह है।साथ ही यदि H एक उचित उपसमूह (proper subgroup) है तो इसे H <G द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रश्न:3.मैं समूह के सभी उपसमूहों को कैसे देख सकता हूँ? (How do I see all subgroups of a group?):

उत्तर:उपसमूहों का पता लगाने का सबसे बुनियादी तरीका अवयवों का एक सबसेट लेना है और फिर उन अवयवों की घातों के सभी गुणन (all products of powers) को ढूंढना है।तो मान लें कि आपके समूह में दो तत्व a,b हैं तो आपको a,b,a_{2},ab,ba,b _{2},a _{3},aba,ba_{2} ,a_{2} b,ab_{2} ,bab,b_{3} ,… के सभी डोरी (strings) पर विचार करना होगा।

प्रश्न:4.एक समूह में कितने उपसमूह हो सकते हैं? (How many subgroups can a group have?):

उत्तर:अमूर्त बीजगणित (abstract algebra) में,चक्रीय समूह (cyclic group) का प्रत्येक उपसमूह चक्रीय होता है।इसके अलावा,n क्रम के एक परिमित चक्रीय समूह (finite cyclic group of order n) के लिए,प्रत्येक उपसमूह का क्रम n का भाजक होता है और प्रत्येक भाजक के लिए ठीक एक उपसमूह होता है।

प्रश्न:5.किस समूह के उपसमूह हैं? (Which group is having its subgroups?):

उत्तर:परिभाषा:समूह G का एक उपसमूह H,G का एक उपसमूह है यदि H स्वयं G में संक्रिया के तहत एक समूह है।नोट: प्रत्येक समूह G में कम से कम दो उपसमूह होते हैं: G स्वयं और उपसमूह {e},जिसमें केवल तत्समक अवयव (identity element) होता है।अन्य सभी उपसमूहों को उचित उपसमूह (proper subgroups) कहा जाता है।

प्रश्न:6.क्या प्रत्येक समूह का एक उपसमूह होता है? (Does every group have a subgroup?):

उत्तर:प्रमेय: संयुक्त क्रम (composite order) के प्रत्येक समूह में उचित उपसमूह होते हैं।उपपत्ति: मान लीजिए G संयुक्त कोटि का एक समूह है और मान लीजिए 1≠a∈G।फिर अगर ⟨a⟩\neq G हम कर रहे हैं अन्यथा उपसमूह ⟨ad⟩ \neq G ⟨a d⟩ \neq G के प्रत्येक भाजक d के लिए |G|.

प्रश्न:7.आप किसी समूह के चक्रीय उपसमूहों की पहचान कैसे करते हैं? (How do you identify cyclic subgroups of a group?):

उत्तर:G,n के किसी भी भाजक d के लिए एक चक्रीय है,क्रम d के साथ G का अधिकतम एक चक्रीय उपसमूह H है।प्रमाण सरल है,आप केवल शास्त्रीय परिणाम n=\sum d \mid nφ(d) का उपयोग करते हैं।प्रमेय:मान लीजिए कि K एक फ़ील्ड है और K× यह गुणक समूह है।मान लीजिए G, K× का एक उपसमूह है।

प्रश्न:8.सांख्यिकी में उपसमूह क्या हैं? (What are subgroups in statistics?),एक उपसमूह क्या है? (What is a subgroup?):

उत्तर:एक उपसमूह इकाइयों का एक समूह है जो समान शर्तों के तहत बनाया जाता है।उपसमूह (या परिमेय उपसमूह (rational subgroups)) संक्रिया के "स्नैपशॉट" का प्रतिनिधित्व करते हैं।इसलिए एक उपसमूह के भीतर माप (measurements) समय में एक साथ लिया जाना चाहिए लेकिन फिर भी एक दूसरे से स्वतंत्र होना चाहिए।

प्रश्न:9.क्या तत्समक एक उचित उपसमूह है? (Is identity a proper subgroup?):

उत्तर:इसे आमतौर पर H ≤ G के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे "H,G का एक उपसमूह" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी भी समूह का तुच्छ उपसमूह (trivial subgroup) उपसमूह {e} होता है जिसमें केवल तत्समक अवयव (identity element) होता है।समूह G का एक उचित उपसमूह (proper subgroup) एक उपसमूह H है जो G (अर्थात्, H ≠ G) का एक उचित उपसमूह है।

प्रश्न:10.क्या कोई समूह अपने आप में एक उपसमूह है? (Is a group a subgroup of itself?):

उत्तर: समूह G हमेशा स्वयं का एक उपसमूह होता है!केवल तत्समक अवयव वाला सबसेट भी एक उपसमूह है!इसे तुच्छ उपसमूह कहा जाता है।एक अवयव h ({…,h^{−1},h ^{−1} ,e,h,h ^{2} ,…}) की सभी घातों का समुच्चय G का एक उपसमूह है।

प्रश्न:11.क्या हर एबेलियन समूह चक्रीय है? (Is every abelian group is cyclic?):

उत्तर:एबेलियन समूह इसलिए सममित गुणन सारणी (symmetric multiplication tables) वाले समूहों के अनुरूप हैं।
सभी चक्रीय समूह एबेलियन हैं,लेकिन एक एबेलियन समूह आवश्यक रूप से चक्रीय नहीं है।एबेलियन समूह (Abelian group) के सभी उपसमूह विशिष्ट (normal) होते हैं।

प्रश्न:12.क्या एक उपसमूह एक नमूने के समान है? (Is a subgroup the same as a sample?):

उत्तर:नमूना आकार डेटा बिंदुओं की संख्या है जिसे आप चार्ट पर प्लॉट करते हैं!प्रत्येक डेटा बिंदु एक ही समय सीमा में लिए गए मापों की संख्या का औसत हो सकता है। उपसमूह का आकार सामान्य रूप से 5 होता है और नमूना आकार सामान्य रूप से 25-30 होता है।आप समूह को समझने के लिए समूह से नमूने लेंगे।

प्रश्न:13.उपसमूह के लिए दूसरा शब्द क्या है? (What is another word for subgroup?):

उत्तर:उपखंड उपवर्ग (subdivision subclass)
उपखंड उपश्रेणी (subsection subcategory)
उपसमुच्चय लघु समूह (subset minor group)
छोटे समूह उप-जनसंख्या (smaller group subpopulation)
चाइल्ड कैटेगरी सबस्पेस (child category subspace)

प्रश्न:14.एक समूह में कितने चक्रीय उपसमूह होते हैं? (How many cyclic subgroups does a group have?):

उत्तर:एक परिमित चक्रीय समूह (A finite cyclic group) में क्रम के प्रत्येक भाजक के लिए ठीक एक उपसमूह होता है,इसलिए यदि क्रम 6 है, तो यह 4 उपसमूह बनाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples),उपग्रुप परिभाषा (Subgroups Definition) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Subgroups Examples

उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण)
(Subgroups Examples)

Subgroups Examples

उपग्रुप उदाहरण (उपसमूह उदाहरण) (Subgroups Examples):यदि H ग्रुप (समूह) G का
एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (Binary Operation) H में ऐसी
द्विचर संक्रिया को प्रेरित

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