1.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limit):

Limits in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limits in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सीमाओं के मान ज्ञात करने,सीमा के आधार पर सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सीमा पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Limits in Real Analysis):

Illustration:1.निम्न के मान ज्ञात कीजिए (Evaluate the following)
Illustration:1(a). \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{x^n-a^n}{(x-a)}
Solution: \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{x^n-a^n}{(x-a)}
माना f(x)=\frac{x^n-a^n}{x-a}
तब f(a+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(a+h)^n-a^n}{a+h-a} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^n\left(1+\frac{h}{a}\right)^n-a^n}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^n\left[\left(1+\frac{h}{a}\right)^n-1\right]}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{a^n}{h}\right)\left[1+n \cdot \frac{h}{a}+\frac{n(n-1)}{2} \frac{h^2}{a^2}+\cdots-1\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{a^n}{h}\right) \cdot h\left[\frac{n}{a}+\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{h}{a^2}+\cdots\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(a^n\right)\left[\frac{n}{a}+\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{h}{a^2}+\cdots\right] \\ =a^n \cdot \frac{n}{a}=n a^{n-1} \\ f(a+0)=f(a-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(a-h)^n-a}{a-h-a}=n a^{n-1}
Illustration:1(b). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (1+x)^{\frac{1}{x}}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (1+x)^{\frac{1}{x}}
R.H.L
f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1+h)^{\frac{1}{h}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[1+\frac{1}{h} \cdot h+\frac{\frac{1}{h}\left(\frac{1}{h}-1\right)}{1 \cdot 2} h^2+\frac{\frac{1}{h}(\frac{1}{h}-1)\left(\frac{1}{h}-2\right)}{1 \cdot 2 \cdot 3} h^3 +\cdots \cdots\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[1+\frac{1}{1!}+\frac{1 \cdot(1-h)}{2!}+\frac{1 \cdot(1-h)-(1-2 h)}{3!}+ \cdots \cdots\right] \\ =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \infty=e
इसी प्रकार बायीं सीमा
f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1-h)^{-\frac{1}{h}}=e
अतः f(0+0) तथा f(0-0) दोनों का अस्तित्व है जो e के बराबर है।
Illustration:2.सीमा की परिभाषा का प्रयोग करके निम्न को सिद्ध कीजिए:
(Prove the following by using the definition of limit)
Illustration:2(a). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x^2 \sin \frac{1}{x}=0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x^2 \sin \frac{1}{x}=0
माना \varepsilon >0 \quad \exists \delta >0 s.t.
\left|x^2 \sin \frac{1}{x}-0\right|< \varepsilon जबकि 0<|x-0|< \delta
अब \left|x^2 \sin \frac{1}{x}-0\right|=\left|x^2\right|\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leq \left|x\right|^2 \\ \left[\because \quad\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leq 1\right] \\ \therefore \left|x^2 \sin \frac{1}{x}-0\right|< \varepsilon जबकि \left|x\right|^2 < \varepsilon
\delta का चुनाव इस प्रकार करते हैं कि
0 < \delta \leq \varepsilon \\ \left|x^2 \sin \frac{1}{x}-0 \right| < \varepsilon जबकि 0 < |x|^2 < \delta
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sin \frac{1}{x}=0
Illustration:2(b). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sin \frac{1}{x}=0
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \sin \frac{1}{x}=0
माना \varepsilon > 0 \exists \delta >0 s.t.
\left|x \sin \frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon जबकि 0<|x-0|<\delta
अब \left|x \sin \frac{1}{x}-0\right|=|x|\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leq |x| \\ {\left[\because\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leq 1\right]} \\ \therefore \left|x \sin \frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon जबकि |x|< \varepsilon
\delta का चुनाव इस प्रकार करते हैं कि 0 < \delta \leq \varepsilon \\ \left|x \sin \frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon जबकि 0<|x|<\delta
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} x \cdot \sin \frac{1}{x}=0
Illustration:2(c). \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{x^2-a^2}{x-a}=2 a
Solution: \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{x^2-a^2}{x-a}=2 a
किसी \varepsilon>0 के लिए \exists \delta>0 s.t.
|f(x)-2 a|< \varepsilon जबकि 0<|x-a|<\delta
यदि x \neq a तब |f(x)-2 a|=\left|\frac{x^2-a^2}{x-a}-2 a\right| \\ =|(x+a)-2 a| \quad[\because x \neq a] \\ =|x-a| \\ \therefore |f(x)-2 a|<\varepsilon ; यदि |x-a|<\varepsilon
\delta का चुनाव इस प्रकार करते हैं कि 0 < \delta \leq \varepsilon \\ |f(x)-2 a|<\varepsilon जबकि 0 < |x-a| < \delta
अतः \underset{x \rightarrow 2a}{\lim} f(x)=2 a \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2a}{\lim} \left(\frac{x^2-a^2}{x-a}\right)=2 a

Limits in Real Analysis

Illustration:3.सिद्ध कीजिए कि निम्न सीमाओं का अस्तित्व नहीं है:
(Show that the following limits do not exist):
Illustration:3(a). \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}+1}
Solution: \underset{x \rightarrow a}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}+1}
माना f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}+1}
तब f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h), h>0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{h}}}{e^{\frac{1}{h}+1}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}\right)} \\ =\frac{1}{1+0}=1 \\ \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}=\frac{1}{e^{\infty}} =\frac{1}{\infty}=0\right]
पुनः f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h), h >0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{-\frac{1}{h}}}{e^{-\frac{1}{h}}+1} \\=\frac{0}{0+1}=0 \\ \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h}}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}=\frac{1}{\infty}=0\right]
अतः f(0-0) \neq f(0+0) \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x) का अस्तित्व नहीं है।
Illustration:3(b). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \sin \frac{1}{x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \sin \frac{1}{x}
माना f(x)=\sin \frac{1}{x} \\ f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h) \\ \Rightarrow f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin \frac{1}{h}
जब h \rightarrow 0 तो \sin \frac{1}{h} का मान +1 से -1 के बीच दोलन करता है।अतः इसका कोई परिमित (निश्चित) मान l नहीं है जब h \rightarrow 0 जिसके लिए \sin \frac{1}{h} हो।अतः दायीं सीमा f(0+0) का अस्तित्व नहीं है।इसी प्रकार बायीं सीमा f(0-0) का अस्तित्व नहीं है।
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \sin \frac{1}{x} का अस्तित्व नहीं है।
Illustration:3(c). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{|x|}{x}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{|x|}{x}
माना f(x)=\frac{|x|}{x}
तब f(0+0)= \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h), \quad h>0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|h|}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{h}{h}\right) \quad[ \because h>0 \Rightarrow|h|=h] \\ \Rightarrow f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1)=1
पुनः f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h), h>0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{|-h|}{(-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{h}{-h}\right) \left[\because-h<0 \Rightarrow \mid-h\mid=-(-h)=h\right] \\ \Rightarrow f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-1)=-1 \\ \Rightarrow f(0-0) \neq f(0+0)
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{|x|}{x} का अस्तित्व नहीं है।
Illustration:3(d). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}}
माना f(x)=\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}}
तब f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{h} e^{\frac{1}{h}}=\infty
क्योंकि दोनों \frac{1}{h} और e^{\frac{1}{h}} \rightarrow \infty जब h \rightarrow 0
पुनः f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(0-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left(-\frac{1}{h}\right) e^{-\frac{1}{h}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \quad \frac{-1}{h e^{\frac{1}{h}}}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-1}{h\left(1+\frac{1}{h}+ \frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{h^2}+\cdots\right)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-1}{\left(h+1+\frac{1}{2 h}+ \cdots\right)}=0 \\ \Rightarrow f(0-0)=0 \\ \Rightarrow f(0-0) \neq f(0+0)
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} का अस्तित्व नहीं है।
Illustration:3(e). \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \quad \frac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}
Solution: \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \quad \frac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}
माना f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}
तब f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-\frac{1}{e^h}}, e>0 \\ =\frac{1}{1-\infty}\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}=\frac{1}{e^{\infty}}=\frac{1}{\infty}\right] \\ =\frac{1}{-\infty}=0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0
पुनः f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h), h>0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-e^{-\frac{1}{h}}} \\ =\frac{1}{1-e^{-\infty}} \quad\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{e^{-\frac{1}{h}}}=\frac{1}{e^{-\infty}}=\frac{1}{0}\right] \\ =\frac{1}{1-0}=1 \\ \Rightarrow f(0-0)=1 \\ \Rightarrow f(0-0) \neq f(0+0)
अतः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}} का अस्तित्व नहीं है।
Illustration:4.यदि x \in R के लिए फलन f(x)=[1-x] के द्वारा परिभाषित है जहाँ [y] का अर्थ y से कम अथवा y के बराबर महत्तम पूर्णांक है तो सिद्ध कीजिए कि
(If for x \in R a function f(x) is defined as f(x)=[1-x] where [y] means the greatest integer less than and equal to y than show that)
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
Solution: f(x)=[1-x] \\ f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [1-h] \\ \Rightarrow f(0+0)=0
L.H.L
f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [1+h]=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1)=1 \\ \Rightarrow f(0-0)=1 \\ f(0+0) \neq f(0-0)
अतः \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \neq \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)
Illustration:5. \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) ज्ञात कीजिए जहाँ (find \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) where)
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^2}{a}-a, 0<x<a \\ 0, x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, x>a \end{array} \right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^2}{a}-a, 0<x<a \\ 0, x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, x>a \end{array}\right. \\ f(a+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[a-\frac{a^3}{(a+h)^2}\right], x >a \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{a(a+h)^2-a^3}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{a^3+2 a^2 h+a h^3-a^3}{(a+h)^2}\right] \\ \Rightarrow f(a+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a h\left(2 a+h^2\right)}{(a+h)^2}=0 \\ f(a-0) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{(a-h)^2}{a}-a\right], x< a \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{a^2-2 a h+h^2-a^2}{a}\right) \\ \Rightarrow f(a-0) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h(-2 a+h)}{a}=0 \\ f(a+0)=f(a-0)=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limits in Real Analysis),सीमा (Limit) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सीमा के सवाल (Limits in Real Analysis Questions):

Limits in Real Analysis

(1.)सिद्ध करो कि (Show that)
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\sqrt{(1+x)}-\sqrt{x}}{x}=1
(2.)सिद्ध करो कि (Show that)
\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limits in Real Analysis),सीमा (Limit) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Frequently Asked Questions Related to Limits in Real Analysis),सीमा (Limit) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limits in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सीमाओं
के मान ज्ञात करने,सीमा के आधार पर सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।