1.अंकगणित में घातांक एवं करणी (Indices and Surds in Arithmetic),घातांक एवं करणी (Indices and Surds):

Indices and Surds in Arithmetic

अंकगणित में घातांक एवं करणी (Indices and Surds in Arithmetic) के इस आर्टिकल में परिमेय संख्याओं के घातांक पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अंकगणित में घातांक एवं करणी के उदाहरण (Indices and Surds in Arithmetic Illustrations):

Illustration:1. \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} बराबर है

(a) \frac{1}{\sqrt{2}} (b) 2 \sqrt{2} (c) -\sqrt{2} (d) \sqrt{2}
Solution:\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=(2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} 
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:2. \left[\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right\}^{-2}\right]^{-1} बराबर है

(a) \frac{1}{16} (b) 16 (c) -\frac{1}{16} (d) -16
Solution: \left[\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right\}^{-2}\right]^{-1} \\ =\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right\}^{-2 \times -1}=\left\{\left( -\frac{1}{2} \right)^2\right\}^2 \\ =\left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \times 2}=\left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:3. \left[\left(\sqrt[5]{x^{-\frac{3}{5}}}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]^5 का सरलीकृत रूप है

(a) x^5 (b) x^{-5} (c) x (d) \frac{1}{x}
Solution: \left[\left(\sqrt[5]{x^{-\frac{3}{5}}}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]^5 \\ =\left(\sqrt[5]{x^{-\frac{3}{5}}}\right)^{-\frac{5}{3} \times 5} \\ =\left(x^{\left(\frac{-3}{5} \times \frac{1}{5}\right)}\right)^{-\frac{25}{3}} \\ =x^{-\frac{3}{25} \times-\frac{25}{3}}=x
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:4. \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} बराबर है

(a) 6+\sqrt{35} (b) 1 (c) 6-\sqrt{35} (d) 2
Solution: \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \\=\frac{7+5+2 \sqrt{35}}{7-5}=\frac{12+2 \sqrt{35}}{2} \\ =\frac{2(6+\sqrt{35})}{2}=6+\sqrt{35}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:5. \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} \times \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)} बराबर है

(a) \frac{1}{3} (b) \frac{2}{3} (c) \frac{\sqrt{2}}{3} (d) 3 \sqrt{2}
Solution: \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} \times \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)} \\ =\frac{2(4-3)}{3(3-1)}=\frac{2 \times 1}{3 \times 2}=\frac{1}{3}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:6. 3+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}} +\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}} किसके बराबर है

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 3-\sqrt{8}
Solution: 3+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}} \\ =3+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{5}-\sqrt{6})} \\+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{(\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{6}-\sqrt{7})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{8}}{(\sqrt{7}+\sqrt{8})(\sqrt{7}-\sqrt{8})}+ \frac{\sqrt{8}-\sqrt{9}}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{8}-\sqrt{9})} \\ = 3+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{4-5}+ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{5-6}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{6-7} +\frac{\sqrt{7}-\sqrt{8}}{7-8}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{9}}{8-9} \\= 3-\sqrt{4}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{7}+\sqrt{8}-\sqrt{8}+\sqrt{9} \\ = 3-\sqrt{4}+\sqrt{9}=3-2+3=4
अतः विकल्प (a) सही है।

Illustration:7. \sqrt[3]{2^4 \sqrt{2^{-5} \sqrt{2^6}}} का मान है

(a) 2 (b) 2^{ \frac{5}{3}} (c) 2^5 (d) 1
Solution: \sqrt[3]{2^4 \sqrt{2^{-5} \sqrt{2^6}}} \\ =\sqrt[3]{2^4 \sqrt{2^{-5} \times 2^{\frac{6}{2}}}} \\ =\sqrt[3]{2^4 \sqrt{2^{-5+3}}}=\sqrt[3]{2^4 \sqrt{2^{-2}}} \\ =\sqrt[3]{2^4 \times \overline{2}^{-1}}=\sqrt[3]{2^{4-1}}=\sqrt[3]{2^3} \\ =2^{\frac{3}{3}}=2^1=2
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:8. 3+ \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-3} का मान कितना है?

(a) 3+\sqrt{3} (b) 3 (c) 1 (d) 0
Solution: 3+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-3}\\=3+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}+\frac{3-\sqrt{3}}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{3}+3}{(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}+3)} \\ =3+ \frac{\sqrt{3}}{3} +\frac{3-\sqrt{3}}{9-3}+\frac{\sqrt{3}+3}{3-9} \\ =3+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}+3}{-6} \\ =3+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{3}{6} \\ =3+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2 \sqrt{3}}{6}=3+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} \\=3
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:9. [\sqrt[3]{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt{3}] बराबर है

(a) 6^5 (b) 6^{\frac{5}{6}} (c) 6 (d)
Solution: [\sqrt[3]{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt{3}] \\ =2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \\ =\left(2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\right) \times \left(3^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\right) \\ =2^{\left(\frac{2+3}{6}\right)} \times 3^{\left(\frac{2+3}{6}\right)} \\ =2^{\frac{5}{6}} \times 3^{\frac{5}{6}}=6^{\frac{5}{6}}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:10.यदि x=7-4 \sqrt{3} ,तो \left(x+\frac{1}{x}\right)  का मान है 

(a) 3 \sqrt{3} (b) 8 \sqrt{3} (c) 14+8 \sqrt{3} (d) 14
Solution: x+\frac{1}{x} \\=7-4 \sqrt{3}+\frac{7+4 \sqrt{3}}{(7-4 \sqrt{3})(7+4 \sqrt{3})} \\ =7-4 \sqrt{3}+\frac{7+4 \sqrt{3}}{49-48} \\ =7-4 \sqrt{3}+7+4 \sqrt{3}=14
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:11.यदि \sqrt{4^n}=1024 ,तब n का मान होगा

(a) 5 (b) 8 (c) 2 (d) 10
Solution: \sqrt{4^n}=1024 \\ 4^{\frac{n}{2}}=1024 \\ \Rightarrow 4^{\frac{n}{2}}=4^5 \\ \Rightarrow \frac{n}{2}=5 \Rightarrow n=10
अतः विकल्प (d) सही है।

Illustration:12.यदि \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} हो,तो a व b के मान क्या होंगे?
(a) a=11, b=-6 (b) a=6, b=11 (c) a=-11, b=6 (d) a=-11, b=-6
Solution: \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{35-20 \sqrt{3}+14 \sqrt{3}-8 \times 3}{49-48}=a+b \sqrt{3} \\ \Rightarrow 11-6 \sqrt{3}=a+b \sqrt{3}
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
a=11,b=-6
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:13. \sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8 \sqrt{7+4 \sqrt{3}}}} का मान है
(a)1 (b) 2 (c) 3 (d) 8
Solution: \sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8 \sqrt{7+4 \sqrt{3}}}} \\ =\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{3+8 \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}} \\=\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+8(2+\sqrt{3})}} \\ =\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{3+16+8 \sqrt{3}}} \\ =\sqrt{-\sqrt{3}+ \sqrt{19+8 \sqrt{3}}} \\ =\sqrt{-\sqrt{3}+\sqrt{(4+\sqrt{3})^2}} \\ =\sqrt{-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:14. 3 \sqrt{7}-4 \sqrt{5}  से 5 \sqrt{7}- 2 \sqrt{5} कितना अधिक है?
(a) 5(\sqrt{7}+\sqrt{5}) (b) \sqrt{7}+\sqrt{5} (c) 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) (d) 7(\sqrt{2}+\sqrt{5})
Solution: 3 \sqrt{7}-4 \sqrt{5}  से 5 \sqrt{7}- 2 \sqrt{5} से कितना अधिक है?
\Rightarrow (5 \sqrt{7}-2 \sqrt{5})-(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{5}) \\ \Rightarrow 5 \sqrt{7}-2 \sqrt{5}-3 \sqrt{7}+4 \sqrt{5} \\ \Rightarrow 2 \sqrt{7}+2 \sqrt{5} \\ \Rightarrow 2(\sqrt{7}+\sqrt{5})
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:15.यदि x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} और y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} तो x^2+y^2 का मान है
(a) 14 (b) 13 (c) 15 (d) 10
Solution: x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{3+1+2 \sqrt{3}}{3-1} \\ =\frac{2(2+\sqrt{3})}{2} \Rightarrow x=2+\sqrt{3} \\ y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1} \\ =\frac{2(2-\sqrt{3})}{2} \Rightarrow y=2-\sqrt{3} \\ x^2+y^2=(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2 \\ =4+3+4 \sqrt{3}+4+3-4 \sqrt{3} \\ \Rightarrow x^2+y^2=14
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:16.दिया गया है कि \sqrt{5}=2.236 तथा \sqrt{3}=1.732 ,तब \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} का मान होगा
(a)0.504 (b) 0.252 (c) 0.362 (d) 0.312
Solution: \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\ =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} \\ =\frac{1}{2}(22.36-1.732) \\ =\frac{1}{2} \times 0.504=0.252
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:17. (256)^{0.16}(256)^{0.09} का मान है
(a) 256.25 (b) 64 (c) 16 (d) 4
Solution: (256)^{0.16}(256)^{0.09} \\ =(256)^{0.16+0.09}=256^{0.25} \\ =\left(4^4\right)^{0.25}=4^{4 \times 0.25}=4^1=4
अतः विकल्प (d) सही है।

Illustration:18.यदि \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2}=a \sqrt{7}+b हो,तो a का मान होगा
(a) \frac{11}{3} (b) -\frac{4}{3} (c) \frac{4}{3} (d) \frac{-4 \sqrt{7}}{4}
Solution: \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}+2}=a \sqrt{7}+b \\ =\frac{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)} =a \sqrt{7}+b \\ =\frac{7+4-4 \sqrt{7}}{7-4}=a \sqrt{7}+b \\ =\frac{11}{3}-\frac{4}{3} \sqrt{7}=a \sqrt{7}+b
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
a=-\frac{4}{3}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:19.दिया \sqrt{3}=1.732 है कि है तो \left(\sqrt{147}-\frac{1}{4} \sqrt{48}-\sqrt{75}\right) बराबर है
(a) 5.196 (b) 3.464 (c) 1.732 (d) 0.866
Solution: \sqrt{147}-\frac{1}{4} \sqrt{48}-\sqrt{75} \\ =\sqrt{49 \times 3}-\frac{1}{4} \sqrt{16 \times 3}-\sqrt{25 \times 3} \\ =7 \sqrt{3}-\frac{4}{4} \sqrt{3}-5 \sqrt{3} \\=7 \sqrt{3}-6 \sqrt{3}=\sqrt{3}=1.732
अतः विकल्प (c) सही है।

Illustration:20.वह संख्या जिसे (\sqrt{3}+\sqrt{2}) के साथ गुणा करने पर (\sqrt{12}+\sqrt{18}) प्राप्त होता है,है

(a) 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3} (b) 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3} (c) \sqrt{6} (d) 2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}
Solution: \sqrt{12}+\sqrt{18} \\ =\sqrt{4 \times 3}+\sqrt{9 \times 2}=2 \sqrt{3}+3 \sqrt{2} \\ x(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{12}+\sqrt{18} \\ x=\frac{2 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\ =\frac{6-2 \sqrt{6}+3 \sqrt{6}-6}{3-2} \\ x=\sqrt{6}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:21.दिया है कि \sqrt{5}=2.24 ,तो \frac{3 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}-0.48} का मान होगा
(a) 0.168 (b) 1.68 (c) 16.8 (d) 168
Solution: \frac{3 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}-0.48}=\frac{3 \times 2.24}{2 \times 2.24-0.48} \\ =\frac{6.72}{4.48-0.48}=\frac{6.72}{4}=1.68
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:22. (\sqrt{2}+\sqrt{7-2 \sqrt{10}}) बराबर होगा
(a) \sqrt{2} (b) \sqrt{7} (c) \sqrt{5} (d) 2 \sqrt{5}
Solution: \sqrt{2}+\sqrt{7-2 \sqrt{10}} \\ =\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} \\ =\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{5}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:23. 5^7 \times 5^4 \div 5^8 का मान है
(a) 25 (b) 50 (c) 75 (d) 125
Solution: 5 \times 5^4 \div 5^8=5^{7+4-8}=5^3 =125
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:24. \sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{4}} का मान है
(a) 1 (b) \frac{5 \sqrt{5}}{6} (c) -\frac{1}{2 \sqrt{3}} (d) \frac{1}{2 \sqrt{3}}
Solution: \sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{4 \sqrt{3}-3 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:25.यदि a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} और b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} हो,तो \frac{a^2+a b+b^2}{a^2-a b+b^2} का मान होगा:
(a) \frac{3}{4} (b) \frac{4}{3} (c) \frac{3}{5} (d) \frac{5}{3}
Solution: a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=\frac{6+2 \sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{5+1-2 \sqrt{5}}{5-1}=\frac{6-2 \sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ \frac{a^2+a b+b^2}{a^2-a b+12} =\frac{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^2+\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) +\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2}{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^2-\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2} \\ =\frac{9+5+6 \sqrt{5}+9-5+9+5-6 \sqrt{5}}{9+5+6 \sqrt{5}-9+5+9+5-6 \sqrt{5}} \\ =\frac{32}{24}=\frac{4}{3}
अतः विकल्प (b) सही है।

Indices and Surds in Arithmetic

Illustration:26.यदि \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{-6}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2 x-1} हो,तो x बराबर होगा
(a) -2 (b) 2 (C) -1 (d) 1
Solution: \left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{3}{5}\right)^{-6}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2 x-1} \\ \Rightarrow\left(\frac{3}{5}\right)^{3-6}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2 x-1} \\ \Rightarrow\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2 x-1}
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
2 x-1=-3 \Rightarrow 2 x=-3+1 \\ \Rightarrow x=-\frac{2}{2}=-1
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:27. \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} बराबर है
(a) -576 (b) 576 (c) 376 (d) -288
Solution: \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \\ =2^2 \times 3^2 \times 4^2=4 \times 9 \times 16=576
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:28. \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots \ldots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} का मान है
(a) 1 (b) 9 (c) \sqrt{99} (d) \sqrt{99}-1
Solution: \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} \\ =\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3} +\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{(\sqrt{4}-\sqrt{3})}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+\cdots +\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})(\sqrt{100}-\sqrt{99})} \\ =\frac{\sqrt{2}-1}{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ =-1+\sqrt{100}=-1+10=9
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:29.यदि p=124 हो,तो \sqrt[3]{P\left(P^2+3 P+3\right)+1} का मान है
(a) 5 (b) 7 (c) 123 (d) 125
Solution: \sqrt[3]{P\left(P^2+3P+3\right)+1}=\sqrt[3]{124\left(124^2+3 \times 124+3\right)+1} \\ =\sqrt[3]{124(15376+372+3)+1} \\ =\sqrt[3]{124 \times 15751+1}=\sqrt[3]{1953124+1} \\ =\sqrt[3]{1953125}=125
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:30. 3 \sqrt{5} एक करणी है,जिसकी कोटि है
(a) 1 (b) \frac{1}{2} (c) 3 (d) 2
Solution:कोटि 3 है।
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:31. \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}} का मान होगा:
(a) 2^{\frac{9}{2}} (b) 2^{\frac{11}{2}} (c) 2^{\frac{31}{32}} (d) 2^{\frac{39}{31}}
Solution: \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}} \\ =\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \times 2^{\frac{1}{2}}}}}} \\=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \times 2^{\frac{3}{4}}}}} \\ =\sqrt{2 \sqrt{2 \times 2^{\frac{7}{8}}}}=\sqrt{2 \times 2^{\frac{15}{16}}} \\ =\sqrt{2^{\frac{31}{16}}}=2^{\frac{31}{32}}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:32. \frac{\sqrt{5}}{3-\sqrt{2}} का मान है
(a) \sqrt{5} (b)5 (c) \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: \frac{\sqrt{5}}{3-\sqrt{2}} \times \frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} \\=\frac{\sqrt{5}(3+\sqrt{2})}{9-2} =\frac{\sqrt{5}}{7}(3+\sqrt{2})
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:33.यदि \sqrt{2}=1.4142 ,तो \frac{7}{3+\sqrt{2}} का मान होगा
(a) 1.5858 (b) 4.4142 (c) 3.4852 (d) 3.5858
Solution: \frac{7}{3+\sqrt{2}} \times \frac{(3-\sqrt{2})}{3-\sqrt{2}}=\frac{7(3-1.4142)}{9-2} =1.5858
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:34.यदि a=5+2 \sqrt{6} हो,तो \left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right) का मान कितना है
(a) 2 \sqrt{2} (b) 3 \sqrt{2} (C) 2 \sqrt{3} (d) 3 \sqrt{3}
Solution: \sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}} \\ =\sqrt{5+2 \sqrt{6}}- \frac{\sqrt{(5-2 \sqrt{6})}}{\sqrt{(5+2 \sqrt{6})(5-2 \sqrt{6})}} \\ =\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\frac{\sqrt{(5-2 \sqrt{6} )}}{\sqrt{25-24}}=\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\frac{\sqrt{(5-2 \sqrt{5}})}{\sqrt{1}} \\ =\sqrt{(\sqrt{3} +\sqrt{2})^2}-\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} \\ =\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2 \sqrt{2}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:35. 5^4 \times 5^8 निम्नलिखित में से किसके बराबर है
(a) 5^{20} (b) 5^{32} (c) 5^{16} (d) 5^{12}
Solution: 5^4 \times 5^8=5^{12}
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:36.यदि 5 \sqrt{5} \times 5^3 \div 5^{-\frac{3}{2}}=5^{a+2} ,तो a का मान है:
(a) 4 (b) 1 (c) 6 (d)8
Solution: 5 \sqrt{5} \times 5^3 \div 5^{-\frac{3}{2}}=5^{a+2} \\ \frac{5^{\frac{3}{2}} \times 5^3}{5^{-\frac{3}{2}}}=5^{a+2} \\ \Rightarrow 5^{\frac{3}{2}+\frac{3}{1}+\frac{3}{2}}=5^{a+2} \\ 5^{\frac{12}{2}}=5^{a+2}
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
a+2=6
\Rightarrow a=2
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:37.यदि 4^x=\sqrt{2^{3 y}} ,तो
(a) x=\frac{3}{4} y (b) y=\frac{3}{4} x (c)x=3 y (d) x=\frac{1}{3} y
Solution: 4^x=\sqrt{2^{3 y}} \Rightarrow 4^x=2^{\frac{3 y}{2}} \\ \Rightarrow 2^{2 x}=2^{\frac{3 y}{2}}
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
2 x=\frac{34}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{4} y
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:38. \left(64 x^3 \div 27 a^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}} का मान होगा:
(a) \frac{9}{16 x^2 a^2} (b) \frac{3}{4} x^{-2} a^{-2} (c) \frac{9}{16 a x} (d) \frac{99 x}{16}
Solution: \left(64 x^3 \div 27 a^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}} \\ =\left(\frac{64 x^3}{27 a^{-3}}\right)^{-\frac{2}{3}} \\ =\left[\left(\frac{4 x a}{3}\right)^3\right]^{-\frac{2}{3}} \\ =\left(\frac{4 a x}{3}\right)^{-2} =\left(\frac{3}{4 a x}\right)^2=\frac{9}{16 a^2 x^2}
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:39.यदि a=\sqrt{7}-\sqrt{5} तथा c=\sqrt{7}+\sqrt{5} हो,तो \frac{c^2-a^2}{c^2+a^2} का मान क्या होगा?
(a) 1 (b) 0 (c) \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: \frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2-(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+5)^2+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2} \\ =\frac{7+5+2 \sqrt{35}-7-5+2 \sqrt{35}}{7+5+2 \sqrt{35}+7+5-2 \sqrt{35}}=\frac{4 \sqrt{35}}{24} \\ =\frac{\sqrt{35}}{6}
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:40. \left[(2+\sqrt{2})+\frac{1}{(2+\sqrt{2})}-\frac{1}{(\sqrt{2}-2)}\right] का मान होगा
(a) 2+\sqrt{2} (b) 2 (c) 2 \sqrt{2} (d) 2-\sqrt{2}
Solution: 2+\sqrt{2}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-2} \\ =2+\sqrt{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} -\frac{\sqrt{2}+2}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} \\ =2+\sqrt{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}-\left(\frac{\sqrt{2}+2}{4-2}\right) \\ =2+\sqrt{2}+\frac{2-\sqrt{2}-\sqrt{2}-2}{2}=2+\sqrt{2}-\sqrt{2}=2
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:41. \left(\frac{2^x+2^{x-1}}{2^{x+1}-2^x}\right) का मान है
(a) \frac{1}{2} (b) \frac{3}{2} (c) 2 \frac{x}{x+1} (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: \frac{2^x+2^{x-1}}{x^{x+1}-2^x} \\ =\frac{2^x(1+\frac{1}{2})}{2^x(2-1)}=\frac{3}{2}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:42. \left(x^{b+c}\right)^{b-c}\left(x^{c+a}\right)^{c-a}\left(x^{a+b}\right)^{a-b} का मान होगा:
(a) 0 (b) 1 (c) x (d) x^{a^2+b^2+c^2}
Solution: \left(x^{b+c}\right)^{b-c}\left(x^{c+a}\right)^{c-a}\left(x^{a+b}\right)^{a-b} \\ =x^{b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2}=x^0=1
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:43. \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7-\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} का मान होगा
(a) 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) (b) 2(\sqrt{7}-\sqrt{5}) (c) 2 (d) 12
Solution: \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) (\sqrt{7}+\sqrt{5})} \\ =\frac{7+5+2 \sqrt{35}+7+5-2 \sqrt{35}}{7-5}=\frac{24}{2}=12
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:44. (49)^2 \times 7^8 \div (343)^3=(7)^{?} में प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 3 (b) 13 (c) 7 (d) 9 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution: (49)^2 \times 7^8 \div (343)^3=(7)^{?}
माना ?= x \\ \left(7^2\right)^2 \times 7^8 \div\left(7^3\right)^3=(7)^x \\ \Rightarrow \frac{7^{4+8}}{7^9}=7^x \\ \Rightarrow 7^{12-9}=7^x \\ \Rightarrow 7^3=7^x \Rightarrow x=3
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:45. (5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5)^4 \times(5 \times 5)^6 \div 5^2 =(25)^{?} में प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 10 (b) 17 (c) 19 (d) 12 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution: (5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5)^4 \times(5 \times 5)^6 \div 5^2 =(25)^{?}
माना ?=x \\ \left(5^6\right)^4 \times\left(5^2\right)^6 \div 5^2=\left(5^2\right)^x \\ \Rightarrow \frac{5^{24} \times 5^{12}}{5^2}=5^{2 x} \\ \Rightarrow 5^{36-2}=5^{2 x} \\ \Rightarrow 2 x=34 \Rightarrow x=17
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:46.निम्न में से दोनों प्रश्नचिन्हों के स्थान पर क्या आएगा?
\frac{(?)^{2 \cdot 3}}{8}=\frac{2}{(?)^{1.7}}
(a) 8 (b) 7 (c) 4 (d) 16 (e) 2
Solution: \frac{(?)^{2 \cdot 3}}{8}=\frac{2}{(?)^{1.7}}
माना ?=x \\ \frac{x^{2.3}}{8}=\frac{2}{x^{1.7}} \\ \Rightarrow x^{2.3} \times x^{1.7}=2 \times 8 \\ \Rightarrow x^{2.3+1.7}=16 \\ \Rightarrow x^4=2^4 \Rightarrow x=2
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:47. (72 \div 2)^4 \times(36 \times 6)^3=(6)^{?} \times(12960 \div 10 ) में प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 12 (b) 13 (c) 11 (d) 14
Solution: (72 \div 2)^4 \times(36 \times 6)^3=(6)^2 \times(12960 \div 10)
माना  ?= x \\ (36)^4 \times(216)^3=6^x \times 1296 \\ \left(6^2\right)^4 \times\left(6^3\right)^3 \times 6^x \times 6^4 \\ \Rightarrow 6^8 \times 6^9=6^{x+4} \\ \Rightarrow 6^{8+9}=6^{x+4} \\ \Rightarrow x+4=17 \Rightarrow x=13
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:48.यदि 3^x - 3^{x-1}=18, x^x का मान है
(a) 3 (b) 8 (c) 27 (d) 216
Solution: 3^x-3^{x-1}=18 \\ \Rightarrow 3^x\left(1-\frac{1}{3}\right)=18 \\ \Rightarrow 3^x \times \frac{2}{3}=18 \\ \Rightarrow 3^x=\frac{18 \times 3}{2}=27 \\ \Rightarrow 3^x=3^3 \Rightarrow 2 c=3, x^x=3^3=27
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:49. \left(6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6)^7 \times (6 \times 6 \times 6\right)^5 \div (6)^3=(216)^{\text {? }} में प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 15 (b) 21 (c) 18 (d) 11
Solution: \left(6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6)^7 \times (6 \times 6 \times 6\right)^5 \div (6)^3=(216)^{\text {? }} माना  ?= \\ \left(6^6\right)^7 \times\left(6^3\right)^5 \div\left(6\right)^3=\left(6^3\right)^x \\ \Rightarrow \frac{6^{42} \times 6^{15}}{6^3}=6^{3 x} \\ \Rightarrow 6^{42+15-3}=6^{3 x} \\ \Rightarrow x^{54}=6^{3 x} \\ \Rightarrow 3 x=54 \Rightarrow x=18
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:50. \frac{(?)^{1.8}}{7^2}=\frac{24}{(?)^{1.2}} में प्रश्नचिन्ह का मान है
(a) 8 (b) 14 (c) 6 (d) 12
Solution: \frac{(?)^{1.8}}{7^2}=\frac{24}{(?)^{1.2}}
माना  ?= \\ \frac{x^{1.8}}{72}=\frac{24}{x^{1.2}} \\ \Rightarrow x^{1.8+1.2}=24 \times 72 \\ \Rightarrow x^3=1728 \\ \Rightarrow x=12
अतः विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में घातांक एवं करणी (Indices and Surds in Arithmetic),घातांक एवं करणी (Indices and Surds) को समझ सकते हैं।

3.अंकगणित में घातांक एवं करणी की समस्याएँ (Indices and Surds in Arithmetic Problems):

Indices and Surds in Arithmetic

(1.)\left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right)^2 का मान है
(a) 64 (b) 62 (c) 66 (d) 152
(2.) \sqrt[3]{1+\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{3-2 \sqrt{2}} को सरलीकृत किए जाने पर वह किसके बराबर होता है?
(a) 2-\sqrt{2} (b)\sqrt{2}-1 (c) 3-2 \sqrt{2} (d) 1
उत्तर (Answers):(1.)(b) (2.)(d)

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंकगणित में घातांक एवं करणी (Indices and Surds in Arithmetic),घातांक एवं करणी (Indices and Surds) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंकगणित में घातांक एवं करणी (Frequently Asked Questions Related to Indices and Surds in Arithmetic),घातांक एवं करणी (Indices and Surds) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में घातांक एवं करणी (Indices and Surds in Arithmetic) के इस आर्टिकल में
परिमेय संख्याओं के घातांक पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।