1.रूपान्तरण के उदाहरण का परिचय (Introduction to Illustrations of Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में रूपान्तरण (Transformation in Complex Analysis):

Illustrations of Transformations

रूपान्तरण के उदाहरण (Illustrations of Transformations) के इस आर्टिकल में दो रूपान्तरण कैसे अन्य तल में रूपान्तरित होते हैं,पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रूपान्तरण के उदाहरण (Illustrations of Transformations):

Illustration:1.सिद्ध करो कि रूपान्तरण
w=\frac{2 z+3}{z-4}
वृत्त x^2+y^2-4 x=0 को सीधी रेखा 4u+3=0 पर प्रतिचित्रित करता है और समझाएँ कि प्राप्त वक्र वृत्त क्यों नहीं है?
(Show that the transformation
w=\frac{2 z+3}{z-4}
maps the circle x^2+y^2-4 x=0 onto the straight line 4u+3=0 and explain why the curve obtained is not a circle.)
Solution:दिया हुआ रूपान्तरण
w=\frac{2 z+3}{z-4} \Rightarrow z=\frac{4 w+3}{w-2}
दिए हुए वृत्त की समीकरण है:
x^2+y^2-4 x \Rightarrow z \bar{z}-2(z+\bar{z})=0
रूपान्तरित समीकरण है:
\frac{4 w+3}{w-2}-\frac{4 \bar{w}+3}{\bar{w}-2}-2\left(\frac{4 w+3}{w-2}+\frac{4 \bar{w}+3}{\bar{w}-2} \right)=0 \\ \Rightarrow 16 w \bar{w}+12 w+12 \bar{w}+9-2(4 w \bar{w}-8 w+3 \bar{w}-6+4 w \bar{w}+3 w-8 \bar{w}-6)=0 \\ \Rightarrow 22(w+\bar{w})+33=0 \\ \Rightarrow 2 u+3=0
जो कि w-समतल में सरल रेखा की समीकरण है।
स्पष्टीकरण (Explanation):यहाँ वृत्त को सरल रेखा में बदला गया है जो द्विरैखिक रूपान्तरण के अंतर्गत संभव है क्योंकि हम सरल रेखा को वृत्त के एक विशेष मामले के रूप में मानते हैं।
समीकरण a w \bar{w}+\bar{b} w+b \bar{w}+c=0, जहाँ c वास्तविक है,एक वृत्त को दर्शाता है और यदि a=0 है तो यह एक सरल रेखा को दर्शाता है।
Illustration:2.सबसे सामान्य द्विरैखिक रूपान्तरण का निर्धारण करें जो वृत्त |z|=1 को |w|=1 पर रूपान्तरित करता है। आगे क्या शर्त लगाई गई है कि बिंदु z=1,-1 का प्रतिचित्रण क्रमशः w=1,-1 होनी चाहिए?
(Determine the most general bilinear transformation which transforms the circle |z|=1 onto |w|=1 . What further condition is imposed that the points z=1,-1 are to have images w=1,-1 respectively.)
Solution:प्रमेय के अनुसार सबसे सामान्य द्विरैखिक रूपान्तरण जो |z|=1 को |w|=1 में प्रतिचित्रित करता है:
w=e^{i \lambda} \cdot \frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-1} जहाँ \lambda वास्तविक है तथा | \alpha | <1
यह बिन्दु z=1,-1 का प्रतिचित्रण क्रमशः w=1,-1 है:
1=e^{i \lambda} \cdot \frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1} तथा -1=e^{i \lambda} \cdot \frac{-1-\alpha}{-\bar{\alpha}-1}
दोनों से:
-1=\frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1} \cdot \frac{\bar{\alpha}+1}{1+\alpha} \\ \Rightarrow \alpha \bar{\alpha}+\bar{\alpha}-\alpha-1=\alpha \bar{\alpha}+\alpha-\bar{\alpha}-1 \\ \Rightarrow 2 \alpha=2 \bar{\alpha} \\ \Rightarrow \alpha=\bar{\alpha} \\ \alpha=\bar{\alpha} का प्रयोग करने पर:
1=e^{i \lambda} \cdot \frac{1-\bar{\alpha}}{\overline{\alpha}-1} \\ \Rightarrow e^{i \lambda} =-1
Illustration:3.मोबियस रूपान्तरण ज्ञात करें जो वृत्त |z| \leq 1 को अनुकोण प्रतिचित्रण |w-1| \leq 1 पर करता है और बिंदु z=0,1 को क्रमशः w=\frac{1}{2}, 0 के अनुरूप बनाता है।क्या आँकड़ों द्वारा रूपान्तरण अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है?
(Find the mobius transformation which maps the circle |z| \leq 1 conformally onto |w-1| \leq 1 and makes the points z=0,1 correspond to w=\frac{1}{2}, 0 respectively.Is the transformation uniquely determined by the data?)
Solution: w=\frac{a z+b}{c z+d}, a d-b c \neq 0 \cdots(1)
अभीष्ट रूपान्तरण है,बिन्दु w=1 तथा w=\infty बिन्दु z=-\frac{b-d}{a-c} तथा z=-\frac{d}{c} के संगत है।
जबकि w=1 तथा w=\infty वृत्त |w-1|=1 के सापेक्ष प्रतिलोम बिन्दु है।बिन्दु -\frac{b-d}{a-c} तथा -\frac{d}{c} वृत्त |z|=1 के सापेक्ष प्रतिलोम बिन्दु होने चाहिए।
अतः
-\frac{b-d}{a-c}=\alpha तथा -\frac{d}{c}=\frac{1}{\alpha}
समीकरण (1) से:
w-1=\frac{(a-c) z+b-d}{c z+d}=\frac{a-c}{c} \cdot \frac{z+\frac{b-d}{a-c}}{z+\frac{d}{c}} \\ \Rightarrow w-1 =\frac{a-c}{c} \cdot \frac{z-\alpha}{z-\frac{1}{\bar{\alpha}}}=\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c} \cdot \frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-1} \cdots(2) \\ \frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c} का मान ज्ञात करने के लिए हम |w-1|=1 शर्त का प्रयोग करते हैं जबकि |z| =1
अर्थात् z \bar{z}=1 \\ 1=|w-1|=\left|\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c}\right|\left|\frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-1}\right| \\ =\left|\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c}\right|\left|\frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-z \bar{z}}\right| \\ =\left|\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c}\right|\left|\frac{z-\alpha}{z(\bar{\alpha}-\bar{z})}\right| \\ =\left|\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c}\right| [ |z-\alpha|=|\bar{\alpha}-\bar{z}| तथा |z|=1 ]
इस प्रकार \left|\frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c} \right|=1 इसलिए \frac{(a-c) \bar{\alpha}}{c}=e^{i \lambda} ,जहाँ \lambda वास्तविक है
अतः सामान्य रूपान्तरण जो |z| \leq 1 को |w-1| \leq 1 पर प्रतिचित्रित करता है
w-1=e^{i \lambda} \cdot \frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-1} \cdots(3)
यदि बिन्दु z=0,1 बिन्दु w=\frac{1}{2},0 के संगत हैं तो
-\frac{1}{2}=e^{i \lambda} \frac{0-\alpha}{0-1} तथा -1=e^{i \lambda} \frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1}
दोनों से:
\frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1} \cdot \frac{1}{2 \alpha}=1 \\ \Rightarrow 2 \alpha \bar{\alpha}-\alpha-1=0 \\ \Rightarrow 2\left(a_1^2+a_2^2\right)-\left(a_1+i a_2\right)-1=0 [ माना \alpha=a_1+i a_2 ]
\Rightarrow a_2=0,2\left(a_1^2+a_2^2\right)-a_1-1=0 \\ \Rightarrow 2 a_1^2-a_1-1=0 \\ \Rightarrow \left(2 a_1+1\right)\left(a_1-1\right)=0 \\ \Rightarrow a_1=-\frac{1}{2}, 1 \\ \Rightarrow \alpha=-\frac{1}{2} या 1
\alpha=1 लेने पर (3) से:
w-1=e^{i \lambda} जो कि द्विरैखिक रूपान्तरण नहीं है।
जब \alpha=-\frac{1}{2}, e^{i \lambda}=1 तब (3) से:
w-1=\frac{z+\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}z-1}=-\frac{2 z+1}{z+2} \\ \Rightarrow w=1-\frac{2 z+1}{z+2}=\frac{1-z}{z+2}
अतः अभीष्ट रूपान्तरण w=\frac{1-z}{z+2}
इससे स्पष्ट है कि यह रूपान्तरण अद्वितीय निर्धारित होता है।
Illustration:4.सिद्ध करें कि रूपान्तरण
w=\frac{i(z-i)}{(z+i)}
z-समतल के ऊपरी अर्द्ध भाग को w-समतल में इकाई वृत्त के आंतरिक भाग में प्रतिचित्रित करता है।
(prove that the transformation
w=\frac{i(z-i)}{(z+i)}
maps the upper half of the z-plane into the interior of the unit circle in the w-plane.)
Solution:दिया हुआ द्विरैखिक रूपान्तरण है:
w=\frac{i(z-i)}{z+i} \cdots(1) \\ \Rightarrow z=\frac{1-i w}{w-i} \\ \Rightarrow x+i y =\frac{(1-i w)(w+i)}{(w-i)(w+i)} \\ =\frac{2 w+i\left(1-w^2\right)}{w^2+1} \\ \therefore y =\frac{1-w^2}{1+w^2} \cdots (2)
अतः ऊपरी अर्द्ध भाग z-समतल परिभाषित है:
y>0 \Rightarrow 1-w^2>0 \Rightarrow w^2<1 \cdots(3) \\ w^2=|w|^2=|u+i v|^2 जहाँ w=u+iv \Rightarrow w^2=u^2+v^2
(3) से
u^2+v^2<1
जो कि स्पष्ट रूप से w-समतल में |w|=1 इकाई वृत्त के अन्दर बिन्दुओं को प्रदर्शित करता है।
अतः z-समतल का ऊपरी अर्द्ध तल w-समतल में इकाई वृत्त के अन्दर प्रतिचित्रित होता है।

Illustrations of Transformations

Illustration:5.सिद्ध कीजिए कि \int \frac{d s}{y} रूपान्तरण Z=\frac{a z+b}{c z+d} के संबंध में अपरिवर्तनीय है जहाँ a,b,c,d ऐसी संख्याएँ हैं जो ad-bc=1 और d s=\sqrt{\left(d x^2+d y^2\right)} की शर्त को संतुष्ट करती हैं।
(Show that \int \frac{d s}{y} is invariant with respect to the transformation Z=\frac{a z+b}{c z+d} where a,b,c,d are numbers satisfying the condition ad-bc=1and d s=\sqrt{\left(d x^2+d y^2\right)} .)
Solution: Z=\frac{a z+b}{c z+d}\\ \Rightarrow z=\frac{b-dZ}{c Z-a} \cdots(1)
(1) का अवकलन करने पर:
dz=\frac{(a d-b c)}{(c Z-a)^2} dZ \\ \Rightarrow dz=\frac{dZ}{\left(c Z-a\right)^2},[ \because a d-b c=1]
अब ds=\sqrt{\left(d x^2+d y^2\right)}=|d z|=\frac{|d Z|}{|c Z-a|^2} \\ =\frac{d \sigma}{\left|cZ-a\right|^2} \cdots(2) \\ 2 i y=z-\bar{z}=\frac{b-d Z}{c -a}-\frac{b-d \bar{Z}}{c \bar{Z}-a} \\ =\frac{(a d-b c)(Z-\bar{Z})}{|cZ-a|^2} \\ \Rightarrow 2 i y =\frac{2 i Y}{|c Z-a|^2}[ \because ad-bc=1, Z=X+iY] \\ \Rightarrow \frac{y}{Y}=\frac{1}{|c Z-a|^2} \\ d s=\frac{y}{Y} d \sigma \\ \Rightarrow \frac{d s}{y}=\frac{d \sigma}{Y} \\ \Rightarrow \int \frac{d s}{y}=\int \frac{d \sigma}{Y}
अतः दिए गए रूपान्तरण के अधीन \int \frac{d s}{y} अपरिवर्तनीय है।
Illustration:6.संबंध w=\frac{13 i z+75}{3 z-5 i} को \frac{w-\alpha}{w-\beta}=\lambda \frac{z-\alpha}{z-\beta} के रूप में व्यक्त करें जहाँ \alpha, \beta, \lambda स्थिरांक हैं। सिद्ध करो कि z-समतल में केंद्र z=0 और त्रिज्या 5 वाला वृत्त w-समतल में व्यास के रूप में w=\alpha और w=\beta को मिलाने वाली रेखा पर वृत्त में रूपांतरित हो जाता है और z-समतल में वे बिंदु जो पहले वृत्त के बाहर हैं,बाद के वृत्त के भीतर w-समतल में बिंदुओं में रूपांतरित हो जाते हैं।
(Express the relation w=\frac{13 i z+75}{3 z-5 i} in the form \frac{w-\alpha}{w-\beta}=\lambda \frac{z-\alpha}{z-\beta} where \alpha, \beta, \lambda are constants.Show that the circle in the z-plane with centre z=0 and radius 5 is transformed into the circle in the w-plane on the line joining w=\alpha and w=\beta as diameter and the points in the z-plane which are exterior to the former circle are transformed into points in the w-plane within the later circle.)
Solution: w=\frac{13 i z+75}{32-5 i}
स्थिर बिन्दु के लिए
z=\frac{13 i z+75}{3 z-5 i} \\ \Rightarrow 3 z^2-18 i z-75=0 \\ \Rightarrow z^2-6 i z-25=0 \\ \Rightarrow z=\frac{6 i \pm \sqrt{(-6 i)^2-4(-25)}}{2} \\ \Rightarrow z=3 i \pm 4
माना \alpha=3 i-4 तथा \beta=3 i+4
जब z=0 तब w=15i
अतः हम \gamma=0 तथा \delta=15 i ले सकते हैं
\lambda का मान है =\frac{d+\beta c}{d+\alpha c} \\ =\frac{-5 i+9 i+12}{-5 i+9 i-12} \\ =\frac{4 i+12}{4 i-12} =\frac{i+3}{i-3} \\ =\frac{i+3}{i-3} \times \frac{i+3}{i+3} \\ =-\frac{(3 i+4)}{5} \\ \alpha, \beta, \gamma, \delta तथा \lambda के मान अभीष्ट रूप में रखने पर:
\frac{w-(3 i-4)}{w-(3 i+4)}=\frac{-3 i+4}{5}\left[\frac{z-(3 i-4)}{z-(3 i+4)}\right] \cdots(2)
केन्द्र z=0 तथा त्रिज्या 5 वाले वृत्त की समीकरण |z|=5 \\ z=5 e^{i \theta} (2) में रखने पर:
\frac{\omega-\alpha}{\omega-\beta}=\lambda\left(\frac{5 e^{i \theta}-\alpha}{5 e^{i \theta}-\beta}\right) \\ \arg \frac{w-\alpha}{w-\beta}=\arg \lambda+\arg \left(5 e^{i \theta}-\alpha\right) -\arg \left(5 e^{i \theta}-\beta\right) \\ =\arg \left(-\frac{4}{5}-\frac{3}{5} i\right)+\arg {[(5 \cos \theta+4)+i(\sin \theta-3)]} -\arg [(5 \cos \theta-4)+i(5 \sin \theta-3)] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1} \left(\frac{5 \sin \theta-3}{5 \cos \theta+4}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{5 \sin \theta-3}{5 \cos \theta-4}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \\ =\tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{4}{3}}{1-\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}}\right) \\ =\tan^{-1} \infty \\ =\frac{\pi}{2} \frac{w-\alpha}{w-\beta}=\frac{\pi}{2}
इस प्रकार रूपान्तरण (2) वृत्त |z|=5, \frac{w-\alpha}{w-\beta}= \frac{\pi}{2} में प्रतिचित्रित होता है जो कि \alpha, \beta बिन्दुओं को व्यास के रूप में जोड़ने वाले w-समतल में वृत्त है।
|z|=5, \arg \frac{\omega-\alpha}{\omega-\beta}=\frac{\pi}{2} के अन्दर प्रतिचित्रित सिद्ध करने के लिए निम्न प्रक्रिया है:
|z|=5 के बाहर कोई बिन्दु z=5 r e^{i \theta} है,जहाँ r>1
\therefore \arg \frac{z-\alpha}{z-\beta}=\arg (z-\alpha)-\arg (z-\beta) \\ =\arg \left[5r e^{i \theta}-(3 i-4)\right]-\arg \left[5 r e^{i \theta}-(3 i+4)\right] \\=\arg [(5 r \cos \theta+4)+i(5 r \sin \theta-3)]- \arg [(5 r \cos \theta-4)+i(5 r \sin \theta-3] \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{5 r \sin \theta-3}{5 r \cos \theta+4}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{5 r \sin \theta-3}{5 r \cos \theta-4}\right) \\ =\tan ^{-1} \frac{8(3-5 r \sin \theta)}{25 r^2-7-30 r \sin \theta} \\ <\tan ^{-1} \frac{8(3-5 r \sin \theta)}{25-7-30 r \sin \theta} \\ \left[\because 25 r^2-7-30 r \sin \theta>25-7-30 r \sin \theta\right] \\ =\tan ^{-1} \frac{8(3-5r \sin \theta)}{6(3-5 r \sin \theta)}=\tan ^{-1} \frac{4}{3} \\ \Rightarrow \arg \frac{z-\alpha}{z-\beta}<\tan ^{-1} \frac{4}{3} \cdots(3)
अब \arg \frac{\omega-\alpha}{\omega-\beta}=\arg \lambda+\arg \frac{z-\alpha}{z-\beta} \\ <\tan ^{-1} \frac{3}{4}+\tan ^{-1} \frac{4}{3} [(3) से]
=\tan ^{-1} \infty=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \arg \frac{\omega-\alpha}{\omega-\beta}< \frac{\pi}{2}
जो कि वृत्त \arg \frac{w-\alpha}{\omega-\beta}=\frac{\pi}{2} के अन्दर के भाग को प्रदर्शित करता है।
Illustration:7.सिद्ध कीजिए कि रूपान्तरण
\bar{a} \omega z-b w-\bar{b} z+a=0
वृत्त |z|=1 को वृत्त |w|=1 पर प्रतिचित्रित करता है यदि |b| \neq |a| है।वह शर्त ज्ञात करें कि वृत्त का आंतरिक भाग दूसरे वृत्त के आंतरिक भाग पर प्रतिचित्रित किया जा सकता है।यह भी सिद्ध करो कि इस रूपान्तरण के लिए स्थिर बिंदु या तो इकाई वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम बिंदु हैं या उस वृत्त पर स्थित हैं।
(Show that the transformation
\bar{a} \omega z-b w-\bar{b} z+a=0
maps the circle |z|=1 onto the circle |w|=1 if |b| \neq |a| .Find the condition that the interior of the circle may be mapped on the interior of the second. Show also that for this transformation the fixed points are either Inverse points with respect to the unit circle or lie on that circle.)
Solution:दिया हुआ रूपान्तरण
\bar{a} w z-b w-\bar{b} z+a=0 \\ \Rightarrow w=\frac{a-\bar{b} z}{b-\bar{a} z} \\ \Rightarrow w \bar{w}-1=\frac{a-\bar{b} z}{b-\bar{a} z} \cdot \frac{\bar{a}-b \bar{z}}{\bar{b}-a \bar{z}}-1 \\ |w|^2-1 =\frac{(a \bar{a}-b \bar{b})(1-z \bar{z})}{(b-\bar{a} z)(a \bar{z})} \\ =\frac{\left(|a|^2-|b|^2\right)\left(1-|z|^2\right)}{|b-\bar{a} z|^2}
यह दर्शाता है कि यदि |a| \neq |b| तब |z|=1 ,|w|=1 अर्थात् रूपान्तरण वृत्त |z|=1 को वृत्त |w|=1 पर प्रतिचित्रित करता है यदि |b| \neq|a| . यह भी |w|<1 कि के लिए |z|<1 यदि \left(|a|^2-|b|^2\right)<0 अर्थात् यदि |a|<|b|. इस प्रकार प्रथम वृत्त का आन्तरिक भाग द्वितीय वृत्त के अन्दर प्रतिचित्रित होता है यदि |a|<|b|
अन्तिम भाग के लिए रूपान्तरण के स्थिर बिन्दु दिए जाते हैं:
a z^2-b z-\bar{b} z+a=0 \\ \Rightarrow \bar{a} z^2-(b+\bar{b}) z+a=0 \cdots(1)
यदि z_1, z_2 (1) के मूल बिन्दु हैं तब
z_1=(b+\bar{b})+\sqrt{\left[(b+\bar{b})^2-4 a \bar{a}\right]} \\ z_2=(b+\bar{b})-\sqrt{\left[(b +\bar{b})^2-4 a \bar{a}\right]}
(1) से प्राप्त करते हैं: z_1 z_2=\frac{a}{\bar{a}} \\ \Rightarrow \left|z_1\right|\left|z_2\right|=1
इस प्रकार यदि z_1, z_2 भिन्न-भिन्न हैं तो |z|=1 वृत्त के सापेक्ष ये प्रतिलोम बिन्दु हैं और यदि ये समान हैं,तब सम्बन्ध \left|z_1\right|^2=1 \Rightarrow\left|z_1\right|=1 बन जाता है अर्थात्  z_1, वृत्त |z|=1 पर स्थित है।
Illustration:8.w-समतल में वृत्त की त्रिज्या और केंद्र ज्ञात करें जो z-समतल में वास्तविक अक्ष के संगत है जहाँ
w=\frac{2 e^\alpha-i}{z-i e^\alpha}, \alpha एक वास्तविक अचर है।
(Find the radius and Centre of the circle in the w-plane which corresponds to the real axis in the z-plane where,
w=\frac{2 e^\alpha-i}{z-i e^\alpha}, \alpha being a real constant.)
Solution:दिया हुआ रूपान्तरण
w=\frac{z e^\alpha-i}{z-i e^\alpha} \\ \Rightarrow z =\frac{i\left(w e^\alpha-1\right)}{w-e^\alpha}
z-समतल में वास्तविक अक्ष की समीकरण y=0 है
\Rightarrow 2 i y=0 \Rightarrow z-\bar{z}=0
यह w-समतल में निम्न वक्र द्वारा रूपान्तरित होता है:
\frac{i\left(\omega e^\alpha-1\right)}{w-e^\alpha}+\frac{i\left(\bar{\omega} e^\alpha-1\right)}{\bar{\omega}-e^\alpha}=0 \\ \Rightarrow\left(w e^\alpha-1\right)\left(\bar{\omega}-e^\alpha\right) +\left(\omega-e^\alpha\right)\left(\bar{\omega} e^\alpha-1\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \omega \bar{w} e^\alpha-(\omega+\bar{w}) e^{2 \alpha}-(\omega+\bar{\omega})+2 e^\alpha=0 \left[\because \omega=u+i v \right] \\ \Rightarrow 2\left(u^2+v^2\right) e^\alpha-2 u e^{2 \alpha}-2 u+2 e^\alpha=0 \\ \Rightarrow u^2+v^2-u e^\alpha-u e^{-\alpha}+1=0 \\ \Rightarrow u^2+v^2=2 u \cosh \alpha+1=0\left[\because \cosh \alpha=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right]
जो कि केन्द्र (\cosh \alpha, 0) वाले वृत्त को निरूपित करता है अर्थात् w=\cosh \alpha तथा त्रिज्या \sqrt{\cosh ^2 \alpha+0-1}=\sinh \alpha
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रूपान्तरण के उदाहरण (Illustrations of Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में रूपान्तरण (Transformation in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

Illustrations of Transformations

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3.रूपान्तरण के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Illustrations of Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में रूपान्तरण (Transformation in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रूपान्तरण के उदाहरण (Illustrations of Transformations) के इस आर्टिकल में दो रूपान्तरण
कैसे अन्य तल में रूपान्तरित होते हैं,पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।