Example of LCM and HCF by Prime Factor
1.अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण का परिचय (Introduction to Example of LCM and HCF by Prime Factor),अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा HCF and LCM (HCF and LCM by Prime Factorisation Method):
अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor) के इस आर्टिकल में वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor):
Example:1.अभाज्य गुणनखण्डन विधि का प्रयोग करके 72,126 और 168 का म०स०प० (H.C.F.) और ल०स०प० (L.C.M) ज्ञात कीजिए।यह भी दर्शाइए कि म०स०प० (H.C.F.)×ल०स०प० (L.C.M) \neq संख्याओं का गुणनफल
Solution: 72=23 \times 3^2 \\ 126=2^1 \times 3^2 \times 7^1 \\ 168=2^3 \times 3^1 \times 7^1 \\ \therefore म०स०प०(72,126,168)=2^1 \times 3^1=6
ल०स०प०(72,126,168)=2^3 \times 3^2 \times 7^1=504
म०स०प०×ल०स०प०=6×504=3024
साथ ही तीनों संख्याओं का गुणनफल=72×126×168=1524096
3024 \neq 1524096
अतः म०स०प०×ल०स०प० \neq तीनों संख्याओं का गुणनफल
Example:2.बड़े से बड़ा धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिससे 122,150 और 115 को भाग देने पर क्रमशः 5,7 और 11 शेष बचें।
Solution:122-5=117,150-7=143,115-11=104
117 के गुणनखण्ड
\begin{array}{c|c} 3 & 117 \\ \hline 3 & 39 \\ \hline 3 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 117=3 \times 3 \times 13=3^2 \times 13
143 के गुणनखण्ड
\begin{array}{c|c} 11 & 143 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1\end{array} \\ 143=11×13
104 के गुणनखण्ड
\begin{array}{l|l} 2 & 104 \\ \hline 2 & 52 \\ \hline 2 & 26 \\ \hline 13 & 13 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 104=2 \times 2 \times 2 \times 13=2^3 \times 13 \\ \therefore HCF(117,143,104)=13
अतः अभीष्ट संख्या 13 है।
Example:3.एक विद्यालय में कक्षा X के दो सेक्शन हैं।पहले सेक्शन में 40 विद्यार्थी हैं और दूसरे सेक्शन में 48 विद्यार्थी है।उनके पुस्तकालय के लिए आवश्यक पुस्तकों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।ताकि उनको दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों में बराबर-बराबर बाँटा जा सके।
Solution:40 के अभाज्य गुणनखण्ड=
\begin{array}{c|c} 2 & 40 \\ \hline 2 & 20 \\ \hline 2 & 10 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 40=2 \times 2 \times 2 \times 5=2^3 \times 5
48 के अभाज्य गुणनखण्ड=
\begin{array}{c|c} 2 & 48 \\ \hline 2 & 24 \\ \hline 2 & 12 \\ \hline 2 & 6 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3=2^4 \times 3
अतः पुस्तकों की अभीष्ट संख्या=2^4 \times 3 \times 5=240
Example:4.बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो कि 43,91 और 183 को इस प्रकार विभाजित करें कि प्रत्येक अवस्था में एक समान शेष बचे।
Solution:HCF(91-43,183-91,183-43)=HCF(48,92,140)
48=2^4 \times 3 \\ 92=2^2 \times 23 \\ 140=2^2 \times 5 \times 7 \\ \therefore \text{HCF}=2^2=4
अतः 4 वह बड़ी से बड़ी संख्या है जिससे 43,91 और 183 को भाग देने पर एक समान शेष बचता है।
Example:5.गणित,भौतिकी,शारीरिक शिक्षा की पुस्तकों के सैटों की इस प्रकार ढेरी बनाई जानी है कि सभी पुस्तकों का विषयवार भण्डारण हो जाए।गणित,भौतिकी और शारीरिक शिक्षा की पुस्तकों की संख्या क्रमशः 14,18 और 22 है।यदि पुस्तकों की मोटाई एक समान हो तो प्रत्येक पुस्तक की ढेरियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:14 के गुणनखण्ड
\begin{array}{l|l} 2 & 14 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 14=2 \times 7
18 के गुणनखण्ड
\begin{array}{l|l} 2 & 18 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline & 1\end{array} \\ 18=2 \times 3 \times 3=2 \times 3^2
22 के गुणनखण्ड
\begin{array}{l|l} 2 & 22 \\ \hline 11 & 11 \\ \hline & 1 \end{array} \\ 22=2 \times 11
HCF(14,18,22)=2
प्रत्येक ढेरी में 2 पुस्तकें हैं।
गणित की पुस्तकों की ढेरियों की संख्या=\frac{14}{2}=7
भौतिकी की पुस्तकों की ढेरियों की संख्या=\frac{18}{2}=9
शारीरिक शिक्षा की पुस्तकों की ढेरियों की संख्या=\frac{22}{2}=11
Example:6.अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए।
Solution:96 के अभाज्य गुणनखण्ड=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3=2^5 \times 3
404 के गुणनखण्ड=2 \times 2 \times 101=2^2 \times 101
अतः HCF(96,404)=2^2=4
Example:7.अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा पूर्णांक 375 और 675 का HCF ज्ञात कीजिए।
Solution:375 के अभाज्य गुणनखण्ड=3 \times 5 \times 5 \times 5 =3 \times 5^3
675 के अभाज्य गुणनखण्ड=3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \\=3^3 \times 5^2
अतः HCF(375,675)=3 \times 5^2=75
Example:8.दो पूर्णांक संख्याओं का HCF व LCM क्रमशः 12 और 336 है।यदि एक पूर्णांक 48 है,तो दूसरा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
Solution:a=48,b=?,HCF=12,LCM=336
b=\frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{a}=\frac{12 \times 336}{48}=84
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor),अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा HCF and LCM (HCF and LCM by Prime Factorisation Method) को समझ सकते हैं।
3.HCF तथा LCM की शब्दावली (Glossary of HCF and LCM):
(1.)महत्तम समापवर्तक HCF का फुल फॉर्म है Highest Common Factor abbreviated as H.C.F. or Greatest common divisor abbreviated as G.C.D. इसको संक्षिप्त में म.स. (HCF) से व्यक्त करते हैं।तथा LCM का फुल फॉर्म है Least Common Multiple abbreviated as L.C.M. इसको संक्षिप्त में ल.स. (L.C.M.) से व्यक्त करते हैं।
(2.)दो या दो से अधिक दिये गए पूर्णांकों का म.स. वह सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जिसका कि दी गई संख्याओं में पूरा-पूरा भाग चला जाए।जबकि दिये गये दो या अधिक पूर्णांकों का ल.स. वह सबसे छोटा पूर्णांक (Least integer) होता है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
(3.)उदाहरणार्थ:2,4,6 का म.स. 2 है,क्योंकि 2 ही वह महत्तम पूर्णांक है जिसका 2,4,6 में पूरा-पूरा भाग जाता है।इसी प्रकार 2,4,6 का ल.स. 12 है क्योंकि 12 ऐसा लघुत्तम पूर्णांक है जो 2,4,6 से पूर्णतः विभाजित होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor),अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा HCF and LCM (HCF and LCM by Prime Factorisation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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4.अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor),अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा HCF and LCM (HCF and LCM by Prime Factorisation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.यदि दो धनात्मक पूर्णांक a तथा b हैं तो इनका गुणनफल किसके बराबर होता है? (If Two Positive Integers Are a and b then their Product is Equal to):
उत्तर:किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए,
HCF(a,b)×LCM(a,b)=a×b
प्रश्न:2.तीन संख्याओं के LCM व HCF और संख्याओं के गुणनफल का सूत्र लिखो। (Write Formula of LCM and HCF of Three Numbers and Product of Numbers):
उत्तर: \operatorname{LCM}(p, q, r)=\frac{p \cdot q \cdot r \operatorname{HCF}(p, q, r)}{\operatorname{HCF}(p, q) \cdot H C F(q, r) \cdot \operatorname{HCF}(p,r)} \\ \operatorname{HCF}(p, q, r)=\frac{p \cdot q \cdot r \operatorname{LCM}(p, q, r)}{\operatorname{LCM}(p, q) \cdot \operatorname{LCM}(q, r) \cdot \operatorname{LCM}{(p, r)}}
प्रश्न:3.अभाज्य गुणनखण्ड विधि से LCM कैसे ज्ञात करते हैं? (How is LCM Determined by Prime Factorisation Method?):
उत्तर:दी गई संख्याओं में संबद्ध प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल LCM होता है।
प्रश्न:4.अभाज्य गुणनखण्ड विधि से HCF कैसे ज्ञात करते हैं? (How is HCF Determined by Prime Factorisation Method?):
उत्तर:दी गई संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे छोटी घात का गुणनफल HCF होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण (Example of LCM and HCF by Prime Factor),अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा HCF and LCM (HCF and LCM by Prime Factorisation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा LCM और HCF के उदाहरण
(Example of LCM and HCF by Prime Factor)
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Factor) के इस आर्टिकल में वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियम पर आधारित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
