1.अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Line in Space Class 12),दो रेखाओं के बीच दूरी कक्षा 12 (Distance Between Two Lines Class 12):

Equation of Line in Space Class 12

अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Line in Space Class 12) के इस आर्टिकल में दिए गए बिन्दु से जाने वाली तथा दिए गए सदिश के समान्तर रेखा का समीकरण,दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण,दो रेखाओं के मध्य कोण,दो रेखाओं के मध्य दूरी पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Equation of Line in Space Class 12 Solved Examples):

Example:1.दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन \frac{12}{13},-\frac{3}{13},-\frac{4}{13} ; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13},-\frac{4}{13}, \frac{12}{13} वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत हैं।
Solution: l_1, m_1, n_1=\frac{12}{13},-\frac{3}{13},-\frac{4}{13}\\ l_2, m_2, n_2=\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \\ l_3, m_3, n_3=\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13} \\ l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=\frac{12}{13} \times \frac{4}{13}+\left(\frac{-3}{13}\right) \times \frac{12}{13}+\left(\frac{-4}{13}\right) \times \frac{3}{13} \\=\frac{48}{169}-\frac{36}{169}-\frac{12}{169} \\ \Rightarrow l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0
अतः रेखाएँ लम्बवत हैं।
l_1 l_3+m_1 m_3+n_1 n_3=\frac{12}{13} \times \frac{3}{13}+\left(\frac{-3}{13}\right) \times \left(\frac{-4}{13}\right)-\frac{4}{13} \times \frac{12}{13} \\ =\frac{36}{169}+\frac{12}{169}-\frac{48}{169} \\ \Rightarrow l_1 l_3+m_1 m_3+n_1 n_3=0
अतः रेखाएँ लम्बवत् हैं।
l_2 l_3+m_2 m_3+n_2 n_3=\frac{4}{13} \times \frac{3}{13}+\frac{12}{13} \times \frac{-4}{13}+\frac{3}{13} \times \frac{12}{13} \\ =\frac{12}{169}-\frac{48}{169}+\frac{36}{169} \\ \Rightarrow l_2 l_3+m_2 m_3+n_2 n_3=0
अतः रेखाएँ लम्बवत् हैं।
फलतः तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।
Example:2.दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1,2),(3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0,3,2) और (3,5,6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
Solution:बिन्दुओं A(1,-1,2),B(3,4,-2) से जाने वाली रेखा AB के दिक् अनुपात
a_1, b_1, c_1=3-1,4-(-1),-2-2 \\ \Rightarrow a_1, b_1, c_1=2,5,-4
C(0,3,2),D(3,5,6) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
a_2, b_2, c_2=3-0,5-3,6-2 \\ \Rightarrow a_2, b_2, c_2=3,2,4 \\ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=(2)(3)+(5)(2)+(-4)(4) \\ \Rightarrow a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=6+10-16=0
अतः AB \perp CD
Example:3.दर्शाइए कि बिन्दुओं (4,7,8), (2,3,4) से होकर जाने वाली रेखा,बिन्दुओं (-1,-2,1),(1,2,5) से जाने वाली रेखा के समान्तर है।
Solution:बिन्दुओं A(4,7,8) तथा B(2,3,4) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
a_1, b_1, c_1=2-4,3-7,4-8 \\ \Rightarrow a_1, b_1, c_1=-2,-4,-4
बिन्दुओं C(-1,-2,1) तथा D(1,2,5) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
a_2, b_2, c_2=1-(-1), 2-(-2), 5-1 \\ \Rightarrow a_2, b_2, c_2=2,4,4 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{-2}{2}=-1, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{4}=-1, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-4}{4}=-1 \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=-1
अतः AB \parallel CD
Example:4.बिन्दु (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश 3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} के समान्तर है।
Solution: \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}
बिन्दु (1,2,3) का स्थिति सदिश \vec{a}=\hat{i}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}
अतः सदिश \vec{b} के समान्तर तथा (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण:
\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \\ \Rightarrow \vec{r} =\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})
Example:5.बिन्दु जिसकी स्थिति सदिश 2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k} से गुजरने व सदिश \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}
से गुजरने वाली तथा की दिशा में रेखा का सदिश समीकरण:
\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \\ \Rightarrow \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) \\ \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \\ \Rightarrow x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=(2+x) \hat{i}+(-1+2 x) \hat{j}+(4-\lambda) \hat{k}
दोनों पक्षों के \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} गुणांकों की तुलना करने पर:
x=2+\lambda \Rightarrow \lambda=x-2 \\ y=-1+2 \lambda \Rightarrow \lambda=\frac{y+1}{2} \\ z=4-\lambda \Rightarrow \lambda=\frac{z-4}{-1}
अतः रेखा का कार्तीय समीकरण:
\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-y}{-1}
Example:6.उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2,4,-5) से जाती है और \frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6} के समान्तर है।
Solution: \frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6} रेखा के दिक् अनुपात हैं:3,5,6
अतः रेखा का कार्तीय समीकरण:
\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \\ \Rightarrow \frac{x+2}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+5}{6}
Example:7.एक रेखा का कार्तीय समीकरण \frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2} है।इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:रेखा का कार्तीय समीकरण:
\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}
अतः \vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k}
तथा \vec{a}=5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k}
रेखा का सदिश समीकरण:
\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \\ \Rightarrow \vec{r}=5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k})
Example:8.मूल बिन्दु और (5,-2,3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:मूल बिन्दु का स्थिति सदिश:
(0,0,0) तथा (5,-2,3) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात=5-0,-2-0,3-0
a,b,c=5,-2,3
अतः \vec{b}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}
रेखा का सदिश समीकरण:
\vec{r}=\vec{\alpha}+\lambda \vec{b} \\ =\overrightarrow{0}+\lambda(5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{r} =\lambda(5 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})
तथा कार्तीय समीकरण:
\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c} \\ \Rightarrow \frac{x-0}{5}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-0}{3} \\ \Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}
Example:9.बिन्दुओं (3,-2,-5) और (3,-2,6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण को ज्ञात कीजिए।
Solution:बिन्दु (3,-2,-5) का स्थिति सदिश
\vec{a}=3 \hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}
बिन्दु (3,-2,6) का स्थिति सदिश
\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}
अतः दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a}) \\ =3 \hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}-3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{g} =3 \hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}+11 \lambda \hat{k}
रेखा का कार्तीय समीकरण:
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z_2-z_1}{z_2-z_1} \\ \Rightarrow \frac{x-3}{3-3}=\frac{y+2}{-2+2}=\frac{z+5}{6+5} \\ \Rightarrow \frac{x-3}{0}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+5}{11}

Equation of Line in Space Class 12

Example:10.निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
Example:10(i). \vec{r}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) और \vec{r}=7 \hat{i}-6 \hat{k}+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})
Solution: \vec{r}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})
इस रेखा के दिक् अनुपात a_1, b_1, c_1=3,2,6 \\ \vec{r}=7 \hat{i}-6 \hat{k}+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})
इस रेखा के दिक् अनुपात a_2, b_2, c_2=1,2,2
दो रेखाओं के मध्य कोण \theta हो तो
\cos \theta= \frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+ c_2^2}} \\ =\frac{(3)(1)+(2)(2)+(6)(2)}{\sqrt{(3)^2+(2)^2+(6)^2} \sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}} \\ = \frac{3+4+12}{\sqrt{9+4+36} \sqrt{1+4+4}} \\ = \frac{19}{\sqrt{49} \sqrt{9}}=\frac{19}{7 \times 3} \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{19}{21} \\ \Rightarrow \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)
Example:10(ii). \vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) और \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})
Solution: \vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})
इस रेखा के दिक् अनुपात: a_1, b_1, c_1=1,-1,-2 \\ \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+56 \hat{k}+4(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})
इस रेखा के दिक् अनुपात: a_2, b_2, c_2=3,-5,-4
दो रेखाओं के बीच कोण हो तो:
\cos \theta =\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+ c_2^2}} \\ =\frac{(1)(3)+(-1)(-5)+(-2)(-4)}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2+(-2)^2 } \sqrt{(3)^2+(-5)^2+(-4)^2}} \\ =\frac{3+5+8}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{9+25+16}} \\ =\frac{16}{\sqrt{6} \sqrt{50}} \\ =\frac{16}{\sqrt{300}} =\frac{16}{10 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow \theta =\cos ^{-1}\left(\frac{8}{5 \sqrt{3}}\right)
Example:11.निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
Example:11(i). \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3} और \frac{x+2}{-1}=\frac{y-y}{8}=\frac{z-5}{4}
Solution:रेखा \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3} के दिक् अनुपात: a_{1}, b_{1}, c_{1} =2,5,-3
रेखा \frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4} के दिक् अनुपात: a_2, b_2, c_2=-1,8,4
दोनों रेखाओं के मध्य कोण \theta हो तो:
\cos \theta=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+ c_2^2}} \\ =\frac{(2)(-1)+(5)(8)+(-3)(4)}{\sqrt{(2)^2+(5)^2+(-3)^2}\sqrt{(-1)^2+8^2+4^2}} \\ =\frac{-2+40-12}{\sqrt{4+25+9} \sqrt{1+64+16}} \\ =\frac{26}{\sqrt{38} \sqrt{81}} \\ =\frac{26}{9 \sqrt{38}} \\ \Rightarrow \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\right)
Example:11(ii). \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1} और \frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8}
Solution:रेखा \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1} के दिक् अनुपात: a_1, b_1, c_1=2,2,1
रेखा \frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8} के दिक् अनुपात: a_2, b_2, c_2=4,1,8
यदि दोनों रेखाओं के मध्य कोण हो तो:
\cos \theta =\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+ c_2^2}} \\ =\frac{(2)(4)+(2)(1)+(1)(8)}{\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2} \sqrt{(4)^2+(1)^2+(8)^2}} \\ =\frac{8+2+8}{\sqrt{4+4+1} \sqrt{16+1+64}} \\ =\frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}=\frac{18}{3 \times 9} \\ \Rightarrow \theta =\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)
Example:12.p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ \frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2} और \frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5} परस्पर लम्ब हों।
Solution:रेखा \frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2} के दिक् अनुपात:
\Rightarrow \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2 p}{7}}=\frac{z-3}{2} \\ a_1, b_1, c_1=-3, \frac{2 p}{7}, 2
रेखा \frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-1}{1}=\frac{6-z}{5} के दिक् अनुपात:
\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{-3 p}{7}}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5} \\ a_2, b_2, c_2=\frac{-3 p}{7}, 1,-5
दोनों रेखाएँ लम्बवत् हैं अतः
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow(-3)\left(\frac{-3 p}{7}\right)+\left(\frac{2 p}{7}\right)(1)+(2)(-5)=0 \\ \Rightarrow \frac{9 p}{7}+\frac{2 p}{7}-10=0 \\\frac{11 p}{7}=10 \Rightarrow b=\frac{70}{11}
Example:13.दिखाइए कि रेखाएँ \frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1} और \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} परस्पर लम्ब हैं।
Solution:रेखा \frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1} के दिक् अनुपात: a_1, b_1, c_1=7,-5,1
रेखा \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} के दिक् अनुपात: a_2, b_2, c_2=1,2,3 \\ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2 =(7)(1)+(-5)(2)+(1)(3) \\ =7-10+3 \\ \Rightarrow a_1 a_2+b_1 b_2 +c_1 c_2=0
अतः रेखाएँ लम्बवत् हैं।
Example:14.रेखाओं \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) +\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) और \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+ \mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})
इसमें \vec{a}_1=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}_1=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})
इसमें \vec{a}_2=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, \vec{b}_2=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{a}_2-\vec{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}-(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}_2-\vec{a}_1=\hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2-1)-\hat{i}(2-2)+\hat{k}(1+2) \\ \Rightarrow \overrightarrow{b_1} \times \vec{b}_2=-3 \hat{i}+3 \hat{k} \\ \left|\overrightarrow{b_1} \times \vec{b}_2\right| =\sqrt{(-3)^2+(3)^2}=\sqrt{9+9} \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{b_1} \times \vec{b}_2\right|=3 \sqrt{2}
न्यूनतम दूरी d=\left|\frac{\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right) \cdot \left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right| \\ =\left|\frac{(-3 \hat{i}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k})}{3 \sqrt{2}}\right| \\ =\left|\frac{(-3)(1)+0(-3)+(3)(-2)}{3 \sqrt{2}}\right| \\ =\left|\frac{-3-6}{3 \sqrt{2}}\right|=\frac{9}{3 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow d =\frac{3 \sqrt{2}}{2}
Example:15.रेखाओं \frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1} और \frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1} के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:रेखा \frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1} में
x_1=-1, y_1=-1, z_1=-1 तथा a_1, b_1, c_1=7,-6,1
रेखा \frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1} में
\left(x_2, y_2, z_2\right)=(3,5,7) तथा a_2, b_2, c_2=1,-2,1 \\ \left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc} 3+1 & 5+1 & 7+1 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{array}\right| \\=4(-6+2)-6(7-1)+8(-14+6) \\ =4(-4)-6 \times 6+8 \times-8 \\ =-16-36-64=-116
दोनों रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी:
d=\frac{\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right|}{\sqrt{\left(b_1 c_2-b_2 c_1\right)^2+\left(c_1 a_2-c_2 a_1\right)^2+\left(a_1 b_2-a_2 b_1 \right)^2}} \\ =\frac{-116}{\sqrt{(-6 \times 1+2 \times 1)^2+(1 \times 1-1 \times 7)^2+(7 \times-2-1 \times-6)^2}} \\ =\frac{-116}{\sqrt{(-6+2)^2+(1-7)^2+(-14+6)^2}}\\ =\frac{-116}{\sqrt{66+36+64}} \\ d=\left|\frac{-116}{\sqrt{116}}\right| \Rightarrow d=\sqrt{116}=2 \sqrt{29}
Example:16.रेखाएँ,जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है,के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}) और
\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})
Solution:रेखा \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}) में
\vec{a}_1=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} तथा \vec{b}_1=\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}
रेखा \vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}) में
\vec{a}_2=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k} तथा \vec{b}_2=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k} \\ \vec{a}_2-\vec{a}_1=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}-(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}_2-\vec{a}_1=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \vec{b}_1 \times \vec{b}_2=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right| \\=\hat{i}(-3-6)-\hat{j}(1-4)+\hat{k}(3+6) \\ \Rightarrow \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 =-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k} \\ \left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right| =\sqrt{(-9)^2+(3)^2+(9)^2} \\ =\sqrt{81+9+81} \\ \Rightarrow\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right| =\sqrt{171}=3 \sqrt{19}
न्यूनतम दूरी:
d=\left|\frac{\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right) \cdot\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right)}{\mid \vec{b}_1 \times \vec{b}_2 \mid}\right| \\ =\left|\frac{(-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k})}{3 \sqrt{19}}\right| \\ =\left|\frac{-9 \times 3+3 \times 3+9 \times 3}{3 \sqrt{19}}\right| \\ =\left|\frac{-27+9+27}{3 \sqrt{19}}\right| \\ =\frac{9}{3 \sqrt{19}} \\ \Rightarrow d=\frac{3}{\sqrt{19}}
Example:17.रेखाएँ,जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं,के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k} और \vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}
Solution: \vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{r}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}+t(-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) में
\overrightarrow{a_1}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} तथा \overrightarrow{b_1}=-\hat{i}+ \hat{j}-2 \hat{k} \\ \vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) में
\overrightarrow{a_2}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k} तथा \overrightarrow{b_2}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \vec{a}_2-\vec{a}_1=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}-(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}_2-\vec{a}_1 =\hat{j}-4 \hat{k} \\ \overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2} =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\1 & +2 & -2 \end{array}\right| \\=\hat{i}(-2+4)-\hat{j}(2+2)+\hat{k}(-2-1) \\ \Rightarrow \vec{b}_1 \times \vec{b}_2=2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k} \\ \Rightarrow \left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right| =\sqrt{(2)^2+(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+16+9} =\sqrt{29}
दोनों रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी:
d=\left|\frac{\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right) \cdot \left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right| \\=\left|\frac{(2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(\hat{j}-4 \hat{k})}{\sqrt{29}} \right| \\ =\left|\frac{(-4)(1)+(-3)(-4)}{\sqrt{29}}\right| \\ =\left|\frac{-4+12}{\sqrt{29}}\right| =\frac{8}{\sqrt{29}} \\ \Rightarrow d =\frac{8}{\sqrt{29}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Line in Space Class 12),दो रेखाओं के बीच दूरी कक्षा 12 (Distance Between Two Lines Class 12) को समझ सकते हैं।

3.अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 की समस्याएँ (Equation of Line in Space Class 12 Problems):

Equation of Line in Space Class 12

(1.)दिक् अनुपातों के गुणों की सहायता से सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A(1,-1,-10),B(5,-7,6) तथा C(7,-10,14) संरेख हैं।
(2.)दो रेखाओं के दिक् अनुपात 2,3,-6 और 3,-4,5 है उनके मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer): (2.) \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{18 \sqrt{2}}{35}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Line in Space Class 12),दो रेखाओं के बीच दूरी कक्षा 12 (Distance Between Two Lines Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Equation of Line in Space Class 12),दो रेखाओं के बीच दूरी कक्षा 12 (Distance Between Two Lines Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Line in Space Class 12) के इस
आर्टिकल में दिए गए बिन्दु से जाने वाली तथा दिए गए सदिश के समान्तर रेखा का समीकरण,
दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण,दो रेखाओं के मध्य कोण,दो रेखाओं के मध्य
दूरी पर आधारित सवालों को हल करेंगे।