1.कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th),कक्षा 12 में अवकलज (Derivatives in Class 12):

Derivatives in Class 12th

कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th) के इस आर्टिकल में अवकल गुणांक ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 12वीं में अवकलज पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Derivatives in Class 12th):

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिएः
Example:1. \frac{a x^2+b x+c}{\sqrt{x}}
Solution:मानाकि
y=\frac{a x^2+b x+c}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow y=\frac{a x^2}{\sqrt{x}}+\frac{b x}{\sqrt{x}}+\frac{c}{\sqrt{x}} \\ \Rightarrow y=a x^{\frac{3}{2}}+b \sqrt{x}+c x^{-\frac{1}{2}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=a \times \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1}+b \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}+c\left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{1}{2}-1} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{2} a \sqrt{x}+\frac{1}{2} \frac{b}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2} c \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{3}{2} a \sqrt{x} +\frac{1}{2} b x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} c x^{-\frac{3}{2}}
Example:2. a x^n+b^x
Solution:मानाकि y=a x^n+b^x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=a n x^{x-1}+b^x \log_e b
Example:3. \cos x+2^{x+3}+4 \log_3 x
Solution:मानाकि y=\cos x+2^{x+3}+4 \log_3 x \\ \Rightarrow y=\cos x+2^3 \cdot 2^x+\frac{4 \log_e x}{\log_e 3}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x} =-\sin x+2^3 \cdot 2^x \log_e 2+\frac{4}{x \log_e 3} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\sin x+2^{x+3} \log_e 2+\frac{4}{x} \log_3 e
Example:4. \frac{x^3 \sin x}{\cos x}
Solution:मानाकि y=\frac{x^3 \sin x}{\cos x} \\ \Rightarrow y=x^3 \cdot \tan x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^3 \tan x\right) \\ =x^3 \frac{d}{d x}(\tan x)+\tan x \cdot \frac{d}{d x}\left(x^3\right) \\ =x^3 \cdot \sec ^2 x+\tan x \cdot 3 x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=x^3 \cdot \sec ^2 x+3 x^2 \tan x
Example:5. x^2 e^x \sin x
Solution:मानाकि y=x^2 e^x \sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^2 e^x \sin x\right) \\ =x^2 e^x \frac{d}{d x}(\sin x)+x^2 \sin x \frac{d}{d x}\left(e^x\right)+e^x \sin x \frac{d}{d x}\left(x^2\right) \\ =x^2 e^x \cdot \cos x+x^2 \sin x \cdot e^x+e^x \sin x \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{dy}{d x}=x e^x(2 \sin x+x \sin x+x \cos x)
Example:6. \frac{e^x \tan x}{\cos x}
Solution:मानाकि y=\frac{e^x \tan x}{\cos x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x \frac{d}{d x}\left(e^x \tan x\right)-e^x \tan x \frac{d}{d x}(\cos x)}{\cos ^2 x} \\ =\frac{\cos x\left(e^x \frac{d}{d x} \tan x+\tan x \frac{d}{d x} e^x\right)-e^x \tan x(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ =\frac{\cos x\left(e^x \sec ^2 x+e^x \tan x\right)+e^x \sin \tan x}{\cos ^2 x} \\ =\frac{e^x \sec x+e^x \sin x+e^x \sin x \tan x}{\cos ^2 x} \\ =e^x\left(\sec x \cdot \sec ^2 x+\sin x \sec ^2 x+\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \tan x \cdot \sec x\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^x\left(\sec ^3 x+\sec x \tan x+\sec x \tan ^2 x\right)
Example:7. \frac{a \cos x+b \sin x+c}{\sin x}
Solution:मानाकि y=\frac{a \cos x+b \sin x+c}{\sin x} \\ \Rightarrow y=a \cot x+b+c \operatorname{cosec} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{dy}{dx}=a \frac{d}{d x}(\cot x)+\frac{d}{d x}(b)+c \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec} x) \\ =-a \operatorname{cosec}^2 x+0-c \operatorname{cosec} x \cos x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-a \operatorname{cosec}^2 x-c \operatorname{cosec} x \cot x
Example:8. \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}
Solution:मानाकि y=\frac{x \tan x}{\sec x+\tan x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{(\sec x+\tan x) \frac{d}{d x}(x \tan x)-x \tan x \frac{d}{d x}(\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)^2} \\ =\frac{(\sec x+\tan x)\left(x \frac{d}{d x} \tan x+\tan x \frac{d}{d x}(x)\right)-x \tan x(\sec x \tan x+\sec^2 x)}{(\sec x+\tan x)^2} \\ =\frac{(\sec x+\tan x)\left(x \sec ^2 x+\tan x\right)-x \tan x\sec x(\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)^2} \\ =\frac{x \sec^2 x+\tan x-x \tan x \sec x}{(\sec x+\tan x)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x \sec x(\sec x-\tan x)+\tan x}{\sec x+\tan x}

Derivatives in Class 12th

Example:9. \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
Solution:मानाकि y=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} \\ \Rightarrow y =\sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}} \\ =\sqrt{\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos ^2 x}} \\ =\frac{1-\cos x}{\sqrt{\sin ^2 x}} \\ =\frac{1-\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow y =\frac{1}{\sin x}- \frac{\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow y =\operatorname{cosec} x-\cot x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{d x}(\operatorname{cosec} x-\cot x) \\ =\frac{d}{d x}(\operatorname{cosec} x)-\frac{d}{d x}(\cot x) \\ =-\operatorname{cosec} x \cot x+\operatorname{cosec}^2 x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\operatorname{cosec} x(\operatorname{cosec} x-\cot x)
Example:10. \frac{\sec x-\tan x}{\sec x+\tan x}
Solution:मानाकि y=\frac{\sec x-\tan x}{\sec x+\tan x} \\ =\frac{(\sec x-\tan x)(\sec x-\tan x}{(\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)} \\ =\frac{(\sec x-\tan x)(\sec x-\tan x)}{\sec ^2 x-\tan ^2 x} \\ \Rightarrow y= \sec ^2 x+\tan ^2 x-2 \sec x \tan x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{dy}{dx}=2 \sec x \cdot \sec x \tan x+2 \tan x \sec ^2 x -2\left(\sec x \tan x \tan x+\sec x \sec ^2 x\right) \\ =4 \sec ^2 x \tan x-2 \sec x \tan ^2 x-2 \sec ^3 x \\ =\frac{4 \sin x}{\cos ^3 x}-\frac{2 \sin ^2 x}{\cos ^3 x}-\frac{2}{\cos ^3 x} \\ =\frac{4 \sin x-2 \sin ^2 x-2}{\cos ^3 x} \\=\frac{4 \sin x-4-2 \sin ^2 x+2}{\cos x \cdot \cos ^2 x} \\ =\frac{-4(1-\sin x)+2\left(1-\sin ^2 x\right)}{\cos x\left(1-\sin ^2 x\right)} \\ =\frac{-2[2(1-\sin x)-(1-\sin x)(1+\sin x)]}{\cos x(1-\sin x)(1+\sin x)} \\ =\frac{-2(1-\sin x)(2-1-\sin x)}{\cos x(1-\sin x)(1+\sin x)} \\ =\frac{-2(1-\sin x)}{\cos x(1+\sin x)} \times \frac{1+\sin x}{1+\sin x} \\ =\frac{-2\left(1-\sin ^2 x\right)}{\cos x(1+\sin x)^2} \\ =\frac{-2 \cos ^2 x}{\cos x(1+\sin x)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-2 \cos x}{(1+\sin x)^2}
Example:11. \frac{\sec x-1}{\sec x+1}
Solution:मानाकि y=\frac{\sec x-1}{\sec x+1} \\ =\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{\frac{1}{\cos x}+1} \\ =\frac{\frac{1-\cos x}{\cos x}}{\frac{1+\cos x}{\cos x}} \\ \Rightarrow y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{(1+\cos x) \frac{d}{d x}(1-\cos x)-(1-\cos x)\frac{d}{d x}(1+\cos x)}{(1+\cos x)^2} \\ =\frac{(1+\cos x) \sin x-(1-\cos x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} \\ =\frac{\sin x+\sin x \cos x+\sin x-\sin x \cos x}{(1+\cos x)^2} \\ =\frac{2 \sin x}{(1+\cos x)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 \sin x}{(1+\cos x)^2}
Example:12. \frac{1+\log _e x}{1-\log _e x}
Solution:मानाकि y=\frac{1+\log _e x}{1-\log _e x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x} =\frac{\left(1-\log _e x\right) \frac{d}{d x}\left(1+\log _e x\right)-\left(1+\log _e x\right) \frac{d}{d x}\left(1-\log _e x\right)}{\left(1+\log _e x\right)^2} \\ =\frac{\left(1-\log _e x\right) \cdot \frac{1}{x}-\left(1+\log _e x\right)\left(-\frac{1}{x}\right)}{\left(1-\log _e x\right)^2} \\ =\frac{\frac{1}{x}-\frac{\log _e x}{x}+\frac{1}{x}-\frac{\log _e x}{x}}{\left(1-\log _e x\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{2}{x\left(1-\log _e x\right)^2}
Example:13. x+\frac{1}{x}
Solution:मानाकि y=x+\frac{1}{x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x^2}
Example:14. \frac{e^x-1}{e^x+1}
Solution:मानाकि y=\frac{e^x-1}{e^x+1}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x}=\frac{\left(e^x+1\right) \frac{d}{d x}\left(e^x-1\right)-\left(e^x-1\right) \frac{d}{d x} \left(e^x+1\right)}{\left(e^x+1\right)^2} \\ =\frac{\left(e^x+1\right)\left(e^x\right)-\left(e^x-1\right) \cdot e^x}{\left(e^x+1\right)^2} \\ =\frac{e^{2 x}+e^x-e^{2 x}+e^x}{\left(e^x+1\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 e^x}{\left(e^x+1\right)^2}
Example:15. x^2 \sec ^{-1} x
Solution:मानाकि y=x^2 \sec ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(x^2 \sec ^{-1} x\right) \\ =\sec ^{-1} x \frac{d}{d x} \left(x^2\right) +x^2 \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right) \\ =\sec ^{-1} x \cdot 2 x+x^2 \cdot \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x \sec ^{-1} x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}
Example:16. e^x \tan ^{-1} x
Solution:मानाकि y=e^x \tan ^{-1} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(e^x \tan ^{-1} x\right) \\ =\tan ^{-1} x \frac{d}{d x}\left(e^x\right) +e^x \frac{d}{d x} \left(\tan ^{-1} x\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =e^x \tan ^{-1} x+\frac{e^x}{1+x^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th),कक्षा 12 में अवकलज (Derivatives in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12वीं में अवकलज की समस्याएँ (Derivatives in Class 12th Problems):

Derivatives in Class 12th

निम्न फलनों का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिएः
(1.) \frac{e^x+\tan x}{\cot x-x^n} (2.) \frac{2^x \cot x}{\sqrt{x}}
उत्तर (Answers): (1.) \frac{-4}{\left(e^x-e^{-x}\right)^2}   (2.)\sec x(\tan x-\sec x)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th),कक्षा 12 में अवकलज (Derivatives in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th),कक्षा 12 में अवकलज (Derivatives in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12वीं में अवकलज (Derivatives in Class 12th) के इस आर्टिकल में अवकल
गुणांक ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।