1.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity):

Continuity in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सांतत्य और असांतत्य का अध्ययन करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य के उदाहरण (Continuity in Real Analysis Examples):

Example:1.कोशी की परिभाषा का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=3 x^2+2 x-1 बिन्दु x=1 पर संतत है।
(Using Cauchy’s definition of continuity prove that the function f(x)=3 x^2+2 x-1 is continuous at x=1.)
Solution: f(x)=3 x^2+2 x-1\\ f(1)=3 \times(1)^2+2 x-1=4 \\ |f(x)-f(1)|=\left|3 x^2+2 x-1-4\right| \\ =\left|3 x^2+2 x-5\right| \\ =\left|3 x^2+5 x-3 x-5\right| \\ =|x(3 x+5)-1(3 x+5)| \\ =|(x-1)(3 x+5)| \\ \Rightarrow \mid f(x)-f(1) \mid| =|x-1| \quad |3 x+5|
यदि 0 \leq \delta \leq 1 लें,तो
|x-1| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(1)|=|x-1||3 x+5| \\ < \delta |3(x-7)+8| \\ < \delta |3+8| \\ < 11 \delta \\ |x-1| < \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(1) \mid < \varepsilon
फलतः फलन f(x),x=1 संतत होगा।
Example:2.निम्न परिभाषित फलनों की x=0 पर सांतत्य का परीक्षण कीजिए:
(Examine at x=0 the continuity of the following functions defined as follows):
Example:2(i). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin ^2 a x}{x^2}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{array} \right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin ^2 a x}{x^2}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{array} \right.
L.H.L.
f(a-0)=\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} \frac{\sin ^2 a(0-h)}{(0-h)^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} a^2 \left[\frac{\sin a(0-h)}{a(0-h)}\right]^2 \\ f(0-0)= a^2 \times 1=a^2
R.H.L.
f(0+0)= \underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} (0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} \frac{\sin ^2 a(0+h)}{(0+h)^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0^{+}}{\lim} a^2\left[\frac{\sin a(0+h)}{a(0+h)}\right]^2 \\ =a^2 \times 1 \\ \Rightarrow f(0+0)=a^2 \\ f(0)=1 \\ f(0-0)=f(0+0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर असंतत है।
Example:2(ii). f(x)= \begin{cases}x\left(1+\frac{1}{3} \sin \left(\log x^2\right)\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
Solution: f(x)= \begin{cases}x\left(1+\frac{1}{3} \sin \left(\log x^2\right)\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h)\left[1+\frac{1}{3} \sin \left[\log (0-h)^2\right]\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h)+\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h) \frac{1}{3} \sin \left[\log (0-h)^2\right] \\ =0+0 \cdot \frac{1}{3} \sin (\log 0) \\ =0+0 \cdot \frac{1}{3} \sin (\log 0)=0+0=0 \\ \Rightarrow f(1-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0+h)\left[1+\frac{1}{3} \sin \left(\log (0+h)^2\right)\right] \\ =0 \times\left[1+\frac{1}{3} \sin (\log 0)^2\right] \\ =0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0 \\ f(0)=0
f(0-0)=f(0+0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Example:2(iii). f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2 \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2 \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h)^2 \sin \left(\frac{1}{0-h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h^2 \sin \left(-\frac{1}{h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -h^2 \sin \frac{1}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} -h\left(\frac{\sin \frac{1}{h}}{\frac{1}{h}}\right) \\ =-(0) \times 1 \\ =0 \\ \Rightarrow f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0+h)^2 \sin \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h^2 \sin \frac{1}{h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h\left(\frac{\sin \frac{1}{h}}{\frac{1}{h}}\right) \\ =0 \times 1=0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0 \\ f(0)=0
f(0-0)=f(0+0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Example:2(iv). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{0-h}}}{0-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{e^{-\frac{1}{h}}}{-h}\right) \\ =0 \times -\infty=0 \quad\left[ \because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h}}=0\right] \\ \Rightarrow f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{e^{\frac{1}{0+h}}}{0+h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{e^{\frac{1}{h}}}{h}\right) \\ \Rightarrow \frac{\infty}{0}=\infty \\ \Rightarrow f(0+0)=\infty \\ f(0)=0 \\ f(0-0)=f(0) \neq f(0+0)
अतः फलन x=0 पर असंतत है।

Continuity in Real Analysis

Example:2(v). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{e^{\frac{1}{x^2}}-1}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{\frac{1}{x^2}}}{e^{\frac{1}{x^2}}-1}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{(0-h)^2}}}{e^{\left(\frac{1}{0-h}\right)^2}-1} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{h^2}}}{e^{\frac{1}{h^2}}-1}
अंश व हर को e^{\frac{1}{h^2}} से भाग देने परः
=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{1-e^{-\frac{1}{h^2}}}\right) \\ =\frac{1}{1-0} \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h^2}}=0\right] \\ \Rightarrow f(0-0)=1
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\left(\frac{1}{0+h}\right)^2}}{e^{\left(\frac{1}{0+h}\right)^2}-1} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{h^2}}}{e^{\frac{1}{h^2}-1}}
अंश व हर को e^{\frac{1}{h^2}} से भाग देने परः
=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-e^{-\frac{1}{h^2}}} \\ =\frac{1}{1-0}\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h^2}}=0\right] \\=1 \\ \Rightarrow f(0+0)=1 \\ f(0)=1
f(0-0)=f(0+0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Example:2(vi). f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, x \neq 0 \\ 1, x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, x \neq 0 \\ 1, x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(0-h) e^{\frac{1}{0-h}}}{1+e^{\frac{1}{0-h}}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(-h) e^{-\frac{1}{h}}}{1+e^{-\frac{1}{h}}} \\ =\frac{(-0) 0}{1+0}\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h}}=0\right] \\ \Rightarrow f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(0+h) e^{\frac{1}{0+h}}}{1+e^{\frac{1}{0+h}}} \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h e^{\frac{1}{h}}}{1+e^{\frac{1}{h}}}
अंश व हर को e^{\frac{1}{h}} से भाग देने परः
=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{h}{1+e^{-\frac{1}{h}}} \\ =\frac{0}{1+0}\left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{1}{h}}=0\right] \\ =0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0 \\ f(0)=1 \\ \Rightarrow f(0-0)=f(0+0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर असंतत है।
Example:2(vii). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x \frac{e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x \frac{e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(0) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h) \frac{e^{\frac{1}{0-h}}-e^{-\frac{1}{0-h}}}{e^{\frac{1}{0-h}}+e^{-\frac{1}{0-h}}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-h) \frac{e^{-\frac{1}{h}}-e^{\frac{1}{h}}}{e^{-\frac{1}{h}}+e^{\frac{1}{h}}}
अंश व हर e^{\frac{1}{h}} को से भाग देने परः
=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-h) \frac{e^{-\frac{2}{h}}-1}{e^{-\frac{2}{h}}+1} \\ =(-0)\left(\frac{0-1}{0+1}\right) \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{2}{h}}=0\right] \\ =0 \\ \Rightarrow f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0+h)\left(\frac{e^{\frac{1}{0+h}}-e^{-\frac{1}{0+h}}}{e^{\frac{1}{0+h}}+e^{-\frac{1}{0+h}}}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h\left(\frac{e^{\frac{1}{h}}-e^{-\frac{1}{h}}}{e^{\frac{1}{h}}+e^{-\frac{1}{h}}}\right)
अंश व हर e^{\frac{1}{h}} को से भाग देने परः
=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h\left(\frac{1-e^{-\frac{2}{h}}}{1+e^{-\frac{2}{h}}}\right) \\ =0\left(\frac{1-0}{1+0}\right) \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} e^{-\frac{2}{h}}=0\right] \\ =0 \times 1=0 \\ \Rightarrow f(0+0)=0 \\ f(0)=0
f(0-0)=f(0+0)=f(0)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
Example:2(viii). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
Solution:f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos \left(\frac{1}{0-h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\cos \frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(0-0) \rightarrow does not exist
क्योंकि \cos \frac{1}{h} का मान +1 से -1 के बीच दोलन करता है तथा कोई निश्चित मान नहीं है।
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos \left(\frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(0+0) \rightarrow does not exist
क्योंकि \cos \frac{1}{h} का मान +1 से -1 के बीच दोलन करता है तथा कोई निश्चित मान नहीं है।
अतः L.H.L. और R.H.L. का अस्तित्व नहीं है फलतः फलन दूसरे प्रकार का असंतत है।
Example:3.निम्न फलनों की सांतत्य की जाँच कीजिए:
(Test the continuity of the following functions):
Example:3(i). f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2+2, x>1 \\ 2 x+1, x=1 \\ 3, x<1 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2+2, x>1 \\ 2 x+1, x=1 \\ 3, x<1 \end{array}\right.
L.H.L.
f(1-0)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3)=3 \\ \Rightarrow f(1-0)=3
R.H.L.
f(1+0)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1+h)^2+2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+2 h+h^2+2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(3+2 h+h^2\right) \\ =3 \\ \Rightarrow f(1+0)=3 \\ f(x)=2 x+1 \\ \Rightarrow f(1)=2(1)+1=3
f(1-0)=f(1+0)=f(1)
अतः फलन x=1 पर संतत है।
Example:3(ii). f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1+x, x \leq 2 \\ 5-x, x>2 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1+x, x \leq 2 \\ 5-x, x>2 \end{array}\right.
L.H.L.
f(2-0)=\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1+2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (3-h)=3 \\ \Rightarrow f(2-0) =3
R.H.L.
f(2+0)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[5-(2+h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (5-2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3-h) \\ =3 \\ \Rightarrow f(2+0)=3 \\ f(x)=1+x \\ f(2)=1+2=3
f(2-0)=f(2+0)=f(2)
अतः फलन x=0 पर संतत है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Continuity in Real Analysis):

Continuity in Real Analysis

निम्न फलनों के सांतत्य और असांतत्य पर विचार कीजिए:
(Discuss the continuity and discontinuity of the following functions):
(1.) f(x)=x^3-3 x  (2.) f(x)=x+x^{-1}
उत्तर (Answers):(1.)प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।
(2.)x=0 पर द्वितीय प्रकार का असांतत्य है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Frequently Asked Questions Related to Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis) के इस आर्टिकल
में सांतत्य और असांतत्य का अध्ययन करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।