Composite Relation in Discrete Maths
1.विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths),संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation):
विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths) के इस आर्टिकल में संयुक्त सम्बन्ध पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Composite Relation in Discrete Maths):
Illustration:1.माना A={1,2,3,4} तथा R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} तथा S={(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(4,2),(4,3)}.A पर परिभाषित सम्बन्ध है,तब RoR,RoS,SoR तथा SoS को ज्ञात कीजिए।
(Let A={1,2,3,4} be the set and R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} and S={(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(4,2),(4,3)} be the relations defined on A, then find RoR,SoR,RoS and SoS.)
Solution:R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
तथा S={(1,1),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(4,2),(4,3)}
RoR={(1,1),(1,4),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4),(3,2),(3,3)}
SoR={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(3,2),(1,2)}
RoS={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(4,1),(4,4),(4,2),(4,3)}
SoS={(1,1),(1,4),(1,2),(1,3),(2,1),(2,4),(2,3),(2,2),(3,1),(3,4),),(4,1),(4,3),(4,4)}
Illustration:2.माना M_R तथा M_S समुच्चय A={1,2,3,4} पर परिभाषित सम्बन्धों R तथा S के क्रमशः आव्यूह निरूपण हैं।तब M_{SoR},M_{RoS}, M_{R^2} तथा M_{S^2} ज्ञात कीजिए यदि
(Let M_R and M_S be the matrices of the relations R and S respectively defined on the set A={1,2,3,4}.Then compute M_{SoR},M_{RoS}, M_{R^2} and M_{S^2} if)
Illustration:2(i). M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] , M_s=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
Solution:M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] , M_s=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
R={(1,1),(1,3),(2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}
S={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}
S={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,3)}
RoR={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(3,2),(4,1),(4,4),(4,2),(4,3)}
M_{R^2}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
SoR={(1,1),(1,2),(1,4),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,3),(4,1),(4,4),(4,2),(4,3)}
M_{SoR}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
RoS={(1,1),(1,3),(1,4),(1,2),(2,1),(2,3),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(3,2),(4,1),(4,3),(4,2)}
M_{RoS}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
SoS={(1,1),(1,2),(1,4),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),(4,3)}
M_{S^2}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Illustration:2(ii). M_R=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] ; M_s=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
Solution: M_R=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] ; M_s=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,3)}
S={(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,3)}
RoR={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,4),(2,1),(3,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}
M_{R^2}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
SoR={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,1),(2,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(3,1),(4,1),(4,2),(4,4)}
M_{SoR}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
RoS={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(3,1),(4,2),(4,3)}
M_{RoS}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
SoS={(1,1),(1,4),(1,3),(2,2),(2,3),(2,4),(2,1),(3,1),(3,4),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)}
M_{s^2}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]
Illustration:3.माना A={1,2,3} तथा B={1,2,3,4} दो परिमित समुच्चय हैं और R तथा S,A से B में परिभाषित सम्बन्ध हैं,तब ज्ञात कीजिए M_{R \cup S }, M_{R \cap S}, M_{R^{-1}} तथा M_{S^{-1}} यदि
(Let A={1,2,3} and B={1,2,3,4} be two finite sets and R and S be the relations from A to B.Then compute M_{R \cup S }, M_{R \cap S}, M_{R^{-1}} and M_{S^{-1}} if)
Illustration:3(i). M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] ,\quad M_{S}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
Solution: M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] ,\quad M_{S}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)}
S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}
R \cup S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}
M_{R \cup S}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
R \cap S={(1,2),(2,4),(3,1),(3,2)}
M_{R \cap S}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]
R^{-1}={(1,1),(2,1),(4,1),(4,2),(1,3),(2,3),(3,3)}
M_{R^{-1}}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
S^{-1}={(2,1),(3,1),(1,2),(4,2),(1,3),(2,3),(4,3)}
M_{S^{-1}}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Illustration:3(ii). M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right], M_S=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
Solution: M_R=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right], M_S=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2)}
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)}
R \cup S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2), (2,1),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}
M_{R \cup S}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
R \cap S={(1,1),(1,3),(2,2),(2,3), (3,2)}
M_{R \cap S}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]
R^{-1}={(1,1),(3,1),(2,2),(3,2),(4,2),(1,3),(2,3)}
M_{R^{-1}}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
S^{-1}={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(2,3),(4,3)}
M_{S^{-1}}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths),संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation) को समझ सकते हैं।
3.विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध की समस्याएँ (Composite Relation in Discrete Maths Problems):
(1.)यदि A={a,b,c},B={1,2,3} तथा R={(a,1),(a,3),(b,3),(c,3)} तब R^{-1} ज्ञात करो।
(If A={a,b,c},B={1,2,3} and R={(a,1),(a,3),(b,3),(c,3)}.Then find R^{-1})
(2.)यदि A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},C={x,y,z} तथा R={(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)} और S={(b,x),(b,z),(c,y),(d,z)} तब RoS तथा M_{RoS} ज्ञात करो।
(If A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},C={x,y,z} and R={(1,a),(2,d),(3,a),(3,b),(3,d)} and S={(b,x),(b,z),(c,y),(d,z)}.Then find RoS and M_{RoS}}
उत्तर (Answers): (1.) R^{-1}={(1, a),(3, a),(3, b),(3, c)}
(2.)RoS={(2,z),(3,x),(3,z)}
M_{RoS}= \left[\begin{array}{lll}& x & y & z \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths),संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Frequently Asked Questions Related to Composite Relation in Discrete Maths),संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.संयुक्त सम्बन्ध के बारे में बताएं। (Tell Us About the Composite Relation):
उत्तर:माना A,B और C अरिक्त समुच्चय है तथा माना कि R,A से B में और S,B से C में कोई दो सम्बन्ध हैं।तब सम्बन्धों R तथा S का संयोजन (composition) समुच्चय A से C में एक सम्बन्ध होता है जिसे SoR द्वारा निरूपित करते हैं और निम्न प्रकार से परिभाषित करते हैं:
SoR =\{(a,c) : \exists b \in B \quad s.t. (a,b) \in R \text{ तथा } (b,c) \in S ; a \in A , c \in C\}
प्रश्न:2.आव्यूहों के द्वारा सम्बन्धों के निरूपण को स्पष्ट करो। (Explain the Representation of Relations by Matrices):
उत्तर:परिमित समुच्चयों के मध्य किसी सम्बन्ध को शून्य-एक आव्यूह (zero-one matrix) के द्वारा निरूपित किया जा सकता है।माना A=\left\{a_1, a_2, \ldots, a_n\right\} तथा B=\left\{b_1, b_2, \ldots, b_n\right\} क्रमशः m और n अवयवों के परिमित समुच्चय हैं।तब A से B में किसी सम्बन्ध R,को एक आव्यूह [मैट्रिक्स (matrix)] M_R=\left(m_{i j}\right)_{m \times n} के द्वारा निरूपित किया जा सकता है,जहाँ
m_{i j}=1 यदि क्रमित युग्म \left(a_i, b_j\right) \in R
=0 यदि \left(a_i, b_j\right) \notin R
\forall i=1,2, ……..,m ; j=1,2,……..,n
अर्थात् समुच्चय A से B में किसी सम्बन्ध R को निरूपित करने वाली शून्य-एक m×n मैट्रिक्स M_R का (i,j) अवयव 1 है यदि a_i \in A, b_j \in B से सम्बन्धित है (i=1,2,……,m;j=1,2,…..n) तथा 0 है यदि a_i, b_j से सम्बन्धित नहीं है।ऐसी मैट्रिक्स को सम्बन्ध R की मैट्रिक्स कहते हैं।
प्रश्न:3.संयुक्त सम्बन्ध का आव्यूह निरूपण कैसे करते हैं? (How is the Matrix of a Composite Relation Represented?):
उत्तर:माना R समुच्चय A से B में तथा S समुच्चय B से C में कोई दो सम्बन्ध हैं।यदि R तथा S को शून्य-एक आव्यूहों क्रमशः M_R तथा M_S द्वारा निरूपित किया जाए तो सयुंक्त सम्बन्ध SoR का आव्यूह निरूपण M_{ SoR} आव्यूहों M_R तथा M_S के गुणनफल M_R \cdot M_S में प्रत्येक अशून्य अवयव को 1 से बदलने पर प्राप्त होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths),संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध
(Composite Relation in Discrete Maths)
Composite Relation in Discrete Maths
विविक्त गणित में संयुक्त सम्बन्ध (Composite Relation in Discrete Maths) के इस
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
