1.प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Berroulli Trails in Probability),बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन (Berroulli Trails and Binomial Distribution):

Berroulli Trails in Probability

प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Berroulli Trails in Probability) के इस आर्टिकल में प्रायिकता के विभिन्न सवालों को बरनौली परीक्षण व द्विपद बंटन की सहायता से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रायिकता में बरनौली परीक्षण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Berroulli Trails in Probability):

Example:1.एक पासे को 6 बार उछाला जाता है।यदि ‘पासे पर सम संख्या होना’ एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i)तथ्यतः 5 सफलताएँ (ii)न्यूनतम 5 सफलताएँ (iii) अधिकतम 5 सफलताएँ
Solution:एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि={1,2,3,4,5,6}
पासे पर सम संख्याएँ={2,4,6}
(i)पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
p=\frac{1}{2}, q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ n=6, x=5, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2} \\ P(X=x)=^n C_x q^{n-x} p^x \\ P(X=5)=^6 C_5\left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ =6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}
(ii)न्यूनतम 5 सफलताएँ
P(न्यूनतम 5 सफलताएँ)=P(5)+P(6)
=^6 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}\left(\frac{1}{2}\right)^5+^6 C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-6} \left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^6(6+1)=7 \times \frac{1}{64}=\frac{7}{64}
(iii)P(अधिकतम 5 सफलताएँ)
=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)
=^6 C_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-0}\left(\frac{1}{2}\right)^0+^6 C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} \left(\frac{1}{2}\right)+^6 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 +^6 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+^6 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 +^6 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^6+6\left(\frac{1}{2}\right)^6+15\left(\frac{1}{2}\right)^6+20\left(\frac{1}{2}\right)^6 +15\left(\frac{1}{2}\right)^6 +6\left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =(1+6+15+20+15+6) \times\left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ =\frac{63}{64}
Example:2.पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है।यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना’ एक सफलता मानी जाती है,तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:पासे के एक जोड़े को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि n(S)=36
पासे के एक जोड़े को उछालने पर द्विकों की संख्या={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}=6
पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होने की प्रायिकता p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \\ q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
अतः n=4, x=2, p=\frac{1}{6}, q=\frac{5}{6}
x सफलताओं की प्रायिकता= ^n C_x (q)^{n-x} p^x \\ =^4 C_2\left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =6 \times\left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =6 \times \frac{25}{36} \times \frac{1}{36}=\frac{25}{216}
Example:3.वस्तुओं के एक ढेर में 5% त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होगी?
Solution:एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त करने की प्रायिकता p=\frac{5}{200}=\frac{1}{20}
अच्छी वस्तु होने की प्रायिकता q=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}
P(एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ न होना)=P(0)+P(1)
=^{10} C_0 \left(\frac{19}{20}\right)^{10-0}\left(\frac{1}{20}\right)^0+^{10} C_1 \left(\frac{19}{20}\right)^{10-1}\left(\frac{1}{20}\right) \\=\left(\frac{19}{20}\right)^{10}+10\left(\frac{19}{20}\right)^9 \times \frac{1}{20} \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^9\left[\frac{19}{20}+\frac{10}{20}\right] \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^9 \cdot\left(\frac{29}{20}\right)=\left(\frac{29}{20}\right) \cdot\left(\frac{19}{20} \right)^9
Example:4.52 ताश के पत्तों की एक भलीभाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं।इसकी क्या प्रायिकता है कि (i)सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
(ii)केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(iii)एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
Solution:(i)सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
एक हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता
p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \\ q=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \\ n=5, x=5, p=\frac{1}{4}, q=\frac{3}{4} \\ P(X)=^n C_x q^{n-x} p^x \\ \Rightarrow P(X=5)=^5 C_5\left(\frac{3}{4}\right)^{5-5}\left(\frac{1}{4} \right)^5 \\ =\left(\frac{1}{4}\right)^5=\frac{1}{1024}
(ii)केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
n=5, x=3, p=\frac{1}{4}, q=\frac{3}{4} \\ P(X=3)=^5 C_3\left(\frac{3}{4}\right)^{5-3}\left(\frac{1}{4}\right)^3 \\ =10 \times\left(\frac{3}{4}\right)^2 \times\left(\frac{1}{4}\right)^3 \\ \Rightarrow P(X=3)=\frac{90}{1024}=\frac{45}{512}
(iii)एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
n=5, x=0, q=\frac{3}{4}, p=\left(\frac{1}{4}\right) \\ P(X=0)=^5 C_0\left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^{5-0} \\ \Rightarrow P(X=0)=\left(\frac{3}{4}\right)^5=\frac{243}{1024}
Example:5.किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i)एक भी नहीं (ii)एक से अधिक नहीं
(iii)एक से अधिक हैं (iv)कम से कम एक,
150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगे।
Solution:n=5,x=0,p=0.05,q=1-0.05=0.95
(i)एक भी नहीं
P(कोई भी बल्ब फ्यूज न होना)=^n C_x q^{n-x} p^x \\ =^5 C_0(0.95)^{5-0}(0.05)^0 \\ =(0.95)^5 \approx 0.77378 \\ \approx 0.77
(ii)एक से अधिक नहीं
P(एक से अधिक नहीं)=P(X \leq 1) \\ =P(0)+P(1) \\ =^5 C_0 (0.95)^{5-0}(0.05)^{0}+^5 C_1 (0.95)^{5-1}(0.05) \\ =(0.95)^5+5(0.95)^4(0.05)^1 \\ =(0.95)^4[0.95+0.25] \\ =(0.95)^4 \times 1.20 \approx 0.97740 \\ \approx 0.98
(iii)एक से अधिक हैं
P(एक से अधिक बल्ब फ्यूज)
P(X>1)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5) \\ =1-[P(0)+P(1)] \\ =1-0.98=0.02
(iv)कम से कम एक
P(कम से कम एक बल्ब फ्यूज)
=P(1)+P(2)+P(3)+P(5)+P(5)
=1-P(0)
=1-(0.95)^5 \approx 1-0.77 \approx 0.23
Example:6.एक थैले में 10 गेंदें है जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है।यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती है,तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर 0 न लिखा हो?
Solution=0 एक गेंद पर लिखा है
अतः उसकी प्रायिकता p=\frac{1}{10}\\ q=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \\ n=4, x=0, p=\frac{1}{10}, q=\frac{9}{10}
P(किसी भी गेंद पर 0 न लिखा हो)
=^n C_x q^{n-x} p^x \\ =^4 C_0\left(\frac{9}{10}\right)^{4-0}\left(\frac{1}{10}\right)^0 \\ =\left(\frac{9}{10}\right)^4
Example:7.एक सत्य-असत्य प्रकार के 20-प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछालकर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है।यदि पासे पर चित्त प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो ‘असत्य’ लिखता है।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम दो प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
Solution:P(चित्त प्रकट होना)=\frac{1}{2}, p=\frac{1}{2}\\ q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता p=\frac{1}{2}
असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता q=\frac{1}{2}
P(कम से कम 2 प्रश्नों के उत्तर सत्य हैं)
=P(2)+P(3)+P(4)+………+P(20)
=1-[P(0)+P(1)]
=1-\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{20}+^{20} C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{20-1}\left(\frac{1}{2}\right) \right] \\ =1-\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{20}+20 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{20}\right] \\ =1-\left(\frac{1}{2}\right)^{20}(1+20) \\ =1-21\left(\frac{1}{2}\right)^{20}

Berroulli Trails in Probability

Example:8.मान लीजिए कि X का बंटन (6,\frac{1}{2}) द्विपद बंटन है।दर्शाएँ कि X=3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Solution: p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2} \\ =^6 C_0\left(\frac{1}{2}\right)^6+^6 C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)+ ^6 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^6+^6 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^6+^6 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^6 +^6 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^6+^6 C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^6 \\ {}^6 C_0 , ^6 C_1 , ^6 C_2 , ^6 C_3 , ^6 C_4 , ^6 C_5 , ^6 C_6 में ^6 C_3 का मान अधिकतम है।
अतः P(X=3)=^6 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^6 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
Example:9.एक बहुविकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर है।इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा?
Solution:अनुमान लगाकर सही उत्तर देने की प्रायिकता
p=\frac{1}{3}, q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ n=5, x \geq 4, p=\frac{1}{3} ; q=\frac{2}{3} \\ P(x \geq 4)=P(4)+P(5) \\ =^5 C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-4}\left(\frac{1}{3}\right)^4+^5 C_5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \\ =5\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^4+\left(\frac{1}{3}\right)^5 \\ =\left(\frac{1}{3}\right)^5[10+1]=11 \times \frac{1}{243}=\frac{11}{243}
Example:10.एक व्यक्ति एक लाॅटरी के 50 टिकट खरीदता है,जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता \frac{1}{100} है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a)न्यूनतम एक बार (b)तथ्यतः एक बार (c)न्यूनतम दो बार,इनाम जीत लेगा।
Solution:प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता p= \frac{1}{100} \\ q=1-100=\frac{99}{100}
(a)न्यूनतम एक बार जीतने की प्रायिकता
=P(X \geq 1)=1-P(0) \\ =1-\left(\frac{90}{100}\right)^{50}
(b)तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता
P(X=1)=^{50} C_1 \left(\frac{99}{100}\right)^{50-1}\left(\frac{1}{100}\right)^1 \\ =50 \times \frac{1}{100} \times\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}
(c)न्यूनतम दो बार जीतने की प्रायिकता
=P(2)+P(3)+P(4)+………..+P(50)
=1-[P(0)+P(1)]
=1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50}-^{50} C_1\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{1}{100}\right) \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left[\frac{99}{100}+\frac{50}{100}\right] \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{149}{100}\right)
Example:11.एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:5 आने की प्रायिकता p=\frac{1}{6}\\ q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
P(दो बार 5 आना)=P(X=2)
=^7 C_2\left(\frac{5}{6}\right)^{7-2}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =21 \times\left(\frac{5}{6}\right)^5\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =\frac{7}{12}\left(\frac{5}{6}\right)^5
Example:12.एक पासे को छः बार उछालने पर अधिकतम 2 बार छः आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:छः आने की प्रायिकता p=\frac{1}{6} \\ q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \quad, n=6
P(पासे पर अधिकतम 2 बार छः आना)
=P(X \leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ =^6 C_0 \left(\frac{5}{6}\right)^{6-0}\left(\frac{1}{6} \right)^0+^6 C_1 \left(\frac{5}{6}\right)^{6-1}\left(\frac{1}{6}\right)+^6 C_2 \left(\frac{5}{6}\right)^{6-2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^6+6 \times\left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6} +15 \times\left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^6+\left(\frac{5}{6}\right)^5+\frac{5}{12}\left(\frac{5}{6}\right)^4 \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^4\left[\frac{25}{36}+\frac{5}{6}+\frac{5}{12}\right] \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^4 \times\left[\frac{25+30+15}{36}\right] \\ =\frac{70}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{35}{18}\left(\frac{5}{6}\right)^4
Example:13.यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब है।इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
Solution:निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तुओं की प्रायिकता p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\\ q=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}, n=12
P(9 वस्तुओं का खराब होना)
=P(X=9)
=^{12} C_9 \left(\frac{9}{10}\right)^{12-9}\left(\frac{1}{10}\right)^9 \\ =220\left(\frac{9}{10}\right)^3\left(\frac{1}{10}\right)^9 \\ =\frac{22 \times 9^3}{10^{11}}
Example:14.एक बाॅक्स में 100 बल्ब हैं।जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं।5 बल्ब के नमूने में से,किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है:
(A) 10^{-1} (B)\left(\frac{1}{2}\right)^5 (C)\left(\frac{9}{10}\right)^5 (D)\frac{9}{10}
Solution:बल्ब के त्रुटियुक्त होने की प्रायिकता
p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10} \\ q=1-\frac{1}{10} =\frac{9}{10} \\ n=5, x =0 \\ P(X=0)=^5 C_0\left(\frac{9}{10}\right)^{5-0}\left(\frac{1}{10}\right)^0 \\ =\left(\frac{9}{10}\right)^5
अतः विकल्प (C) सही है।
Example:15.एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता \frac{1}{5} है।तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता है:
(A)^5 C_4 \cdot\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(\frac{1}{5}\right) (B)\left(\frac{4}{5}\right)^4\left(\frac{1}{5}\right) 
(C)^5 C_1 \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^4 (D) इनमें से कोई नहीं
Solution:छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता
p=\frac{1}{5} \\ q=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} \\ n=5, x=4 \\ P(X=1)=^5 C_4 \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4}\left(\frac{4}{5}\right)^4 \\ =^5 C_4 \left(\frac{1}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^4
विकल्प (A) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Berroulli Trails in Probability),बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन (Berroulli Trails and Binomial Distribution को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता में बरनौली परीक्षण की समस्याएँ (Berroulli Trails in Probability Problems):

Berroulli Trails in Probability

(1.)एक अनभिनत पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता।इस बात की क्या प्रायिकता है कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
(2.)एक पासे को 6 बार उछाला गया है।यदि पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होगी?
(i)तथ्यतः 5 सफलताएँ (ii)कम से कम 5 सफलताएँ (iii)अधिकतम 5 सफलताएँ
उत्तर (Answers): (1.) \frac{625}{23328}
(2.)(i) P(X=5)=\frac{3}{32} (ii) P(X \geq 5)=\frac{7}{64} (iii) P(X \leq 5)=\frac{63}{64}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Berroulli Trails in Probability),बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन (Berroulli Trails and Binomial Distribution) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to Berroulli Trails in Probability),बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन (Berroulli Trails and Binomial Distribution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता में बरनौली परीक्षण (Berroulli Trails in Probability) के इस आर्टिकल में
प्रायिकता के विभिन्न सवालों को बरनौली परीक्षण व द्विपद बंटन की सहायता से हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।