1.समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Arithmetic Progression 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression):

Arithmetic Progression 10th

समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Arithmetic Progression 10th) के इस आर्टिकल में किसी समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद व पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं के उदाहरण (Arithmetic Progression 10th Illustrations):

Illustration:1.समान्तर श्रेढ़ी 5,8 \frac{1}{2},12, 15 \frac{1}{2} \ldots का सार्वअन्तर हैः
(a) 2 \frac{1}{2}  (b) 3 \frac{1}{2}  (c) 4 \frac{1}{2} (d) 7
Solution:सार्वअन्तर
d=8 \frac{1}{2}-5=3 \frac{1}{2}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:2.समान्तर श्रेढ़ी 10,13,16,19,….का 22वाँ पद होगा:
(a) 37 (b) 55 (c) 63 (d) 73
Solution: a=10, d=13+0=3, n=22 \\a_n=a+(n-1)d \\ \Rightarrow a_{22}=10+(22-1) \times 3 \\ \Rightarrow a_{22}=10+63=73
विकल्प (d) सही है।
Illustration:3.समान्तर श्रेढ़ी 97,90,83,76,……का 16वाँ पद होगाः
(a)-8 (b)26 (c) 8 (d) 12
Solution: a=97, d=90-97=-7, n=16 \\ a_n=a+(n+1)d \\ \Rightarrow a_{16}=97+(16-1) \times-7 \\ \Rightarrow a_{16}=97-105=-8
विकल्प (a) सही है।
Illustration:4.समान्तर श्रेढ़ी 25,30,35,40,……का कौनसा पद 125 होगाः
(a) 19 वाँ (b) 20 वाँ (C) 21 वाँ (d) 22 वाँ
Solution: a=25, d=30-25=5, a_n=125 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 125=25+(n-1) \times 5 \\ \Rightarrow \frac{125-25}{5}=n-1 \\ \Rightarrow n=\frac{100}{5}+1 \\ \Rightarrow n=21
विकल्प (c) सही है।
Illustration:5.निम्न पद समान्तर श्रेढ़ी में हैं तो रिक्त स्थानों में क्रमशः A व B के मान होंगे:
\fbox{A},80,\fbox{B},40
(a) A=100, B=60 (b) A=50, B=70 (c) A=110, B=50 (d) A=100, B=50
Solution: a_n=a+(n-1) d \\ a_2=a+d=80 \cdots(1) \\ a_4=a+3 d=460 \cdots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
2 d=-40 \Rightarrow d=-\frac{40}{2}=-20
d का मान (1) में रखने परः
a-20=80 \\ \Rightarrow a=80+20=100 \\ a_3=a+2 d=100+2 \times-20=100-40=60
A=100,B=60
विकल्प (a) सही है।
Illustration:6.यदि समान्तर श्रेढ़ी में a_n=5 n+7 है, तो a_{15} का मान होगाः
(a) 75 (b) 82 (c) 89 (d) 96
Solution: a_n=5 n+7\\ a_{15}=5 \times 15+7=75+7=82
विकल्प (b) सही है।
Illustration:7.यदि किसी स.श्रे. में a=5, a_n=45 तो 16 पदों का योगफल होगा:
(a) 400 (b) 500 (c) 600 (d) 700
Solution: S_n=\frac{n}{2}(a+l) \\ S_n=\frac{16}{2}(5+45)=8 \times 50=400
विकल्प (a) सही है।
Illustration:8.समान्तर श्रेढ़ी 85,75,65,…….के कितने पदों का योगफल शून्य होगाः
(a) 19 (b) 20 (c) 12 (d) 18
Solution: a=85, d \Rightarrow 75-85=-10\\ S_n=0 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 0=\frac{n}{2}[2 \times 85+(n-1) \times-10] \\ \Rightarrow 170-10 n+10=0 \\ \Rightarrow 180=10 n \Rightarrow n=\frac{180}{10}=18
विकल्प (d) सही है।
Illustration:9.1 से 50 तक की प्राकृत संख्याओं का योगफल होगा:
(a) 1200 (b) 1250 (c) 1275 (d) 1350
Solution:प्राकृत संख्याओं का योग
=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{30(50+1)}{2} \\ =51 \times 25=1275
विकल्प (c) सही है।
Illustration:10.n विषम संख्याओं का योग होगाः
(a) n^2 (b)n^2+1 (c)n^2+2 (d) n^2-1
Solution: a=1, d=2 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ =\frac{n}{2}[2 \times 1+(n-1) \times 2] \\ =\frac{n}{2}[2+2 n-2] \\ \Rightarrow S_n=\frac{n}{2} \times 2 n=n^2
विकल्प (a) सही है।
Illustration:11.तीन अंकों की कितनी संख्याएँ 13 से विभाज्य है?
Solution:104,117,…….,988
a=104, d=13, a_n=988 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 988=104+(n-1) \times 13 \\ \frac{988-104}{13}=n-1 \\n=\frac{884}{13}+1=68+1=69 \\ \Rightarrow n=69
13 से विभाज्य होने वाली 3 अंकों की संख्याएँ=69

Arithmetic Progression 10th

Illustration:12.समान्तर श्रेढ़ी 10,24,38,52,……का 52वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: a=10, d=24-10=14, n=52 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_{52}=10+(52-1) \times 14=10+51 \times 14 \\ \Rightarrow a_{52}=10+714=724
Illustration:13.समान्तर श्रेढ़ी 24,28,32,……का nवाँ पद 192 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: a=24, d=28-24=4, a_n=192\\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 192=24+(n-1) \times 4 \\ \Rightarrow \frac{192-24}{4}=n-1 \\ \Rightarrow n=\frac{168}{4}+1=42+1=43
Illustration:14.2 और 50 के मध्य विषम पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:3,5,7,9,11,……49
a=3, d=5-3=2, a_n=49 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 49=3+(n-1) 2 \\ \Rightarrow \frac{49-3}{2}=n-1\\ \Rightarrow n=\frac{46}{2}+1=23+1 \\ \Rightarrow n=24
Illustration:15.किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 और सार्वअन्तर -4 है तो nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: a=4, d=-4\\ a_n=a+(n-1) d \\ =4+(n-1) \times-4 \\ =4-4 n+4 \\ \Rightarrow a_n=8-4 n
Illustration:16.समान्तर श्रेढ़ी 3,8,13,18,…….का कौन-सा पद 78 है,ज्ञात कीजिए।
Solution: a=3, d=8-3=5, a_n=78\\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 78=3+(n-1) \times 5 \\ \Rightarrow \frac{78-3}{5}=n-1 \\ \Rightarrow \frac{75}{5}+1=n \Rightarrow n=16
Illustration:17.समान्तर श्रेढ़ी 8,15,22,….का अन्तिम पद 218 है।पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution: a=8, d=15-8=7 , a_n=218 \\ a_n=a+(n-1)d \\ \Rightarrow 218=8+(n-1) 7 \\ \Rightarrow \frac{218-8}{7}=n-1 \\ \Rightarrow n=\frac{210}{7}+1=30+1=31
Illustration:18.और x^2+3xy और y^2-3xy का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution: a=x^2+3 x y, b=y^2-3 x y
\therefore समान्तर माध्य A=\frac{a+b}{2} \\ =\frac{x^2+3 x y+y^2-3 x y}{2}=\frac{x^2+y^2}{2} \\ \Rightarrow A=\frac{x^2+y^2}{2}
Illustration:19.27,24,21,……का कौन-सा पद शून्य है?
Solution: a=27, d=24-27=-3, a_n=0 \\ a_n=a+(n-1)d \\ \Rightarrow 0=27+(n-1)(-3) \\ \Rightarrow \frac{0-27}{-3}=n-1 \\ \Rightarrow \frac{-27}{-3}+1=n \\ \Rightarrow n=9+1=10
Illustration:20. 4x और 6x का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:समान्तर माध्य=\frac{4 x+6 x}{2}=\frac{10 x}{2}=5 x
Illustration:21. \frac{1}{2} और -\frac{1}{2} का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution: A=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{0}{2}=0
Illustration:22. \sqrt{2}+1 और \sqrt{2}-1 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:समान्तर माध्य A=\frac{a+b}{2} \\ =\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}{2} \\ \Rightarrow A=\sqrt{2}
Illustration:23.क्या 302 श्रेढ़ी 3,8,13,……का कोई पद है?
Solution: a=3, d=8-3=5, a_n=302 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 302=3+(n-1) \times 5 \\ \Rightarrow \frac{302-3}{5}=n-1 \\ \Rightarrow \frac{299}{5}+1=n \\ \Rightarrow \frac{299+5}{5}=n \\ \Rightarrow n=\frac{304}{5} \neq पूर्णांक 
अतः 302 श्रेढ़ी का कोई पद नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Arithmetic Progression 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं के सवाल (Arithmetic Progression 10th Questions):

Arithmetic Progression 10th

(1.)समान्तर श्रेढ़ी 7,5,3,1,-1,-3,…..का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
(2.)समान्तर श्रेढ़ी -17,-12,-7,……में 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)-2 (2.)33
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Arithmetic Progression 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Progression 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10वीं (Arithmetic Progression 10th) के इस आर्टिकल में किसी
समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद व पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।