1.विविक्त गणित में वलय प्रमेय (Ring Theorems in Discrete Mathematics):

Ring Theorems in Discrete Mathematics

विविक्त गणित में वलय प्रमेय (Ring Theorems in Discrete Mathematics) पढ़ना क्यों जरूरी है? यदि आप ध्यान से देखेंगे तो इसका व्यावहारिक जीवन में भी कुछ न कुछ महत्त्व है।आइए वलय प्रमेय के बारे में अध्ययन करते हैं।
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2.वलय पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Importamt Theorems on Rings):

\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { क्या आपने कभी सोचा है कि घड़ियों का समय 12 के बाद 1 पर क्यों आता है?} \\ \text{आज हम 'Modular Arithmetic' और  'Ring' के माध्यम से इसीको समझेंगे।} \\ \hline \end{array}
प्रमेय (Theorem):1.वलय (R,+, \bullet) एक शून्य भाजक रहित वलय होता है यदि और केवल यदि R में निरसन नियमों का पालन होता है।
(Ring (R,+, \bullet) is a ring without zero divisor if and only if cancelation laws hold in R.)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary of Condition):
माना कि R शून्य भाजक वलय है,तब R के अवयवों a,b,c के लिए,यदि a \neq 0 तो
a \cdot b=a \cdot c \Rightarrow a \cdot b-a \cdot c=a \cdot c-a \cdot c \\ \Rightarrow a \cdot (b-c)=0 \\ \Rightarrow b-c=0 [ \because R शून्य भाजक रहित है तथा a \neq 0 ]
\Rightarrow b=c
अतः वलय R में वाम निरसन नियम का पालन होता है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि R में दक्षिण निरसन नियम का पालन होता है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient of Condition):
माना कि वलय R में निरसन नियमों का पालन होता है।तब हम सिद्ध करेंगे कि R शून्य भाजक रहित है।
माना a,b \in R तथा a \neq 0
तब a \cdot b = 0 \\ \Rightarrow a \cdot b = a \cdot 0 \quad [\because a \cdot 0=0] \\ \Rightarrow b = 0 [वाम निरसन नियम से]
इसी प्रकार यदि b \neq 0
तब a \cdot b=0 \\ \Rightarrow a \cdot b = 0 \cdot b \\ \Rightarrow a = 0 [दक्षिण निरसन नियम से]
अर्थात् R शून्य भाजक रहित वलय है।
\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { नोट:यदि आप शून्य भाजक वलय को ठीक से समझ लेंगे }  \\  \text{ तो यह प्रमेय समझ में आ जाएगी।जैसे} \\ \hline \end{array}
A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix} और B=\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix} \\ A \neq 0 , B \neq 0 तब भी AB=0=BA
अतः A और B दोनों ही M के उचित शून्य भाजक हैं।
प्रमेय (Theorem):2.प्रत्येक क्षेत्र एक पूर्णांकीय प्रान्त होता है,परन्तु इसका विलोम सर्वदा सत्य नहीं है।
(Every field is an integral domain,but its converse is not always true.)
उपपत्ति (Proof):माना कि F एक क्षेत्र है तथा a,b \in F एवं a \neq 0
तब a \in F तथा a \neq 0 \Rightarrow a^{-1} \in F
अब a \cdot b = 0 \\ \Rightarrow a^{-1} \cdot (a \cdot b)=a^{-1} \cdot b \\ \Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot b = 0 [ \because F में साहचर्य है]
\Rightarrow 1\cdot b = 0 \quad [\because a^{-1}\cdot a =1]
अतः a\cdot b =0 \Rightarrow b=0 यदि a \neq 0 ।इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
a\cdot b =0 \Rightarrow a=0 यदि b \neq 0
अतएव a \cdot b =0 \Rightarrow a=0 या b=0
अर्थात् F शून्य भाजक रहित है।
\because F क्रमविनिमेय,तत्समकी वलय है जो कि शून्य भाजक रहित है,F एक पूर्णांकीय प्रान्त है।
विलोमतः:पूर्णांकों का वलय (R,+, \bullet) एक पूर्णांकीय प्रान्त तो है परन्तु चूँकि 1 और -1 को छोड़कर,इसके किसी भी अशून्य अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम R में विद्यमान नहीं है,अतः यह क्षेत्र नहीं है।
\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { नोट:पूर्णांकीय प्रान्त वह वलय होती है जो क्रमविनिमेय,तत्समकी }  \\  \text{  और शून्य भाजक रहित हो।ये तीनों विशेषता क्षेत्र में भी होती है। } \\ \hline \end{array}

Ring Theorems in Discrete Mathematics

प्रमेय (Theorem):3.शून्य भाजक रहित एक परिमित क्रमविनिमेय वलय एक क्षेत्र होता है।
(A finite commutative ring without zero divisor is a field).
अथवा (Or)
एक परिमित पूर्णांकीय प्रान्त एक क्षेत्र होता है।
(A finite integral domain is a field).
उपपत्ति (Proof):माना (R,+, \bullet) एक परिमित क्रमविनिमेय तथा शून्य भाजक रहित वलय अथवा पूर्णांकीय प्रान्त है।तब R को एक क्षेत्र सिद्ध करने के लिए हमें तत्समकी वलय सिद्ध करना होगा अर्थात् 1 \in R तथा इसका प्रत्येक अशून्य अवयव व्युत्क्रमणीय है।
माना R=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} तथा x \in R वलय का कोई अशून्य अवयव है।तब
a_1 \cdot x,\; a_2 \cdot x,\; \ldots,\; a_n \cdot x \in R
अब हम सिद्ध करेंगे कि ये सभी अवयव भिन्न हैं।यदि नहीं तो माना कि
a_i \cdot x=a_j \cdot x \quad (i\neq j)
तब a_i \cdot x=a_j \cdot x \\ a_i \cdot x-a_j \cdot x=0 \\ \Rightarrow (a_i-a_j) \cdot x=0 \\ \Rightarrow a_i-a_j=0 [ \because x \neq 0 तथा R शून्य भाजक रहित है]
\Rightarrow a_i=a_j
जो कि असत्य है।अतः उपर्युक्त सभी अवयव भिन्न हैं,जो संख्या में n हैं तब
सभी R के अवयव है।
\therefore R=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}=\{a_1 \cdot x,a_2 \cdot x,\ldots,a_n \cdot x\}
अब चूँकि x \in R ,इसलिए R में एक अवयव माना a_k इस प्रकार अवश्य है कि
x=a_k \cdot x
\because R क्रमविनिमेय है अतः
x=a_k \cdot x=x \cdot a_k
अब माना कि y \in R
तब एक अवयव माना a_m \in R इस प्रकार है कि
y=a_m \cdot x \\ \therefore \quad a_k \cdot y=a_k \cdot (a_m \cdot x) =a_k \cdot (x \cdot a_m) [\because R क्रमविनिमेय है]
=(a_k \cdot x) \cdot a_m\\ =x \cdot a_m \\ =a_m \cdot x \\ =y \\ \therefore a_k \cdot y=y \qquad \forall\, y\in R \\ \Rightarrow a_k , R का इकाई अवयव है,अर्थात् a_k=1
अब 1 \in R \Rightarrow R में एक अवयव a_j इस प्रकार है कि 1=a_i \cdot x=x \cdot a_j
प्रत्येक अशून्य अवयव x का गुणात्मक प्रतिलोम R में विद्यमान है।अतएव R एक क्षेत्र है।
\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { Note:अक्सर छात्र-छात्राएं पूर्णांकीय प्रान्त (integrel domain)} \\  \text{और क्षेत्र में (Field)  अन्तर नहीं कर पाते हैं इसलिए यह प्रमेय } \\ \text{  भी समझ में नहीं आती है। } \\ \hline \end{array}
प्रमेय (Theorem):4.यदि (R,+, \bullet) एक बूलियन वलय है,अर्थात् यदि R के प्रत्येक अवयव a के लिए a^2=a तब
(i) a+a=0 \quad \forall a \in R
(ii) a,b\in R के लिए a+b=0 \Rightarrow a=b
(iii)R क्रमविनिमेय वलय है।
(If (R,+, \bullet) is a boolean ring,i.e.,if for each a \in R , a^2=a , then
(i) a+a=0 \quad \forall a \in R
(ii) a,b \in R for a+b=0 \Rightarrow a=b
(iii)R, is commutative ring)
उपपत्ति (Proof): (i) a \in R \Rightarrow a+a \in R \\ \Rightarrow (a+a)^2 \in R \\ (a+a)^2=a+a [ \because R बूलियन वलय है]
(a+a) \cdot (a+a)=a+a \\ \Rightarrow a \cdot (a+a) + a \cdot (a+a)=a+a \\ a \cdot a+ a \cdot a+a \cdot a+ a \cdot a=a+a \\ \Rightarrow a^2+a^2+a^2+a^2=a+a \\ \Rightarrow a+a+a+a=a+a \left[ \because a^2=a; \forall a \in R \right] \\ \Rightarrow (a+a)+(a+a)=(a+a)+0 \\ \Rightarrow a+a=0
[ \because R में + के लिए वाम निरसन नियम सत्य है]
\therefore a+a=0 \forall a \in R
(ii).यदि R के किन्हीं दो अवयवों a और b के लिए a+b=0 तो
a+b=0=a+a [गुणधर्म (i) से]
\Rightarrow a+b=a+a \\ \Rightarrow b=a \\ \Rightarrow a=b \\ \therefore a+b=0 \Rightarrow a=b
(iii).माना a, b \in R
तब a,b \in R \Rightarrow a+b \in R \\ \Rightarrow (a+b)^2 = a+b [ \because R बूलियन वलय है]
\Rightarrow (a+b) \cdot (a+b) = a+b \\ \Rightarrow a \cdot (a+b) + b \cdot (a+b) = a+b \\ \Rightarrow a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a+b \\ \Rightarrow a^2 + a \cdot b + b \cdot a + b^2 = a+b \\ \Rightarrow a + a \cdot b + b \cdot a + b = a+b \quad [\because a^2=a] \\ \Rightarrow a \cdot b + b \cdot a + b = b \\ \Rightarrow a \cdot b + b \cdot a = 0 \\ \Rightarrow a \cdot b = b \cdot a[गुणधर्म (vi) से]
अतः R क्रमविनिमेय वलय है।
\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { Note:बूलियन वलय का कम्प्यूटर में बहुत उपयोग होता है, }  \\  \text{ क्या आपने कभी सोचा है? Comment karke batayein. } \\ \hline \end{array}
प्रमेय (Theorem):5.यदि (R,+, \bullet) एक तत्समकी वलय है जिसमें एक से अधिक अवयव हैं,तब 1 \neq .)
(If (R,+, \bullet) is a ring with unity element having more than one element,then.)
उपपत्ति (Proof):माना R,एक तत्समकी वलय है,जिसमें एक से अधिक अवयव विद्यमान हैं।
अब यदि मान लें 1=0 तो
a \in R \Rightarrow a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0 \\ \Rightarrow a=0 \quad [\because a \cdot 0 = 0]
अर्थात् वलय R में सभी अवयव शून्य हैं।
R={0}
अर्थात् R में केवल एक ही अवयव है जो कि हमारी परिकल्पना के विपरीत है।
अतः 1 \neq 0
\begin{array}{|l|}\hline \\ \text { Note:इसे विरोधाभास विधि से सिद्ध किया गया है।क्या आपने सोचा है यह }  \\  \text{  थ्योरम हमें क्या सीखाती है? अगर यह नियम यहाँ लागू होता है,तो क्या }\\ Z_n \text{में भी लागू होगा? } \\ \hline \end{array}

3.विविक्त गणित में वलय प्रमेय पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Ring Theorems in Discrete Mathematics):

Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय Z(\sqrt{-5}) = \{a + b\sqrt{-5} ; a, b \in Z\} संख्याओं के साधारण योग तथा गुणन संक्रियाओं के लिए पूर्णांकीय प्रान्त है।
(Prove that the set Z(\sqrt{-5}) = \{a + b\sqrt{-5} ; a, b \in Z\} of complex numbers is an integral domain w.r.t. the ordinary addition and multiplication.)
Solution: Z(\sqrt{-5}) \subseteq C
माना कि x=a_1+\sqrt{-5}b_1 और y = a_2+\sqrt{-5}b_2 समुच्चय Z(\sqrt{-5}) के दो अवयव है।
x=a_1 + \sqrt{-5}b_1, y = a_2 + \sqrt{-5}b_2 \in Z(\sqrt{-5}) \\ \Rightarrow a_1, a_2, b_1, b_2 \in Z \cdots(1)
अब a_1, a_2, b_1, b_2 \in Z \Rightarrow a_1+a_2 \in Z तथा b_1+b_2 \in Z \\ \Rightarrow (a_1+a_2) + \sqrt{-5}(b_1+b_2) \in Z(\sqrt{-5}) \\ \Rightarrow (a_1 + \sqrt{-5}b_1) + (a_2 + \sqrt{-5}b_2) \in Z(\sqrt{-5}) \\ \Rightarrow x + y \in Z(\sqrt{-5})
साथ ही a_1, a_2, b_1, b_2 \in Z \\ \Rightarrow a_1a_2, a_1b_2, b_1a_2, b_1b_2 \in Z \\ \Rightarrow a_1a_2-b_1b_2 \in Z तथा b_1a_2+a_1b_2 \in Z \\ \Rightarrow xy = (a_1 + \sqrt{-5}b_1) \cdot (a_2 + \sqrt{-5}b_2) \\ =(a_1a_2 - 5b_1b_2) + \sqrt{-5}(b_1a_2 + a_1b_2) \in Z(\sqrt{-5})
अतः Z(\sqrt{-5}) सम्मिश्र संख्याओं के योग + तथा गुणन दोनों संक्रियाओं के लिए संवृत है। \because Z(\sqrt{-5}) \subseteq C और संक्रियाएँ + तथा \bullet में साहचर्य एवं क्रमविनिमेय है अतः ये Z(\sqrt{-5}) में भी साहचर्य व क्रमविनिमेय है।
तथा \bullet संक्रिया, + संक्रिया पर बंटनात्मक है:
अर्थात् x \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z
तथा (y+z) \cdot x = y \cdot x + z \cdot x
सम्मिश्र संख्या 0+0(\sqrt{-5}) तथा 1=1+0 \cdot (\sqrt{-5}) ,जो क्रमशः Z(\sqrt{-5}) के शून्य एवं इकाई अवयव हैं।
x=a_1 + \sqrt{-5}b_1 \in Z(\sqrt{-5}) \Rightarrow -x = -a_1 - \sqrt{-5}b_1 \in Z(\sqrt{-5})
स्पष्ट है कि Z(\sqrt{-5}) एक क्रमविनिमेय,तत्समकी वलय है।
अब माना x \cdot y = 0 और x \neq 0 तो x \neq 0 \Rightarrow a_1 \neq 0 तथा b_1 \neq 0 ; मान लो a_1 \neq 0 तब
x \cdot y = 0 \\ \Rightarrow (a_1a_2-b_1b_2) + \sqrt{-5}(a_1b_2 + b_1a_2) = 0 \\ \Rightarrow a_1a_2-b_1b_2 = 0 तथा a_1b_2+a_2b_1=0 और a_1 \neq 0 \\ \Rightarrow a_1 \cdot (a_1b_2 + b_1a_2) = 0 तथा a_1a_2=b_1b_2 \\ \Rightarrow a_1^2 \cdot b_2 + b_1 \cdot a_1 \cdot a_2 = 0 तथा a_1a_2=b_1b_2 \\ \Rightarrow a_1^2 \cdot b_2 + b_1 \cdot (b_1 \cdot b_2) = 0 \\ \Rightarrow b_2 \cdot (a_1^2 +b_1^2) = 0 \quad [\because a_1a_2 =b_1b_2] \\ \Rightarrow b_2 = 0 [ \because a_1^2+b_1^2 \neq 0 क्योंकि a_1 \neq 0 ]
साथ ही a_1 \cdot a_2 =0 तथा a_1 \neq 0 \Rightarrow a_2 = 0
अतः a_2 + \sqrt{-5}b_2=y = 0
इसी प्रकार यदि a_2 \neq 0 तो a_1=b_1=0 होगा।
\therefore x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 या  y = 0
अतः Z(\sqrt{-5}) एक पूर्णांकीय प्रान्त है।
Illustration:2.यदि R = \{m + n\sqrt{2} ; m, n \in Z\} तब सिद्ध कीजिए कि (R,+,×) एक वलय है।क्या यह एक क्षेत्र है?
(Prove that the set R = \{m + n\sqrt{2} ; m, n \in Z\} forms a ring with respect to ordinary addition and multiplication.Is it a field?):
Solution:माना कि R = \{m + n\sqrt{2} ; m, n \in Z\}
सर्वप्रथम हम सिद्ध करेंगे कि (R,+) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।
(1.)संवृतता (Closure Property):
माना m_1 + n_1\sqrt{2} , \ m_2 + n_2\sqrt{2} \in R
अब (m_1 + n_1\sqrt{2}) + (m_2 + n_2\sqrt{2}) =(m_1 + m_2) + \sqrt{2}(n_1 + n_2) (साहचर्य गुणधर्म से)
\Rightarrow m_1, m_2 \in Z \Rightarrow m_1 + m_2 \in Z तथा n_1, n_2 \in Z \Rightarrow n_1 + n_2 \in Z \\ \therefore (m_1 + m_2) + (n_1 + n_2)\sqrt{2} \in R
अतः R, योगात्मक संक्रिया के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associative Property):
m + n\sqrt{2} एक वास्तविक संख्या है और योग के लिए वास्तविक संख्याएँ सहचारी है अतः R सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity):
0 \in Z , तब 0 + 0 \cdot \sqrt{2} \in R
अब (m + n\sqrt{2}) + (0 + 0 \cdot \sqrt{2}) = (m + 0) + (n + 0)\sqrt{2} [\because m + 0 = m,  n + 0 = n] \\ = m + n\sqrt{2}
अतः 0,R का योगात्मक तत्समक है।
(4.)प्रतिलोम अवयव का अस्तित्व (Existence of Inverse):
m \in Z \Rightarrow -m \in Z
यदि m + n\sqrt{2} \in R तब (-m) + (-n)\sqrt{2} \in R \\ (m + n\sqrt{2}) + [(-m) + (-n)\sqrt{2}] = (m-m)+(n - n)\sqrt{2} = 0 + 0 \cdot \sqrt{2}
अतः (-m) + (-n)\sqrt{2} , R में m + n\sqrt{2} का योगात्मक प्रतिलोम है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
योग क्रिया हमेशा क्रमविनिमेय होती है अतः (R,+) आबेली ग्रुप है।
(6.)गुणन में संवृतता (Closed under Multiplication):
यदि m_1 + n_1 \sqrt{2} ,  m_2 + n_2\sqrt{2} \in R तब
(m_1 + n_1\sqrt{2}) \times (m_2 + n_2\sqrt{2}) = (m_1m_2 + 2n_1n_2) + (m_1n_2 + n_1m_2)\sqrt{2}
जबकि m_1, m_2, n_1, n_2 \in Z तब m_1m_2 + 2n_1n_2 \in Z और m_1n_2 + n_1m_2 \in Z
तब (m_1m_2 + 2n_1n_2) + (m_1n_2 + n_1m_2)\sqrt{2} \in R
अतः R गुणन संक्रिया के लिए संवृत है।
अतः (R,+,×) क्रमविनिमेय वलय है।
1 \in Z तब 1+0 \cdot \sqrt{2} \in R
तब (m+n\sqrt{2}) \times (1+0 \cdot \sqrt{2}) = m+n\sqrt{2}
अतः 1+0 \cdot \sqrt{2} \in R गुणन तत्समक है।
m+n\sqrt{2} \neq 0 और m+n\sqrt{2} \in R
अतः या तो m \neq 0 या n \neq 0 \\ \frac{1}{m+n\sqrt{2}} = \frac{1}{m+n\sqrt{2}} \times \frac{m-n\sqrt{2}}{m-n\sqrt{2}} = \frac{m-n\sqrt{2}}{m^2-2n^2} \\ =\frac{m}{m^2-2n^2} + \left(\frac{-n}{m^2-2n^2}\right)\sqrt{2} \\ x^{-1}=\frac{m}{m^2-2n^2} + \left(\frac{-n}{m^2-2n^2}\right)\sqrt{2} \\ \frac{m}{m^2-2n^2} व \frac{-n}{m^2-2n^2} पूर्णांक संख्याएँ नहीं है अतः R क्षेत्र नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में वलय प्रमेय (Ring Theorems in Discrete Mathematics) को समझ सकते हैं।

* **Students Se Ek Sawal:**
"Kya aapne in sawal ko kisi aur tarike se solve kiya hai? Apni trick niche comments mein zaroor share karein!"

4.छात्रों के लिए प्रोब्लम्स सेट (Problems Set for Students):

Ring Theorems in Discrete Mathematics

(1.)Determine the field of quotionts of the following integral domain.
The domain of quotionts number of the form \frac{m}{10^n} ,m,n \in z
(2.)find all the units of Z(\sqrt{-5})

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5.विविक्त गणित में वलय प्रमेय (Frequently Asked Questions Related to Ring Theorems in Discrete Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में वलय प्रमेय (Ring Theorems in Discrete Mathematics) पढ़ना क्यों जरूरी है?
यदि आप ध्यान से देखेंगे तो इसका व्यावहारिक जीवन में भी कुछ न कुछ महत्त्व है।आइए वलय
प्रमेय के बारे में अध्ययन करते हैं।

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Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.