1.कक्षा 9 गणित संख्या पद्धति:13 महत्त्वपूर्ण सवाल (एमसीक्यू और निबन्धात्मक) (Class 9 Maths Number System:13 Important Questions (MCQ and Descriptive)):

Class 9 Maths Number System:13 Important Questions (MCQ and Descriptive)

कक्षा 9 गणित संख्या पद्धति:13 महत्त्वपूर्ण सवाल (एमसीक्यू और निबन्धात्मक) (Class 9 Maths Number System:13 Important Questions (MCQ and Descriptive)) के इस लेख में संख्या पद्धति के कुछ विशिष्ट एमसीक्यू और निबन्धात्मक सवालों को हल करेंगे।परीक्षा पैटर्न के अनुसार महत्त्वपूर्ण तथ्यों सहित जानेंगे।
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2.संख्या पद्धति के मुख्य तथ्य (Key Facts of Number System):

(1.)प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers):
गिनती की सभी संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं।यह 1 से प्रारम्भ होकर अनन्त तक जाती है,जैसे:1,2,3,….
(2.)पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers):प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य (0) को शामिल कर लेने से प्राप्त संख्याओं का समूह पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं,जैसे 0,1,2,3…….
(3.)पूर्णांक संख्याएँ (Integer Numbers):
जब पूर्ण संख्याओं को धनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह के साथ व्यक्त किया जाता है,तब वे संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं,जैसे……. -3,-2,-1,0,1,2,3……
यहाँ धनात्मक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक (Positive integers) और ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक (Negative integers) कहलाती है।शून्य (0) उदासीन पूर्णांक (Neutral Integer) कहलाता है।स्पष्टतः पहला और अन्तिम पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त नहीं की जा सकती है।
(4.)सम-संख्याएँ (Even Numbers):
वे प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो,सम संख्याएँ कहलाती हैं।इसका व्यापक रूप 2n होता है,जहाँ n प्राकृत संख्याएँ हैं।जैसे:2,4,6,8,……….
(5.)विषम संख्याएँ (Odd Numbers):
वे प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं हो,विषम संख्याएँ कहलाती हैं।इसका व्यापक रूप (2n-1) होता है,जहाँ n प्राकृत संख्याएँ हैं।जैसे:1,3,5,7………
(6.)रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers):
1 से बड़ी संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से पूर्णतः विभाजित न हो,रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।जैसे:2,3,5,7,11,13,….
अतः 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
(7.)यौगिक या भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers):
एक से बड़ी वे सभी संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से भी अवश्य विभाजित हो,यौगिक या भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।जैसे:4,6,8,9,10,12,14,15
(8.)सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers):
दो या दो से अधिक वे संख्याएँ जिसमें 1 के अतिरिक्त अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो,अर्थात जिसके महत्तम समापवर्तक (H.C.F.)1 हो,सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
(9.)परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers):
वे संख्याएँ जो \frac{m}{n} के रूप में हो,जहाँ m और n पूर्णांक संख्याएँ हैं और n \neq 0 तथा m और n में कोई common factor न हो,परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।जैसे: \frac{3}{7}, \frac{13}{5} ,0 ,5,-\frac{2}{3} इत्यादि।
(10.)अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers):
वे सभी संख्याएँ \frac{m}{n} रूप में प्रकट नहीं किया जा सकता,अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।ऐसी संख्याएँ प्रायः पूर्ण वर्ग नहीं होती और उसे “\sqrt{\quad}” के अन्दर रखा जाता है।
जैसे \sqrt{5} , \sqrt{10}, \frac{4}{\sqrt{5}} ,2 \sqrt{6} इत्यादि।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव रूप असांत (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-recurring) होता है।
(11.)वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers):परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित रूप से वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
जैसे: \sqrt{5} , \frac{3}{2}, \sqrt{10} , \frac{1}{2} इत्यादि।
(12.)अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ (Imaginary Numbers):
वे संख्याएँ जो वास्तविक नहीं है अर्थात् जिसकी मात्र कल्पना की जा सकती है,अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ कहलाती है।
जैसे: \sqrt{-9}, \sqrt{-15}, \sqrt{-25} , \sqrt{-29} इत्यादि।
किसी ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता है।

3.सेक्शन A (Section A (MCQ)):

Illustration:1. \frac{1}{3-\sqrt{2}} के हर का परिमेयकरण होगा
(a) 3+\sqrt{2}  (b) \frac{3-\sqrt{2}}{(3-\sqrt{2})^2}
(c) 3-\sqrt{2} (d) \frac{1}{5}(3+\sqrt{2})
Solution: \frac{1}{3-\sqrt{2}} \times \frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}= \frac{3+\sqrt{2}}{9-4} \\ =\frac{1}{5}(3+\sqrt{2})
विकल्प (d) सही है।
Illustration:2.निम्न में परिमेय संख्या है:
(a)\pi (b) e (c) \sqrt{5} (d) \sqrt{9}
Solution: \sqrt{9}=3
विकल्प (d) सही है।
Illustration:3. 2^{2^3} का मान होगा:
(a) 64 (b) 32 (c) 128 (d) 256
Solution: 2^{2^3}=2^8=256
विकल्प (d) सही है।
Illustration:4. \left(2^5\right)^2 का मान होगा:
(a) 33554432 (b) 128 (c) 1024 (d) 256
Solution: \left(2^5\right)^2=2^{(5 \times 2)}=2^{10} \\ =1024
विकल्प (c) सही है।

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Illustration:5. 5^{\frac{2}{3}} \div\left(3^{\frac{4}{3}} \times 5^{-\frac{1}{3}}\right) का मान होगा:
(a) \frac{5}{3^{\frac{4}{3}}} (b) 5 \times 3^{\frac{4}{3}}
(c) \frac{3^{\frac{4}{3}}}{5} (d) \frac{5^{-1}}{3^{\frac{4}{3}}}
Solution: 5^{\frac{2}{3}} \div\left(3^{\frac{4}{3}} \times 5^{-\frac{1}{3}}\right) \\ =5^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{3^{\frac{4}{3}} \times 5^{-\frac{1}{3}}} \\ = \frac{5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}=\frac{5}{\left(3^{\frac{4}{3}}\right)}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:6. \frac{2}{5} का दशमलव संख्या में मान होगा:
(a)0.04 (b)4 (c)40 (d)0.4
Solution: \frac{2}{5} \times \frac{2}{2}=\frac{4}{10}=0.4
विकल्प (d) सही है।
Illustration:7. \sqrt{2} निम्न में से कौन-सी संख्या है:
(a) सांत (b) असांत आवर्ती (c) असांत अनावर्ती (d) असांत
Solution:विकल्प (c) सही है।
Illustration:8. \frac{100}{9} का दशमलव प्रसार होगा:
(a) 11.\overline{1} (b) 11.0 \overline{1}
(c) 11.\overline{001} (d) 11.\overline{101}
Solution: \frac{100}{9}=11.111111 \ldots=11.\overline{1}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:9.वास्तविक संख्याएँ होती है:
(a) केवल पूर्णांक संख्याएँ (b) केवल परिमेय संख्याएँ (c) केवल पूर्ण संख्याएँ (d) परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ
Solution:विकल्प (d) सही है।

4.सेक्शन B (Section B (Discriptive Questions)):

Illustration:10. (\sqrt{8})^{\frac{1}{3}} \times\left(\frac{243}{32}\right)^{-\frac{4}{5}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} का मान निकाले।
Solution: (\sqrt{8})^{\frac{1}{2}} \times\left(\frac{243}{32}\right)^{-\frac{4}{5}} \times\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ =\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \times\left[\left(\frac{3}{2} \right)^5 \right]^{-\frac{4}{5}} \times \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} \\ =2^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1\right)} \times \frac{3^{-4}}{2^{-4}} \\ =\frac{2^{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1}+4\right)}}{3^4}= \frac{2^{(\frac{1+1-2+8}{2})}}{81} \\ =\frac{2^{\frac{8}{2}}}{81}=\frac{2^4}{81}=\frac{16}{81}
Illustration:11.सरल कीजिए:
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Solution: \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \\ =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}})}{2-(2+\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}})}{2-(2+\sqrt{3})} \\ =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3} \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{6}+\sqrt{3}(\sqrt{2+\sqrt{3}})}{-\sqrt{3}} \\ =\frac{2 \sqrt{6}}{-\sqrt{3}}=-2 \sqrt{2}
Illustration:12. \left(6^2\right)^3 \times 12^4 \div\left[4^5 \times 9^4\right] \times \left(6^3\right)^{12} \div\left[\left(3^4\right)^4(12^6)^3\right] का मान प्राप्त कीजिए।
Solution: \left(6^2\right)^3 \times 12^4 \div\left[4^5 \times 9^4\right] \times\left(6^3\right)^{12} \div\left[\left(3^4\right)^4(12^6)^3\right] \\ =6^6 \times 12^4 \div\left(4^5 \times 9^4\right) \times 6^{36} \div\left[3^{16} \times 12^{18}\right] \\ =6^6 \times 12^4 \times \frac{1}{4^5 \times 9^4} \times 6^{36} \times \frac{1}{3^{16} \times 12^{18}} \\ =\frac{6^{6+36}}{4^5 \times 9^4 \times 3^{16} \times 12^{8-4}} \\ =\frac{6^{42}}{4^5 \times 3^8 \times 3^{16} \times 12^{14}} \\ =\frac{6^{42}}{4^5 \times 3^{8+16} \times 4^{14} \times 3^{14}}=\frac{2^{42} \times 3^{42}}{4^{5+14} \times 3^{24+14}} \\ =\frac{2^{12} \times 3^{42}}{4^{19} \times 3^{38}}=\frac{2^{42} \times 3^{42-38}}{2^{38}}=2^{42-38} \times 3^4 \\ =2^4 \times 3^4=1296
Illustration:13. 16^{-4} \times \frac{(625)^{\frac{1}{4}}}{4^{-2}} \times\left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{10}{3}} मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 16^{-4} \times \frac{(625)^4}{4^{-2}} \times\left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{10}{3}} \\ =4^{-8} \times \frac{\left(5^4\right)^{\frac{1}{4}}}{4^{-2}} \times \frac{1}{\left(4^3\right)^{-\frac{10}{3}}} \\ =\frac{5}{4^{-2+8}} \times \frac{1}{4^{-10}}=\frac{5}{4^{6-10}}=\frac{5}{4^{-4}} \\ =5 \times 4^4=1280

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5.कक्षा 9 गणित संख्या पद्धति:13 महत्त्वपूर्ण सवाल (एमसीक्यू और निबन्धात्मक) (Frequently Asked Questions Related to Class 9 Maths Number System:13 Important Questions (MCQ and Descriptive)) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Dear Students,sawalo ko hal karana ek achchhi baat hai,parantu silent hone ke bajay jigyasu hona hee vidyarthi Ko use apane target tak pahunchata hai. **Mera aap se Ek sawal** Kya aap mein jo bhee sawal,jis tarah ke sawal dal doon use chuchap padhana pasad karenge? Ya apane requirment Ke anusar,apani exam Ke anusar sawal batane ke liye kya jigyasa prakat karana pasand karenge? kaunsa tareeka uttam maante hain?

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