1.दो चरों वाले फलन के लिए सीमा (Limits of Functions of Two Variables),फलन के लिए सीमा एवं सांतत्य (Limits and Continuity of Functions):

Limits of Functions of Two Variables

दो चरों वाले फलन के लिए सीमा (Limits of Functions of Two Variables) के इस लेख में दो चरों की सीमा का अस्तित्व है या नहीं,ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.दो चरों वाले फलन के लिए सीमा पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Limits of Functions of Two Variables):

Example:1.सीमा परिभाषा का उपयोग करके ( \varepsilon -\delta तकनीक),सिद्ध कीजिए कि
(Using definition of limit \varepsilon -\delta (technique),prove that)
Example:1(i). \underset{(x, y) \rightarrow (1,1)}{\lim} f(x, y)=3 जहाँ (Where) f(x, y)=x^2+2 y 
Solution: \underset{(x, y) \rightarrow(1,1)}{\lim} f(x, y)=3
L.H.S.
\underset{(x, y) \rightarrow(1,1)}{\lim} f(x, y)
प्रत्येक \varepsilon >0 के लिए \exists \delta >0 इस प्रकार कि
|f(x, y)-3| < \varepsilon जबकि 0 < |x-1| < \delta , 0 < |y-1| < \delta
यहाँ f(x, y)=x^2+2 y \\ \therefore |f(x, y)-3|=\left|x^2+2 y-3\right| \\ =\left|x^2-1+2 y-2\right| \\ \leq |(x-1)(x+1)+2(y-1)|
[त्रिभुज असमिका]
माना \delta >0 इस प्रकार है कि
0< |x-1|< \delta ; 0<|y-1|<\delta
अब \delta=1 लेने परः
|x-1| < 1 \Rightarrow 0< x < 2 \\ \Rightarrow 1<x+1<3 \\ \Rightarrow |x+1|<3
फलतः असमिका सेः
|f(x, y)-3| \leq 3|x-1|+2|y-2| \\ < 3 \delta+2 \delta=5 \delta
अब \delta=\frac{\varepsilon}{5} चुनने परः
|f(x, y)-3| < \varepsilon
अभीष्ट \delta=min \left\{1, \frac{\varepsilon}{5}\right\}
अतः दिए हुए \varepsilon>0 के लिए \delta=\min (1, \frac{\varepsilon}{5}) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
\left|x^2+2 y-3\right|<\varepsilon जबकि 0< |x-1|< \delta, x < |y-1| < \delta
अतः \underset{(x, y) \rightarrow(1,1)}{\lim} f(x, y)=3
Example:1(ii). \underset{(x, y) \rightarrow (2,3)}{\lim} xy=6
Solution: \underset{(x, y) \rightarrow (2,3)}{\lim} xy=6
प्रत्येक \varepsilon > 0 के लिए \exists \delta >0 इस प्रकार कि |f(x, y)-6|<\varepsilon ,जबकि 0<|x-2| , 0 < |y-3| < \delta
अब यदि 0<|x-2|<\delta \Rightarrow 2-\delta < x< 2 + \delta जहाँ x \neq 2
तथा यदि 0<|y-3|<\delta \Rightarrow 3-\delta < y < 3+\delta जहाँ y \neq 3
\Rightarrow (2-\delta)(3-\delta)< x y<(2+\delta)(3+\delta) \\ \Rightarrow 6-5 \delta+\delta^2 < xy < 6+5 \delta+\delta^2 \\ \Rightarrow 6-5 \delta+\delta^2< x y<6+5 \delta+\delta^2
अब माना कि 0 < \delta \leq 1 तब
-6 \delta < x y-6<6 \delta \\ \Rightarrow |x y-6|<6 \delta
माना कि \delta=\min \left(\frac{\varepsilon}{6}, 1\right) तब प्रत्येक \varepsilon>0 \\ \exists \delta > 0 इस प्रकार कि
|x y-6|<\varepsilon जबकि |x-2|< \delta तथा |y-3|< \delta
अतः \underset{(x, y) \rightarrow (2,3)}{\lim} xy=6
Example:2.सिद्ध कीजिए कि (Prove that) \underset{(x, y) \rightarrow (0,0)}{\lim} \left(\frac{2 y}{x}\right)
विद्यमान नहीं है (does not exist)
Solution: \underset{(x, y) \rightarrow (0,0)}{\lim} \left(\frac{2 y}{x}\right)
यह प्रदर्शित करने के लिए कि दिए हुए फलन की युगपत सीमा का अस्तित्व नहीं है।यह प्रदर्शित करेंगे कि दो भिन्न-भिन्न उपगमन पथों के अनुदिश सीमा भिन्न-भिन्न है।जो कि पर्याप्त होगा।
(1.)x-अक्ष की धनात्मक दिशा के समान्तर,
(2.)x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के समान्तर
तब \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim}\left(\frac{2 y}{x}\right)\\ =\underset{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow 0}}{\lim}\left(\frac{2 y}{x}\right)=\infty तथा \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim} \left(\frac{2 y}{x}\right)= \underset{\substack{x \rightarrow 0^{-} \\ y \rightarrow 0}}{\lim}=-\infty
दो भिन्न-भिन्न उपगमन पथ के अनुदिश सीमाएँ भिन्न-भिन्न हैं।
अतः \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\y \rightarrow 0}}{\lim}\left(\frac{2 y}{x}\right) विद्यमान नहीं है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} \frac{2 x^3-y^3}{x^2+y^2}=0
Solution: f(x, y)=\frac{2 x^3-y^3}{x^2+y^2}
कार्तीय निर्देशांकों को ध्रुवीय निर्देशांकों में परिवर्तित करने परः
f(x, y)=f(r, \theta)=\frac{2 r^3 \cos ^3 \theta-r^3 \sin ^3 \theta}{r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta} \\ =\frac{r^3\left(2 \cos ^3 \theta-\sin ^3 \theta\right)}{r^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \right)} \\ =r\left(2 \cos ^3 \theta-\sin ^3 \theta\right) \\ \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{2 x^3-y^3}{x^2+y^2}=\underset{r \rightarrow 0}{\lim} r\left(2 \cos ^3-\sin ^3 \theta\right) \\ \Rightarrow \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{2 x^3-y^3}{x^2+y^2}=0
Example:4.प्रदर्शित कीजिए कि निम्न सीमाओं का अस्तित्व नहीं है
(Show that the following limits do not exist)
Example:4(i). \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} (x+y) \frac{y+(x+y)^2}{y-(x+y)^2}
Solution: \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} (x+y) \frac{y+(x+y)^2}{y-(x+y)^2}
y=mx पथ के अनुदिश
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} (x+m x) \cdot \frac{m x+(x+m x)^2}{m x-(x+m x)^2} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} x(1+m) \frac{x\left[m+x(1+m)^2\right]}{x\left[m-x(1+m)^2\right]} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} x(1+m) \cdot \frac{m+x(1+m)^2}{m-x(1+m)^2} \\ =0 \cdot(1-m) \cdot \frac{m}{m}=0 \\ y=x^2 पथ के अनुदिश
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(x+x^2\right) \frac{x^2+\left(x+x^2\right)^2}{x^2-\left(x+x^2\right)^2} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(x+x^2\right) \frac{x^2+x^2+2 x^3+x^4}{x^2-\left(x^2+2 x^3+x^4\right)} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(x+x^2\right) \cdot \frac{2 x^2+2 x^3+x^4}{\left(-2 x^3-x^4\right)} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} x(1+x) \cdot \frac{x^2\left(2 +2 x +x^2\right)}{x^2\left(-2 x-x^2\right)} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left[-(1+x) \cdot \frac{2+2 x+x^2}{(2+x)}\right] \\ =-(1) \cdot \frac{2}{2}=-1
सीमा का भिन्न-भिन्न पथ पर अलग-अलग मान है।
अतः सीमा विद्यमान नहीं है।
Example:4(ii). \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} \log \frac{a\left(1-e^x\right)}{a-y^x}
Solution: \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} \log \frac{a\left(1-e^x\right)}{a-y^x}
अंशः x \rightarrow 0, e^x \rightarrow e^0=1
इसलिए 1-e^x \rightarrow 1-1=0
अतः अंश का मान a(0)=0
हर:चूँकि x \rightarrow 0 और y \rightarrow 0 हम y^{x} पद को देखते हैं।मानों को सीधे प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है 0^{0} ।केलकुलस में 0^{0} एक अनिर्धाय रूप है,लेकिन अधिकांश मानक फलनों के लिए जहाँ x और y स्वतन्त्र रूप से शून्य के निकट आते हैं,हम जाँचते हैं कि क्या व्यंजक सरल हो जाता है।
हालाँकि,यदि हम मान लें कि a \neq 0 और y के निकट आ रहा है 0 जबकि x के निकट आ रहा है 0:
y^{x} आमतौर 1 (क्योंकि किसी भी अशून्य संख्या की घात 0 होती है तो वह 1 के करीब पहुँचता है
अतः हर का मान हो जाता है a-1
चूँकि 0 का लघुगणक (\log 0) अपरिभाषित है और -\infty की ओर प्रवृत्त होता है इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है (यह ऋणात्मक अनन्त की ओर अग्रसर होता है)
Example:5.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2} की सीमा बिन्दु (0,0) पर विद्यमान नहीं है परन्तु पुनरावृत्ति सीमाओं का अस्तित्व है तथा वे बराबर हैं।
(Prove that the limit point of the function f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2} at the point (0,0) does not exist but the iterated limits exist and are equal.)
Solution:प्रथम क्रम: x \rightarrow 0 बाद में y \rightarrow 0 \\ \underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{xy}{x^2+y^2}\right)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{0 \cdot y}{0+y^2}\right) \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{0}{y^2}\right) =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} (0)=0
द्वितीय क्रमः y \rightarrow 0 तब x \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{xy}{x^2+y^2}\right)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{x \cdot 0}{x^2+0}\right) \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{0}{x^2}\right) =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} (0)=0
पुनरावृत्ति सीमाएँ 0 समान है।अतः युगपत सीमाओं का अस्तित्व है।
युगपत सीमाएँः
y=mx पथ लेने परः
f(x, m x)=\frac{x \cdot m x}{x^2+m^2 x^2}=\frac{x^2(m)}{x^2\left(1+m^2\right)}=\frac{m}{1+m^2}
जब (x, y) \rightarrow (0,0) ,रेखा y=mx के अनुदिश तो फलन m पर निर्भर है।
यदि m=1 (पथ y=x)
सीमा \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}
यदि m=0 (पथ y=0)
सीमा है \frac{0}{1+0^2}=0
भिन्न-भिन्न सीमाएँ है अतः युगपत सीमा का अस्तित्व नहीं है।
युगपत सीमा का अस्तित्व नहीं है क्योंकि \left( \frac{1}{2} \neq 0 \right) तथा सीमा पथ (y=mx) पर निर्भर करती है।

Limits of Functions of Two Variables

Example:7.सिद्ध कीजिए कि \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} x \sin \frac{1}{y} का अस्तित्व है और 0 के बराबर है किन्तु \underset{ y \rightarrow 0 }{\lim} x_1 \sin \frac{1}{y} विद्यमान नहीं है जहाँ कोई अचर है तथा x_{1} \neq 0
(Prove that the \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} x \sin \frac{1}{y} exist and is equal to 0 but \underset{ y \rightarrow 0 }{\lim} x_1 \sin \frac{1}{y} does not exist where is any constant and x_{1} \neq 0 )
Solution:हम जानते हैं कि sine फलन सभी वास्तविक कोणांक के लिए परिबद्ध है (squeeze theorem से)
-1 \leq \sin \left(\frac{1}{y}\right) \leq 1
पूरी असमिका |x| को से गुणा करने पर
-|x| \leq |x| \sin \left(\frac{1}{y}\right) \leq |x|
अब \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} -|x|=0
तथा \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} |x|=0
जबकि फलन x \sin \left(\frac{1}{y}\right) trapped है दोनों फलनों के बीच ताकि दोनों 0 की ओर अग्रसर हैं (squeeze theorem से)
अब \underset{y \rightarrow 0}{\lim} x_1 \sin \frac{1}{y} पर विचार करो जहाँ अशून्य अचर है।
माना f(y)= x_1 \sin \frac{1}{y}
जब y \rightarrow 0 तब पद \frac{1}{y} \rightarrow \infty.
sine फलन अनन्त बार -1 से 1 के बीच दोलन करता है और अनन्त पर इसका कोणांक (argument) 1 है।विशेषतौर पर यदि हम y के दो अनुक्रम चुनाव करते हैं तो
(1.)माना y_n=\frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} जब n \rightarrow \infty , y_{n} \rightarrow 0
तब f\left(y_n\right)=x_1 \sin (2 n \pi+\frac{\pi}{2})=x_1(1) \\ =x_1
(2.)माना z_n=\frac{1}{2 n \pi-\frac{\pi}{2}}+4 n+\infty जब n \rightarrow \infty , y_{n} \rightarrow 0
तब f(z_n)=x_{1} \sin (2 n \pi-\frac{\pi}{2})=x_{1}(-1) \\ =-x_{1}
फलन दो भिन्न मान ( x_{1} और -x_{1} ) प्राप्त करता है जब सीमा 0 की ओर अग्रसर होती है अतः
अतः \underset{y \rightarrow 0}{\lim} x_1 \sin \left(\frac{1}{y}\right) विद्यमान नहीं है जब x_{1} \neq 0
Example:8.सिद्ध कीजिए कि \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} f(x, y) does not exist,where f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0)
Solution: f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}
सीमा x \rightarrow 0 जबकि y=0
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, 0)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2-0^2}{x^2+0^2} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^2}{x^2}=1
y-अक्ष की ओर अग्रसर होने पर (x=0)
\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(0, y)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{0^2-y^2}{0^2+y^2} \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{-y^2}{y^2}\right) \\ =\underset{y \rightarrow 0}{\lim}(-1)=-1
अतः x-अक्ष (1) के अनुदिश सीमा का मान y-अक्ष के अनुदिश सीमा का मान (-1) के बराबर नहीं है।
अतः युगपत सीमा पथ पर निर्भर है।
Example:9.माना f : R \rightarrow R निम्न प्रकार परिभाषित है:
(Let f : R \rightarrow R is defined as follows):
f(x,y)=\begin{cases}\frac{x y^3}{x^2+y^6}, & (x, y) \rightarrow(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
तब ज्ञात कीजिए (then find) \underset{\lim}{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y)
Solution: x=m y^3 पथ लेने परः
f\left(m y^3, y\right) =\frac{\left(m y^3\right) y^3}{\left(m y^3\right)^2+y^6} \\ =\frac{m y^6}{m y^6+y^6} \\ =\frac{m y^6}{y^6\left(1+m^2\right)} \\ \Rightarrow f\left(m y^3, y\right) =\frac{m}{1+m^2} \\ \underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{m}{m^2+1}=\frac{m}{m^2+1}
अतः सीमा का मान m पर निर्भर है (विशिष्ट पथ चुनने पर),सीमा अद्वितीय नहीं है।
यदि m=1,सीमा है \frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}
यदि m=2,सीमा है \frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}
भिन्न-भिन्न पथ के लिए सीमा के भिन्न-भिन्न मान है अतः सीमा विद्यमान नहीं है।
Example:10.माना f: R^2 \rightarrow R निम्न प्रकार परिभाषित है
(Let f: R^2 \rightarrow R defined as follows)
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & \text { जब (when) } x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & \text { जब (when) } x=0 , y=0\end{cases}
तब सिद्ध कीजिए (then prove that) \underset{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\lim} f(x,y)
विद्यमान नहीं है (does not exist):
Solution:y=mx पथ के अनुदिश
f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2} \\ f(x, m x) =\frac{x^2(m x)}{x^4+(m x)^2} \\ =\frac{m x^3}{x^4+m^2 x^2}=\frac{m x}{x^2+m^2}
जब x \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{m x}{x^2+m^2}=\frac{0}{0+m^2}=0
किसी भी रेखा के मूलबिन्दु से गुजरने पर (x=0 के अतिरिक्त)
सीमा का मान 0 है।
द्वितीय पथ y=m x^2 लेने पर
f\left(x, m x^2\right) =\frac{x^2\left(m x^2\right)}{x^4+\left(m x^2\right)^2} \\ =\frac{m x^4}{x^4+m^2 x^4} \\ =\frac{m x^4}{x^4\left(1+m^2\right)} \\ f\left(x, m x^2\right) =\frac{m}{1+m^2}
जब x \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow 0} f\left(x, m x^2\right)=\frac{m}{1+m^2}
सीमा का मान m पर निर्भर है (विशेष परवलय चुनने पर)
यदि m=1 (पथ y=x^2 ) सीमा है
\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\ m=2 (पथ y=2 x^2 ) सीमा है
\frac{m}{1+m^2}=\frac{2}{1+2^2}=\frac{2}{5}
अतः सीमा भिन्न-भिन्न पथ पर भिन्न-भिन्न मान प्राप्त करती है।
जब पथ (0,0) की ओर अग्रसर है अतः सीमा विद्यमान नहीं है।
Example:11.दर्शाइए कि निम्न फलन का मूलबिन्दु पर पुनरावृत्ति सीमाओं का अस्तित्व है तथा वे बराबर है किन्तु समक्षणिक (युगपथ) सीमा का अस्तित्व नहीं है।
(Prove that the iterative limits of the following function at the origin exist and are equal but simultaneous limits does not exists.)
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { यदि (if) } x, y \neq 0 \\ 0, \text { यदि }(if) x, y=0 \end{array}\right.
Solution: f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { यदि (if) } x, y \neq 0 \\ 0, \text { यदि }(if) x, y=0 \end{array}\right.
पुनरावृत्त सीमा
\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)\right)
आंतरिक सीमाः \underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y) , x=0 के लिए
जब y \rightarrow 0 (परन्तु y \neq 0 ),f(x,y)=1
अतः आन्तरिक सीमा 1 होता है।बाह्य सीमाः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} (1)=1
द्वितीय पुनरावृत्त सीमा \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left(\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)\right)
आन्तरिक सीमाः \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y) , y=0 निश्चित के लिए
जब x \rightarrow 0 (परन्तु x \neq 0 ) f(x,y)=1
अतः आन्तरिक सीमा 1 है।
बाह्य सीमा \underset{y \rightarrow 0}{\lim} (1)=1
दोनों पुनरावृत्त सीमाएँ विद्यमान है और 1 के बराबर है।
युगपत सीमा के लिए
पथ y=x (जहाँ x \neq 0 )
f(x, y)=1 \\ \Rightarrow f(x, x)=1 \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, x)=1, f(x,y)=1
द्वितीय पथ यदि y=0,फलन का मान शून्य है (xy=0)
f(x, 0)=0 \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, 0)=0
सीमा का मान पथ पर निर्भर है। ( 1 \neq 0 )
युगपत सीमा विद्यमान नहीं है।
Example:13.माना कि (Let)
f(x, y)=\frac{y-x}{y+x} \cdot \frac{1+x}{1+y}, x \neq 0, y \neq 0
तो प्रदर्शित कीजिए कि आवृत्त सीमाएँ विद्यमान है परन्तु बराबर नहीं है।साथ ही प्रदर्शित कीजिए कि युगपत सीमा विद्यमान नहीं है।
(then show that the repeated limits exist at (0,0) but are not equal.Also show that the simultaneous limit does not exist.)
Solution: f(x, y)=\frac{y-x}{y+x} \cdot \frac{1+x}{1+y}, x \neq 0, y \neq 0
पुनरावृत्त सीमाओं की गणना (Repeated Limits)
स्थिति:I.पहले y \rightarrow 0 फिर x \rightarrow 0 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left[\underset{y \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)\right]=\underset{x \rightarrow 0}{\lim}\left[\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{1+x}{1+y}\right]
जब हम y=0 रखते हैं
\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left[\underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)\right]=\underset{y \rightarrow 0}{\lim}\left[\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{1+x}{1+y}\right]
स्थिति:II.पहले x \rightarrow 0 फिर y \rightarrow 0 \\ \underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left[\underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, y)\right]=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \left[\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{1+x}{1+y}\right]
जब हम x=0 रखते हैं
=\underset{y \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{0-y}{0+y} \cdot \frac{1+0}{1+y}\right)=\underset{y \rightarrow 0}{\lim}\left(-1 \cdot \frac{1}{1+y}\right) \\ =-1
चूँकि 1 \neq -1 अतः पुनरावृत्त सीमाएँ विद्यमान तो हैं लेकिन आपस में बराबर नहीं है।
युगपत सीमा की जाँच (Simultaneous Limit)
युगपत सीमा के \underset{(x, y) \rightarrow(0,0)}{\lim} f(x, y) अनुदिश जाँच करने के लिए हम मूलबिन्दु (0,0) की ओर विभिन्न पथों (paths) से जाने का प्रयास करते हैं।
मान लीजिए हम रेखा y=mx के अनुदिश जाते हैं।
f(x,mx)=\frac{x-m x}{x+m x} \cdot \frac{1+x}{1+m x} \\ =\frac{x(1-m)}{x(1+m)} \cdot \frac{1+x}{1+m x} \\ =\frac{1-m}{1+m} \cdot \frac{1+x}{1+m x} \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} f(x, m x) =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-n}{1+m} \cdot \frac{1+x}{1+m x} \\ =\frac{1-m}{1+m}
अतः परिणाम m पर निर्भर है (पथ के ढाल पर),सीमा भिन्न पथ पर भिन्न है।उदाहरण m=0 सीमा हैः
=\frac{1-0}{1+0}=1
यदि m=2 तब सीमा
=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}
अतः युगपत सीमा विद्यमान नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चरों वाले फलन के लिए सीमा (Limits of Functions of Two Variables),फलन के लिए सीमा एवं सांतत्य (Limits and Continuity of Functions) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Limits of Functions of Two Variables

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3.दो चरों वाले फलन के लिए सीमा (Frequently Asked Questions Related to Limits of Functions of Two Variables),फलन के लिए सीमा एवं सांतत्य (Limits and Continuity of Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो चरों वाले फलन के लिए सीमा (Limits of Functions of Two Variables) के इस लेख
में दो चरों की सीमा का अस्तित्व है या नहीं,ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।