1.प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Horizontal Motion in Resisting Medium),प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Resisting Medium):

Horizontal Motion in Resisting Medium

प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Horizontal Motion in Resisting Medium) के इस आर्टिकल में प्रतिरोधी माध्यम में कण की क्षैतिज दिशा में गति से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति के उदाहरण (Horizontal Motion in Resisting Medium Examples):

Example:1.एक कण क्षैतिज दिशा में एक ऐसे माध्यम में फेंका जाता है जिसका प्रतिरोध वेग की तीसरी घात के समानुपाती है।कण पर कोई अन्य बल कार्यरत नहीं है।जब वेग v_1 से v_2 कम होता है एवं कण d दूरी,t समय में तय करता है,तो सिद्ध करो कि
\frac{d}{t}=\frac{2 v_1 v_2}{v_1+v_2}
(A particle is projected horizontally in a medium whose resistance is proportional to the cube of the velocity and no other force acts on the particle.While the velocity diminishes from v_1 to v_2 and the particle traverses distance d in time t,show that \frac{d}{t}=\frac{2 v_1 v_2}{v_1+v_2} )
Solution:कण की गति का समीकरण
\frac{d^2 x}{d t^2}=k v^3 \\ \frac{v d v}{d x}=k v^3 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^2}=k d x
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{d v}{v^2}=k \int d x \\ \Rightarrow \frac{-1}{v^2}=k x+A
जब x=0 तो v=v_1
A=-\frac{1}{v_1} \\ -\frac{1}{v}=k x-\frac{1}{v_1}
जब x=d तो v=v_2
-\frac{1}{v_2}=k d-\frac{1}{v_1} \\ \Rightarrow-\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_1}=k d \\ \Rightarrow \frac{\left(v_2-v_1\right)}{k v_2}=k d \cdots(1)
पुनः \frac{d v}{d t}=k v^3 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^3}=k d t
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\int \frac{d v}{v^3}=\int k d t \\ \Rightarrow -\frac{1}{2 v^2}=k t+B
जब t=0 तो v=v_1
\Rightarrow -\frac{1}{2 v_1}=B \\ \Rightarrow -\frac{1}{2 v^2}=k t-\frac{1}{2 v_1}
जब t=t तो v=v_2
\Rightarrow \frac{-1}{2 v_2^2}=k t-\frac{1}{2 v_1^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 v_1^2}-\frac{1}{2 v_2^2}=k t \\ \Rightarrow \frac{\left(v_2^2-v_1^2\right)}{2 v_1^2 v_2^2}=k t \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) का भाग देने परः
\frac{k d}{k t}=\frac{\frac{\left(v_2-v_1\right)}{v_1 v_2}}{\frac{3\left(v_2^2-v_1^2\right)}{2 v_1^2 v_2^2}} \\ \Rightarrow \frac{d}{t} =\frac{2\left(v_2-v_1\right) v_1^2 v_2^2}{\left(v_2^2-v_1^2\right) v_1 v_2} \\ =\frac{2\left(v_2-v_1\right) v_1 v_2}{\left(v_2-v_1\right)\left(v_1+v_2\right)} \\ \Rightarrow \frac{d}{t} =\frac{2 v_1 v_2}{\left(v_1+v_2\right)}

Horizontal Motion in Resisting Medium

Example:2.एक कण क्षैतिज दिशा में एक ऐसे माध्यम में फेंका जाता है जिसका प्रतिरोध वेग की चौथी घात के समानुपाती है।कण पर कोई अन्य बल कार्यरत नहीं है।जब वेग v_1 से v_2 कम होता है एवं कण d दूरी समय में तय करता है,तो सिद्ध कीजिए कि
(A particle is projected horizontally in a medium whose resistance is proportional to the fourth power of velocity and no other forces act on the particle,while the velocity diminishes from  v_1 to v_2 and  particle traverses a distance d in time,Show that)
\frac{v_1^2 v_2+v_1 v_2^2}{v_1^2+v_1 v_2+v_2^2}=\frac{2 d}{3 t_1}
Solution:कण की गति का समीकरण
\frac{d^2 x}{d t^2}=k v^4 \\ \frac{d v}{d x}=k v^4 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^3}=k d x
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{d v}{v^3}=\int k d x \\ \Rightarrow-\frac{1}{2 v^2}=k x+A
जब x=0 तो v=v_1
\Rightarrow A=-\frac{1}{2 v_1^2} \\ -\frac{1}{2 v^2}=k x-\frac{1}{2 v_1^2}
जब x=d तो v=v_2
\Rightarrow \frac{-1}{2 v_2^2}=k d-\frac{1}{2 v_1^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{2 v_1^2}-\frac{1}{2 v_2^2}=k d \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{v_2^2-v_1^2}{v_1^2 v_2^2}\right)=k d \cdots(1)
पुनः \frac{d v}{d t}=k v^4 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^4}=k d t
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{d v}{v^4}=\int k d t \\ \Rightarrow-\frac{1}{3 v^3}=k t+B
जब t=0 तो v=v_1
B=-\frac{1}{3 v_1^3} \\ -\frac{1}{3 v^3}=k t-\frac{1}{3 v_1^3}
t=t तो v=v_2
\Rightarrow-\frac{1}{3 v_2^3}=k t-\frac{1}{3 v_1^3} \\ \Rightarrow \frac{1}{3 v_3^3}-\frac{1}{3 v_2^3}=k t \\ \Rightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{v_1^3}-\frac{1}{v_2^3}\right)=k t \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \left(\frac{v_2^3-v_1^3}{v_1^3 v_2^3}\right)=k t \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) का भाग देने परः
\frac{k d}{k t}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{v_2^2-v_1^2}{v_1^2 v_2^2}\right)}{\frac{1}{3} \left(\frac{v_2^3-v_1^3}{v_1^3 v_2^3}\right)} \\ \frac{d}{t}=\frac{3\left(v_2^2-v_1^2\right) v_1 v_2}{2\left(v_2^3-v_1^3\right)}\\ =\frac{3\left(v_2-v_1\right)\left(v_2+v_1\right) v_1 v_2}{2\left(v_2-v_1 \right)\left(v_1^2+v_1 v_2+v_2^2\right)} \\ =\frac{3\left(v_1 v_2^2+v_1^2 v_2\right)}{2\left(v_1^2+v_1 v_2+v_2^2\right)} \\ \Rightarrow \frac{2 d}{3 t} =\frac{v_1^2 v_2+v_1 v_2^2}{v_1^2+v_1 v_2+v_2^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Horizontal Motion in Resisting Medium),प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Resisting Medium) को समझ सकते हैं।

3.प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति के उदाहरण (Rectilinear Motion in Resisting Medium Examples):

Example:3.एक भारी कण को एक माध्यम में U वेग के साथ लम्बवत् रूप से प्रक्षेपित किया जाता है,जिसका प्रतिरोध कण के वेग के घन के रूप में है।उस ऊँचाई का निर्धारण करें जिस तक पहुँचेगा।
(A heavy particle is projected vertically upwards with a velocity U in a medium,the resistance of which varies as the cube of the particle’s velocity.Determine the height to which the particle will ascend.)
Solution:प्रतिरोध=kv^3
ऊपर की ओर कण की गति का समीकरण
m v \frac{d v}{d x} =-m g-m k v^3 \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=-g\left(1+\frac{k}{g} v^2\right) \cdots(1)
नीचे की ओर त्वरण=g-kv^3
यदि V सीमान्त वेग हो तब नीचे की ओर त्वरण शून्य है
\therefore 0=g-k V^3 \Rightarrow V^3=\frac{g}{k} \cdots(2)
अतः समीकरण (1) सेः
v \frac{d v}{d x}=-g\left(1+\frac{v^3}{V^3}\right) \\ \frac{v d v}{v^3+V^3}=-\frac{g}{V^3} \cdot d x \\ \frac{v d v}{(v+V)\left(V^2+v^2-v V\right)}=-\frac{g}{V^3} d x
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने परः
\left[-\frac{1}{3 V(v+V)}+\frac{v+V}{3 V\left(v^2+V^2-v V\right)}\right] d v= \frac{-2}{V^3} dx \\ \Rightarrow \left[-\frac{1}{v+V}+\frac{2 v-V}{v^2+V^2-v V}+\frac{3 V}{2\left(v^2+V^2-v V\right)}\right]=-\frac{3 g}{V^3} dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow -\log (v+V)+\frac{1}{2} \log \left(v^2+V^2-v V\right)+\frac{3 V}{2} \int \frac{d v}{\left(v-\frac{V}{2}\right)^2+\frac{3 V^2}{4}}=-\frac{3 g x}{V^2}+C \\ \Rightarrow -\log (v+V)+\frac{1}{2} \log \left(v^2+V^2-v V\right)+\frac{3 V}{2} \cdot \frac{2}{V \sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{v-\frac{V}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} V}\right)=-\frac{3 g x}{V^2}+C \cdots(2)
प्रारम्भ में जब v=U तो x=0
\therefore C=-\log (U+V)+\frac{1}{2} \log \left(U^2+V^2-UV\right)+3 \tan \left(\frac{3 U-V}{V \sqrt{3}}\right)
उपर्युक्त मान समीकरण (2) में रखने परः
\log \left(\frac{U+V}{v+V}\right)+\frac{1}{2} \log \left(\frac{v^2+V^2-v V}{U^2+V^2-U V}\right) +\sqrt{3}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{2 v-V}{V \sqrt{3}}\right)-\tan \left(\frac{2 U-V}{V \sqrt{3}} \right)\right]=-\frac{3 gx}{V^2} \cdots(3)
माना कण अधिकतम h ऊँचाई तक चढ़ता है तब उच्चतम बिन्दु पर v=0,x=h तो समीकरण (3) सेः
\frac{-3 g h}{V^2}=\log \left(\frac{U+V}{V}\right)+\frac{1}{2} \log \left(\frac{V^2}{U^2+V^2-U V}\right)-\sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\frac{2 U-V}{V\sqrt{3}}\right) \\ \Rightarrow h=\frac{V^2}{3 g} \log \left(\frac{V}{U+V}\right)+\frac{V^2}{6 g} \log \left(\frac{U^2-V^2-UV}{V^2}\right)+\sqrt{3} \cdot \frac{V^2}{3 g}\left[\frac{\pi}{6}+\tan ^{-1}\left(\frac{2 U-V}{V\sqrt{3}} \right)\right] \\ h=\frac{V^2}{6 g} \log \left(\frac{U^2+V^2-U V}{(U+V)^2}\right)+\frac{\pi V^2 \sqrt{3}}{18 g}+\frac{V^2 \sqrt{3}}{3 g} \tan ^{-1}\left(\frac{2 U-V}{V\sqrt{3}}\right)

Horizontal Motion in Resisting Medium

Example:4.एक कण को एक माध्यम में वेग v के साथ लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है जिसका प्रतिरोध प्रति इकाई द्रव्यमान है, v वेग है।दिखाएँ कि पहुँची गई उच्चतम ऊँचाई है।
(A particle is projected vertically upwards with a velocity v in a medium whose resistance is per unit of mass,v being the velocity.Show that the greatest height reached is)
\frac{1}{2 \sqrt{(k g)}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{k}{g}\right)} v^2\right]
Solution:ऊपर की ओर कण की गति का समीकरण
m \frac{d^2 x}{d t^2}=-m g-m k v^4 \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=-g\left(1+\frac{k}{g} v^4\right) \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=-g\left(1+\frac{k}{g} v^4\right) \\ \Rightarrow \frac{2 v d v}{\left(1+\frac{k}{g} v^4\right)}=-2 g d x
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः
\Rightarrow \int \frac{2 v d v}{\left(1+\frac{k}{g} v^4\right)}=-2 g \int d x
put \sqrt{\frac{k}{g}} v^2=u \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{k}{g}} \cdot 2 v d v=d u \\ \Rightarrow 2 v d v=\sqrt{\frac{g}{k}} d u \\ \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \sqrt{\frac{g}{k}} d u=-2 g x+A \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{g}{k}} \tan ^{-1} u=-2 g x+A \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{g}{k}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{k}{g}\right)} v^2\right]=-2 g x+A
प्रारम्भ में x=h तो v=0 अतः A=0
\Rightarrow-2 g x=\sqrt{\frac{g}{k}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{k}{g}\right)} v^2\right] \\ \Rightarrow h=\frac{1}{2 \sqrt{g k}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\left(\frac{k}{g}\right)} v^2\right]
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Horizontal Motion in Resisting Medium),प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Resisting Medium) को समझ सकते हैं।

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4.प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Frequently Asked Questions Related to Horizontal Motion in Resisting Medium),प्रतिरोधी माध्यम में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Resisting Medium) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रतिरोधी माध्यम में क्षैतिज गति (Horizontal Motion in Resisting Medium) के इस आर्टिकल
में प्रतिरोधी माध्यम में कण की क्षैतिज दिशा में गति से सम्बन्धित सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।