1.कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios in Class 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios):

Trigonometric Ratios in Class 10th

कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios in Class 10th) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय अनुपात के आधार पर कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात के साधित उदाहरण (Trigonometric Ratios in Class 10th Solved Examples):

Example:1. \tan ^2 60^{\circ} का मान है:
(a)3 (b) \frac{1}{3} (c) 1 (d) \infty
Solution: \tan ^2 60^{\circ}=(\sqrt{3})^2=3
विकल्प (a) सही है।
Example:2. 2 \sin ^2 60^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} का मान होगा:
(a) \frac{4}{3} (b) \frac{5}{2} (c) \frac{3}{4} (d) \frac{1}{3}
Solution: 2 \sin ^2 60^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} \\=2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}
विकल्प (c) सही है।
Example:3.यदि \operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}} हो,तो \theta का मान होगाः
(a) \frac{\pi}{4} (b) \frac{\pi}{3} (c) \frac{\pi}{2} (d) \frac{\pi}{6}
Solution: \operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta=\operatorname{cosec} \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}
विकल्प (b) सही है।
Example:4. \cos^2 45^{\circ} का मान होगाः
(a) \frac{1}{\sqrt{2}} (b) \frac{\sqrt{3}}{2} (c) \frac{1}{2} (d) \frac{1}{\sqrt{3}}
Solution: \cos ^2 45^{\circ}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}
विकल्प (c) सही है।
Example:5.यदि \theta=45^{\circ} हो,तो \frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} का मान हैः
(a) 0 (b)1 (c) 2 (d) \infty
Solution: \frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} \\ =\frac{1-\cos \left(2 \times 45^{\circ}\right)}{\sin \left(2 \times 45^{\circ}\right)} \\ =\frac{1-\cos 90^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} \\ =\frac{1-0}{1}=1
विकल्प (b) सही है।
Example:6. \cos 60^{\circ} का मान हैः
(a) \frac{1}{2} (b) \frac{1}{\sqrt{2}} (c) \frac{\sqrt{3}}{2} (d) (a) 1
Solution:विकल्प (a) सही है।
Example:7. \tan 30^{\circ} का मान हैः
(a) \sqrt{3} (b) \frac{1}{\sqrt{3}} (c)1 (d) 0
Solution:विकल्प (b) सही है।
Example:8. \operatorname{cosec} 45^{\circ} का मान हैः
(a) \frac{1}{\sqrt{2}} (b) 2 \sqrt{2} (c) \sqrt{2} (d) 1
Solution:विकल्प (c) सही है।
Example:9. \cos 30^{\circ} का मान हैः
(a) \sin 30^{\circ} (b)\cos 60^{\circ} (c) \sin 60^{\circ} (d) \tan 30^{\circ}
Solution: \cos 30^{\circ}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
विकल्प (c) सही है।

Trigonometric Ratios in Class 10th

Example:10.यदि \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} ,तो \theta हैः
(a) 30^{\circ} (b) 45^{\circ} (c) 60^{\circ} (d) 90^{\circ}
Solution: \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin 45^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=45^{\circ}
विकल्प (b) सही है।
Example:11.यदि \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2} ,तो \angle A का रेडियन में मान हैः
(a) \frac{\pi}{2} (b) \frac{\pi}{3} (c) \frac{\pi}{4} (d) \frac{\pi}{6}
Solution: \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \angle A=\frac{\pi}{6}
विकल्प (d) सही है।
Example:12. \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6} का मान बराबर हैः
(a) \cot \frac{\pi}{2} (b) \cot \frac{\pi}{3}  (c) \cot \frac{\pi}{4}  (d) \cot \frac{\pi}{6}
Solution: \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{6} \\ =\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=1=\cot \frac{\pi}{4}
विकल्प (c) सही है।
Example:13. \cos 30^{\circ} \sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} का मान हैः
(a) 0 (b) 1 (c) \frac{1}{2} (d) \frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \cos 30^{\circ} \sin 60^{\circ}-\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4} \\ =\frac{1}{2}
विकल्प (c) सही है।
Example:14. \cot 30^{\circ} का मान हैः
(a) \frac{1}{\sqrt{3}} (b) \sqrt{3} (c) \frac{\sqrt{3}}{2} (d) \sqrt{2}
Solution:विकल्प (b) सही है।
Example:15. \sec 45^{\circ} का मान हैः
(a) \sqrt{2} (b) \frac{1}{\sqrt{2}} (c) \frac{1}{\sqrt{3}} (d) \sqrt{3}
Solution:विकल्प (a) सही है।
निम्न के मान ज्ञात कीजिएः
Example:16. 2 \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ}
Solution: 2 \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ}=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} =1
Example:17. 3 \cos 30^{\circ}-4 \sin ^3 30^{\circ}
Solution: 3 \cos 30^{\circ}-4 \sin ^3 30^{\circ} \\ =3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-4 \times\left(\frac{1}{2} \right)^3 =\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \\ =\frac{(3 \sqrt{3}-1)}{2}
Example:18. \cot \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6}
Solution: \cot \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}=1
Example:19. \frac{1-\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}
Solution: \frac{1-\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} \\ =\frac{1-(1)^2}{1+(1)^2}=0
Example:20. 2 \sin ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)
Solution: 2 \sin ^2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos ^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ =2\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\=2 \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios in Class 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Trigonometric Ratios in Class 10th):

Trigonometric Ratios in Class 10th

(1.) 4 \cot ^2 45^{\circ}-\sec ^2 60^{\circ}-\sin ^2 30^{\circ}
(2.) \sin ^2 60^{\circ} \cot ^2 60
उत्तर (Answers): (1.)-\frac{1}{4} (2.) \frac{1}{4}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात ,त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratios in Class 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 10वीं में त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios in Class 10th) के इस आर्टिकल
में त्रिकोणमितीय अनुपात के आधार पर कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।