1.गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Dynamics),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion):

Rectilinear Motion in Dynamics

गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Dynamics) के इस आर्टिकल में परिवर्ती त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति के उदाहरण (Rectilinear Motion in Dynamics Examples):

Example:1.एक कण जिसकी संहति m है,एक सरल रेखा पर एक बिन्दु से विरामावस्था से चलता है।यदि किसी क्षण पर बल कार्यरत हो,तो कण की गति का विवेचन कीजिए।
(A particle of mass m moves along a straight line starting from rest from a given point in the line.If the force at any instant is, discuss the motion of the particle.)
Solution: m \frac{d^2 s}{d t^2}=m k \cos t\\ \Rightarrow  \frac{d v}{d t}=k \cos t \quad \left[\because \frac{d^2 s}{d t^2}=\frac{d v}{d t}\right] \\ \Rightarrow \int d v=\int k \cos t d t
समाकलन करने परः
v=k \sin t+A
प्रारम्भ में जब t=0,v=0 तो A=0
v=k \sin t \\ \frac{d s}{d t} =k \sin t \quad\left[v=\frac{d s}{d t}\right] \\ \Rightarrow ds=k \sin t d t
पुनः समाकलन करने परः
\int d s=\int k \sin t d t \\ \Rightarrow s=-k \cos t+B
प्रारम्भ में जब t=0,v=0 तो B=0
\Rightarrow s=-k \cos t
Example:2.एक कण प्रारम्भ में विरामावस्था में है,एक सरल रेखा पर गतिमान इस प्रकार है कि t सेकण्ड के अन्त में इसका त्वरण \sin t+\frac{1}{(t+1)^2} है।प्रदर्शित कीजिए कि \pi सेकण्ड के पश्चात इसकी नियत बिन्दु से दूरी 2 \pi-\log (\pi+1) है।
(A particle initially at rest moves from a fixed point in a straight line so that at the end of t secs,its acceleration is \sin t+\frac{1}{(t+1)^2} . Show that its distance from the fixed point at the end of \pi seconds is 2 \pi-\log (\pi+1) .)
Solution:त्वरण \frac{d v}{d t}=\sin t+\frac{1}{(t+1)^2} \\ dv=\left(\sin t+\frac{1}{(t+1)^2}\right) d t
समाकलन करने परः
\int dv=\int \sin t d t+\int \frac{1}{(t+1)^2} d t \\ v=-\cos t-\frac{1}{t+1}+A
प्रारम्भ में t=0,v=0 तो
0=-\cos 0-\frac{1}{0+1}+A \\ \Rightarrow 0=-1-1+A \Rightarrow A=2 \\ v=-\cos t-\frac{1}{t+1}+2 \\ \frac{d s}{d t}=-\cos t-\frac{1}{t+1}+2\left[\because v=\frac{d s}{d t}\right] \\ \Rightarrow d s=\left(-\cos t-\frac{1}{t+1}+2\right) dt
समाकलन करने परः
\int d s=-\int \cos t d t-\int \frac{1}{t+1} d t+\int 2 d t \\ \Rightarrow s=-\sin t-\log (t+1)+2 t+B
प्रारम्भ में t=0,s=0 तोः
0=-\sin 0-\log (0+1)+2 \times 0+B \\ \Rightarrow B=0 \\ s=-\sin t-\log (t+1)+2 t
\pi सेकण्ड पश्चात दूरीः
s=-\sin \pi-\log (\pi+1)+2 \pi \\ \Rightarrow s=2 \pi-\log (\pi+1)

Rectilinear Motion in Dynamics

Example:3.एक वाष्प नाविका वाष्प बन्द करते समय V वेग से गतिमान है।दिया हुआ है कि इसके बाद किसी भी समय पर इसमें मंदन तथा वेग का मापांक समान है।वाष्प बन्द करने के पश्चात t समय में नाविका का वेग तथा इसके द्वारा चली गई दूरी ज्ञात कीजिए।
(A steam boat is moving with velocity V when steam is shut off.Given that the retardation at any subsequent time is equal to the magnitude of velocity at any time. Find the velocity and distance travelled in time t after the steam is shut off.)
Solution:Given -\frac{d v}{d t}=v \\ -\frac{d v}{v}=d t
समाकलन करने परः
-\int \frac{d v}{v}=\int d t \\ \Rightarrow-\log v=t+A
प्रारम्भ में जब t=0 तो v=V
\Rightarrow -\log v=A \\ -\log v=t-\log V \\ \Rightarrow \log v-\log V=-t \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v}{V}\right)=-t \\ \Rightarrow \frac{v}{V}=e^{-t} \\ \Rightarrow v=V e^{-t} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d t}=V e^{-t} \quad\left[\because v=\frac{d s}{d t}\right] \\ \Rightarrow ds=V e^{-t} dt
समाकलन करने परः
\int ds=\int V e^{-t} d t \\ \Rightarrow s=-V e^{-t}+B
प्रारम्भ में t=0,s=0 तो
0=-V e^{-0}+B \\ B=V \\ s=-V e^{-t}+V \\ \Rightarrow s=V\left(1- e^{-t}\right)
Example:4.एक कण विरामावस्था से चलना प्रारम्भ करता है तथा किसी समय पर त्वरण f-k t^2 है,जहाँ f तथा k अचर है।कण का अधिकतम वेग u, \frac{2}{3} \sqrt{\left(\frac{f^3}{k}\right)} है तथा इस वेग को प्राप्त करने से पूर्व इसके द्वारा चली गई दूरी \frac{15}{16} \frac{u^2}{f} है।
(A particle starts from and the acceleration at any time is f-k t^2 ,where f and k are constants;prove that maximum velocity u of the particle is \frac{2}{3} \sqrt{\left(\frac{f^3}{k}\right)} and that the space described by it before it acquires this velocity is \frac{15}{16} \frac{u^2}{f} .)
Solution: \frac{d v}{d t}=f-k t^2 \cdots(1)
कण का अधिकतम वेग होगा जब \frac{d v}{d t}=0 \\ f-k t^2=0 \\ \Rightarrow k t^2=f \\ \Rightarrow t=\sqrt{\frac{f}{k}} \cdots(2)
पुनः (1) सेः
dv=\left(f-k t^2\right) d t
समाकलन करने परः
\int dv=\int\left(f-k t^2\right) d t \\ \Rightarrow v =f t-\frac{k t^3}{3} \cdots(3)
जब v=u तो t=\sqrt{\frac{f}{k}} \\ u=f \times \sqrt{\frac{f}{k}}-\frac{k}{3} \times\left(\frac{f}{k} \right)^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{f^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3} \frac{f^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{1}{2}}} \\ =\frac{3 f^{\frac{3}{2}}-f^{\frac{3}{2}}}{3 \sqrt{k}} \\ =\frac{2}{3} \frac{f^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{1}{2}}} \\ \Rightarrow u=\frac{2}{3} \sqrt{\left(\frac{f^3}{k}\right)} \cdots(4)
तथा k=\frac{4}{9} \frac{f^3}{u^2} \cdots(5)
समीकरण (3) से:
\frac{d s}{d t}=f t-\frac{1}{3} k t^3 \\ \Rightarrow d s=\left(f t-\frac{1}{3} k t^3\right) d t
समाकलन करने परः
\Rightarrow \int d s=\int f t d t-\frac{1}{3} \int k t^3 d t \\ \Rightarrow s=\frac{1}{2} f t^2-\frac{1}{12} k t^4+B
प्रारम्भ में t=0,s=0 तो B=0
s=\frac{1}{2} f t^2-\frac{1}{12} k t^4 \cdots(6)
समीकरण (2) से t तथा (5) से k का मान समीकरण (6) में रखने परः
s=\frac{1}{2} f \times \frac{f}{k}-\frac{1}{12} k \times \frac{f^2}{k^2} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{f^2}{k}-\frac{1}{12} \frac{f^2}{k} \\ =\frac{6 f^2-f^2}{12 k}=\frac{5 f^2}{12 k} \\=\frac{5 f^2}{12} \times \frac{1}{\frac{4}{9} \frac{f^3}{u^2}}=\frac{5 f^2}{12} \times \frac{9}{4} \frac{u^2}{f^3} \\ \Rightarrow s=\frac{15}{16} \frac{u^2}{f}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Dynamics),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion) को समझ सकते हैं।

Rectilinear Motion in Dynamics

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3.गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति (Frequently Asked Questions Related to Rectilinear Motion in Dynamics),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

गतिविज्ञान में सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion in Dynamics) के इस आर्टिकल
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का प्रयास करेंगे।