1.गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics in Dynamics),शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics):

Kinematics and Kinetics in Dynamics

गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics in Dynamics) के इस आर्टिकल में किसी गतिमान कण के वेग और त्वरण ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Kinematics and Kinetics in Dynamics):

Illustration:1.यदि सरल रेखा में गति का नियम s=\frac{1}{2} v t हो तो सिद्ध करो कि त्वरण अचर होगा।
(If the law of motion in a straight line is s=\frac{1}{2} v t , then prove that the acceleration is constant.)
Solution: s=\frac{1}{2} v t
t के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d s}{d t}=\frac{1}{2} v+\frac{1}{2} t \frac{d v}{d t} \\ \Rightarrow v=\frac{1}{2} v+\frac{1}{2} t \frac{d v}{d t} \quad\left[\because \frac{d s}{d t}=v\right] \\ \Rightarrow \frac{d v}{d t}=\frac{-\frac{1}{2} v+v}{\frac{1}{2} t} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d t}=\frac{v}{t} \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{v}=\int \frac{d t}{t} \Rightarrow \log v=\log t+\log c \\ \Rightarrow v=t c \\ \Rightarrow \frac{d v}{d t}=c (constant)
Illustration:2.यदि सरल रेखा में गतिमान किसी कण द्वारा t सेकण्ड में चली गई दूरी x=a \cos (b t+c) हो,तो सिद्ध करो कि उसका त्वरण मूल बिन्दु से दूरी के समानुपाती और मूल बिन्दु की ओर होगा।
(If the distance travelled by a particle along a straight line in time t is x=a \cos (b t+c) . Prove that the acceleration varies as the distance of the particle from the origin and is directed towards the origin.)
Solution: x=a \cos (b t+c) \cdots(1)
t के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d x}{d t}=-a b \sin (b t+c)
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d^2 x}{d t^2}=-a b^2 \cos (b t+c) \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=-b^2 x [(1) से]
अतः मूल बिन्दु की ओर दूरी के समानुपाती होगा।
\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} \propto x
Illustration:3.एक कण परवलय y^2=4ax में चलता है।सिद्ध करो कि (i)यदि इसका उर्ध्वाधर वेग अचर हो तो उसके कोटि के पाद का त्वरण अचर होगा, (ii)यदि इसका क्षैतिज वेग अचर हो तो उसका उर्ध्वाधर वेग इसके कोटि के व्युत्क्रमानुपाती होगा (iii)यदि इसका वेग अचर हो तो कोटि के पाद का त्वरण नियता से दूरी के वर्ग का व्युत्क्रमानुपाती होगा।
(A particle describes a parabola y^2=4ax . Prove that (i)if its vertical velocity is constant, then acceleration of the foot of its ordinate is constant. (ii)If the horizontal velocity is constant,then its vertical velocity is inversely proportional to its ordinate. (iii)If its velocity is constant,then the acceleration of the foot of the ordinate is inversely proportional to the square of the distance from the directrix.)
Solution:(i). y^2=4ax \cdots(1)
t के सापेक्ष अवकलन करने परः
2y \frac{d y}{d t}=4 a \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow y \frac{d y}{d t}=2 a \frac{d x}{d t} \cdots(2) \\ \frac{d y}{d t}=k (दिया है)
\Rightarrow k y=2 a \frac{d x}{d t}
पुनः अवकलन करने परः
k \frac{dy}{dt}=2 a \frac{d^2 x}{d t^2} \\ \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{k}{2 a} \frac{d y}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{k}{2a} \cdot k \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{k^2}{2a}=constant
(ii)यदि \frac{d x}{d t}=c (constant)
समीकरण (2) में मान रखने परः
y \frac{d y}{d t}=2 a c \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=\frac{2 a c}{y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t} \propto \frac{1}{y}
(iii) यदि वेग =\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2}=m \text {(constant)} \\ \Rightarrow\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2=m^2 \\ \left(\frac{d y}{d t}\right)^2 =m^2-\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \cdots(3)
समीकरण (2) का वर्ग करने परः
y^2\left(\frac{d y}{d t}\right)^2=4 a^2\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \\ \Rightarrow 4 a x\left(\frac{d y}{d t}\right)^2=4 a^2\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\left[\because y^2=4 a x\right] \\ \Rightarrow x\left(\frac{d y}{d t}\right)^2=a\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \ldots(4)
समीकरण (3) से (4) में मान रखने परः
x\left[m^2-\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\right]=a\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \\ \Rightarrow m^2 x-x\left(\frac{d x}{d t}\right)^2=a\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \\ \Rightarrow m^2 x=x\left(\frac{d x}{d t} \right)^2+a\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \\ \Rightarrow m^2 x=(a+x)\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d x}{d t}\right)^2=\frac{m^2 x}{a+x} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=m \sqrt{\frac{x}{a+x}} \cdots(5)
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने परः
\Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=m\left[\frac{\sqrt{a+x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}-\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{a+x}}}{a+x}\right] \frac{d x}{d t} \\ =\frac{m}{2}\left[\frac{a+x-x}{\sqrt{x}(a+x)^{\frac{3}{2}}}\right] \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{m a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}(a+x)^{\frac{3}{2}}} \frac{d x}{d t} \cdots(6)
समीकरण (5) से \frac{d x}{d t} का मान समीकरण (6) में रखने परः
\frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{m a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}(a+x)^{\frac{3}{2}}} \times m \sqrt{\frac{x}{a+x}} \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{m^2}{2} \cdot \frac{1}{(a+x)^2} \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2} \propto \frac{1}{(a+x)^2}

Kinematics and Kinetics in Dynamics

Illustration:4. यदि एक गतिमान कण का पथ r=a \tan \theta हो और उसका त्वरण सदैव मूल बिंदू की ओर हो तो उसका त्वरण होगा :
If path of a moving particle is r=a \tan \theta and its acceleration is always towards the origin then its acceleration is
\frac{h^2}{r^3}\left(3+\frac{2 a^2}{r^2}\right) जहाँ(where) h=r^2 \frac{d \theta}{d t}
Solution:-त्वरण मूल बिंदू की ओर है इसका अर्थ है कि केवल अरीय त्वरण है तथा अनुप्रस्थ त्वरण शून्य है और अरीय त्वरण ऋणात्मक है क्योंकि यह मूल बिंदू की ओर है अर्थात r घट रही है
\therefore \frac{1}{r} \cdot \frac{d}{dt}\left(r^2 \frac{d \theta}{d t}\right)=0(दिया है )
\therefore r^2 \frac{d \theta}{d t}=अचर =K(माना )…. (1)
अब r=a \tan \theta\\ \therefore \frac{d r}{d t} =a \sec ^2 \theta \frac{d \theta}{d t} \\ =a \sec ^2 \theta \cdot \frac{k}{r^2} [(1)से ]
=a\left(1+\tan ^2 \theta\right) \frac{k}{r^2} \\ =a\left(1+\frac{r^2}{a^2}\right) \frac{k}{r^2}[\because r=a \tan \theta] \\ =\frac{a k}{r^2}+\frac{k}{a} \\ \Rightarrow \frac{d^2 r}{d t^2}=-\frac{2 a k}{r^3} \cdot \frac{d r}{dt} \\ =-\frac{2 a k}{r^3}\left(\frac{a k}{r^2}+\frac{k}{a}\right) \\ \therefore \frac{d^2 r}{d t^2}-r\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^2=-\frac{2 a^2 k^2}{r^5}-\frac{2 k^2}{r^3}-\frac{r k^2}{r^4} \\ =-\frac{2 a^2 k^2}{r^5}-\frac{2 k^2}{r^3}-\frac{k^2}{r^3} \\ =-\frac{2 a^2 k^2}{r^5}-\frac{3 k^2}{r^3} \\ =-\frac{k^2}{r^3}\left(\frac{2 a^2}{r^2}+3\right)
अतः मूल बिंदू की ओर त्वरण=\frac{k^2}{r^3}\left(\frac{2 a^2}{r^2}+3\right)
Illustration:5. एक कण एकसमान चाल से परवलय में चलता है। सिद्ध करो कि उसका किसी बिन्दु P पर नाभि S के सापेक्ष कोणीय वेग (S P)^{\frac{3}{2}} के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
A particle describes a parabola with uniform speed. Show that its angular velocity about the focus S at any point P varies inversely as (S P)^{\frac{3}{2}} .
Solution: v अचर दिया है
परवलय की समीकरण p^2=a r\\ \text{SP} =r \\ \frac{d \theta}{d t} =\frac{v \rho}{r^2}=\frac{v \cdot a^{\frac{1}{2}} r^{\frac{1}{2}}}{r^2}=\frac{v a^{\frac{1}{2}}}{r^{\frac{3}{2}}} \\=\frac{K}{r^{\frac{3}{2}}} [\because v अचर है ]
कोणीय वेग \frac{d \theta}{d t}=\frac{k}{r^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \frac{d \theta}{d t} \alpha \frac{1}{(S P)^3 / 2}
Illustration:6. एक कण एक चक्रज s=4 a \sin \psi में एकसमान चाल से चलता है सिद्ध करो कि किसी बिन्दु पर अभिलाम्बिक त्वरण इसकी चक्रज के आधार से दूरी के वर्गमूल का व्युत्क्रमानुपाती होता है।
A particle describes a cycloid s=4 a \sin \psi with uniform speed. Prove that the normal acceleration at any point varies inversely as the square root of the distance from the base of the cycloid.
Solution: कण एकसमान चाल से चलता है अतः स्पर्शरेखीय त्वरण शून्य होगा तथा अभिलाम्बिक त्वरण=\frac{v^2}{\rho}=\frac{v^2}{\frac{ds}{d \psi}} \\ =\frac{v^2}{d \psi}(4 a \sin \psi)=\frac{v^2}{4 a \cos \psi} \\ =\frac{v^2}{4 a \sqrt{1-\sin ^2 \psi}} \\ =\frac{v^2}{4 a \sqrt{1-\left(\frac{s}{4 a}\right)^2}} \quad[\because s=4 a \sin \psi] \\ =\frac{v^2}{4 a^2 \sqrt{\frac{16 a^2-s^2}{16 a^2}}} \\ \Rightarrow f=\frac{v^2}{\sqrt{16 a^2-s^2}} \\ s^2=8 a y \cdots(1)
यदि चक्रज पर P (x,y) कोई बिन्दु है तब p की, शीर्ष से दूरी y है जहाँ आधार सर दूरी = 2a-y=d
s^2=8ay
(1) से : f=\frac{v^2}{\sqrt{16 a^2-8 a y}} \\ =\frac{v^2}{\sqrt{8 a(2 a-y)}}=\frac{v^2}{\sqrt{8 a} \sqrt{d}}=\frac{k}{\sqrt{d}} \\ \Rightarrow f \propto \frac{1}{\sqrt{d}}
Illustration:7. यदि किसी समतल वक्र में गतिमान बिन्दु का वेग वक्रता-त्रिज्या के समानुपाती हो, तो सिद्ध करो कि स्पर्श रेखा का कोणीय वेग अचर है।
If the velocity of a point moving in a plane curve varies as the radius of curvature, show that the direction of motion (tangent) revolve with constant angular velocity.
Solution: दिया है v \propto \rho \\ \therefore v=k \rho\\ v=\frac{d s}{d t}=k \frac{d s}{d \psi}\left[\because \rho=\frac{d s}{d \psi}\right]\\ \therefore \frac{d \psi}{d t}=k
Illustration:8.एक चक्रज s=4a \sin \psi में गतिमान किसी कण के त्वरण की दिशा अभिलम्ब के साथ वही कोण बनाती है जो उस बिन्दु पर चक्रज की स्पर्श रेखा शीर्ष पर खींची गई स्पर्श से बनाती है और उसकी अभिदिशा भी वही है।सिद्ध करो कि बिन्दु पर स्पर्श रेखा एक समान घूमती है तथा त्वरण का परिणाम अचर है।
(The direction of acceleration of a particle moving in a cycloid s=4a \sin \psi makes with the normal an angle equal to that which the tangent to the cycloid at any point makes with the tangent at the vertex and in the same sense.Prove that the tangent at the point turns uniformly and the magnitude of the acceleration is constant.)
Solution:माना त्वरण f अभिलम्ब के साथ \psi कोण बनाता है तथा किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा भी शीर्ष पर स्पर्श रेखा (X-अक्ष) के साथ \psi कोण बनाती है।
अतः त्वरण f के अभिलम्ब तथा स्पर्श रेखा के अनुदिश घटक होंगे:
v \frac{d v}{d s} =-f \cos (90-\psi) \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d s} =-f \sin \psi \cdots(1) \\ \frac{v^2}{\rho} =f \sin (90-\psi) \\ \Rightarrow \frac{v^2}{\rho} =f \cos \psi \cdots(2)
समीकरण (1) में (2) का भाग देने परः
\frac{v \frac{d v}{d s}}{\frac{v^2}{\rho}}=-\frac{f \sin \psi}{f \cos \psi} \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d s} \times \frac{\rho}{v^2}=-\tan \psi \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d s} \times \frac{1}{v^2} \times \frac{d s}{d \psi}=-\tan \psi\left[\because \rho=\frac{d s}{d \psi}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{v} d v=-\tan \psi d \psi \\ \Rightarrow \int \frac{1}{v} d v=-\int \tan \psi d \psi \\ \Rightarrow \log v=\log \cos \psi+\log A \\ \Rightarrow \log v=\log A \cos \psi \\ \Rightarrow v=A \cos \psi \cdots(3) \\ s=4 a \sin \psi \\ \Rightarrow v=\frac{d s}{d t}=4 a \cos \psi \frac{d \psi}{d t} \cdots(4)
(3) व (4) सेः
4 a \cos \psi \frac{d \varphi}{d t}=A \cos \psi \\ \Rightarrow \frac{d \psi}{d t}=\frac{A}{4 a} \cdots(5)
समीकरण (4) का पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर
\frac{d^2 s}{d t^2}=\frac{d v}{d t}=-4 a \sin \psi\left(\frac{A}{4 a}\right) \frac{d \psi}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d^2 s}{d t^2}=\frac{d v}{d t}=-4 a \sin \psi \frac{A}{4 a} \cdot \frac{A}{4 a} [(5) से]
\Rightarrow \frac{d^2 s}{d t^2}=\frac{d v}{d t}=\frac{-A^2}{4 a} \sin \psi \cdots(6)\\ \rho=\frac{d s}{d \psi}=4 a \cos \psi \\ \therefore कण का स्पर्शरेखीय त्वरणः
\frac{d^2 s}{d t^2}=\frac{A^2}{4 a} \sin \psi (संख्यात्मक मान)
अभिलाम्बिक त्वरण= \frac{v^2}{\rho}=\frac{\cos^2 \psi A^2}{4a \cos \psi} (3) तथा (7) से 
\Rightarrow \frac{v^2}{\rho}=\frac{ A^2 \cos \psi }{4a }
अतः कण के त्वरण का परिणाम=\sqrt{\left(\frac{d^2 s}{d t^2}\right)^2+\left(\frac{v^2}{\rho}\right)^2} \\ =\sqrt{\left(\frac{A^2}{4 a} \sin \psi\right)^2+\left(\frac{A^2}{4 a} \cos \psi\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{A^4}{16 a^2}\left(\sin ^2 \psi+\cos ^2 \psi\right)} \\ =\frac{A^2}{4 a} \sqrt{(1)} \\ =\frac{A^2}{4 a}=(constant)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics in Dynamics),शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics) को समझ सकते हैं।

3.गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी पर आधारित सवाल (Questions Based on Kinematics and Kinetics in Dynamics):

Kinematics and Kinetics in Dynamics

(1.)एक बिंदु वेग v के साथ त्रिज्या a के एक वृत्त में चल रहा है।यदि \omega और \omega^{\prime} इसके कोणीय वेग हैं जो वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम हैं, तो यह सिद्ध करें कि
(A point is describing a circle of radius a with velocity v.If \omega and \omega^{\prime} are its angular velocities about two points which are inverse with respect to the circle,prove that)
\omega+\omega^{\prime}=\frac{v}{a}
(2.)यदि एक छड़ जो हमेशा मूल बिन्दु से गुजरती है, एक समान कोणीय वेग \omega के साथ घूमती है, जबकि एक छोर वक्र r=a+b e^{\theta} में चलता है, तो दिखाएं कि रॉड के किसी भी बिंदु का अरीय त्वरण किसी भी क्षण समान है और अरीय वेग किसी दिए गए क्षण में किसी भी बिंदु पर समान है।
(If a rod which always passes through the origin rotates with uniform angular velocity \omega,while one end describes the curve r=a+b e^{\theta} , show that the radial acceleration of any point of the rod is the same at any instant and the radial velocity is the same at any point at a given instant.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics in Dynamics),शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics) को ठीक से समझ सकते हैं:

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4.गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Frequently Asked Questions Related to Kinematics and Kinetics in Dynamics),शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गतिविज्ञान में शुद्ध गतिकी तथा बल गतिकी (Kinematics and Kinetics in Dynamics) के
इस आर्टिकल में किसी गतिमान कण के वेग और त्वरण ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करके
समझने का प्रयास करेंगे।