1.प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Probability Distribution Class 12),यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and Probability Distribution):

Probability Distribution Class 12

प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Probability Distribution Class 12) के इस आर्टिकल में यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रायिकता बंटन कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Probability Distribution Class 12 Solved Illustrations):

Illustration:1.बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौनसे एक यादृच्छिक चर के लिए सम्भव नहीं है।अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
Illustration:1(i). \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & 0.4 & 0.4 & 0.2 \\ \hline \end{array}
Solution:P(X)=0.4+0.4+0.4=1
प्रायिकताओं का योग 1 है अतः यह प्रायिकता बंटन है।
Illustration:1(ii). \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X) & 0.1 & 0.5 & 0.2 & -0.1 & 0.3 \\ \hline \end{array}
Solution:P(3)=-0.1 अतः यह प्रायिकता बंटन नहीं है क्योंकि किसी भी चर की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
Illustration:1(iii). \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Y & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(Y) & 0.6 & 0.1 & 0.2 \\ \hline \end{array}
Solution:P(Y)=0.6+0.1+0.2=0.9 \neq 1
प्रायिकताओं का योग 1 नहीं है अतः यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
Illustration:1(iv). \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Z & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 \\ \hline P(Z) & 0.3 & 0.2 & 0.4 & 0.1 & 0.05 \\ \hline \end{array}
Solution:P(Z)=0.3+0.2+0.4+0.1+0.05=1.05 \neq 1
प्रायिकताओं का योग 1 नहीं है अतः यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
Illustration:2.एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं।दो गेंदें यादृच्छया निकाली गई।मान लीजिए X काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है।X के सम्भावित मान क्या हैं? क्या X यादृच्छिक चर है?
Solution:यदि काली गेंद को B से तथा लाल गेंद को R से व्यक्त करें तो RR,BR,RB,BB
इस प्रकार चर X के मान हैंः0,1,2
X यादृच्छिक चर है।
Illustration:3.मान लीजिए X चितों की संख्या और पदों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है,जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है।X के सम्भावित मूल्य क्या हैं?
Solution:जब हम एक सिक्के को 6 बार उछालते हैं तो चितों और पटों की संख्या का अन्तर इस प्रकार प्रकट करते हैं:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text { चितों की संख्या } & 6 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \text { पटों की संख्या } & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text { चर } X & 6 & 4 & 2 & 0 \\ \hline \end{array}
Illustration:4.निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:
Illustration:1(i).सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
Solution:एक सिक्के की दो उछालों में प्रतिदर्श समष्टि S={HH,HT,TH,TT}
यादृच्छिक चर X के मान हैं:0,1,2
P(X=0)=P(कोई चित नहीं)= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} [TT]
\Rightarrow P(X=0)=\frac{1}{4}
P(X=1)=P(एक चित या एक पट)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} [HT, TH]
P(X=2)=P(दोनों बार चित)=\frac{1}{4} [H H]
अतः X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array}
Illustration:1(ii).तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
Solution:तीन सिक्कों को एक साथ उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,HTT,TTT}
यादृच्छिक चर X के मान हैं:0,1,2,3
P(X=0)=P(कोई पट नहीं)= \frac{1}{8}
P(X=1)=P(एक पट तथा दो चित)=\frac{3}{8}
P(X=2)=P(दो पट तथा एक चित)=\frac{3}{8}
P(X=3)=P(तीन पट)=\frac{1}{8}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array}
Illustration:1(iii).एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
Solution:एक सिक्के को चार बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
S={HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTHT,HTTH,THTH,TTHH,THHT,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,TTTT}
यादृच्छिक चर X के मान हैं:0,1,2,3,4
P(X=0)=P(कोई चित नहीं)=\frac{1}{16}
P(X=1)=P(एक चित तथा तीन पट)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}
P(X=2)=P(दो चित तथा दो पट)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}
P(X=3)=P(तीन चित तथा एक पट)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}
P(X=4)=P(चारों चित)=\frac{1}{16}
X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(x) & \frac{1}{16} & \frac{1}{4} & \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} \\ \hline \end{array}
Illustration:5.एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
Illustration:5(i).’4 से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है।
Solution:एक पासे को दो बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि के कुल परिणाम=6×6=36
पासे पर 4 से अधिक संख्या=5,6
P(पासे पर 4 से अधिक संख्या आना)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
P(पासे पर 4 से अधिक संख्या न आना)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
P(X=0)=P(पासे पर दोनों बार 5,6 न आना)=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} =\frac{4}{9}
P(X=1)=P(पासे पर एक बार 5 या 6 आना)=2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}
P(X=2)=P(पासे पर दो बार 5 या 6 आना)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}
X का प्रायिकता का बंटन=
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}
Illustration:5(ii).’पासे पर संख्या 6 प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
Solution:एक पासे पर संख्या 6 प्रकट होने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
पासे पर संख्या 6 प्रकट न होने की प्रायिकता=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
P(x=0)=P(दोनों पासों पर 6 न आना)=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}
P(X=1)=P(दो पासों पर कम से कम एक 6 आना)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}
अतः X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 \\ \hline P(X) & \frac{25}{36} & \frac{11}{36} \\ \hline \end{array}
Illustration:6.30 बल्बों के ढेर से,जिसमें 6 बल्ब खराब हैं 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है।खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:P(एक बल्ब खराब होना)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}
P(एक बल्ब अच्छा चुनना)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}
P(X=0)=\left(\frac{4}{5}\right)^4=\frac{256}{625} \\ P(X=1)=4 \times\left(\frac{4}{5}\right)^3 \left(\frac{1}{5}\right)=4 \times \frac{64}{125} \times \frac{1}{5}=\frac{256}{625} \\ P(X=2)={}^4 C_2 \left(\frac{4}{5}\right)^2\left(\frac{1}{5}\right)^2=6 \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{25}=\frac{96}{125} \\ P(X=3)={}^4 C_3 \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{5}\right)^3=4 \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{125} =\frac{16}{625} \\ P(X=4)={}^4 C_4 \left(\frac{1}{5}\right)^4=\frac{1}{625}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X) & \frac{256}{625} & \frac{256}{625} & \frac{96}{625} & \frac{16}{625} & \frac{1}{625} \\ \hline \end{array}
Illustration:7.एक सिक्का समसर्वय संतुलित नहीं है जिसमें चित्त प्रकट होने की सम्भावना पट प्रकट होने की सम्भावना की तीन गुनी है।यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पट प्रकट होने की प्रायिकता=x
चित प्रकट होने की प्रायिकता=3x
x+3 x=1 \\ \Rightarrow 4 x=1 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{4}
P(पट प्रकट होना)=\frac{1}{4}
P(चित प्रकट होना)=\frac{3}{4}
P(X=0)=P(दोनों बार चित)=\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}
P(X=1)=P(एक बार चित तथा एक बार पट)=2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{8}
P(X=2)=P(दोनों बार पट))=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}
X का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{9}{16} & \frac{3}{8} & \frac{1}{16} \\ \hline \end{array}
Illustration:8.एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline P(X) & 0 & k & 2 k & 2 k & 3 k & k^2 & 2 k^2 & 7 k^2+k \\ \hline \end{array}
ज्ञात कीजिए
(i) k (ii)P(X< 3) (iii)P(X >6) (iv)P(0<X<3)
Solution: (i)P(X)=0+k+2 k+2 k+3 k+k^2 +2 k^2+7 k^2+k=1 \\ \Rightarrow 10 k^2+9 k-1=0 \\ \Rightarrow 10 k^2+10 k-k-1=0 \\ \Rightarrow 10 k(k+1)-1(k+1)=0 \\ \Rightarrow (k+1)(10 k-1)=0 \\ \Rightarrow k=-1(असम्भव)
\Rightarrow k=\frac{1}{10}
(ii)P(x<3)
P(X<3)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)
=2k+k+0
P(X<3)=3k
\Rightarrow P(X<3)=\frac{3}{10}
(iii)P(x>6)
P(X>6)=7 k^2+k \\ = 7\times\left(\frac{1}{10}\right)^2+\frac{1}{10} \\ =\frac{7}{100}+\frac{1}{10}=\frac{7+10}{100}=\frac{17}{100} \\ \Rightarrow P(x>6)=\frac{17}{100}
(iv)P(0<X<3)
\Rightarrow P(0<X<3)=P(1)+P(2) \\ =k+2 k \\ =3 k \\ \Rightarrow P(0<X<3)=\frac{3}{10}
Illustration:9.एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन P(x) निम्न प्रकार से है,जहाँ k कोई संख्या है
P(x)=\left\{\begin{array}{l} k \text{ यदि } x=0 \\ 2k \text { यदि } x=1 \\ 3k \text { यदि } x=2 \\ 0 \text { अन्यथा } \end{array}\right.
(a)k का मान ज्ञात कीजिए
(b) P(X<2), P(X \leq 2), P(X \geq 2) ज्ञात कीजिए।
\Sigma P(X)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=\text { अन्यथा }) \\ =k+2 k+3 k+0=1 \\ \Rightarrow 6 k=1 \Rightarrow k=\frac{1}{6}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}
(b)P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)
=k+2k=3k
P(X<2)=3 \times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}
P(X \leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=k+2k+3k=6k
=6 \times \frac{1}{6}=1 \\ \Rightarrow P(X \leq 2)=1 \\ P(X \geq 2)=P(X=2)+P(X=3 \text{ अन्यथा }) \\ =3k+0=3k \\ =3 \times \frac{1}{6}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow P(X \geq 2)=\frac{1}{2}
Illustration:10.एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्रतिदर्श समष्टि
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
P(X=0)=\frac{1}{8}
P(X=1)=\frac{3}{8}
P(X=2)=\frac{3}{8}
P(X=3)=\frac{1}{8}
X का प्रायिकता बंटन हैः
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array} \\ \therefore \text { माध्य } \mu=E(X)=\overset{3}{\underset{i=0}{\sum}} p_i x_i \\ =0 \times \frac{1}{8}+1 \times \frac{3}{8}+2 \times \frac{3}{8}+3 \times \frac{1}{8} \\ =\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow \text { माध्य } (\mu)=\frac{3}{2}=1.5

Probability Distribution Class 12

Illustration:11.दो पासों को युग्मत उछाला गया।यदि X,छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है,तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Solution:एक पासे पर छक्का प्राप्त करने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
पासे पर छक्का प्राप्त न होने की प्रायिकता=1-\frac{1}{6} =\frac{5}{6}
दो पासों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि के कुल परिणाम=6×6=36
P(X=0)=P(कोई छक्का प्राप्त न होना))=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}
P(X=1)=P(एक छक्का प्राप्त होना)=\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \\=\frac{10}{36}
P(X=2)=P(दो छक्के प्राप्त होना)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\=\frac{1}{36}
X का प्रायिकता बंटन है:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{25}{36} & \frac{10}{36} & \frac{1}{36} \\ \hline \end{array}
X की प्रत्याशा \mu=E(X)=\Sigma p_i x_i \\ =0 \times \frac{25}{36}+1 \times \frac{10}{36}+2 \times \frac{1}{36} \\ =\frac{10}{36}+\frac{2}{36}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
Illustration:12.प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई।मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है।E(X) ज्ञात कीजिए।
Solution:छः धन पूर्णांकों में से बिना प्रतिस्थापन के दो संख्याओं के चुनने की प्रतिदर्श समष्टि={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1), (3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(,6,3),(6,4),(6,5)}
कुल परिणाम=30
P(X=2)=P{(1,2),(2,1)}=\frac{2}{30}
P(X=3)=P{(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)}=\frac{4}{30}
P(X=4)=P{(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,1)}=\frac{6}{30}
P(X=5)=P{(1,5),(5,1),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}=\frac{8}{30}
P(X=6)=P{(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)}=\frac{10}{30}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X) & \frac{2}{30} & \frac{4}{30} & \frac{6}{30} & \frac{8}{30} & \frac{10}{30} \\ \hline \end{array}
X की प्रत्याशा E(X)=\Sigma p_i x_i \\ \mu=2 \times \frac{2}{30}+3 \times \frac{4}{30}+4 \times \frac{6}{30}+5 \times \frac{8}{30}+6 \times \frac{10}{30} \\ \Rightarrow \mu=\frac{4}{30}+\frac{12}{30}+\frac{24}{30}+\frac{40}{30}+\frac{60}{30} \\ =\frac{140}{30}
\Rightarrow प्रत्याशा (\mu)=\frac{14}{3}=4 \frac{2}{3}
Illustration:13.मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को X से व्यक्त किया गया है।X का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Solution:दो पासों को फेंकने पर कुल परिणाम=6×6=36
P(X=2)=P{(1,1)})=\frac{1}{36}
P(X=3)=P{(1,2),(2,1)}=\frac{2}{36}
P(X=4)=P{(1,3),(3,1),(2,2)}=\frac{3}{36}
P(X=5}=P{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}=\frac{4}{36}
P(X=6)=P{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}=\frac{5}{36}
P(X=7)=P{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}=\frac{6}{36}
P(X=8)=P{(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}=\frac{5}{36}
P(X=9)=P{(4,5),(5,4)(3,6),(6,3)}=\frac{4}{36}
P(X=10)=P{(4,6),(6,4),(5,5)}=\frac{3}{36}
P(X=11)={(6,5),(5,6)}=\frac{2}{36}
P(X=12}=P{(6,6)}=\frac{1}{36}
अतः X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|ccccc|} \hline X & P(X) & X^2 & P_i X_i & P_i X_i^2 \\ \hline 2 & \frac{1}{36} & 4 & \frac{2}{36} & \frac{4}{36} \\ 3 & \frac{2}{36} & 9 & \frac{6}{36} & \frac{18}{36} \\ 4 & \frac{3}{36} & 16 & \frac{12}{36} & \frac{48}{36} \\ 5 & \frac{4}{36} & 25 & \frac{20}{36} & \frac{100}{36} \\ 6 & \frac{5}{36} & 36 & \frac{30}{36} & \frac{180}{36} \\ 7 & \frac{6}{36} & 49 & \frac{42}{36} & \frac{294}{36} \\ 8 & \frac{5}{36} & 64 & \frac{40}{36} & \frac{320}{36} \\ 9 & \frac{4}{36} & 81 & \frac{36}{36} & \frac{324}{36} \\ 10 & \frac{3}{36} & 100 & \frac{30}{36} & \frac{300}{36} \\ 11 & \frac{2}{36} & 121 & \frac{22}{36} & \frac{242}{36} \\ 12 & \frac{1}{36} & 144 & \frac{12}{36} & \frac{144}{36} \\ \hline & \text{Total} & & \Sigma p_i x_i=\frac{252}{36} & \Sigma p_i x_i^2=\frac{1974}{36} \\ \hline \end{array}
X का प्रसरण
var(x) or  \sigma^2=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 \\ =\Sigma P_i x_i^2-\left[\Sigma P_i x_i\right]^2 \\ =\frac{1974}{36}-\left(\frac{252}{36}\right)^2 \\ =\frac{1974}{36}-7^2=\frac{1974-1764}{36}=\frac{210}{36} \approx 5.83
X का मानक विचलन
(\sigma)=\sqrt{5.83} \approx 2.414 \\ \Rightarrow \sigma \approx 2.41 \text {(Approx)}
Illustration:14.एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14,17,15,14,21,17,19,20,16,18,20,17,16,19 और 20 वर्ष है।एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की सम्भावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया।यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।X का माध्य,प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता=\frac{1}{15}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \\ \hline P(X) & \frac{2}{15} & \frac{1}{15} & \frac{2}{15} & \frac{3}{15} & \frac{1}{15} & \frac{2}{15} & \frac{3}{15} & \frac{1}{15} \\ \hline \end{array} \\ \quad \\ \begin{array}{|c|c|l|c|c|} \hline x_i & f_i & p_i & p_i x_i & p_i x_i^2 \\ \hline 14 & 2 & \frac{2}{15} & \frac{28}{15} & \frac{392}{15} \\ \quad \\ 15 & 1 & \frac{1}{15} & \frac{15}{15} & \frac{225}{15} \\ \quad \\ 16 & 2 & \frac{2}{15} & \frac{32}{15} & \frac{512}{15} \\ \quad \\ 17 & 3 & \frac{3}{15} & \frac{51}{15} & \frac{867}{15} \\ \quad \\ 18 & 1 & \frac{1}{15} & \frac{18}{15} & \frac{324}{15} \\ \quad \\ 19 & 2 & \frac{2}{15} & \frac{38}{15} & \frac{722}{15} \\ \quad \\ 20 & 3 & \frac{3}{15} & \frac{60}{15} & \frac{1200}{15} \\ \quad \\ 21 & 1 & \frac{1}{15} & \frac{21}{15} & \frac{441}{15} \\ \quad \\ \hline \text{Total} & & & \Sigma p_i x_i=\frac{263}{15} & \Sigma p_i x_i^2 =\frac{4683}{15} \\ \hline \end{array}
माध्य \mu=\Sigma p_i x_i=\frac{263}{15} \approx 17.533
प्रसरण =var(x) or \left(\sigma^2\right)=E\left(x^2\right)-\left[E(x)\right]^2 \\ =\Sigma p_i x_i^2-\left(\Sigma p_i x_i\right)^2 \\ =\frac{4683}{15}-\left(\frac{263}{15}\right)^2 \\ =312.20-(17.533)^2 \\ \approx 312.20-307.40608 \\ \approx 4.79392 \\ \Rightarrow \sigma^2 \approx 4.79
मानक विचलन \sigma \approx \sqrt{4.99} \approx 2.19
Illustration:15.एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया।एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो,तो X=0 लिया,जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो X=1 लिया गया।E(X) और Var (X) ज्ञात कीजिए।
Solution:P(X=0)=P(प्रस्ताव का विरोध करने वाले)=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}
P(X=1)=P(प्रस्ताव का अनुमोदन करना)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}
X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 \\ \hline P(X) & \frac{3}{10} & \frac{7}{10} \\ \hline \end{array} \\ \therefore E(X)=0 \times \frac{3}{10}+1 \times \frac{7}{10}=\frac{7}{10}=0.7 \\ E\left(X^2\right)=\Sigma p_i x_i^2=0^2 \times \frac{3}{10}+1^2 \times \frac{7}{10}=\frac{7}{10}=0.7 \\ \operatorname{var}(X)= E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=\frac{7}{10}-\left(\frac{7}{10}\right)^2=\frac{70-49}{100} =\frac{21}{100} \\ \Rightarrow \operatorname{var}(x)=0.21
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।
Illustration:16.ऐसे पासे,जिसके तीन फलकों पर 1 अन्य दो पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है,को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है:
(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) \frac{8}{3}
Solution: P(X=1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} ,P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} , P(X=5)=\frac{1}{6}
अतः X का प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X: & 1 & 2 & 5 \\ \hline P(X): & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}
माध्य =E(x)=\Sigma P_i x_i=1 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{3}+5 \times \frac{1}{6} \\ =\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3+4+5}{6} \\ =\frac{12}{6}=2
विकल्प (B) सही है।
Illustration:17.मान लीजिए ताश की एक गड्डी से यादृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं।मान लीजिए X इक्कों की संख्या प्रकट करता है।तब E(X) का मान हैः
(A) \frac{37}{221} (B) \frac{5}{13} (C) \frac{1}{13} (D) \frac{2}{13}
Solution: P(X=0)=\frac{48}{52} \times \frac{47}{51}=\frac{1128}{1326} \\ P(X=1)=\frac{48}{52} \times \frac{4}{51}+\frac{4}{52} \times \frac{48}{51}=\frac{96}{1326}+\frac{96}{1326} \\ \Rightarrow P(X=1) =\frac{192}{1326} \\ P(X=2)=\frac{4}{52} \times \frac{3}{51}=\frac{6}{1326}
X का प्रायिकता बंटन है
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & \frac{1128}{1326} & \frac{192}{1326} & \frac{6}{1326} \\ \hline \end{array} \\ \therefore E(X)=\Sigma P_i x_i \\ =0 \times \frac{1128}{1326}+1 \times \frac{192}{1326}+2 \times \frac{6}{1326} \\ =\frac{192+12}{1326}=\frac{904}{1326}=\frac{2}{13}
विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Probability Distribution Class 12),यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and Probability Distribution) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता बंटन कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Base on Probability Distribution Class 12):

Probability Distribution Class 12

(1.)माना किसी यादृच्छिक चुने गए विद्यालय दिवस में पढ़ाई के घण्टों को X से दर्शाया जाता है।X के मान x लेने की प्रायिकता निम्न है,जहाँ k एक अज्ञात अचर हैः
P(X=x)= \begin{cases}0.1; & \text { यदि } x=0 \\ K x ; & \text { यदि } x=1 \text { या } x=2 \\ K(5-x) ; & \text { यदि } x=3 \text { या } 4 \\ 0 ; & \text { अन्यथा }\end{cases}
(i)k का मान ज्ञात कीजिए।
(ii)इस बात की क्या प्रायिकता है कि आप
(a)कम से कम दो घण्टे पढ़ते हैं?
(b)तथ्यतः दो घण्टे पढ़ते हैं?
(c)अधिकतम दो घण्टे पढ़ते हैं?
(2.)एक पासे को फेंकने पर प्राप्त अंक की प्रत्याशा ज्ञात करें।
उत्तर (Answers): (1.) (i) k=0.15
(ii) (a) P(X \geq 2)=0.75 (b) P(X=2)=0.30
(c) P(X \leq 2)=0.55
(2.) E(X)=\mu=\frac{7}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Probability Distribution Class 12),यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and Probability Distribution) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Probability Distribution Class 12),यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and Probability Distribution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रायिकता बंटन कक्षा 12 (Probability Distribution Class 12) के इस आर्टिकल में यादृच्छिक
चर और इसके प्रायिकता बंटन के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।