1.वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System),वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis):

Real Number System

वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System) के इस आर्टिकल में क्रमित क्षेत्र,आर्किमिडीय क्षेत्र पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक संख्या निकाय पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Real Number System):

Example:7.यदि (If) a_1, a_2, \ldots, a_n \in R तो सिद्ध कीजिए (then prove that)
\left|a_1+a_2+\cdots+a_n\right| \leq \left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots+\left|a_n\right|
Solution: \left|a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\right| \leq \left|a_1\right| +\left|a_2\right|+ \left|a_3\right| +\cdots+\left|a_n\right| \\ \left|a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\right| =\left|a_1+ \left(a_2+a_3+\cdots+ a_n\right)\right| \\ \leq \left|a_1\right|+\left|a_2+a_3+\cdots+a_n\right| [त्रिभुज असमिका से]
\leq \left|a_1\right|+\left|a_2+\left(a_3+\cdots+a_n\right)\right| \\ \leq \left|a_1\right| +\left|a_2\right|+\left|a_3+\cdots+a_n\right| [त्रिभुज असमिका से]
इसी प्रकार त्रिभुज असमिका का प्रयोग करने पर अन्तिम रूप से निम्न निष्कर्ष निकलता है:
\left|a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\right| \leq\left|a_1\right|+\left|a_2\right| +\left|a_3\right| +\cdots+\left|a_n\right|
Example:8.यदि F एक क्रमित क्षेत्र है,तो (If F is an ordered field,then)
Example:8(i). x < y \wedge a<0 \Rightarrow a x>a y, \forall x, y, a \in F
Solution: x < y \wedge a<0 \Rightarrow a x>a y, \forall x, y, a \in F \\ x < y \Leftrightarrow y >x \\ \Leftrightarrow y-x >0 \cdots(1)\\ a<0 \Leftrightarrow-a>0 \cdots(2)
(1) व (2) सेः
-a(y-x)>0 \\ \Rightarrow -a y+a x>0 \\ \Rightarrow a x>a y
Example:8(ii). x<0 \Rightarrow-x>0 \forall x \in F
Solution: x<0 \Rightarrow-x>0 \forall x \in F \\ x<0 \Rightarrow x+(-x) \cdot<0+(-x) \\ \Rightarrow 0<-x \\ \Rightarrow-x>0
Example:8(iii). x >y \Rightarrow x+z >y+z \forall x, y, a \in F
Solution: x >y \Rightarrow x+z >y+z \forall x, y, a \in F \\ x >y \Rightarrow x-y>0 \\ \Rightarrow (x+0)-y >0 \\ \Rightarrow [x+(z+(-z))]-y >0 \\ \Rightarrow (x+z)-(z+y)>0 \\ \Rightarrow x+z >y+z
Example:8(iv). a x >a y यदि x>y \wedge a >0 , x, y, a \in F
Solution: a x >a y यदि x>y \wedge a >0 , x, y, a \in F \\ a x >a y \Rightarrow a x-a y >0 \\ \Rightarrow a(x-y>0 \\ \Rightarrow(x-y)>0 \wedge a>0 \\ \Rightarrow x>y \wedge a>0
Example:8(v). x >y \wedge z<0 \Rightarrow x z< y z
Solution: x >y \wedge z<0 \Rightarrow x z<y z \\ x >y \Leftrightarrow y< x \\ \Leftrightarrow y-x< 0 \cdots(1) \\ z< 0 \cdots(2)
(1) व (2) सेः
z(y-x)< 0 \\ zy-z x< 0 \\ \Rightarrow z y<z x \\ \Rightarrow z x >z y
Example:10.जाँच कीजिए कि अनन्त क्षेत्र क्रमित होता है।
(Test whether an infinite field is ordered)
Solution:माना अनन्त समुच्चय क्षेत्र F का अनन्त उपसमुच्चय है क्योंकि F अनन्त क्षेत्र है।
\Rightarrow m=n \quad[\alpha \neq 0] \\ \Rightarrow m \alpha=n \alpha \Rightarrow a+m \alpha=a+n \alpha
अतः m, n \in N
अतः कोई भी दो समान नहीं हैंं।
\Rightarrow a, a+\alpha, a+2 \alpha, \ldots, a+n \alpha \in F \\ \Rightarrow a+n \alpha \in F ,अतः \Rightarrow a+\alpha \in F, \alpha \in F, \Rightarrow a+2 \alpha \in F \\ a+\alpha \in F \Rightarrow a \in F, \alpha \in F
माना a-b=\alpha \in F तो
a-b>0 \Rightarrow a>b \\ \Rightarrow a> \text { या } b>a \\ \Rightarrow a \neq b (क्रम सम्बन्ध से) तथा a,b \in F
अतः(F, +,. , > ) एक क्रमित क्षेत्र है।
Example:11.आर्किमिडीय क्रमित क्षेत्र की परिभाषा दीजिए।सिद्ध कीजिए कि किसी आर्किमिडीय क्षेत्र के प्रत्येक अवयव x >0 के लिए \exists n \in N ताकि 0<\frac{1}{n}<x
(Define an Archimedean field.In an Archimedean field, prove that for every element x>0 there is a natural number n such that 0<\frac{1}{n}<x .)
Solution:एक क्रमित क्षेत्र F आर्किमिडीय क्षेत्र कहलाता है यदि \forall x, y \in F, x >0 \exists n \in N ताकि nx >y आर्किमिडीय गुणधर्म से प्रत्येक धनात्मक संख्या x के लिए,एक प्राकृत संख्या n विद्यमान होती है ताकि
nx >1 [y=1 लेने पर]
\because n>0 अतः इस असमिका को n से भाग देने परः
x >\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{n}<x
अतः 0< \frac{1}{n} <x
Example:12.सिद्ध कीजिए कि क्रमित क्षेत्र F पूर्ण है यदि और केवल यदि F का प्रत्येक अवयव अतरिक्त उप-समुच्चय E,जो कि नीचे से परिबद्ध है निम्नक रखता है।
(Prove that an ordered field F is complete if each nonempty subset E of F which is bounded below has greatest lower bound.)
Solution:माना v, दिए हुए समुच्चय S \subset R का निम्न परिबन्ध है।
माना S’,S के ऋणात्मक अवयवों का समुच्चय है
i.e. -x \in S^{\prime} यदि x \in S
तब -v, S’ का ऊपरी परिबन्ध है।
x \geq v \quad \forall x \in S
\because v,S का निम्न परिबन्ध है।
\Rightarrow -x \leq -v \quad \forall x \in S \\ \Rightarrow -x \leq -v \quad \forall -x \in S^{\prime}
S’ ऊपर से परिबद्ध है।
समुच्चय S’ न्यूनतम उपरि परिबन्ध रखता है,माना यह w है (क्रमपूर्णता प्रमेय से)
अब माना \lambda ,S का निम्न परिबन्ध है,तब हमें सिद्ध करना है कि -w,S का उच्चतम निम्न परिबन्ध है या -w \geq \lambda
अब \lambda ,S का निम्न परिबन्ध है
\Rightarrow -\lambda ,S’ का उपरि परिबन्ध है
\Rightarrow w \leq-\lambda, \because w ,S’ का न्यूनतम उपरि परिबन्ध है।
\Rightarrow -w \geq \lambda

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Example:13.क्रमित क्षेत्र का उदाहरण दीजिए जो कि पूर्ण नहीं है।अपने कथन की पुष्टि कीजिए।
(Give an example of an ordered field which is not complete. Justify your answer.)
Solution:परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q=\left\{\frac{p}{q}, p, q \in z, q \neq 0\right\}
स्पष्ट है कि N \subset Z \subset Q \subset R तथा बीजीय पद्धति (algebraic structure) (Q,+,.), (A-1) से (A-5),(M-1) से (M-5),(M.A-1) तथा (0-1) से (0-4) अभीगृहीतों को सन्तुष्ट करता है अतः (Q,+, . ) एक क्रमित क्षेत्र है।परन्तु Q पूर्ण क्रमित क्षेत्र नहीं है क्योंकि इसके किसी उपसमुच्चय में उपरि-परिबन्ध तो Q में हैं परन्तु उच्चक Q में नहीं है।
Example:14.सिद्ध करिए कि किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए एक और केवल एक ऐसा पूर्णांक विद्यमान है कि n \leq x \leq (n+1)
(Prove that for any real number x, these exists one and only one integer s.t. n \leq x \leq (n+1) )
Solution:समुच्चय S=\{y: y \in z \text{ तथा } y \leq x\} पर विचार करें
S पूर्णांक का अरिक्त उपसमुच्चय है और x ऊपर से परिबद्ध है।इसलिए S का उच्चक है।माना n है,Z में।n उच्चतम पूर्णांक है जो S में विद्यमान है।
n उच्चतम पूर्णांक का अस्तित्व इस प्रकार है कि n \leq x
इसी प्रकार n+1 > n ,हम रखते है n+1 > x
इस प्रकार n एक पूर्णांक का अस्तित्व इस प्रकार है कि n \leq x \leq n+1
पूर्णांक की अद्वितीयता n,असमिका को सन्तुष्ट करती है
n \leq x \leq n+1
Example:15.यदि F एक क्षेत्र है तथा तो सिद्ध कीजिए कि
(i)c+a=c+b \Rightarrow a=b (ii)c.a=c.b \Rightarrow a=b(c \neq 0)
(If F is a field and a,b,c \in F then prove that
(i)c+a=c+b \Rightarrow a=b (ii)c.a=c.b \Rightarrow a=b(c \neq 0)
Example:15(i). c+a=c+b \Rightarrow a=b
Solution: c+a=c+b \Rightarrow a=b \\ \because c \in F \Rightarrow \exists -c \in F ताकि
c+(-c)=(-c)+c=0 \\ c+a=c+b \\ \Rightarrow(-c)+(c+a)=(-c)+(c+b) \\ \Rightarrow \left[ (-c)+c \right]+a=\left[ (-c)+c \right]+b [योग का साहचर्य नियम]
\Rightarrow 0+a=0+b  [योज्य प्रतिलोम नियम से]
\Rightarrow a=b   [योज्य तत्समक नियम से]
Example:15(ii). c.a=c.b \Rightarrow a=b(c \neq 0)
Solution: c.a=c.b \Rightarrow a=b(c \neq 0) \\ \because 0 \neq c \in F=c^{-1} \in F ताकि c \cdot c^{-1}=c^{-1} \cdot c=1 \\ \therefore c.a=c.b \Rightarrow c^{-1}(c.a)=c^{-1}(c.b) \\ \Rightarrow \left(c^{-1} \cdot c\right).a=\left(c^{-1} \cdot c\right) \cdot b \\ \Rightarrow 1 \cdot a=1 \cdot b \\ \Rightarrow a=b
Example:16.यदि F एक क्षेत्र है तथा तो समीकरण (i)x+a=b और (ii)x.a=b के F में अद्वितीय हल क्रमशः x=b-a तथा x=b \cdot a^{-1} विद्यमान है।
(If F is a field and then the equations (i)x+a=b and x.a.=b has unique solutions x=b-a and x=b \cdot a^{-1} respectively in F.)
Example:16(i).x+a=b
Solution: \because a \in F \Rightarrow \exists-a \in F ताकि
a+(-a)=0=(-a)+a
अब x+a=b \Rightarrow(x+a)+(-a)=b+(-a) \\ \Rightarrow x+[a+(-a)]=b+(-a) \\ \Rightarrow x+0=b-a \\ \Rightarrow x=b-a \in F\\ {[\because a, b \in F \Rightarrow-a, b \in F \Rightarrow b-a \in F]}
जो कि अभीष्ट हल है।
पुनः माना कि समीकरण (i) के दो भिन्न-भिन्न हल x एवं y हों तो
b=x+a=y+a \\ \Rightarrow(x+a)+(-a)=(y+a)+(-a) \\ \Rightarrow x+[a+(-a)]=y+[a+(-a)] \\ \Rightarrow x+0=y+0 \Rightarrow x=y
अतः समीकरण (i) का एक ही हल x=b+(-a) या b-a होगा।
Example:16(ii). x.a=b
Solution:यदि a \neq 0 के लिए x.a=b के x_1 एवं x_2 कोई दो हल हों,तो
b=x_1 \cdot a=x_2 \cdot a और a \neq 0
\therefore 0 \neq a \in F \quad \exists a^{-1} \in F ताकि a \cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a=1
अतः x_1 \cdot a=x_2 \cdot a \Rightarrow\left(x_1 \cdot a\right) \cdot a^{-1}=\left(x_2 \cdot a\right) \cdot a^{-1} \\ \Rightarrow x_1 \cdot(a \cdot a^{-1})=x_2 \cdot\left(a \cdot a^{-1}\right) [गुणन साहचर्यता नियम]
\Rightarrow x_1 \cdot 1=x_2 \cdot 1 [गुणन प्रतिलोम नियम से]
\Rightarrow x_1=x_2 [गुणन तत्समक नियम से]
इस प्रकार यह प्रदर्शित हो गया कि x.a=b समीकरण के सभी हल बराबर है अर्थात् x.a=b का कोई हल है,तो वह अद्वितीय है।
पुनः x \cdot a=b \Rightarrow(x \cdot a) a^{-1}=b \cdot a^{-1} \\ \Rightarrow x \cdot\left(a a^{-1}\right)=b \cdot a^{-1} [गुणन साहचर्यता नियम से]
\Rightarrow x \cdot 1=b \cdot a^{-1} [गुणन प्रतिलोम नियम से]
\Rightarrow x=b \cdot a^{-1} \in F [गुणन का तत्समक एवं गुणन का संवृत्त नियम]
अतः x=b \cdot a^{-1} ; x.a=b का एक अद्वितीय हल है।
Example:17.एक क्रमित क्षेत्र को हम कब सघन कहते हैं।बतलाइए।
(Write down do we call an ordered field dence?)
Solution:जो क्रमित क्षेत्र क्रम पूर्णता अभीगृहीत को सन्तुष्ट करता है तब क्रमित क्षेत्र को सघन कहते हैं।
Example:18.सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का क्रमित क्षेत्र सघन है।
(Prove that the ordered field of real numbers is dense):
Solution:सर्वप्रथम माना कि x>0 तथा x<y, x, y \in R तो y-x>0
अब R में आर्किमिडीय गुणधर्म से \exists q \in N ताकि
q(y-x) > 1 ……….(1)
पुनः चूँकि x>0 \Rightarrow q x>0 अतः एक अद्वितीय पूर्णांक p विद्यमान होगा ताकि
p-1 \leq q x<p \cdots(2)
(1) व (2) सेः
1< q(y-x) एवं p-1 \leq q x
जोड़ने पर:
1+(p-1)< q(y-x)+q x \\ \Rightarrow p< q y \cdots(3)
(2) व (3) सेः
q x < p< q y \Rightarrow x<\frac{p}{q}<y
अतः एक ऐसी वास्तविक संख्या r=\frac{p}{q} विद्यमान है ताकि x < r < y अतः एक वास्तविक संख्या (वास्तविक संख्याओं) x एवं y के मध्य विद्यमान है।
पुनः माना कि x \leq 0 \Rightarrow-x \geq 0
\exists x \in N ताकि n-1 \le -x < n \Rightarrow n+x>0
तथा x<y \Rightarrow n+x< n+y
उपपत्ति के प्रथम भाग से एक वास्तविक संख्या S \in R विद्यमान है ताकि
n+x< s<n+y \Rightarrow x< s-n <y
उक्त विधि से x एवं r तथा r एवं y के मध्य अन्य वास्तविक संख्याएँ r_1 और r_2 हैं जहाँ x < r_1 < r_2< r_2< y
इस विधि का बार-बार प्रयोग कर दोनों वास्तविक संख्याओं के मध्य अनन्त वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती है।
Example:19.यदि K समुच्चय A का उपरि परिबन्ध हो तथा K \in A तो सिद्ध कीजिए कि K=sup A.
(If K is the upper bound of set A and K \in A then K=sup A.)
Solution: \forall x \in A, x \leq K अतः K,A का उपरि परिबन्ध है।माना कोई संख्या K^{\prime}<K है \Rightarrow K-K^{\prime}>0
मानाकि \varepsilon=K^{\prime}-K
A के किसी अवयव x के लिए x > K-\varepsilon \\ \Rightarrow x > K-\left(K-K^{\prime}\right) \\ \Rightarrow x > K^{\prime} ,A के कोई अवयव x के लिए।
\Rightarrow K^{\prime} ,A का उपरि परिबन्ध नहीं है।
अर्थात् K^{\prime}(<K) A का उपरि-परिबन्ध नहीं हो सकता है।
फलतः K=sup A
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System),वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis) को समझ सकते हैं।

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3.वास्तविक संख्या निकाय (Frequently Asked Questions Related to Real Number System),वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System) के इस आर्टिकल में क्रमित क्षेत्र,
आर्किमिडीय क्षेत्र पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।