1.ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation)- ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या इससे पूर्व प्राचलिक वक्रों की वक्रता त्रिज्या तथा वक्रता त्रिज्या के लिए कार्तीय सूत्र से सम्बन्धित आर्टिकल पोस्ट कर चुके हैं। अतः इनके बारे में जानने के लिए सम्बन्धित आर्टिकल पढ़ना चाहिए। आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें ।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
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2.ध्रुवीय समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या की सूत्र स्थापना (Formula installation of Radius of curvature for polar equation)- माना ध्रुवी समीकरण r = f ( θ ) r=f\left( \theta \right) r = f ( θ ) इस वक्र पर कोई बिन्दु p ( r , θ ) p\left( r,\theta \right) p ( r , θ ) हम जानते हैं कि 1 P 2 = 1 r 2 + 1 r 4 ( d r d θ ) 2 . . . . . . ( 1 ) \frac { 1 }{ { P }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }......(1) P 2 1 = r 2 1 + r 4 1 ( d θ d r ) 2 ...... ( 1 ) समीकरण (1) के दोनों पक्षों का r के सापेक्ष अवकलन करने पर-
− 2 p 3 = − 2 r 3 − 4 r 5 ( d r d θ ) 2 + 1 r 4 . 2 ( d r d θ ) ( d 2 r d θ 2 ) d θ d r ⇒ − 2 p 3 ( d p d r ) = − 2 r 3 − 4 r 5 ( d r d θ ) 2 + 2 r 4 ( d 2 r d θ 2 ) ⇒ d p d r = p 3 r 5 ⌊ r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − d 2 r d θ 2 ⌋ ⇒ ρ = r d r d p = r ( r 5 p 3 ) r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 = r 6 ⌊ 1 r 2 + 1 r 4 ( d r d θ ) 2 ⌋ 3 2 r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 = ⌊ r 2 + ( d r d θ ) 2 ⌋ 3 2 r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 = ( r 2 + r 1 2 ) 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 r 1 = d r d θ -\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } } =-\frac { 2 }{ { r }^{ 3 } } -\frac { 4 }{ { r }^{ 5 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } .2\left( \frac { dr }{ d\theta } \right) \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) \frac { d\theta }{ dr } \\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ { p }^{ 3 } } \left( \frac { dp }{ dr } \right) =-\frac { 2 }{ { r }^{ 3 } } -\frac { 4 }{ { r }^{ 5 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }+\frac { 2 }{ { r }^{ 4 } } \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow \frac { dp }{ dr } =\frac { { p }^{ 3 } }{ { r }^{ 5 } } \left\lfloor { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right\rfloor \\ \Rightarrow \rho =r\frac { dr }{ dp } \\ =r\frac { \left( \frac { { r }^{ 5 } }{ { p }^{ 3 } } \right) }{ { r }^{ 2 }+{ 2\left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } } \\ =\frac { { r }^{ 6 }{ \left\lfloor \frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 4 } } { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { d^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \\ } \\ =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }^{ 2 }-r\frac { d^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } } \\ =\frac { { \left( { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { r }_{ 1 }=\frac { dr }{ d\theta } − p 3 2 = − r 3 2 − r 5 4 ( d θ d r ) 2 + r 4 1 .2 ( d θ d r ) ( d θ 2 d 2 r ) d r d θ ⇒ − p 3 2 ( d r d p ) = − r 3 2 − r 5 4 ( d θ d r ) 2 + r 4 2 ( d θ 2 d 2 r ) ⇒ d r d p = r 5 p 3 ⌊ r 2 + 2 ( d θ d r ) 2 − d θ 2 d 2 r ⌋ ⇒ ρ = r d p d r = r r 2 + 2 ( d θ d r ) 2 − r d θ 2 d 2 r ( p 3 r 5 ) = r 2 + 2 ( d θ d r ) 2 − r d θ 2 d 2 r r 6 ⌊ r 2 1 + r 4 1 ( d θ d r ) 2 ⌋ 2 3 = r 2 + 2 ( d θ d r ) 2 − r d θ 2 d 2 r ⌊ r 2 + ( d θ d r ) 2 ⌋ 2 3 = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ( r 2 + r 1 2 ) 2 3 r 1 = d θ d r r 2 = d 2 r d θ 2 { r }_{ 2 }=\frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } r 2 = d θ 2 d 2 r
उपर्युक्त ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) के सूत्र को स्थापित किया |
3.ध्रुवी समीकरण के वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) पर आधारित सवाल- निम्न ध्रुवी समीकरण वाले वक्रों के किसी बिन्दु पर वक्रता त्रिज्या ज्ञात कीजिए: (Find the radius of curvature at any point on the curves whose polar equation are the following) Question-1. r n = a n sin n θ { r }^{ n }={ a }^{ n }\sin { n\theta } r n = a n sin n θ Solution- r n = a n sin n θ n log r = n log a + log ( sin n θ ) { r }^{ n }={ a }^{ n }\sin { n\theta } \\ n\log { r=n\log { a+\log { \left( \sin { n\theta } \right) } } } r n = a n sin n θ n log r = n log a + log ( sin n θ ) θ \theta θ के सापेक्ष अवकलन करने पर-
n . 1 r d r d θ = 0 + 1 sin n θ . n cos n θ ⇒ d r d θ = r cot n θ ⇒ r 1 = r cot n θ n.\frac { 1 }{ r } \frac { dr }{ d\theta } =0+\frac { 1 }{ \sin { n\theta } } .n\cos { n\theta } \\ \Rightarrow \frac { dr }{ d\theta } =r\cot { n\theta } \\ \Rightarrow { r }_{ 1 }=r\cot { n\theta } n . r 1 d θ d r = 0 + s i n n θ 1 . n cos n θ ⇒ d θ d r = r cot n θ ⇒ r 1 = r cot n θ
पुनः θ \theta θ
d 2 r d θ 2 = d r d θ cot n θ − r n c o s e c 2 n θ ⇒ d 2 r d θ 2 = r cot 2 n θ − r n c o s e c 2 n θ ⇒ d 2 r d θ 2 = r ( cos 2 n θ ) sin 2 n θ − r n sin 2 n θ ⇒ d 2 r d θ 2 = r ( 1 − sin 2 n θ ) sin 2 n θ − r n sin 2 n θ \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { dr }{ d\theta } \cot { n\theta -rn } { cosec }^{ 2 }n\theta \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =r\cot ^{ 2 }{ n\theta -rn } { cosec }^{ 2 }n\theta \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( \cos ^{ 2 }{ n\theta } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } -\frac { rn }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( 1-\sin ^{ 2 }{ n\theta } \right) }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } -\frac { rn }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } d θ 2 d 2 r = d θ d r cot n θ − r n cosec 2 n θ ⇒ d θ 2 d 2 r = r cot 2 n θ − r n cosec 2 n θ ⇒ d θ 2 d 2 r = s i n 2 n θ r ( c o s 2 n θ ) − s i n 2 n θ r n ⇒ d θ 2 d 2 r = s i n 2 n θ r ( 1 − s i n 2 n θ ) − s i n 2 n θ r n
s i n n θ sinn\theta s inn θ
⇒ d 2 r d θ 2 = r ( 1 − r 2 n a 2 n ) r 2 n a 2 n − r n r 2 n a 2 n ⇒ d 2 r d θ 2 = a 2 n ( a 2 n − r 2 n a 2 n ) r 2 n − 1 − n a 2 n r 2 n − 1 ⇒ d 2 r d θ 2 = a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 1 ρ = ⌊ r 2 + r 1 2 ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ⇒ ρ = ⌊ r 2 + r 2 cot 2 n θ ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 2 cot 2 n θ − r . ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 1 ) ⇒ ρ = ⌊ r 2 + r 2 cos 2 n θ sin 2 n θ ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 2 ( cos 2 n θ sin 2 n ϑ ) − ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 2 ) ⇒ ρ = r 3 ⌊ 1 + cos 2 n θ sin 2 n θ ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 2 ( 1 − sin 2 n θ sin 2 n θ ) − ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 2 ) ⇒ ρ = r 3 ⌊ sin 2 n θ + cos 2 n θ ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 2 ⌊ 1 − r 2 n a 2 n r 2 n a 2 n ⌋ − ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 2 ) ⇒ ρ = r 3 sin 3 n θ ⌊ r 2 + 2 r 2 ( a 2 n − r 2 n ) r 2 n − ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 2 ) ⌋ ⇒ ρ = r 3 r 3 n a 3 n ⌊ r 2 + ( 2 a 2 n − 2 r 2 n ) r 2 n − 2 − ( a 2 n − r 2 n − n a 2 n r 2 n − 2 ) ⌋ ⇒ ρ = r 3 . a 3 n r 3 n ⌊ r 2 + 2 a 2 n − 2 r 2 n − a 2 n + r 2 n + n a 2 n r 2 n − 2 ⌋ ⇒ ρ = r − ( 3 n − 3 ) a 3 n . r 2 n − 2 r 2 n + a 2 n − r 2 n + n a 2 n ⇒ ρ = r − 3 n + 2 n − 2 + 3 a 2 n a 2 n + n a 2 n ⇒ ρ = r − n + 1 a 3 n ( n + 1 ) a 2 n ⇒ ρ = a n ( n + 1 ) r n − 1 \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { r\left( 1-\frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } \right) }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } } -\frac { { r }n }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2n }\left( \frac { a^{ 2n }-{ r }^{ 2n } }{ a^{ 2n } } \right) }{ { r }^{ 2n-1 } } -\frac { { na^{ 2n } } }{ { r }^{ 2n-1 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-na^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-1 } } \\ \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }^{ 2 }\cot ^{ 2 }{ n\theta } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\cot ^{ 2 }{ n\theta -r.\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-1 } } \right) } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }^{ 2 }\frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left( \frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\vartheta } } \right) -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }{ \left\lfloor 1+\frac { \cos ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left( \frac { 1-\sin ^{ 2 }{ n\theta } }{ \sin ^{ 2 }{ n\theta } } \right) -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }{ \left\lfloor \sin ^{ 2 }{ n\theta +\cos ^{ 2 }{ n\theta } } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ r^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\left\lfloor \frac { 1-\frac { { r }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n } } }{ \frac { { r }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n } } } \right\rfloor -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 } }{ \sin ^{ 3 }{ n\theta \left\lfloor r^{ 2 }+2{ r }^{ 2 }\frac { \left( { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n } \right) }{ { r }^{ 2n } } -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) \right\rfloor } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 } }{ \frac { { r }^{ 3n } }{ { a }^{ 3n } } \left\lfloor { r }^{ 2 }+\frac { \left( { 2a }^{ 2n }-2{ r }^{ 2n } \right) }{ { r }^{ 2n-2 } } -\left( \frac { { a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }-n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right) \right\rfloor } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 3 }.{ a }^{ 3n } }{ { r }^{ 3n }\left\lfloor { r }^{ 2 }+\frac { 2{ a }^{ 2n }-2{ r }^{ 2n }-{ a }^{ 2n }+{ r }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } }{ { r }^{ 2n-2 } } \right\rfloor } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -\left( 3n-3 \right) }{ a }^{ 3n }.{ r }^{ 2n-2 } }{ { r }^{ 2n }+{ a }^{ 2n }-{ r }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -3n+2n-2+3 }{ a }^{ 2n } }{ { a }^{ 2n }+n{ a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ -n+1 }{ a }^{ 3n } }{ \left( n+1 \right) { a }^{ 2n } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { a }^{ n } }{ \left( n+1 \right) { r }^{ n-1 } } ⇒ d θ 2 d 2 r = a 2 n r 2 n r ( 1 − a 2 n r 2 n ) − a 2 n r 2 n r n ⇒ d θ 2 d 2 r = r 2 n − 1 a 2 n ( a 2 n a 2 n − r 2 n ) − r 2 n − 1 n a 2 n ⇒ d θ 2 d 2 r = r 2 n − 1 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ρ = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ⌊ r 2 + r 1 2 ⌋ 2 3 ⇒ ρ = r 2 + 2 r 2 c o t 2 n θ − r . ( r 2 n − 1 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) ⌊ r 2 + r 2 c o t 2 n θ ⌋ 2 3 ⇒ ρ = r 2 + 2 r 2 ( s i n 2 n ϑ c o s 2 n θ ) − ( r 2 n − 2 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) ⌊ r 2 + r 2 s i n 2 n θ c o s 2 n θ ⌋ 2 3 ⇒ ρ = r 2 + 2 r 2 ( s i n 2 n θ 1 − s i n 2 n θ ) − ( r 2 n − 2 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) r 3 ⌊ 1 + s i n 2 n θ c o s 2 n θ ⌋ 2 3 ⇒ ρ = r 2 + 2 r 2 ⌊ a 2 n r 2 n 1 − a 2 n r 2 n ⌋ − ( r 2 n − 2 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) r 3 ⌊ s i n 2 n θ + c o s 2 n θ ⌋ 2 3 ⇒ ρ = s i n 3 n θ ⌊ r 2 + 2 r 2 r 2 n ( a 2 n − r 2 n ) − ( r 2 n − 2 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) ⌋ r 3 ⇒ ρ = a 3 n r 3 n ⌊ r 2 + r 2 n − 2 ( 2 a 2 n − 2 r 2 n ) − ( r 2 n − 2 a 2 n − r 2 n − n a 2 n ) ⌋ r 3 ⇒ ρ = r 3 n ⌊ r 2 + r 2 n − 2 2 a 2 n − 2 r 2 n − a 2 n + r 2 n + n a 2 n ⌋ r 3 . a 3 n ⇒ ρ = r 2 n + a 2 n − r 2 n + n a 2 n r − ( 3 n − 3 ) a 3 n . r 2 n − 2 ⇒ ρ = a 2 n + n a 2 n r − 3 n + 2 n − 2 + 3 a 2 n ⇒ ρ = ( n + 1 ) a 2 n r − n + 1 a 3 n ⇒ ρ = ( n + 1 ) r n − 1 a n
इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।
Question-2 θ = a − 1 ( r 2 − a 2 ) 1 2 − cos − 1 a r \theta ={ a }^{ -1 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-\cos ^{ -1 }{ \frac { a }{ r } } θ = a − 1 ( r 2 − a 2 ) 2 1 − cos − 1 r a Solution- θ = a − 1 ( r 2 − a 2 ) 1 2 − cos − 1 a r \theta ={ a }^{ -1 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-\cos ^{ -1 }{ \frac { a }{ r } } θ = a − 1 ( r 2 − a 2 ) 2 1 − cos − 1 r a θ \theta θ
1 = 2 r a − 1 2 r 2 − a 2 d r d θ + 1 1 − a 2 r 2 ( − a r 2 ) d r d θ ⇒ 1 = ⌊ r a r 2 − a 2 − a r r 2 − a 2 ⌋ d r d θ ⇒ 1 = ( r 2 − a 2 a r r 2 − a 2 ) d r d θ ⇒ 1 = r 2 − a 2 a r d r d θ ⇒ d r d θ = a r r 2 − a 2 ⇒ r 1 = a r r 2 − a 2 1=\frac { 2r{ a }^{ -1 } }{ 2\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \frac { dr }{ d\theta } +\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } } } \left( -\frac { a }{ { r }^{ 2 } } \right) \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\left\lfloor \frac { r }{ a\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } -\frac { a }{ r\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right\rfloor \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\left( \frac { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ ar\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right) \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow 1=\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }{ ar } \frac { dr }{ d\theta } \\ \Rightarrow \frac { dr }{ d\theta } =\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow { r }_{ 1= }\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } 1 = 2 r 2 − a 2 2 r a − 1 d θ d r + 1 − r 2 a 2 1 ( − r 2 a ) d θ d r ⇒ 1 = ⌊ a r 2 − a 2 r − r r 2 − a 2 a ⌋ d θ d r ⇒ 1 = ( a r r 2 − a 2 r 2 − a 2 ) d θ d r ⇒ 1 = a r r 2 − a 2 d θ d r ⇒ d θ d r = r 2 − a 2 a r ⇒ r 1 = r 2 − a 2 a r
पुनः θ \theta θ
⇒ d 2 r d θ 2 = r 2 − a 2 a d r d θ − a r . 2 r 2 r 2 − a 2 d r d θ r 2 − a 2 ⇒ d 2 r d θ 2 = r 2 − a 2 a ( a r r 2 − a 2 ) − a r 2 r 2 − a 2 . a r r 2 − a 2 r 2 − a 2 ⇒ d 2 r d θ 2 = a 2 r − a 2 r 3 r 2 − a 2 r 2 − a 2 ⇒ d 2 r d θ 2 = a 2 r 3 − a 4 r − a 2 r 3 ( r 2 − a 2 ) 2 ⇒ d 2 r d θ 2 = − a 4 r ( r 2 − a 2 ) 2 r 2 = − a 4 r ( r 2 − a 2 ) 2 ρ = ⌊ r 2 + r 1 2 ⌋ 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ⇒ ρ = [ r 2 + a 2 r 2 r 2 − a 2 ] 3 2 r 2 + 2 ( a 2 r 2 r 2 − a 2 ) − r [ − a 4 r ( r 2 − a 2 ) 2 ] ⇒ ρ = ( r 4 − a 2 r 2 + a 2 r 2 r 2 − a 2 ) 3 2 r 2 + 2 a 2 r 2 r 2 − a 2 + a 4 r 2 ( r 2 − a 2 ) 2 ⇒ ρ = r 6 ( r 2 − a 2 ) 2 ( r 2 − a 2 ) 3 2 [ r 2 ( r 2 − a 2 ) 2 + 2 a 2 r 2 ( r 2 − a 2 ) + a 4 r 2 ] ⇒ ρ = r 6 ( r 2 − a 2 ) 1 2 [ r 2 ( r 4 − 2 a 2 r 2 + a 4 ) + 2 a 2 r 4 − 2 a 4 r 2 + a 4 r 2 ] ⇒ ρ = r 6 ( r 2 − a 2 ) 1 2 r 6 − 2 a 2 r 4 + a 4 r 2 + 2 a 2 r 4 − 2 a 4 r 2 + a 4 r 2 ⇒ ρ = r 6 ( r 2 − a 2 ) 1 2 r 6 ρ = ( r 2 − a 2 ) 1 2 \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } a\frac { dr }{ d\theta } -ar.\frac { 2r }{ 2\sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \frac { dr }{ d\theta } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } a\left( \frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right) -\frac { a{ r }^{ 2 } }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } .\frac { ar }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { { a }^{ 2 }r-\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 3 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 3 }-{ a }^{ 4 }r-{ a }^{ 2 }{ r }^{ 3 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =-\frac { { a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ { r }_{ 2 }=-\frac { { a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \\ \rho =\frac { { \left\lfloor { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right\rfloor }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2\left( \frac { { a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right) -r\left[ \frac { -{ a }^{ 4 }r }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { \left( \frac { { r }^{ 4 }-{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+\frac { 2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\left[ { r }^{ 2 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }\left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) +{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ \left[ { r }^{ 2 }\left( { r }^{ 4 }-2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 } \right) +2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }-2{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } \right] } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { r }^{ 6 }-2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }{ r }^{ 4 }-2{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 }+{ a }^{ 4 }{ r }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \rho =\frac { { r }^{ 6 }{ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { r }^{ 6 } } \\ \rho ={ \left( { r }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } ⇒ d θ 2 d 2 r = r 2 − a 2 r 2 − a 2 a d θ d r − a r . 2 r 2 − a 2 2 r d θ d r ⇒ d θ 2 d 2 r = r 2 − a 2 r 2 − a 2 a ( r 2 − a 2 a r ) − r 2 − a 2 a r 2 . r 2 − a 2 a r ⇒ d θ 2 d 2 r = r 2 − a 2 a 2 r − r 2 − a 2 a 2 r 3 ⇒ d θ 2 d 2 r = ( r 2 − a 2 ) 2 a 2 r 3 − a 4 r − a 2 r 3 ⇒ d θ 2 d 2 r = − ( r 2 − a 2 ) 2 a 4 r r 2 = − ( r 2 − a 2 ) 2 a 4 r ρ = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ⌊ r 2 + r 1 2 ⌋ 2 3 ⇒ ρ = r 2 + 2 ( r 2 − a 2 a 2 r 2 ) − r [ ( r 2 − a 2 ) 2 − a 4 r ] [ r 2 + r 2 − a 2 a 2 r 2 ] 2 3 ⇒ ρ = r 2 + r 2 − a 2 2 a 2 r 2 + ( r 2 − a 2 ) 2 a 4 r 2 ( r 2 − a 2 r 4 − a 2 r 2 + a 2 r 2 ) 2 3 ⇒ ρ = ( r 2 − a 2 ) 2 3 [ r 2 ( r 2 − a 2 ) 2 + 2 a 2 r 2 ( r 2 − a 2 ) + a 4 r 2 ] r 6 ( r 2 − a 2 ) 2 ⇒ ρ = [ r 2 ( r 4 − 2 a 2 r 2 + a 4 ) + 2 a 2 r 4 − 2 a 4 r 2 + a 4 r 2 ] r 6 ( r 2 − a 2 ) 2 1 ⇒ ρ = r 6 − 2 a 2 r 4 + a 4 r 2 + 2 a 2 r 4 − 2 a 4 r 2 + a 4 r 2 r 6 ( r 2 − a 2 ) 2 1 ⇒ ρ = r 6 r 6 ( r 2 − a 2 ) 2 1 ρ = ( r 2 − a 2 ) 2 1
इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।
Question-3 r = a θ r=a\theta r = a θ r θ = a r\theta =a r θ = a (Show that the curvature of the curves r = a θ r=a\theta r = a θ r θ = a r\theta =a r θ = a Solution- r = a θ . . . . ( 1 ) r θ = a . . . . . ( 2 ) r=a\theta ....(1)\\ r\theta =a.....(2) r = a θ .... ( 1 ) r θ = a ..... ( 2 ) समीकरण (1) से समीकरण (2) में मान रखने पर-
a θ 2 = a θ 2 = 1 θ = ± 1 a{ \theta }^{ 2 }=a\\ { \theta }^{ 2 }=1\\ \theta =\pm 1 a θ 2 = a θ 2 = 1 θ = ± 1 θ \theta θ
r = ± a ( r , θ ) = ( a , 1 ) r=\pm a\\ \left( r,\theta \right) =\left( a,1 \right) r = ± a ( r , θ ) = ( a , 1 ) समीकरण (1) का θ \theta θ
d r d θ = a ( d r d θ ) ( a , 1 ) = a \frac { dr }{ d\theta } =a\\ { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=a d θ d r = a ( d θ d r ) ( a , 1 ) = a पुनः θ \theta θ
d 2 r d θ 2 = 0 ⇒ ( d 2 r d θ 2 ) ( a , 1 ) = 0 ρ 1 = [ r 2 + r 1 2 ] 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ρ 1 ( a , 1 ) = [ a 2 + a 2 ] 3 2 a 2 + 2 a 2 − r ( 0 ) = [ 2 a 2 ] 3 2 3 a 2 = 2 2 a 3 3 a 2 = 2 2 a 3 \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow { \left( \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=0\\ { \rho }_{ 1 }=\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { { \rho }_{ 1 } }_{ \left( a,1 \right) }=\frac { { \left[ { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }-r\left( 0 \right) } =\frac { { \left[ 2{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3{ a }^{ 2 } } \\ =\frac { 2\sqrt { 2 } { a }^{ 3 } }{ 3{ a }^{ 2 } } =\frac { 2\sqrt { 2 } { a } }{ 3 } d θ 2 d 2 r = 0 ⇒ ( d θ 2 d 2 r ) ( a , 1 ) = 0 ρ 1 = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 [ r 2 + r 1 2 ] 2 3 ρ 1 ( a , 1 ) = a 2 + 2 a 2 − r ( 0 ) [ a 2 + a 2 ] 2 3 = 3 a 2 [ 2 a 2 ] 2 3 = 3 a 2 2 2 a 3 = 3 2 2 a समीकरण (2) का θ \theta θ
θ ( d r d θ ) + r ( 1 ) = 0 ( d r d θ ) = − r θ ⇒ ( d r d θ ) ( a , 1 ) = − a \theta \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) +r\left( 1 \right) =0\\ \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) =-\frac { r }{ \theta } \\ \Rightarrow { \left( \frac { dr }{ d\theta } \right) }_{ \left( a,1 \right) }=-a θ ( d θ d r ) + r ( 1 ) = 0 ( d θ d r ) = − θ r ⇒ ( d θ d r ) ( a , 1 ) = − a
पुनः θ \theta θ
ρ 2 = [ r 2 + r 1 2 ] 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ρ 2 ( a , 1 ) = [ a 2 + a 2 ] 3 2 a 2 + 2 a 2 − a ( 2 a ) = [ 2 a 2 ] 3 2 a 2 = 2 2 a 3 a 2 = 2 2 a 1 ρ 1 : 1 ρ 2 = 3 2 2 a : 1 2 2 a 1 ρ 1 : 1 ρ 2 = 3 : 1 { \rho }_{ 2 }=\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ { r }_{ 1 } }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ { r }_{ 1 } }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ { { \rho }_{ 2 } }_{ \left( a,1 \right) }=\frac { { \left[ { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }-a\left( 2a \right) } =\frac { { \left[ 2{ a }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ 2 } } \\ =\frac { 2\sqrt { 2 } { a }^{ 3 } }{ { a }^{ 2 } } =2\sqrt { 2 } { a }\\ \frac { 1 }{ { \rho }_{ 1 } } :\frac { 1 }{ { \rho }_{ 2 } } =\frac { 3 }{ 2\sqrt { 2 } { a } } :\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } { a } } \\ \frac { 1 }{ { \rho }_{ 1 } } :\frac { 1 }{ { \rho }_{ 2 } } =3:1 ρ 2 = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 [ r 2 + r 1 2 ] 2 3 ρ 2 ( a , 1 ) = a 2 + 2 a 2 − a ( 2 a ) [ a 2 + a 2 ] 2 3 = a 2 [ 2 a 2 ] 2 3 = a 2 2 2 a 3 = 2 2 a ρ 1 1 : ρ 2 1 = 2 2 a 3 : 2 2 a 1 ρ 1 1 : ρ 2 1 = 3 : 1
इस प्रकार उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।
Question-4 2 a r = 1 + cos θ \frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta } r 2 a = 1 + cos θ (Find the radius of curvature for the curve2 a r = 1 + cos θ \frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta } r 2 a = 1 + cos θ Solution- 2 a r = 1 + cos θ \frac { 2a }{ r } =1+\cos { \theta } r 2 a = 1 + cos θ θ \theta θ
− 2 a r 2 d r d θ = − sin θ d r d θ = r 2 sin θ 2 a r 1 = r 2 sin θ 2 a -\frac { 2a }{ { r }^{ 2 } } \frac { dr }{ d\theta } =-\sin { \theta } \\ \frac { dr }{ d\theta } =\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a } \\ { r }_{ 1 }=\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a } − r 2 2 a d θ d r = − sin θ d θ d r = 2 a r 2 s i n θ r 1 = 2 a r 2 s i n θ पुनः θ \theta θ
d 2 r d θ 2 = 1 2 a [ 2 r d r d θ sin θ + r 2 cos θ ] ⇒ d 2 r d θ 2 = 1 2 a [ 2 r . r 2 sin θ 2 a . sin θ + r 2 cos θ ] ⇒ d 2 r d θ 2 = 1 2 a [ r 3 sin 2 θ 2 a 2 + r 2 cos θ ] ⇒ r 2 = r 3 sin 2 θ 2 a + r 2 cos θ 2 a ρ = [ r 2 + r 1 2 ] 3 2 r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 ρ = [ r 2 + r 4 sin 2 θ 4 a ] 3 2 r 2 + 2. r 4 sin 2 θ 4 a 2 − r ( r 3 sin 2 θ 2 a 2 + r 2 cos θ 2 a ) ρ = [ r 2 + r 4 4 a ( 1 − c o s 2 θ ) ] 3 2 r 2 + 2. r 4 sin 2 θ 4 a 2 − r 4 sin 2 θ 2 a 2 − r 3 cos θ 2 a ρ = [ r 2 + r 4 4 a { 1 − ( 2 a r − 1 ) 2 } ] 3 2 r 2 − r 3 2 a ( 2 a r − 1 ) ρ = [ r 2 + r 4 4 a { 1 − 4 a 2 r 2 − 1 + 4 a r } ] 3 2 r 2 − r 2 + r 3 2 a ρ = [ r 2 + r 4 4 a 2 { 4 a r − 4 a 2 r 2 } ] 3 2 r 3 2 a ρ = [ r 2 + r 3 a − r 2 ] 3 2 r 3 2 a ρ = r 9 2 a 3 2 × 2 a r 3 ρ = 2 r 3 2 a ρ 2 = 4 r 3 a 2 ρ 2 ∝ r 3 \frac { { d }^{ 2 }r }{ d{ \theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ 2r\frac { dr }{ d\theta } \sin { \theta } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ 2r.\frac { { r }^{ 2 }\sin { \theta } }{ 2a } .\sin { \theta } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }r }{ { d\theta }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2a } \left[ \frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } +{ r }^{ 2 }\cos { \theta } \right] \\ \Rightarrow { r }_{ 2 }=\frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2a } +\frac { { r }^{ 2 }\cos { \theta } }{ 2a } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2{ r }_{ 1 }^{ 2 }-r{ r }_{ 2 } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4a } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2.\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4{ a }^{ 2 } } -r\left( \frac { { r }^{ 3 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } +\frac { { r }^{ 2 }\cos { \theta } }{ 2a } \right) } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left( 1-{ cos }^{ 2 }\theta \right) \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }+2.\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 4{ a }^{ 2 } } -\frac { { r }^{ 4 }\sin ^{ 2 }{ \theta } }{ 2{ a }^{ 2 } } -\frac { { r }^{ 3 }\cos { \theta } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left\{ 1-{ \left( \frac { 2a }{ r } -1 \right) }^{ 2 } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-\frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } { \left( \frac { 2a }{ r } -1 \right) } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4a } \left\{ 1-\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } -1+\frac { 4a }{ r } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { r }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 4 } }{ 4{ a }^{ 2 } } \left\{ \frac { 4a }{ r } -\frac { 4{ a }^{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \right\} \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { \left[ { r }^{ 2 }+\frac { { r }^{ 3 } }{ a } -{ r }^{ 2 } \right] }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { { r }^{ 3 } }{ 2a } } \\ \rho =\frac { { r }^{ \frac { 9 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \times \frac { 2a }{ { r }^{ 3 } } \\ \rho =\frac { 2{ r }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ a } \\ { \rho }^{ 2 }=\frac { 4{ r }^{ 3 } }{ { a }^{ 2 } } \\ { \rho }^{ 2 }\propto { r }^{ 3 } d θ 2 d 2 r = 2 a 1 [ 2 r d θ d r sin θ + r 2 cos θ ] ⇒ d θ 2 d 2 r = 2 a 1 [ 2 r . 2 a r 2 s i n θ . sin θ + r 2 cos θ ] ⇒ d θ 2 d 2 r = 2 a 1 [ 2 a 2 r 3 s i n 2 θ + r 2 cos θ ] ⇒ r 2 = 2 a r 3 s i n 2 θ + 2 a r 2 c o s θ ρ = r 2 + 2 r 1 2 − r r 2 [ r 2 + r 1 2 ] 2 3 ρ = r 2 + 2. 4 a 2 r 4 s i n 2 θ − r ( 2 a 2 r 3 s i n 2 θ + 2 a r 2 c o s θ ) [ r 2 + 4 a r 4 s i n 2 θ ] 2 3 ρ = r 2 + 2. 4 a 2 r 4 s i n 2 θ − 2 a 2 r 4 s i n 2 θ − 2 a r 3 c o s θ [ r 2 + 4 a r 4 ( 1 − cos 2 θ ) ] 2 3 ρ = r 2 − 2 a r 3 ( r 2 a − 1 ) [ r 2 + 4 a r 4 { 1 − ( r 2 a − 1 ) 2 } ] 2 3 ρ = r 2 − r 2 + 2 a r 3 [ r 2 + 4 a r 4 { 1 − r 2 4 a 2 − 1 + r 4 a } ] 2 3 ρ = 2 a r 3 [ r 2 + 4 a 2 r 4 { r 4 a − r 2 4 a 2 } ] 2 3 ρ = 2 a r 3 [ r 2 + a r 3 − r 2 ] 2 3 ρ = a 2 3 r 2 9 × r 3 2 a ρ = a 2 r 2 3 ρ 2 = a 2 4 r 3 ρ 2 ∝ r 3 इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा ध्रुवी समीकरण के लिए वक्रता त्रिज्या (Radius of curvature for polar equation) को समझा जा सकता है।
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