1.द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation),पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण के हल (Solution of Quadratic by Completing Square):

Examples of Quadratic Equation

द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation) के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण के हल ज्ञात करना सीखेंगे।इस पर आधारित महत्त्वपूर्ण सवालों के हल निम्न प्रकार हैं:

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2.द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation):

Example:1.पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा निम्न द्विघात समीकरणों को हल कीजिए:
Example:1(i). $3 x^2-5 x+2=0$
Solution: $3 x^2-5 x+2=0 \\ \Rightarrow 3 x^2-5 x=-2$
प्रत्येक पद को 3 से विभाजित करने पर:

$\Rightarrow x^2-\frac{5}{3} x=-\frac{2}{3}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{5}{3}$ के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2-\frac{5}{3} x+\left(\frac{5}{6}\right)^2=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{5}{6}\right)^2= \frac{-24+25}{36} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{1}{36} \\ \Rightarrow x-\frac{5}{6}= \pm \sqrt{\frac{1}{36}} \\ \Rightarrow x-\frac{5}{6}= \pm \frac{1}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{6} \pm \frac{1}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}, x=\frac{5}{6}-\frac{1}{6} \\ =\frac{6}{6}, \frac{4}{6} \\ \Rightarrow x=1, \frac{2}{3}$
Example:1(ii). $5 x^2-6 x-2=0$
Solution: $5 x^2-6 x-2=0 \\ \Rightarrow 5 x^2-6 x=2$
प्रत्येक पद को 5 से विभाजित करने पर:

$x^2-\frac{6}{5} x=\frac{2}{5}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{6}{5}$ के आधे $\frac{3}{5}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2-\frac{6}{5} x+\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{3}{5}\right)^2=\frac{2}{5}+\frac{9}{25} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{3}{5}\right)^2=\frac{10+9}{25} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{3}{5}\right)^2=\frac{19}{25} \\ \Rightarrow x-\frac{3}{5}= \pm \sqrt{\frac{19}{25}} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{19}}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}$
Example:1(iii). $4 x^2+3 x+5=0$
Solution: $4 x^2+3 x+5=0 \\ \Rightarrow 4 x^2+3 x=-5$
प्रत्येक पद को 4 से विभाजित करने पर:

$\Rightarrow x^2+\frac{3}{4} x=\frac{-5}{4}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{3}{4}$ के आधे $\frac{3}{8}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+\frac{3}{4} x+\left(\frac{3}{8}\right)^2=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{3}{8}\right)^2=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{3}{8}\right)^2= \frac{-80+9}{64} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{3}{8}\right)^2=-\frac{71}{64}$
दायाँ पक्ष ऋणात्मक है अतः इसका वर्गमूल लेने पर वास्तविक संख्या नहीं है फलतः मूल वास्तविक विद्यमान नहीं है।
Example:1(iv). $4 x^2+4 \sqrt{3} x+3=0$
Solution: $4 x^2+4 \sqrt{3} x+3=0 \\ \Rightarrow \quad 4 x^2+4 \sqrt{3} x=-3$
प्रत्येक पद को 4 से विभाजित करने पर:

$x^2+\sqrt{3} x=\frac{-3}{4}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\sqrt{3}$ के आधे $\frac{\sqrt{3}}{2}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+\sqrt{3} x+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4} \\ \Rightarrow\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=0 \\ \Rightarrow x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0, x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Example:1(v). $2 x^2+x-4=0$
Solution: $2 x^2+x-4=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+x=4$
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:

$x^2+\frac{x}{2}=2$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{1}{2}$ के आधे $\frac{1}{4}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^2=2+\left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=2+\frac{1}{16} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{32+1}{16} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{33}{16} \\ \Rightarrow x+\frac{1}{4}= \pm \sqrt{\frac{33}{16}} \\ \Rightarrow x+\frac{1}{4}= \pm \frac{\sqrt{33}}{4} \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{33}}{4} \\ x=\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
Example:1(vi). $2 x^2+x+4=0$
Solution: $2 x^2+x+4=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+x=-4$
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:

$x^2+\frac{x}{2}=-2$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{1}{2}$ के आधे $\frac{1}{4}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^2=-2+\left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=-2+\frac{1}{16} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{-32+1}{16} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{-31}{16}$
दायाँ पक्ष ऋणात्मक है अतः इसका वर्गमूल एक काल्पनिक संख्या है फलतः वास्तविक मूल विद्यमान नहीं है।

Examples of Quadratic Equation

Example:1(vii). $4 x^2+4 b x-\left(a^2-b^2\right)=0$
Solution: $4 x^2+4 b x-\left(a^2-b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^2+4 b x=a^2-b^2$
प्रत्येक पद को 4 से विभाजित करने पर:

$x^2+b x=\frac{a^2-b^2}{4}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक b के आधे $\frac{b}{2}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+b x+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2-b^2}{4}+\left(\frac{b}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2-b^2}{4}+\frac{b^2}{4} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2}\right)^2 =\frac{a^2}{4} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2}\right)^2= \pm \sqrt{\frac{a}{4}} \\ \Rightarrow \left(x+\frac{b}{2}\right)^2= \pm \frac{a}{2} \\ \Rightarrow x=-\frac{b}{2} \pm \frac{a}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-b}{2}+\frac{a}{2}, x=-\frac{b}{2}-\frac{a}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{a-b}{2}, x=-\frac{(a+b)}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{a-b}{2},-\frac{(a+b)}{2}$
Example:1(viii). $x^2+4 x+1=0$
Solution: $x^2+4 x+1=0 \\ \Rightarrow x^2+4 x=-1$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक 4 के आधे 2 का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$\Rightarrow x^2+4 x+(2)^2=-1+(2)^2 \\ \Rightarrow(x+2)^2=-1+4 \\ \Rightarrow(x+2)^2=3 \\ \Rightarrow x+2= \pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow x=-2 \pm \sqrt{3}$
Example:1(ix). $8 x^2=3 x+5$
Solution: $8x^2=3 x+5 \\ \Rightarrow 8 x^2-3 x=5$
प्रत्येक पद को 8 से विभाजित करने पर:

$x^2-\frac{3}{8} x=\frac{5}{8}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{3}{8}$ का आधा $\frac{3}{16}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2-\frac{3}{8} x+\left(\frac{3}{16}\right)^2=\frac{5}{8}+\left(\frac{3}{16}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{3}{16}\right)^2=\frac{5}{8}+\frac{9}{256} \\ = \frac{160+9}{256} \\ = \frac{169}{256} \\ \Rightarrow x-\frac{3}{16}= \pm \sqrt{\frac{169}{256}} \\ \Rightarrow x=\frac{3}{16} \pm \frac{13}{16} \\ \Rightarrow x=\frac{3 \pm 13}{16} \\ \Rightarrow x=\frac{3+13}{16}, x=\frac{3-13}{16} \\ \Rightarrow x=\frac{16}{16}, x=\frac{-10}{16} \\ \Rightarrow x=1, x=-\frac{5}{8} \\ \Rightarrow x=1,-\frac{5}{8}$
Example:1(x). $x^2+20 x-21=0$
Solution: $x^2+20 x-21=0 \\ \Rightarrow x^2+20 x=21$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक 20 का आधा 10 का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2+20 x+(10)^2=21+(10)^2 \\ \Rightarrow (x+10)^2=21+100 \\ \Rightarrow(x+10)^2 =121 \\ \Rightarrow(x+10)^2 = \pm \sqrt{121} \\ \Rightarrow x+10= \pm 11 \\ \Rightarrow x=-10 \pm 11 \\ \Rightarrow x=-10+11, x=-10-11 \\ \Rightarrow x=1,-21$
Example:1(xi). $(x-3)(2 x-5)=0$
Solution: $(x-3)(2 x-5)=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-11 x+15=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-11 x=-15$
प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करने पर:

$x^2-\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{11}{2}$ का आधा $\frac{11}{4}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2-\frac{11}{2} x+\left(\frac{11}{4}\right)^2=-\frac{15}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{11}{4}\right)^2=-\frac{15}{2}+\frac{121}{16} \\ \Rightarrow \left(x-\frac{11}{4}\right)^2= \frac{-120+121}{16} \\ \Rightarrow x-\frac{1}{4}= \pm \sqrt{\frac{1}{16}} \\ \Rightarrow x=\frac{11}{4} \pm \frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{11}{4}+\frac{1}{4}, x=\frac{11}{4}-\frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{12}{4}, x=\frac{10}{4} \\ \Rightarrow x=3, \frac{5}{2}$
Example:1(xii). $\frac{4}{3} x^2-2 x+\frac{3}{4}=0$
Solution: $\frac{4}{3} x^2-2 x+\frac{3}{4}=0 \\ \Rightarrow \frac{4}{3} x^2-2 x=-\frac{3}{4}$
प्रत्येक पद को $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर:

$x^2-\frac{3}{2} x=-\frac{9}{16}$
वाम पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए x के गुणांक $\frac{3}{2}$ का आधा  $\frac{3}{4}$ का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर:

$x^2-\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{4}\right)^2=-\frac{9}{18}+\left(\frac{3}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=0 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{4}, \frac{3}{4}$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation),पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण के हल (Solution of Quadratic by Completing Square) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण के उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Examples of Quadratic Equation):

Examples of Quadratic Equation

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से हल कीजिए।
(1.) $x^2+16 x+57=0$
(2.)$(3 x+2)(2 x+3)=6$
उत्तर (Answers): (1.) $x=-8 \pm \sqrt{7}$ (2.) $x=0, \frac{13}{6}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation),पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण के हल (Solution of Quadratic by Completing Square) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation),पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण के हल (Solution of Quadratic by Completing Square) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विघात समीकरण के उदाहरण (Examples of Quadratic Equation) के इस आर्टिकल
में द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण के हल ज्ञात करना सीखेंगे।