1.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Quadratic Equation),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10):

Imp Examples of Quadratic Equation

द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Quadratic Equation) के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरणों के कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Quadratic Equation):

गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए:
Example:1. 2 x^2-5 x+3=0
Solution: 2 x^2-5 x+3=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-3 x-2 x+3=0 \\ \Rightarrow x(2 x-3)-1(2 x-3)=0 \\ \Rightarrow(2 x-3)(x-1)=0 \\ \Rightarrow 2 x-3=0, x-1=0 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2}, x=1 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2},1
Example:2. 9 x^2-3 x-2=0
Solution: 9 x^2-3 x-2=0 \\ \Rightarrow 9 x^2-6 x+3 x-2=0 \\ \Rightarrow 3 x(3 x-2)+1(3 x-2)=0 \\ \Rightarrow(3 x+1)(3 x-2)=0 \\ \Rightarrow 3 x+1=0,3 x-2=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{1}{3}, x=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3},-\frac{1}{3}
Example:3. \sqrt{3} x^2+10 x+7 \sqrt{3}=0
Solution: \sqrt{3} x^2+10 x+7 \sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} x^2+7 x+3 x+7 \sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow x(\sqrt{3} x+7)+\sqrt{3}(\sqrt{3} x+7)=0 \\ \Rightarrow (x+\sqrt{3})(\sqrt{3} x+7)=0 \\ \Rightarrow x+\sqrt{3}=0, \sqrt{3} x+7=0 \\ \Rightarrow x=-\sqrt{3}, x=-\frac{7}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow x=-\sqrt{3},-\frac{7}{\sqrt{3}}
Example:4. x^2-8 x+16=0
Solution: x^2-8 x+16=0 \\ \Rightarrow x^2-4 x-4 x+16=0 \\ \Rightarrow x(x-4)-4(x-4)=0 \\ \Rightarrow(x-4)(x-4)=0 \\ x-4=0, x-4=0 \\ \Rightarrow x=4, x=4 \\ \Rightarrow x=4,4
Example:5. 100 x^2-20 x+1=0
Solution: 100 x^2-20 x+1=0 \\ \Rightarrow 100 x^2-10 x-10 x+1=0 \\ \Rightarrow 10 x(10 x-1)-1(10 x-1)=0 \\ \Rightarrow(10 x-1)(10 x-1)=0 \\ \Rightarrow(10 x-1)=0,10 x-1=0 \\ \Rightarrow x=10, x=\frac{1}{10} \\ \Rightarrow x=10, \frac{1}{10}
Example:6. x^2+8 x+7=0
Solution: x^2+8 x+7=0 \\ \Rightarrow x^2+7 x+x+7=0 \\ \Rightarrow x(x+7)+1(x+7)=0 \\ \Rightarrow(x+1)(x+7)=0 \\ \Rightarrow x+1=0, x+7=0 \\ \Rightarrow x=-1, x=-7 \\ \Rightarrow x=-1,-7
Example:7. 4 x^2-48 x+\left(a^4-b^4\right)=0
Solution: 4 x^2-4 a^2 x+\left(a^4-b^4\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^2-2\left(a^2-b^2\right) x-2\left(a^2+b^2\right) x+\left(a^4-b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^2-2\left(a^2-b^2\right) x-2\left(a^2 +b^2\right) x+\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x\left[2 x-\left(a^2-b^2 \right)\right]- \left(a^2+b^2\right)\left[2 x-\left(a^2-b^2\right)\right]=0 \\ \Rightarrow 2 x \left[2 x-\left(a^2+b^2\right)\right]\left[2 x-\left(a^2-b^2\right)\right]=0 \\ \Rightarrow 2 x-\left(a^2+ b^2\right) =0,2 x-\left(a^2-b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x=a^2+b^2, 2 x=a^2-b^2 \\ \Rightarrow x=\frac{a^2 +b^2}{2}, x=\frac{a^2-b^2}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2}{2}, \frac{a^2-b^2}{2}

Imp Examples of Quadratic Equation

Example:8. a b x^2+\left(b^2-ac\right) x-b c=0
Solution: a b x^2+\left(b^2-a c\right) x-b c=0 \\ \Rightarrow a b x^2+b^2 x-a c x-b c=c \\ \Rightarrow x b(a x+b)-c(a x+b)=0 \\ \Rightarrow(a x+b)(b x-c)=0 \\ \Rightarrow a x+b=0, b x-c=0 \\ \Rightarrow x=-\frac{b}{a}, x=\frac{c}{b} \\ \Rightarrow x=-\frac{b}{a}, \frac{c}{b}
Example:9. \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}=3, x \neq 0,2
Solution: \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}=3, x \neq 0,2 \\ \Rightarrow \frac{x-2-x}{x(x-2)}=3 \\ \Rightarrow -2=3\left(x^2-2 x\right) \\ \Rightarrow 3 x^2-6 x+2=0 \\ \Rightarrow x^2-2 x+\frac{2}{3}=0 \\ \Rightarrow x^2-\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) x-\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) x+\frac{2}{3}=0 \\ \Rightarrow x\left[x-\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right]-\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left[x-\left(1+ \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right]=0 \\ \Rightarrow \left[x-\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right]\left[x-\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right]=0 \\ \Rightarrow x-\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0, x-\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0 \\ \Rightarrow x=1+\frac{1}{\sqrt{3}}, x=1-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow x=1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Example:10. \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}=\frac{6}{7}, x \neq 1,-5
Solution: \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}=\frac{6}{7}, x \\ \Rightarrow \frac{x+5-(x-1)}{(x-1)(x+5)}=\frac{6}{7} \\ \Rightarrow \frac{x+5-x+1}{(x-1)(x+5)}=\frac{6}{7} \\ \Rightarrow(x-1)(x+5)=7 \\ \Rightarrow x^2+4 x-5=7 \\ \Rightarrow x^2+4 x-5-7=0 \\ \Rightarrow x^2+4 x-12=0 \\ \Rightarrow x^2+6 x-2 x-12=0 \\ \Rightarrow x(x+6)-2(x+6)=0 \\ \Rightarrow(x-2)(x+6)=0 \\ \Rightarrow x-2=0, x+6=0 \\ \Rightarrow x=2, x=-6 \\ \Rightarrow x=2,-6
Example:11. x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0
Solution: x-\frac{1}{x}=3, x \neq 0 \\ \Rightarrow \frac{x^2-1}{x}=3 \\ \Rightarrow x^2-1=3 x \\ \Rightarrow x^2-3 x-1=0 \\ \Rightarrow x^2-\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right) x-\left(\frac{3}{2}-\sqrt{13} \right) x-1=0 \\ \Rightarrow x\left[x-\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\right]-\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2} \right)\left[x-\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\right]=0 \\ \Rightarrow\left[x-\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2} \right)\right]\left[x-\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\right]=0 \\ \Rightarrow x-\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2} \right)=0, x-\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \frac{3-\sqrt{13}}{2}
Example:12. \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x \neq 4,7
Solution: \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{x-7-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{x-7-x-4}{x^2-3 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow \frac{-11}{x^2-3 x-28}=\frac{11}{30} \\ \Rightarrow x^2-3 x-28=-30 \\ \Rightarrow x^2-3 x-28+30=0 \\ \Rightarrow x^2-3 x+2=0 \\ \Rightarrow x^2-2 x-x+2=0 \\ \Rightarrow x(x-2)-1(x-2)=0 \\ \Rightarrow(x-1)(x-2)=0 \\ \Rightarrow x-1=0, x-2=0 \\ \Rightarrow x=1, x=2 \\ \Rightarrow x=1,2
Example:13. x^2-7 x+12=0
Solution: x^2-7 x+12=0 \\ \Rightarrow x^2-4 x-3 x+12=0 \\ \Rightarrow x(x-4)-3(x-4)=0 \\ \Rightarrow(x-3)(x-4)=0 \\ \Rightarrow x-3=0, x-4=0 \\ \Rightarrow x=3, x=4 \\ \Rightarrow x=3,4
Example:14. x^2-10 x+21=0
Solution: x^2-10 x+21=0 \\ \Rightarrow x^2-7 x-3 x+21=0 \\ \Rightarrow x(x-7)-3(x-7)=0 \\ \Rightarrow(x-3)(x-7)=0 \\ \Rightarrow x-3=0, x-7=0 \\ \Rightarrow x=3, x=7 \\ \Rightarrow x=3,7
Example:15. x^2+2 x-15=0
Solution: x^2+2 x-15=0 \\ \Rightarrow x^2+5 x-3 x-15=0 \\ \Rightarrow x(x+5)-3(x+5)=0 \\ \Rightarrow(x-3)(x+5)=0 \\ \Rightarrow x-3=0, x+5=0 \\ \Rightarrow x=3, x=-5 \\ \Rightarrow x=3,-5

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Quadratic Equation),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Quadratic Equation):

Imp Examples of Quadratic Equation

गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए:

(1.) 6 x^2-x-2=0
(2.) 6 x^2+5 x+1=0
(3.) x^2+15 x+44=0
उत्तर (Answers):
(1.) x=\frac{2}{3},-\frac{1}{2}
(2.) x=-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}
(3.) x=-4,-11

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4.द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Quadratic Equation),गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण के हल कक्षा 10 (Solution of Quadratic Equation by Factorisation Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विघात समीकरण के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Quadratic Equation) के इस
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