1.सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity Complex Analysis),सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity):

Limits and Continuity Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity Complex Analysis) में सम्मिश्र चर राशि के फलनों या सम्मिश्र फलनों का अध्ययन करेंगे।यहाँ हम फलन की सीमा,सांतत्य जैसे मूल सिद्धान्त की विवेचना करेंगे।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Limits and Continuity Complex Analysis):

Example:1(a).यदि $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)$ विद्यमान हो तो सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय होगी।
(If $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)$ exists,then prove that it is unique.)
Solution:उपपत्ति (Proof):यदि सम्भव हो तो मान लीजिए कि फलन f(z) की सीमा $l_1$ तथा $l_2$ है अर्थात्
$\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=l_1$ तथा $\lim _{z \rightarrow z_0} f(z)=l_2$
हमें सिद्ध करना है कि $l_1=l_2$
अब सीमा की परिभाषा अनुसार प्रत्येक $\frac{\varepsilon}{2}$ (चाहे $\varepsilon$ जितना भी छोटा हो) के लिए एक संख्या $\delta >0$ का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि
$\left|f(z)-1_1\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ जबकि $\left|z-z_0\right|<\delta_1$
इसी प्रकार $\left|f(z)-l_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ जबकि $\mid z-z_{0} \mid<\delta_2$
अब माना कि न्यून $\delta= \text{न्यून} \left\{\delta_1, \delta_2\right\}$, फलतः प्रत्येक f(z) के लिए
$\left|f(z)-l_1\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ जबकि $\left|z-z_0\right|<\delta$
तथा $\left|f(z)-l_2\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ जबकि $\left|z-z_0\right|<\delta \\ \therefore \left|l_1-l_2\right| =\left|l_1-f(z)+f(z)-l_2\right| \\ \leq \left|\ell_1-f(z)\right|+\left|f(z)-l_2\right| \\ <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ \Rightarrow\left|l_1-l_2\right| <\varepsilon$
परन्तु $\varepsilon>0$ एक स्वेच्छ कितनी भी छोटी संख्या है इसलिए $\left|l_1-l_2\right|=0 \\ \Rightarrow l_1=l_2$
अतः फलन f(z) की सीमा अद्वितीय है।
Example:1(b).यदि $\lim_{z \rightarrow z_{0}} f(z)=A \neq 0$, तो सिद्ध कीजिए कि एक ऐसा $\delta >0$ विद्यमान होगा ताकि $|f(z)|>\frac{1}{2}|A|$ जबकि $0<\left|z-z_0\right|<\delta$.
(If $\lim_{z \rightarrow z_{0}} f(z)=A \neq 0$ , prove that the there exists $\delta >0$ such that $|f(z)|>\frac{1}{2}|A|$ for $0<\left|z-z_0\right|<\delta$.)
Solution:माना $K=\frac{1}{2}|A|$
तब एक संख्या $\delta >0,(a-\delta, a+\delta)$ में z के प्रत्येक मान के लिए इस प्रकार विद्यमान है कि

$|f(z)-A|<K \ldots(1)$
परन्तु $|f(z)-A| \geq |A|-|f(z)|$
तब (1) सेः $|A|-|f(z)|<K \\ \Rightarrow 2k-|f(z)|<K \\ \Rightarrow k<|f(z)| \\ \Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{2}|A|$
Example:2.मान ज्ञात कीजिए (Evaluate):
Example:2(i). $\lim _{z \rightarrow(-2 i)} \frac{(2 z+3)(z-1)}{z^2-2 z+4}$
Solution: $\lim _{z \rightarrow(-2 i)} \frac{(2 z+3)(z-1)}{z^2-2 z+4} \\ =\frac{[2(-2 i)+3](-2 i-1)}{(-2 i)^2-2 x-2 i+4} \\ =\frac{(-4 i+3)(-2 i-1)}{4 i^2+4 i+4} \\ =\frac{\left(8 i^2+4 i-6 i-3\right)}{-4+4 i+4} \\ =\frac{-8-2 i-3}{4 i} \\ =\frac{-11-2 i}{4 i} \times \frac{i}{i} \\ =\frac{-11 i-2 i^2}{4 i^2} \\=\frac{-11 i+2}{-4} \\ =-\frac{1}{2}+\frac{11}{4} i$
Example:2(ii). $\lim _{z \rightarrow e^{\left(\frac{i \pi}{4} \right)}} \frac{z^2}{z^4+z+1}$
Solution: $\lim _{z \rightarrow e^{\left(\frac{i \pi}{4} \right)}} \frac{z^2}{z^4+z+1} \\ =\frac{\left( e^{\frac{i \pi}{4}}\right)^2}{\left(e^{\frac{i \pi}{4}}\right)^4+\left(e^{\frac{i \pi}{4}}\right)+1} \\ =\frac{e^{\frac{i \pi}{2}}}{e^{i \pi}+e^{\frac{i \pi}{4}}+1} \\ =\frac{\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}}{\cos \pi+i \sin \pi+\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}+1} \\ \left[e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta\right] \\ =\frac{0+i(1)}{-1+i(0)+\frac{1}{\sqrt{2}}+i\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+1} \\ =\frac{i}{\frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}} i} \\ =\frac{\sqrt{2} i}{1+i} \\ =\frac{\sqrt{2} i(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\ =\frac{\sqrt{2}\left(i-i^2\right)}{\left(1-i^2\right)} \\ =\frac{\sqrt{2}(i+1)}{(1+1)} \\ =\frac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$
Example:2(iii). $\lim _{z \rightarrow\left(\frac{\pi i}{2}\right)} z^2 \cosh \left(\frac{4 z}{3}\right)$
Solution: $\lim _{z \rightarrow\left(\frac{\pi i}{2}\right)} z^2 \cosh \left(\frac{4 z}{3}\right) \\ =\lim _{z \rightarrow\left(\frac{\pi i}{2}\right)} z^2\left[\frac{e^{\frac{4 z}{3}}+e^{-\frac{4 z}{3}}}{2}\right] \\ =\left( \frac{\pi i}{2}\right)^2 \left[\frac{e^{\left(\frac{4}{3} \times \frac{\pi i}{2}\right)}+e^{\left(-\frac{\pi}{3} \times \frac{\pi i}{2}\right)}}{2}\right] \\ =\frac{\pi^2 i^2}{4}\left[\frac{e^{\frac{2 \pi i}{3}}+e^{-\frac{2 \pi i}{3}}}{2}\right] \\ =\frac{-\pi^2}{4} \cdot \cos \frac{2 \pi}{3}\left[\because \cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}\right] \\ =\frac{-\pi^2}{4} \times-\frac{1}{2} \\ =\frac{\pi^2}{8}$
Example:2(iv). $\lim _{z \rightarrow e^{\left(\frac{i \pi}{3}\right)}}\left(z-e^{\left( \frac{i \pi}{3}\right)} \right)\left(\frac{z}{z^3+1}\right)$
Solution: $\lim _{z \rightarrow e^{\left(\frac{i \pi}{3}\right)}}\left(z-e^{\left( \frac{i \pi}{3}\right)}\right)\left(\frac{z}{z^3+1}\right) \\ \text { Put } z=h+e^{\frac{i \pi}{3}}$
जब $h \rightarrow 0$ तो $z \rightarrow e^{\frac{i \pi}{3}} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(h+e^{\frac{i \pi}{3}}-e^{\frac{i \pi}{3}}\right) \frac{\left(h+e^{\frac{i \pi}{3}}\right)}{\left(h+e^{\frac{i \pi}{3}}\right)^3+1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h\left(h+e^{\frac{i \pi}{3}}\right)}{h^3+3 h^2 e^{\frac{i \pi}{3}}+3 h e^{\frac{2 \pi i}{3} }+e^{i \pi}+1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h\left(h+\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)}{h^{3}+3 h^2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)+3 h\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)+\cos \pi+i \sin \pi+1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h\left(h+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)}{h^3+3 h^2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)+3 h\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)-1+i(0)+1} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h\left(h+\frac{1 +\sqrt{3 i}}{2}\right)}{h\left[h^2+3 h\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)+\left(\frac{-3}{2}+\frac{3 \sqrt{3} i}{2} \right)\right]} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(h+\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)}{\left[h^2+3 h\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)+ \left(\frac{-3+3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right]}  \\ =\frac{\frac{1+\sqrt{3} i}{2}}{\left(\frac{-3+3 \sqrt{3 i})}{2}\right)} \\ =\frac{(1+\sqrt{3 i})}{(-3+3 \sqrt{3} i)} \times \frac{(-3-3 \sqrt{3} i)}{(-3-3 \sqrt{3} i)} \\ =\frac{-3-3 \sqrt{3} i-3 \sqrt{3} i-9 i^2}{(-3)^2-(3 \sqrt{3} i)^2} \\ =\frac{-3-6 \sqrt{3} i+9}{9-27 i^2} \\ =\frac{6-6 \sqrt{3} i}{9+27} \\ =\frac{6(1-\sqrt{3} i)}{36} \\ =\frac{(1-\sqrt{3} i)}{6} \\ =\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6} i$
Example:2(v). $\lim _{z \rightarrow(1+i)}\left(z^2-5 z+10\right)$
Solution: $\lim _{z \rightarrow(1+i)}\left(z^2-5 z+10\right) \\ =(1+i)^2-5(1+i)+10 \\ =1+2 i+i^2-5-5 i+10 \\ =1-1-3 i+5 \\ =5-3 i$
Example:3.यदि (If) $f(z)=\left\{\begin{array}{l}z^2+2 z, z \neq i \\ 3+2 i, z=i\end{array}\right.$ तो सीमा की परिभाषा से $\lim _{z \rightarrow i} f(z)$ प्राप्त कीजिए।
(then evaluate $\lim _{z \rightarrow i} f(z)$ by using definition of limit.)
Solution: $f(z)=\left\{\begin{array}{l}z^2+2 z, z \neq i \\ 3+2 i, z=i\end{array}\right.$
किसी दिए हुए $\varepsilon>0$ के लिए $\delta$ ( $\varepsilon$ पर निर्भर है) प्राप्त किया जा सकता है ताकि $|f(z)-i|<\varepsilon$ जबकि $0 < \mid z-i \mid < \delta \\ \Rightarrow i- \delta<z < i+\delta \\ \Rightarrow (i-\delta)^3<z^3<(i+\delta)^3 \\ \Rightarrow i^3-3 i^2 \delta+3 i \delta^2-\delta^3<z^3< i^3+3 i^2 \delta+3 i \delta^2+\delta^3 \\ \Rightarrow -i+3 \delta+3 i \delta^2-\delta^3<z^3<-i-3 \delta+3 i \delta^2+\delta^3 \\ \Rightarrow -i+3 \delta+3 i \delta^2-\delta^3+2 i-2 \delta<z^3+2 z<-i-3 \delta+3 i \delta^2+\delta^3+2 i+2 \delta \\ \Rightarrow i+\delta+3 i \delta^2-\delta^3<z^3+2 z<i-\delta+3 i^2+\delta^3 \\ \Rightarrow \delta+3 i \delta^2-\delta^3<\left(z^3+2 z\right)-i<-\delta+3 i \delta^2+\delta^3$
यदि $\delta \leq 1$ तो $\Rightarrow \delta+3 i \delta-\delta<\left(z^3+2 z\right)-i<-\delta+3 i \delta+\delta \\ \Rightarrow z^2+2 z-i<3 i \delta$ 
माना कि $\delta=\min \left\{1, \frac{\varepsilon}{3 i}\right\} \\ \left|z^2+2 z-i\right|<\varepsilon$
जबकि $|z-i|< \delta$
अतः $\lim _{z \rightarrow i} f(z)=i$

Limits and Continuity Complex Analysis

Example:4.यदि $f(z)=\frac{2 z+1}{3 z+2}$ हो,तो सिद्ध कीजिए कि
(If $f(z)=\frac{2 z+1}{3 z+2}$,then prove that)

$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+h\right)-f\left(z_0\right)}{h}=\frac{1}{\left(3 z_0+2 \right)^2},\left(z_0 \neq-\frac{2}{3}\right)$
Solution: $f(z)=\frac{2 z+1}{3 z+2} \\ f\left(z_0\right)=\frac{2 z_0+1}{3 z_0+2}, f\left(z_0+h\right) =\frac{2\left(z_0+h\right)+1}{3\left(z_0+h\right)+2} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+h\right)-f\left(z_0\right)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{2\left(z_0+h\right)+1}{3\left(z_0+h\right)+2}-\frac{2 z_0+1}{3 z_0+2}}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(3 z_0+2\right)\left(2 z_0+2 h+1\right)-\left(2 z_0+1\right)\left(3 z_0+3 h+2\right) }{h\left(3 z_0+3 h+2\right)\left(3z_{0}+2\right)}\\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{6 z_0^2+6 z_0 h+7 z_0+4 h+2-6 z_0^2-6 z_0 h-7 z_{0}-3h-2}{h\left(3 z_0+3 h+2 \right)\left(3z_{0}+2\right)} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h\left(3 z_0+3 h+2\right)\left(3 z_0+2\right)} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\left(3 z_0+3 h+2\right)\left(3z_0+2\right)} \\ =\frac{1}{\left(3 z_0+2 \right)^2} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+h\right)-f\left(z_0\right)}{h}=\frac{1}{\left(3 z_0+2 \right)^2}$
Example:6.क्या निम्न फलन z=i पर संतत है:
(Is the following function is continuous at z=i?)

$f(z)=\frac{3 z^4-2 z^3+8 z^2-2 z+5}{z-i}$
Solution: $\varepsilon>0$ के लिए $\delta>0$ विद्यमान है ताकि $|f(z)-(4+4 i)|<\varepsilon$ जबकि

$0<|z-i|<\delta \\ i-\delta <z<i+\delta \\ \Rightarrow f(z)=\frac{3 z^4-2 z^3+8 z^2-2 z+5}{z-i} \\ f(z)=\frac{3 z^4-3 z^3 i+3 z^3 i-3 z^2 i^2+5 z^2-5 z i +5 z i-5 i^2+2 z^2 i-2 z^{2} i+2 z i^2}{z-i} \\ =\frac{3 z^3(z-i)+3 z^{2} \dot{i}(z-i)+5 z(z-i)+5 i(z-i)-2 z^2(z-i)-2 z(z-i)}{z-i} \\ = \frac{(z-i)\left(3 z^3+3 z^2 i+5 z+5 i-2 z^2-2 z i\right)}{z-i} \\ = 3 z^3+3 z^2 i+5 z+5 i-2 z^2-2zi \\< 3(i+\delta)^3+3 i(i+\delta)^2+5(i+\delta)+5 i-2(i+\delta)^2-2 i(i+\delta) \\ < 3\left(i^3+3 i^2 \delta+3 i \delta^2+ \delta^3\right)+3 i\left(i^2+2 i \delta+\delta^2\right)+5 i+5 \delta+5 i-2\left(i^2+2 i \delta+\delta^2 \right)-2 i^2-2 \delta i \\ <-3 i-9 \delta+3 i \delta^2+3 \delta^{3}-3 i-6\delta +3 \delta^2 i+10 i+5\delta +2-4 i \delta-2 \delta^2+2-2 \delta i \\ <4+4 i-10 \delta-6 i \delta+3 \delta^3+12 \delta^2 i-2 \delta^2 \\ \therefore |f(z)-(4+4 i)|<\delta\left[3 \delta^2+12 i-21 \delta +1-10-6 i\right]$
यदि $\delta \leq 1$ तो 

$|f(z)-(4+4 i)|< \delta (3+13+12) \\ \Rightarrow \mid f(z)-(4+4 i) \mid<28 \delta$
अतः यदि $\delta=\min \left\{1, \frac{\varepsilon }{28}\right\}$ हो तो
$|f(z)-(4+4 i)|<\varepsilon$ जबकि $|z-i|<\delta$
अतः $\lim_{z \rightarrow i} f(z)=4+4 i \cdots(1)\\ f(z)=\frac{3 z^4-2 z^3+8 z^2-2 z+5}{z-i} \\ =3 z^3+3 z^2 i+5 z+5 i-2 z^2-2 zi \\ f(i)=3 i^3+3 i^3+5 i+5 i-2 i^2-2 i^2 \\ =-6 i+10 i+4  \\ \Rightarrow f(i) =4+4 i \cdots(2)$

(1) व (2) से 
$\lim _{z \rightarrow i} f(z)=f(i)=4+4 i$
अतः फलन z=i पर संतत है।
Example:7.निम्न फलनों के असांतत्य बिन्दु ज्ञात कीजिएः
(Find the point of discontinuity for following functions):
Example:7(i). $f(z)=\frac{2 z-3}{z^2+2 z+2}$
Solution: $f(z)=\frac{2 z-3}{z^2+2 z+2}$
फलन f(z) असंतत होगा यदि $z^2+2 z+2=0 \\ z =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ z =\frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} \\ =\frac{-2 \pm 2 i}{2} \\ \Rightarrow z =-1 \pm i$
Example:7(ii). $\cot z$
Solution: $f(z)=\cot z \\ \Rightarrow f(z)=\frac{\cos z}{\sin z}$
फलन असंतत होगा यदि
$\sin z=0 \\ \Rightarrow z=n \pi, n \in I$
Example:7(iii). $\frac{1}{z}-\sec z$
Solution: $\frac{1}{z}-\sec z \\ \therefore f(z)=\frac{1}{2}-\sec z \\ =\frac{1}{z}-\frac{1}{\cos z} \\ \Rightarrow f(z)=\frac{\cos z-z}{z \cos z}$
फलन असंतत होगा यदि

$z \cos z=0 \\ \Rightarrow z=0, \cos z=0 \\ \Rightarrow z=\frac{(2 n+1) \pi}{2}$
अतः असांतत्य के बिन्दु=0,$\frac{(2 n+1) \pi}{2} , n \in I$
Example:7(iv). $\frac{\tanh z}{z^2+1}$
Solution: $f(z)=\frac{\tanh z}{z^2+1} \\ \Rightarrow f(z)=\frac{\sinh z}{\left(z^2+1\right) \cosh z}$ 
फलन असंतत होगा यदि

$\left(z^2+1\right) \cosh z=0 \\ \Rightarrow z^2+1=0, \cosh z=0 \\ \Rightarrow z^2=-1 \\ \Rightarrow z^2=i^2 \\ \Rightarrow z= \pm i \\ \cosh z=0 \quad[\because \cosh z=\cos (i z)] \\ \cos (i z)=0 \\ z=(2 n+1) \frac{\pi i}{2}, n \in I$
अतः असांतत्य के बिन्दु $z=\pm i ,(2 n+1) \frac{\pi i}{2}, n \in I$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity Complex Analysis),सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य के सवाल (Limits and Continuity Complex Analysis Questions):

Limits and Continuity Complex Analysis

(1.)सिद्ध कीजिए कि फलन (Prove that the function)

$f(z)=\left\{\begin{array}{ll}z^2, z \neq i \\ 0, z=i\end{array}\right.$
z=i पर संतत नहीं है (is discontinuous at z=i)
(2.)सिद्ध कीजिए कि फलन $f(z)=(z)^2$ सर्वत्र संतत है किन्तु इसके अवकलज का अस्तित्व केवल मूलबिन्दु पर ही है।
(Prove that the function $f(z)=(z)^2$ is continuous every where but its derivative exists only at the origin):
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity Complex Analysis),सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Frequently Asked Questions Related to Limits and Continuity Complex Analysis),सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity Complex Analysis) में सम्मिश्र
चर राशि के फलनों या सम्मिश्र फलनों का अध्ययन करेंगे।यहाँ हम फलन की सीमा,सांतत्य जैसे
मूल सिद्धान्त की विवेचना करेंगे।